Scattering for the focusing energy-subcritical NLS
对于三维聚焦立方非线性薛定谔方程，Holmer和Roudenko~ \cite{HR2}（径向情形）和Duyckaerts，Holmer和Roudenko ~ \cite{DHR}（一般情形）建立了$H^1$解在（尺度不变）势阱中的散射.本文采用~ \cite{DHR}方法，将这一结果推广到任意空间维数和聚焦、质量-超临界和能量-亚临界功率非线性。
2011-01-16 math.AP
A sharp scattering threshold level for mass-subcritical nonlinear Schrödinger system
本文考虑三维空间中的二次非线性薛定谔系统。我们的目标是获得尖锐的散射准则。由于质量亚临界的性质，很难用守恒量来做。第二作者研究了相应的单方程，并通过引入与平凡散射解零解的距离，建立了一个尖锐的散射准则。根据所讨论的非线性结构，该系统存在一个散射解，该散射解是一对零解和一个线性解。考虑到这一事实，我们引入了一个新的优化量，并给出了一个尖锐的散射准则。
2019-12-29 math.AP
Existence of a minimal non-scattering solution to the mass-subcritical generalized Korteweg-de Vries equation
本文证明了在尺度临界^L^r空间中，质量次临界广义Korteweg-de Vries（gKdV）方程的非散射解的存在性，该解在某种意义下是极小的.我们通过一个集中紧性论证来构造这个解。然后，关键成分是采用^L^r-框架的线性轮廓分解结果和通过非线性Schr“odinger方程的解来逼近涉及快速线性振荡的gKdV方程的解。
2016-02-17 math.AP
Scattering for defocusing energy subcritical nonlinear wave equations
考虑$(1+3)$中的散焦幂型非线性波动方程的Cauchy问题-能量次临界幂$p$在$3 < p< 5$范围内的维数.我们证明了任何解决方案是全球的时间和散射的自由波在两个时间方向上，只要其关键的Sobolev规范保持有界的最大区间的存在。
2018-12-03 math.AP
Dynamics of subcritical threshold solutions for energy-critical NLS
本文利用非径向数据研究了在$\mathbb{R}^d$（$d\geq 5$）上聚焦能量临界NLS亚临界阈值解的动力学性质。T. Duyckaerts和F. Merle在\cite{DM}中用于$d=3,4,5$，后来由D. Li和X. Zhang在\cite{LZ}中用于$d \geq 6$。通过去掉对$d\geq 5$的径向假设，推广了亚临界阈值解的结论.一个关键的步骤是显示指数收敛到基态$W(x)$的对称性，如果散射现象不发生。值得注意的是，相互作用Morawetz型估计。
2018-11-17 math.AP
On minimal non-scattering solution for focusing mass-subcritical nonlinear Schrödinger equation
在加权$L^2$空间中考虑了聚焦质量-亚临界NLS方程解的时间整体性态。我们证明了存在一个阈值解，使得（i）它不散射;（ii）对于一定的尺度不变量，该解在所有非散射解中达到最小值。在质量临界的情况下，已知基态是这种阈值解。然而，在我们的例子中，事实证明上述阈值解不是驻波解。
2013-02-12 math.AP
Large data mass-subcritical NLS: critical weighted bounds imply scattering
本文考虑了具有聚焦或散焦非线性的全维质量亚临界非线性薛定谔方程。对于这类具有临界正则性$s_c\in(\max\{-1,-\frac{d}{2}\},0)$的方程，我们证明了在其最大存在区间上满足$\|\, |x|^{|s_c|}e^{-itΔ} u\|_{L_t^\infty L_x^2} <\infty$的任何解必定是整体的和分散的。
2016-06-05 math.AP
NLS with mass-subcritical combined nonlinearities: small mass $L^2$-scattering
本文研究了具有聚焦主导项与低阶散焦扰动项的双重非线性NLS方程，利用伪共形变换与变分论证证明了仅需初始数据质量足够小即可实现质量次临界区域中的散射。
2025-11-06 math.AP
Global well-posedness of the energy subcritical nonlinear wave equation with initial data in a critical space
