Counting the spanning trees of the 3-cube using edge slides
我们给出了一个直接的组合证明的已知事实，即3-立方体有384个生成树，使用“边幻灯片”操作的生成树。在n=3的情况下，这就回答了斯坦利隐含提出的一个问题。我们的论点也给出了一个双射证明n=3的情况下，加权计数的生成树的n-立方体由于马丁和雷纳。
2012-10-02 math.CO
On some explicit integrals related to "fractal foothills"
本文通过将无限随机游走的完整环计数函数简化为仅计数返回原点的部分环计数函数V，推导出与V相关的多种积分的闭式表达式，并进一步揭示了完整环计数函数与伯努利多项式之间的联系。
2025-08-25 math.CA math.CO math.FA
Counting Isomorphism Classes of Spanning Trees of Complete Bipartite Graphs
Auburn University（奥本大学）
本文研究了完全二分图生成树的同构类计数问题，通过整数划分理论给出了下界和上界的结果。
2026-03-02 math.CO
Formulas counting spanning trees in line graphs and their extensions
对任意连通多重图$G=(V,E)$和任意$M\subseteq E$，若$M$诱导出$G$的一个无圈子图，且去掉$M$中的所有边得到$G$的一个分支为完全图的子图，则得到了$τ_G(M)$的一个公式，其中$τ_G(M)$是$G$中包含$M$中所有边的生成树的个数.应用这个结果，我们可以很容易地得到任意图的线图或中间图的生成树个数的公式。应用这一结果，我们还表明，任何连通图$G$与一个团$U$是$G$的割集，在$G$的生成树的数量有一个因子分解，这是类似于色多项式的性质$G$。
2019-07-17 math.CO
The Kirchhoff's Matrix-Tree Theorem revisited: counting spanning trees with the quantum relative entropy
通过重新讨论Kirchhoff矩阵树定理，我们给出了一个图的生成树个数的精确公式，它是由图的最大混合态与另一个态之间的量子相对熵来表示的.我们使用量子相对熵的性质来证明紧边界的基本参数，如度和顶点数的生成树的数量。
2011-02-11 cs.IT math.CO math.IT
Counting the spanning trees of a directed line graph
有向图G的线图LG对G的每条边都有一个顶点，对G中每条长度为2的路都有一条边。1967年，克努特利用矩阵树定理证明了LG的生成树个数的一个公式，并要求给出双射证明。本文给出了Levine推广Knuth公式的生成函数恒等式的一个双射证明。作为这个证明的结果，我们找到了一个双射之间的二进制de Bruijn序列的程度n和二进制序列的长度为2^{n-1}。最后，我们确定了所有Kautz图和de Bruijn图的临界群，推广了Levine的一个结果。
2009-10-19 math.CO
Counting Spanning Trees of Threshold Graphs
Cayley公式指出，在完全图的$n$顶点上存在$n^{n-2}$生成树;在其150年的历史中，已经用十几种不同的方法证明了这一点。完全图是阈值图的一种特殊情况，利用梅里斯定理和矩阵树定理，有一个非常简单的公式来计算阈值图中$n$顶点上的生成树的数目;它只是$i=2,3, ...,n-1$上度至少为$i$的顶点数的乘积。在这篇手稿中，我们提供了一个直接的组合证明这个公式，不使用矩阵树定理，证明是一个扩展的Joyal的凯莱公式的证明。然后，我们应用这种方法，给出了一个公式的生成树的数量在任何差异图。
2013-01-08 cs.DM math.CO
Counting and Hausdorff measures for integers and $p$-adic integers
本文利用 $p$-进整数的分形结构研究整数集合，建立计数测度界、计数维数与盒计数维数关系，并给出整数集为闭集投影的充要组合条件。
2024-08-06 math.CO math.DS math.NT
Counting oriented spanning trees in generalized join digraphs
Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）
本文提出了一种方法，用于在广义连接有向图中计数定向生成树，并给出了具有固定根的定向生成树的计数公式。
2026-07-15 math.CO
Counting Plane Graphs: Perfect Matchings, Spanning Cycles, and Kasteleyn's Technique
我们推导出改进的上界的交叉自由直边生成循环（也称为汉密尔顿旅游和简单的pathizations），可以嵌入在任何特定的一组$N$点在平面上的数量。更具体地说，我们限制了可以嵌入点集的生成环（或完美匹配）的数量与可以嵌入点集的三角剖分的数量之间的比率。相应的界限是循环的$O(1.8181^N)$和匹配的$O(1.1067^N)$。这意味着一个新的上限$O(54.543^N)$的交叉自由直边跨越循环的数量，可以嵌入在任何特定的一组$N$点在平面上（改进以前的最佳上限$O(68.664^N)$）。我们的分析是基于Kasteleyn的线性代数技术。