本文证明了在临界Besov空间中具有初始数据的离焦能量亚临界非线性波动方程在$\mathbb{R}^{1 + 3}$上的整体适定性.不需要径向对称假设。
2021-08-06 math.AP
Two minimization problems on non-scattering solutions to mass-subcritical nonlinear Schrödinger equation
本文介绍了非线性薛定谔方程非散射解的两个极小化问题。一个给出了一个尖锐的散射准则，另一个是关于最小尺寸的爆破配置文件。我们首先重新制定了这两个最小化的几个以前的结果。然后，本文的主要结果是这两个质量亚临界非线性薛定谔方程极小化问题的极小解的存在性。为了考虑后者的最小化，我们考虑广义Morrey空间的傅里叶变换中的方程。结果表明，后一个问题的极小元具有紧性，即几乎周期模对称性。
2016-05-30 math.AP
Scattering theory for subcritical wave equation with inverse square potential
本文研究具有反平方势的散焦能量次临界波动方程，通过能量通量法、特征线法及Morawetz估计，证明了径向有限能量解在光锥外散射到自由波，并建立了有限加权能量初始数据的散射理论。
2024-04-22 math.AP
On global well-posedness for nonlinear semirelativistic equations in some scaling subcritical and critical cases
研究了欧几里得空间上具有幂型非线性项的半相对论性方程的整体适定性。在二维$1 \leq s \leq 2$标度次临界情形下，局部适定性适定性来自于一个Schmidhartz估计。在高维$H^1$标度次临界情形下，径向解的局部适定性由加权的Schmidhartz估计得到。此外，在三维$H^1$标度临界情形下，径向解的局部适定性可由相应的一维问题的解的一致界得到.局部解可以通过先验估计来扩展。
2016-11-29 math.AP
Breakdown of regularity of scattering for mass-subcritical NLS
研究了非线性薛定谔方程$i\partial_t u + Δu = |u|^p u$在$\mathbb{R}^d$，$d\geq 1$上的散射问题，其中质量次临界非线性系数大于Strauss指数.对于该方程，已知在$Σ$中具有初始数据的$L^2$中的渐近完备性成立，并且波算子在$Σ$上定义良好。我们证明了存在$0<β<p$，使得波算子和数据-散射态映射不允许扩展到原点附近的类$C^{1+β}$的映射$L^2\to L^2$。这构成了$L^2$拓扑中散射问题的一种温和形式的不适定性。
2019-09-13 math.AP
Modified scattering for the one-dimensional Schrödinger equation with a subcritical dissipative nonlinearity
研究了具有亚临界耗散非线性项$λ|u|^αu$的一维非线性薛定谔方程解的时间渐近性态，其中$0<α<2$，$λ$是满足$\text{Im} λ>\frac{α|\text{Re} λ|}{2\sqrt{ α+1}}$的复常数.对于任意大的初始数据，我们给出了$4/3<α<2$时解的一致时间衰减估计，以及$\frac{7+\sqrt{145}}{12}<α<2$时解的大时间渐近性。证明是基于向量场方法和半经典分析方法。
2022-01-18 math.AP
A sharp scattering condition for focusing mass-subcritical nonlinear Schrödinger equation
本文研究了在临界齐次加权$L^2$空间中，聚焦质量-次临界幂型非线性薛定谔方程解的时间整体性态.通过证明存在至少在一个时间方向上不散射的阈值解，且该阈值解的初始数据在所有非散射解的初始值中达到加权$L^2$空间的范数的最小值，给出了散射的一个尖锐的充分条件.与质量临界或超临界情况不同，基态不是阈值。这一结果推广到非线性指数小于Strauss数的情形。一个主要的新成分是一个稳定性估计的洛伦兹修改的Bezov型时空规范。
2014-01-30 math.AP
Scattering for Short-Range Mass-Subcritical Choquard Equations
Mathematics and Science Department, AUBG Blagoevgrad（布拉格耶夫格拉德美国学院数学与科学系）；Hausdorff Center for Mathematics, HCM Bonn（波恩豪斯多夫数学中心）；Trieste Institute for Theoretical Quantum Technologies, TQT Trieste（的里雅斯特理论量子技术研究所）；Institute of Mathematics and Informatics, Bulgarian Academy of Science, Sofia（索菲亚保加利亚科学院数学与信息学研究所）
研究散焦非齐次广义 Choquard 方程在共形能量空间中的散射，通过关键估计和伪共形论证在短程质量次临界区域获得 L^2 与 H^1 散射，齐次情形下进一步得到 Σ 散射，避免了中间估计的代数限制。
2026-09-29 math.AP
On the evolution of subcritical regions for the Perona-Malik equation
Perona-Malik方程是向前向后抛物型方程的一个著名例子。前向行为发生在所谓的亚临界区域中，其中解的梯度小于固定阈值。在本文中，我们表明，这个亚临界区域在以下三种情况下，以不同的方式演变：尺寸1，径向解决方案在尺寸大于1，一般解决方案在尺寸大于1。在第一种情况下，亚临界区域增加，但没有对膨胀率的估计。在第二种情况下，它们以正速率扩展，并且总是在有限时间后扩展到整个域，仅取决于域的（外）半径。作为一个副产品，我们得到了一个不存在的结果，具有足够大的梯度的整体时间经典径向解。在第三种情况下，我们展示了一个例子，亚临界区域不扩大。我们的证明利用比较原则，适当的退化和非光滑的自由边界问题。
2009-09-01 math.AP
Scattering for the focusing $L^{2}$ -supercritical and $\dot H^2$-subcritical biharmonic NLS Equations
考虑了聚焦$\dot H^{s_c}$ -临界双调和薛定谔方程，证明了满足$ M(u_0)^{\frac{2-s_c}{s_c}}E(u_0)<M(Q)^{\frac{2-s_c}{s_c}}E(Q) $和$ \|u_{0}\|^{\frac{2-s_c}{s_c}}_{2}\|Δu_{0}\|_{2}<\|Q\|^{\frac{2-s_c}{s_c}}_{2}\|ΔQ\|_{2}, $的径向数据$u_0\in H^2(\mathbb R^N)$的整体适定性和散射结果，其中$s_c\in(0,2)$和$Q$是$Δ^2Q+(2-s_c)Q-|Q|^{p-1}Q=0$的基态.
2015-04-11 math.AP
Dynamics of subcritical threshold solutions for the 4d energy-critical NLS
该研究将4维能量临界NLS在基态能量下径向解的动力学结论（动能小于基态动能时要么双向散射要么为异宿轨道）推广至非径向情形。
2025-08-04 math.AP
Bounded Solutions to an Energy Subcritical Non-linear Wave Equation on R^3
在这项工作中，我们考虑一个能量亚临界半线性波动方程（$3 < p < 5$）\[ \partial_t^2 u - Δu = ϕ(x) |u|^{p-1} u, \qquad (x,t) \in {\mathbb R}^3 \times {\mathbb R} \]与初始数据$(u,u_t)|_{t=0} = (u_0,u_1)\in \dot{H}^{s_p} \times \dot{H}^{s_p-1}({\mathbb R}^3)$，其中$s_p = 3/2 - 2/(p-1)$和函数$ϕ: {\mathbb R}^3 \rightarrow [-1,1]$是一个径向连续的功能与极限在无穷远。我们证明了，除非椭圆方程$-ΔW = ϕ(x) |W|^{p-1} W$有一个非零的径向解$W \in C^2 ({\mathbb R}^3) \cap \dot{H}^{s_p} ({\mathbb R}^3)$，任何径向解$u$的临界Sobolev范数$\|(u(\cdot,t), \partial_t u(\cdot,t))\|_{\dot{H}^{s_p}\times \dot{H}^{s_p}({\mathbb R}^3)}$的最大寿命的所有$t$上的有限的一致上界必须是在时间和分散的整体解决方案。
2015-08-20 math.AP
The nonlinear Fourier transform for two-dimensional subcritical potentials
本文研究了Novikov-Veselov方程的逆散射方法，它适用于比以前所能处理的更大类的薛定谔势。以前的工作涉及所谓的导电型电位，它有一个有界的正解在零能量和疏集。我们放宽这个假设，包括在零能量的正解的几何增长。这些势在扰动下是稳定的。仅假设势在加权索伯列夫空间中是亚临界的且有两个弱导数，我们证明了相关的散射变换可以反演，并从散射数据恢复出原始势。
2013-12-02 math.AP