2011-09-26 cs.DM math.CO
A Beginner's Guide to Counting Spanning Trees in a Graph
在这篇文章中，我们提出了著名的Kirchoff矩阵树定理的证明，该定理将连通图中的生成树的数量与其组合拉普拉斯矩阵的余因子（和特征值）联系起来。这是一个165岁的结果在图论和证明是概念上简单。然而，这个结果的优雅之处在于它连接了线性代数和图论中许多明显不相关的概念。我们的动机背后的这项工作是使证明访问任何人与初学者\slash中级掌握线性代数。因此，在本文中，我们提出了导致最终结果的每一个论点的证明。例如，我们证明了行列式的基本性质，特征多项式的根（即特征值）与子式的关系，Cauchy-Binet公式，行列式的Laplace展开式等。
2012-08-01 cs.DM math.CO math.SP
Automated Counting of Spanning Trees for Several Infinite Families of Graphs
本文通过实验数学方法，利用矩阵树定理和有理函数拟合，高效计算了几类无限图族的生成树数量。
2026-03-12 math.CO
The cavity method for counting spanning subgraphs subject to local constraints
利用测度的负结合理论和稀疏图的随机弱极限的概念，建立了计算渐近树型图中受局部约束的生成子图的空洞方法的有效性.具体地说，相应的自由熵密度收敛沿任何序列的图，其随机弱极限是一棵树，和限制直接表示的唯一解决方案的限制腔方程。在Galton-Watson树上，后者简化为一个递归分布方程，可以显式求解。作为例子，我们给出了平均度固定且大小发散的Erdens-Rényi随机图的$b-$匹配数的一个显式极限公式，对于任意$b\in\mathbb N$ .
2011-03-16 math-ph math.CO math.MP
Counting two-forests and random cut size via potential theory
本文利用势论方法，通过顶点数、边数和生成树数给出生成双森林数量的下界，并由此得到随机双森林平均割大小的上界。
2023-08-07 math.CO math.DG math.PR
Counting trees in a graph
本文讨论了图的生成树个数的一个递归公式。这篇论文主要是为学生写的。
2018-03-10 math.CO math.HO
On some explicit integrals related to "fractal mountains"
循环计数函数$U(x)$估计$x\in[-1,1]$的数字表示中的“加权”循环的数目。粗略地说，每个$x$被认为是一个无限行走，其中行走的步骤对应于$x$的数字。循环计数函数$U$的图形具有类似于复杂山地景观的分形结构。在某种意义上，$U$允许我们全局地观察随机游动。由于自回避随机游动与$U(x)$的零点密切相关，这些函数在分析与自回避随机游动（SAW）分布有关的一些困难问题时可能是有用的.这里我们注意到，$U(x)$可以自然地扩展为多维变元$x$。在这篇文章中，重点将放在一些分析方面。它将表明，积分$\int x^AU(x)^Bdx$与非负整数$A$和$B$可以表示为整数系数的有理函数的积分。此外，它将表明，$\int x^A U(x)dx$承认封闭形式的表达式。还计算了$U$的傅立叶级数。最后，我们讨论了与特殊函数和广义连分式的一些联系，以及其他观点。
2021-08-08 math.CA math.CO math.FA
Counting spanning quasi-trees of ribbon graphs: determinants and #P-completeness
研究连通带状图拟树计数问题，证明其在多项式时间图灵归约下是#P完全的，还通过带框Cohn - Lempel等式等将计数与交错多项式求值联系起来，同时给出可定向带状图等情形的行列式证明。
2026-08-04 cs.CC math.CO
Spanning Trees in Grid Graphs
在Desjarlais、Molina、Faase等人的工作基础上，得到了计算任意图与路径或圈的乘积的图的生成树的数目的一般方法，其中网格图是其子类。结果得到有关递归获得这种方式，并发现许多新的整数序列。
2008-09-15 math.CO
An Extremal Problem on Rainbow Spanning Trees in Graphs
如果边有色图的每条边都具有不同的颜色，则它的生成树是彩虹图。本文考虑图$G$中彩虹生成树个数的最大化和最小化的自然极值问题。这样的问题显然需要对着色进行限制才有意义。对于边着色使用$n-1$颜色和没有彩虹周期，在文献中称为JL着色，原来是一个特别好的方式计数的彩虹生成树，我们完全解决了这个问题的JL着色完全图$K_n$和完全二部图$K_{n,m}$。在这两种情况下，我们发现严格的上限和下界，特别是$K_n$的下界，证明有一个意想不到的混乱和有趣的行为。我们进一步研究了这个问题的一般图的JL-着色，并证明了几个结果，包括表征图的JL-着色实现最低可能的彩虹生成树的数量。我们建立其他结果一般$n-1$着色，包括提供一个类似的基尔霍夫的矩阵树定理，产生一种方式计数彩虹生成树在一般的图形$G$。