Symmetry for extremal functions in subcritical Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities
利用R{é}nyi熵的形式，建立了一类次临界Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式极值函数的对称域.通过极值函数，我们指的是实现不等式中的等式情况的函数，用最佳常数写成。该方法推广了最近关于临界Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式的结果。利用非线性扩散方程给出的变分方法，通过建立刚性定理，给出了对称性结果的变分证明：在对称区域内，所有正的临界点都具有径向对称性，因此在尺度和乘法下都等于唯一的正的径向临界点.这个结果是尖锐的。参数的条件确实是互补的条件，它决定了对称性破缺的区域作为径向最优函数的线性不稳定性的结果。与临界情况相比，亚临界范围需要新的工具。Fisher信息必须用R{é}nyi熵幂代替，并且由于一些不变性丢失，因此必须修改基于Emden-Fowler变换的估计。
2016-05-20 math.AP
Energy Distribution of Radial Solutions to Energy Subcritical Wave Equation with an Application on Scattering Theory
本文的研究对象是三维空间（$3\leq p<5$）中的半线性、能量亚临界、散焦波动方程$\partial_t^2 u - Δu = - |u|^{p -1} u$。我们将能量分解为向内和向外的能量，然后应用能流公式得到如下的能量渐近分布：除非溶液发生散射，否则其能量可分为两部分：“散射能”，它集中在光锥$|x|=|t|$周围，并以光速向无穷远处移动;“阻滞能”，当$|t|$较大时，它至少落后$|t|^β$一段距离。这里，$β$是小于$β_0(p) = \frac{2(p-2)}{p+1}$的任意常数。这个属性与一个更详细的版本的经典Morawetz估计的组合给出了一个散射的结果下，一个较弱的假设下的初始数据$(u_0,u_1)$比以前已知的结果。更准确地说，我们假设\[ \int_{{\mathbb R}^3} (|x|^κ+1)\left(\frac{1}{2}|\nabla u_0|^2 + \frac{1}{2}|u_1|^2+\frac{1}{p+1}|u|^{p+1}\right) dx < +\infty. \]这里$κ>κ_0(p) =1-β_0(p) = \frac{5-p}{p+1}$是一个常数。
2019-08-25 math.AP
Scattering for the cubic Schr{ö}dinger equation in 3D with randomized radial initial data
在欧几里得空间{ $\mathbb{R}^3$ }中，我们得到了三次散焦Schr{<$}dinger方程在某些超临界正则尺度下的几乎必然散射.由于我们没有做小性假设，我们的结果推广了B{é}nyi，Oh和Pocovnicu的工作。它还将Dodson，L{ü}hrmann和Mendelson关于{ $\mathbb{R}^4$ }中能量临界方程的结果推广到{ $\mathbb{R}^3$ }中的能量次临界方程.在后一种情况下，即使非线性杜哈梅尔项具有随机平滑效应，使其成为亚临界，它仍然具有无穷大的能量。在目前的工作中，我们首先发展了一个稳定性理论，从确定性散射的结果低于能量空间，由于Colliander，Keel，Staffilani，Takaoka和陶。然后，我们提出了一个全球化的论点，我们建立了一个Morawetz引导在随机设置的I-方法。据我们所知，这是第一个几乎肯定的散射结果的能量亚临界薛定谔方程以外的小数据制度。
2021-10-20 math.AP
Global well-posedness for the radial, defocusing, nonlinear wave equation for $3 < p < 5$
本文继续研究了径向初值位于临界索伯列夫空间的离焦能量亚临界非线性波动方程。在这种情况下，我们证明散射的临界范数时，$3 < p < 5$。
2018-10-05 math.AP
$H^1$ scattering for mass-subcritical NLS with short-range nonlinearity and initial data in $Σ$
我们考虑短程质量亚临界非线性薛定谔方程，我们证明了相应的解决方案与初始数据在$Σ$分散在$H^1$。因此，我们将Yajima和Tsutsumi证明的经典散射结果从$L^2$推广到了$H^1$，并给出了关于一阶矩散射的部分结果，以及Tsutsumi和Cazenave-Weissler关于$Σ$中散射的经典结果的一个透镜变换证明.
2021-11-15 math-ph math.AP math.MP
Solitary Waves and Dynamics for Subcritical Perturbations of Energy Critical NLS
本文考虑三维非线性薛定谔方程的扰动能量临界聚焦。我们构造了聚焦亚临界扰动和散焦超临界扰动的孤波解。该构造依赖于预解式展开，由于存在共振，该预解式展开是奇异的。专门为纯功率聚焦亚临界扰动，我们证明，通过变分参数，并为一定范围的权力，存在的基态孤波，然后被证明是以前构建的解决方案。最后，我们提出了一个动力学定理，其特点的命运径向对称的解决方案，其初始数据低于基态的行动。这类解在有限时间内要么发散，要么爆破，取决于其初始数据的某个函数的符号。
2019-04-24 math.AP
Small data scattering for energy-subcritical and critical Nonlinear Klein Gordon equations on product spaces
研究了具有适当纯幂非线性项的非线性Klein-Gordon方程的小数据点散射问题，该方程的解存在于具有$k\leq2$和$d\geq1$的$\mathbb{R}^d\times \mathcal{M}^k$上，且$\mathcal{M}^k$是紧致黎曼流形.作为特殊情况，我们将介绍$\mathbb{R} \times M^2$上的$H^1-$关键NLKG。
2016-03-22 math-ph math.AP math.MP
Scattering norm estimate near the threshold for the energy-subcritical NLS
本文研究了能量亚临界NLS在阈值附近散射范数的渐进行为，扩展了Duyckaerts-Merle在能量临界方程上的工作。
2025-12-07 math.AP
Analyticity and infinite breakdown of regularity in mass-subcritical Hartree scattering
研究了散焦质量亚临界Hartree NLS $iu_t + Δu = F(u) = (|x|^{-γ}*|u|^2)u$在$\mathbb{R}^d$，$d\geq 2$，$\frac{4}{3} < γ< 2$上解的渐近行为.我们证明了该方程的散射问题在加权空间$Σ= H^1\cap\mathcal{F}H^1$和$\mathcal{F}H^1$中是解析适定的。此外，我们表明，同样的问题未能在$L^2$的数据分析适定性。这就构成了加权空间和$L^2$中散射问题之间正则性的无限丧失。这进一步发展了作者早期的研究，在该研究中，作者证明了具有幂次非线性$F(u) = |u|^pu$的质量亚临界NLS的$L^2$散射问题的正则性有限崩溃。
2021-03-15 math-ph math.AP math.MP
Compactness of positive radial Solution Sets and corresponding $L^2$-Mass sets for "Zero Mass" Quasi-linear Schrödinger Equations
Institute of Mathematics, Jiaxing University（嘉兴大学数学研究所）；School of Mathematical Sciences, Capital Normal University（首都师范大学数学科学学院）；School of Mathematical Sciences, Shanxi University（山西大学数学科学学院）
针对N≥5的“零质量”拟线性薛定谔方程，研究两类正径向解集的紧性，证明最小能量正径向解集非空且紧，严格次临界情形下有限L²质量正径向解集也在L²空间中紧，证明依赖变换后方程解的一致衰减估计。
2026-08-28 math.AP
Global solutions for the zero-energy Novikov-Veselov equation by inverse scattering
利用逆散射方法，构造了Novikov-Veselov方程的整体解，其中初值q是实值衰减的，且薛定谔算子与位势q是非负的.这样的初始数据要么是临界的（对势的任意小的扰动使算子非正），要么是次临界的（对势的足够小的扰动保持算子的非负性）。在此之前，Lassas，Mueller，Siltanen和Stahel证明了临界势的整体存在性，也称为“导电型势”。“我们将他们的结果扩展到包括更大的亚临界势类。我们表明，亚临界势形成一个开集和临界势形成这个开集无处稠密的边界。我们的分析借鉴了第一作者以前的工作和P.G. Grinevich和S. V. Manakov.