2020-08-06 math.CO
Counting spanning subgraphs in dense hypergraphs
提出一种简单方法估计高最小度数超图中生成子图副本数量，证明了在渐近最优最小余度界下包含特定数量Hamilton圈的条件，并简化或推广了已有结果。
2023-09-12 math.CO
Counting Near-Spanning Matchings in Latin Squares and Steiner Triple Systems
Georgia State University（佐治亚州立大学）
本文证明了拉丁方和斯坦纳三元系中近生成匹配的精确计数结果，给出了指数级数量的部分横截和匹配，证实了相关猜想和预测。
2026-09-11 math.CO
Counting dimer coverings on self-similar Schreier graphs
我们研究了二聚体模型在有限图族上的分拆函数，这些图族收敛到无限自相似图，并形成对某些著名分形的逼近序列。我们考虑的图是由有根树上的自同构生成的有限生成群的作用提供的，因此它们的边自然地由群的生成元标记。因此，很自然地考虑这些图上的权函数根据标记取不同的值。我们详细研究了著名的例子河内塔组$H^{(3)}$，密切相关的Sierpienski垫片。
2011-09-12 math.CO
On $Q$-deformations of Postnikov-Shapiro algebras
对于任意给定的无环图$G$，我们引入了它的Postnikov-Shapiro代数的$Q$ -变形，计数生成树，计数生成森林和$G$的内部代数的$Q$ -变形.我们确定了代数的总维度;我们的证明还给出了通常的Postnikov-Shapiro代数的总维度公式的新证明。进而构造了$G$的通常内代数的“无平方”定义。
2017-08-22 math.AC math.CO
Counting spanning trees of the hypercube and its $q$-analogs by explicit block diagonalization
图$G$的生成树的数目称为$G$的{ \em复杂度}，记为$c(G)$。令C（n）表示维数为$n$的{ \em（binary）hypercube}。枚举组合学中的一个经典结果（基于显式对角化）指出，$c(C(n)) = \prod_{k=2}^n (2k)^{n\choose k}$。在本文中，我们使用显式块对角化的方法来推导公式的复杂性的两个$q$ -类似物的C（n），{ \em非二进制超立方体} $\Cq(n)$，定义为$q\geq 2$，和{ \em向量空间模拟的超立方体} $\Cfq(n)$，定义为素数权力$q$。我们考虑布尔代数的非二进制和向量空间类似物。在这两种情况下，我们证明了存在一个正交（相对于标准内积）的分次Jordan基（相对于上算子），并且我们写出了Jordan链中连续向量长度之比的显式公式（即，奇异值）。关于这些基（的归一化），$\Cq(n)$和$\Cfq(n)$的拉普拉斯算子块对角化，在非二进制情况下具有二次多个不同的块，在向量空间情况下具有线性多个不同的块，并且每个块明确地写下已知多重性和大小至多$n+1$的实对称三对角矩阵。在非二进制的情况下，我们进一步确定块的特征值，通过显式写出特征向量，得到$c(\Cq(n))$的显式公式（即使在二进制的情况下，这个证明也会产生新的信息）。在向量空间的情况下，我们一直无法确定块的特征值，但我们给出了一个有用的公式$…
2011-04-08 math.CO
Bijective counting of tree-rooted maps and shuffles of parenthesis systems
树根映射，即具有一个特殊生成树的平面映射，其大小为$n$的个数为C（n）C（n+1），其中C（n）=二项式（2n，n）/（n+1）是第n个Catalan数。我们提出了一个（期待已久的）简单的双射解释了这一结果。我们证明了我们的双射是同构于前递归结构上的括号系统由于科里，Dulucq和Viennot洗牌。
2006-01-27 math.CO
Tree-width and Logspace: Determinants and Counting Euler Tours
受[EJT 10]最近的结果表明MSO性质在有界树宽的图上是Logspace可计算的启发，我们考虑了计算有界树宽图的邻接矩阵的行列式的复杂性，并证明了它是L-完全的。重要的是要注意，行列式既不是MSO性质，也不计算MSO谓词的解的数量。我们将这种方法推广到计算有界树宽有向图中生成树和有向欧拉图的数量，并进一步计算无向图中生成树的数量和欧拉图的数量，所有这些都在L中。请注意，无向欧拉旅行并不是MSO-可表达的，相应的计数问题实际上对一般图来说是P-困难的。直到最近Chebolu等人[CCM 13]才知道在有界树宽图中计数无向欧拉旅行是多项式时间可计算的，并给出了解决该问题的多项式时间算法（与本工作同时且独立）。最后，我们还给出了行列式算法的一些线性代数推广，以说明如何计算L中有界树宽图的特征多项式和幂的迹。
2013-12-31 cs.CC cs.DS math.CO