2018-03-20 math.AP
Global existence, scattering and blow-up for the focusing NLS on the hyperbolic space
证明了双曲空间上能量亚临界聚焦非线性薛定谔方程的整体适定性、散射和爆破结果。我们特别表明存在一个关键的元素散射的所有能量亚临界功率非线性。对于质量超临界非线性，我们显示了散射与爆破二分法的径向解决方案的方程在低维，低于自然的质量和能量阈值的基态方程。证明是基于质量和能量，紧性和刚性的陷阱，并类似于欧几里得空间上的，一个新的论点，基于广义Pohozaev恒等式，以获得适当的单调性公式。
2014-11-14 math.AP
Global well-posedness and scattering for nonlinear Schr{ö}dinger equations with algebraic nonlinearity when $d = 2, 3$, $u_{0}$ radial
本文讨论了具有径向数据的$L^{2}$超临界和$\dot{H}^{1}$亚临界初值问题的整体适定性和散射性。我们证明了$H^{s}$，$s > s_{c}$中径向数据的整体适定性和分散性，其中问题是$\dot{H}^{s_{c}}$ -临界的.我们利用\cite{D2}的长时间Escherhartz估计来做到这一点。
2019-06-15 math.AP
Scattering for Defocusing generalized Benjamin-Ono Equation in the Energy Space
证明了离焦广义Benjamin-Ono方程在能量空间$H^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R})$中的散射。我们首先建立描述单向传播的单调性公式。更准确地说，它说，能量中心的移动速度比质量中心快。这种类型的单调性首先由Tao（DCDS 2007）在散焦gKdV方程中观察到。利用紧性矛盾论证的单调性，证明了能量空间$H^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R})$中的大数据量散射。在此基础上，我们将Vento的临界局域理论（IMRN 2010）扩展到亚临界区域。事实上，我们得到了亚临界局部理论和整体适定性的能量空间。
2018-01-20 math.AP
Global dynamics above the ground state for the energy-critical Schrodinger equation with radial data
考虑三维空间中聚焦能临界薛定谔方程，能量空间中具有径向初始数据。我们描述的所有解决方案的能量最多略大于基态，根据它是否停留在他们的邻居，在有限时间内爆破或散射的整体动力学。在类比的文件由施拉格和第一作者的亚临界方程，证明使用分析的双曲动力系统附近，他们和变分结构远离他们。对解进行分类的关键步骤是一遍引理。与亚临界情况的主要区别在于，必须引入一个标度参数来描述它们附近的动力学。在基态附近的分析中，人们必须通过引入一些正交条件来考虑这个参数。在证明单通道引理时，也必须考虑到这一点，通过比较变分区域和双曲区域中的贡献。
2015-10-15 math.AP
On the Damped Euler--Monge--Ampère equations with Radial Symmetry: Critical Thresholds and Large-Time Behavior
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
本文研究了带径向对称性的阻尼欧拉-蒙日-安普雷方程的临界阈值和大时间行为，发现线性阻尼可消除初始密度下界要求，实现全局正则性并证明亚临界初始数据的指数衰减。
2026-01-28 math.AP
Asymptotics for positive singular solutions to subcritical sixth order equations
对一类次临界六阶方程在穿孔球上正奇异解的局部渐近性态进行了分类。首先，使用一个版本的积分移动球技术，我们证明了解决方案是渐近径向对称的解决方案相对于原点。我们把我们的方法分为一些情况下，关于非线性的增长。一般来说，我们使用埃姆登-福勒变量变换将问题转化为柱面问题。在较低的临界状态下，这是不够的，因此，我们需要引入一个新的变量变换的概念。难点在于该坐标系中的柱偏微分方程是非自治的。尽管如此，我们定义了一个相关的非自治Pohozaev功能，它可以被证明是渐近单调的。此外，我们显示这两个泛函的先验估计，从中我们提取的紧性。有了这些成分，我们可以执行一个渐近分析技术来证明我们的主要结果。
2022-10-27 math.AP
On existence, uniqueness and radiality of normalized solutions to Schrödinger-Poisson equations with non-autonomous nonlinearity
本文研究了带非自治非线性项的Schrödinger-Poisson方程归一化解的存在性、唯一性和径向性，通过不同方法证明了不同情况下的解的存在性，并利用隐函数框架证明了小参数下的唯一性和径向性。
2026-08-04 math.AP
Scattering and blowup for $L^{2}$-supercritical and $\dot{H}^{2}$-subcritical biharmonic NLS with potentials
我们主要考虑具有大径向排斥势$V(x)$的聚焦双调和薛定谔方程：\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} iu_{t}+(Δ^2+V)u-|u|^{p-1}u=0,\;\;(t,x) \in {\bf{R}\times{\bf{R}}^{N}}, u(0, x)=u_{0}(x)\in H^{2}({\bf{R}}^{N}), \end{aligned}\right. \end{equation*}如果是$N>8$，\$1+\frac{8}{N}<p<1+\frac{8}{N-4}$（即$L^{2}$-超临界和$\dot{H}^{2}$-亚临界情况），以及某些$β>N+4$的$\langle x\rangle^β\big(|V(x)|+|\nabla V(x)|\big)\in L^\infty$，然后我们首先证明了径向数据$u_0\in H^2({\bf R}^N)$的一个全局适定性和散射结果，它满足$$ M(u_0)^{\frac{2-s_c}{s_c}}E(u_0)<M(Q)^{\frac{2-s_c}{s_c}}E_{0}(Q) \ \ {\rm{and}}\ \ \|u_{0}\|^{\frac{2-s_c}{s_c}}_{L^{2}}\|H^{\frac{1}{2}} u_{0}\|_{L^{2}}<\|Q\|^{\frac{2…
2018-10-16 math.AP
Blow-up for a weakly coupled system of semilinear damped wave equations in the scattering case with power nonlinearities
本文研究一类具有幂非线性项的阻尼半线性波动方程弱耦合系统在散射情形下解的爆破。我们应用迭代法研究亚临界和临界情况。在亚临界的情况下，我们的方法是基于局部解决方案的组件的空间平均值的下界。在关键的情况下，我们使用切片方法和一对夫妇的辅助功能，最近介绍了Wakasa-Yordanov，修改的定义的泛函的引入权项。特别地，我们发现非线性项中指数对（p，q）的临界曲线与具有幂非线性项的半线性波动方程的弱耦合系统的临界曲线相同。
2018-12-25 math.AP
Blow-up of a critical Sobolev norm for energy-subcritical and energy-supercritical wave equations
本文研究三维空间中的半线性波动方程，其非线性项为大于立方项，而非五次项（即非能量临界）。我们证明了任何非散射解的尺度不变的Sobolev范数在存在的最大时刻趋于无穷大。这是对能量亚临界和能量超临界波动方程已知结果的改进，并给出了统一的证明。证明依赖于能量方法的通道，如在arXiv：1204.0031中，在arXiv：1506.00788中引入的加权尺度不变的索伯列夫空间中。这些空间是局部的，因此适用于有限的传播速度，并与线性波动方程的守恒律有关。我们还构造了自适应剖面分解。
2017-03-15 math.AP
Lyapunov inequalities for Partial Differential Equations at radial higher eigenvalues
本文研究了线性偏微分方程径向高特征值的$L_{p}$ Lyapunov型不等式（$ \ 1 \leq p \leq +\infty$）.更准确地说，我们处理的情况下，诺依曼边界条件的球在$\real^{N}$。证明了$p$和$N/2$之间的关系对获得非平凡的最优的李雅普诺夫不等式起着至关重要的作用。通过采用适当的极小化序列，并对径向非平凡解的零点个数和分布进行了详细的分析，我们发现了在亚临界、超临界和临界情况下，径向非平凡解的性质存在显著的差异.
2011-09-23 math.AP
Scattering for the radial 3d cubic wave equation
考虑具有聚焦或散焦符号的1+3维径向三次波动方程的柯西问题。这个问题在$\dot{H}^{\frac{1}{2}} \times \dot{H}^{-\frac{1}{2}}$中是关键的，并且相对于守恒能量是次关键的。在这里，我们证明了，如果一个解决方案的临界范数仍然有界的最大时间间隔的存在，那么该解决方案实际上必须是全球的时间和分散的自由波$t \to \pm \infty$。
2014-11-27 math.AP
Large global solutions for nonlinear Schrödinger equations I, mass-subcritical cases
本文考虑非线性薛定谔方程$$ i\partial_{t}u+Δu= μ|u|^p u, \quad (t,x)\in \mathbb{R}^{d+1}, $$与$μ=\pm1, p>0$ .在这项工作中，我们考虑的质量亚临界的情况下，即，$p\in (0,\frac4d)$。证明了在对$d,p$的某些限制条件下，临界空间$\dot H^{s_c}(\mathbb{R}^d)$中的任意径向初值在紧支集下都蕴含全局适定性.
2021-08-01 math-ph math.AP math.MP
Global well-posedness and scattering for the defocusing $H^{\frac12}$-subcritical Hartree equation in $\mathbb{R}^d$
在$\mathbb{R}^d$，$d\geq 3$中证明了具有低正则性数据的散焦$H^{\frac12}$ -亚临界（即$2<γ<3$）Hartree方程的整体适定性和散射性.准确地说，我们表明，一个唯一的和全球性的解决方案存在的Sobolev空间$H^s\big(\mathbb{R}^d\big)$与$s>4(γ-2)/(3γ-4)$，这也分散在两个时间方向上的初始数据。这改进了\cite{ChHKY}中的结果，其中为任何$s>\max\big(1/2,4(γ-2)/(3γ-4)\big)$建立了全局适定性。在我们的证明中的新成分是，我们使用的相互作用Morawetz估计的平滑的解决方案$Iu$，而不是一个相互作用Morawetz估计的解决方案$u$，我们仔细分析的单调性性质的乘数$m(ξ)\cdot < ξ>^p$。作为我们的证明的副产品，我们得到的$H^s$规范的解决方案服从统一的时间界限。
2008-05-22 math-ph math.AP math.MP
Uniqueness and convergence on equilibria of the Keller-Segel system with subcritical mass
本文研究了非局部半线性椭圆型方程\begin{equation}\label{ellip}\tag{$\ast$} Δu-βu+λ\frac{e^u}{\int_Ωe^u}=0~\mathrm{in}~Ω, \end{equation}解的唯一性，其中$Ω$是$\mathbb{R}^2$中的有界区域，$β, λ$是正参数.上述方程作为描述趋化性的著名经典Keller-Segel模型的定态问题而出现。对于具有Neumann边界条件的方程\eqref{ellip}，建立了一个积分不等式，证明了当$0<λ\leq 8π$和$u$满足某些对称性质时，（\ref{ellip}）的解是唯一的.而对于具有Dirichlet边界条件的\eqref{ellip}，在没有对称条件的情况下，通过最近的一些工作[19，21]的启发，采用不同的方法得到了相同的唯一性结果。作为唯一性结果的一个应用，我们证明了当$Ω$是二维圆盘时，具有次临界质量的经典Keller-Segel系统在Neumann边界条件下的径向对称解将随着时间趋于无穷而收敛到唯一的常数平衡点.据我们所知，这是第一个证明二维亚临界质量经典Keller-Segel系统解的精确渐近性的结果。
2018-04-11 math.AP
On the subcritical Lane-Emden equation on Riemannian models with polynomial volume growth
研究了具有多项式体积增长的黎曼流形上亚临界兰恩-埃门德方程的解的存在性和非存在性，揭示了不同区域下的解行为差异。
2025-12-19 math.AP math.DG
Blow-up behavior outside the origin for a semilinear wave equation in the radial case
本文研究了具有共形次临界幂非线性项的径向半线性波动方程。如果我们考虑一个不同于原点的爆破点，那么我们给出了一个新的Lyapunov泛函，它是一维情形的扰动，并且推广了我们以前在一维情形下的所有结果.特别地，我们证明了非零非特征点附近的爆破集是$C^1$类的，并且对于任何$R>1$，特征点集都是由$\{\frac 1R \le |x|\le R\}$中有限个同心球面构成的.
2011-02-07 math.AP
The Lane-Emden equation with variable double-phase and multiple regime
本文研究了具有变指数Dirichlet边界条件的Lane-Emden方程。本文的特点是，我们开发的分析不假设任何亚临界假设和反应可以满足混合制度（亚临界，临界和超临界）。我们考虑径向和非径向的情况下，以及一个奇异的设置。证明结合变分和分析方法的一个版本的宫原则的对称临界。
2020-02-06 math.AP
Scattering below the ground state for the intercritical non-radial inhomogeneous NLS
本文考虑具有$N\geq 2$，$0<b<\min\{\tfrac{N}{2},2\}$和$\tfrac{4-2b}{N}<α<\tfrac{4-2b}{N-2}$的聚焦非齐次非线性薛定谔方程\[ i\partial_t u + Δu + |x|^{-b}|u|^αu = 0\quad\text{on}\quad\mathbb{R}\times\mathbb{R}^N, \].这些约束使方程的质量-超临界和能量-亚临界。推广了Farah-Guzmán和Miao-Murphy-Zheng的结果，证明了在一般初始条件下基态以下的散射.
2020-07-13 math.AP
A new transformation for the subcritical fast diffusion equation with source and applications
本文提出一种关于带空间非齐次源项次临界快速扩散方程径向对称解的新变换，并利用其在临界指数间的对称性分类有限时间爆破与非爆破自相似解。
2025-02-14 math.AP
Increasing variational solutions for a nonlinear $p$-laplace equation without growth conditions
利用最近的变分技巧，证明了一类含$p$ -Laplace算子的非线性问题径向单调解的存在性.不需要次临界条件（在索伯列夫空间的意义上）。
2010-09-15 math.AP
Existence of a ground state and scattering for a nonlinear Schroedinger equation with critical growth
研究了能量亚临界微扰下的能量临界聚焦非线性薛定谔方程。我们证明了在四维或更高维中基态的存在。此外，我们给出了一个充分和必要条件的解决方案分散，在精神的Kenig-Merle [16]。
2011-12-05 math.AP
