Regularity properties for solutions of infinite dimensional Kolmogorov equations in Hilbert spaces
本文建立了无穷维Kolmogorov方程解的正则性。证明了若Kolmogorov方程的非线性漂移系数、非线性扩散系数和初始条件是$n$ -次连续Fréchet可微的，则其广义解在每个正时刻都是连续Fréchet可微的.此外，这项工作的一个关键贡献是证明适当的增强正则性的Kolmogorov方程的广义解的衍生物的意义上的主导线性算子的漂移系数的Kolmogorov方程正规化的高阶导数的解决方案。这种增强的规律性性质是非常重要的建立弱收敛速度的空间和时间的随机偏微分方程的数值逼近。
2016-11-03 math.AP math.PR
Optimal control of nonlinear stochastic differential equations on Hilbert spaces
本文考虑希尔伯特空间H上具有非凸支付的非线性随机方程所支配的最优控制问题，将其改写为H上Kolmogorov方程所支配的确定性最优控制问题.证明了上述控制问题闭环最优控制的存在性和一阶必要条件。该策略是基于解决一个确定性的双线性最优控制问题，相应的Kolmogorov方程的空间$L^2(H,ν)$，其中$ν$是相关的无穷小不变测度的Kolmogorov运营商。
2019-12-13 math.PR
Smoothing effects and maximal Hölder regularity for non-autonomous Kolmogorov equations in infinite dimension
证明了可分希尔伯特空间中一类由不定常Ornstein-Uhlenbeck算子驱动的非自治发展方程的光滑性质和最优Schauder型估计.它们作为具有高斯噪声的线性非自治随机微分方程的Kolmogorov方程出现。
2021-11-09 math.AP math.PR
Differentiability of backward stochastic differential equations in Hilbert spaces with monotone generators
研究了无穷维中具有单调生成元的倒向随机微分方程解的正则性。我们展示了非线性Kolmogorov方程和随机最优控制的一些应用。
2006-03-17 math.PR
Kolmogorov equations for measures
考虑可分希尔伯特空间$H$上一致连续有界函数的巴拿赫空间$C_b(H)$中的算子半群.特别是，我们处理的半群是相关的随机偏微分方程的解决方案，在$H$和不，在一般情况下，强连续的。我们证明了一个涉及这类半群的测度值方程的存在唯一性结果。然后将所得结果应用于$C_b(H)$中的一大类二阶微分算子.
2007-03-22 math.AP math.PR
Existence and uniqueness of solutions for Fokker-Planck equations on Hilbert spaces
考虑了希尔伯特空间中系数依赖于时间的随机微分方程，其解的存在性和唯一性尚未得到普遍的结果.在适当的假设下，我们证明了相应的Fokker-Planck方程测度值解的存在唯一性.特别地，我们验证了Chapman-Kolmogorov方程，得到了由随机微分方程非正式给出的随机动力学转移概率的演化系统.
2009-07-09 math.PR
BSDEs with stochastic Lipschitz condition and quadratic PDEs in Hilbert spaces
本文研究了由圆柱Wiener过程驱动的具有二次生成元的实值倒向随机微分方程解的可微性.这个问题的主要新颖之处在于这样一个事实，即梯度方程的二次BMO有发电机满足随机利普希茨条件涉及BMO鞅。我们展示了非线性Kolmogorov方程的一些应用。
2007-01-29 math.PR
Kolmogorov equations for stochastic Volterra processes with singular kernels
本文为具有奇异卷积核的随机Volterra方程建立Kolmogorov方程，通过Hilbert空间和SPDE联系，证明期望满足倒向方程，并给出幂律核下的适定性条件。
2025-09-25 math.AP math.PR q-fin.MF
Deep Hilbert--Galerkin Methods for Infinite-Dimensional PDEs and Optimal Control
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Institut für Mathematik, Technische Universität Berlin（柏林技术大学数学研究所）
本文提出基于深度学习的近似方法，用于分离希尔伯特空间上的非线性二阶偏微分方程，如无限维控制的HJB方程，通过参数化解的希尔伯特-伽辽金神经算子（HGNOs）证明了新的通用逼近定理，解决了相关问题。
2026-03-19 cs.LG cs.NA math.AP
Improved moment estimates for invariant measures of semilinear diffusions in Hilbert spaces and applications
研究了可分希尔伯特空间中半线性扩散的不变测度的正则性。基于潜在的随机卷积的路径估计，我们证明了这样的不变测度的先验估计。作为应用，我们结合这样的估计与一个新的技术来证明的$L^1$ -唯一性的诱导Kolmogorov算子，定义在空间上的柱面函数。最后，随机Burgers方程和薄膜生长模型的例子来说明我们的抽象结果。
2010-03-11 math.FA math.PR
Singular stochastic equations on Hilbert spaces: Harnack inequalities for their transition semigroups
在[Da Prato，Röckner，PTRF 2002]的框架下考虑了希尔伯特空间中具有奇异漂移的随机方程.证明了其转移半群的Harnack不等式（在[Wang，PTRF 1997]的意义下），并利用其结果.特别地，我们证明了转移半群的正则化和超有界性，以及相应的Kolmogorov算子至多有一个无穷小不变测度$μ$（满足一些温和的可积性条件）.最后，我们证明了非连续漂移的这种测度$μ$的存在性。
2009-01-13 math.FA math.PR math.SP
Path continuity of Markov processes and locality of Kolmogorov operators
证明了如果给定一个cadlag马尔可夫过程的生成元和一个状态空间中的开域$G$，且该生成元在一个充分丰富的检验函数类$\mathcal{C}$上具有以适当方式表示的局部性质，则马尔可夫过程通过$G$时具有连续路径.这个结果对任何只在$\mathcal{C}$上与生成元有关的马尔可夫过程都成立。这指出过程的路径连续性是由生成器作用于足够多的检验函数而加密的先验性质，并且该性质在许多情况下可以容易地检查。该方法使用了潜在的理论工具，并涵盖了与（可能依赖于时间的）二阶积分-微分算子（例如，通过鞅问题）定义在希尔伯特空间或测度空间中的域上。
2022-08-11 math.PR
Measure-valued equations for Kolmogorov operators with unbounded coefficients
给定可分实Hilbert空间H，考虑测度值方程\begin{equation*} \int_Hϕ(x)μ_t(dx)- \int_Hϕ(x)μ(dx)= \int_0^t(\int_HK_0ϕ(x)μ_s(dx))ds, \end{equation*}，其中K_0是Kolmogorov微分算子\[ K_0ϕ(x)=\frac12\textrm{Trace}\big[BB^*D^2ϕ(x)\big]+< x,A^*Dϕ(x)>+< Dϕ(x),F(x)>, \] $x\in H$，$ϕ:H\to \Rset$是合适的光滑函数，$A:D(A)\subset H\to H $是线性的，$F:H\to H$是全局Lipschitz函数，$B:H\to H$是线性连续的.为了证明上述方程解的存在唯一性，我们证明了$K_0$是H中某个随机微分方程解的无穷小生成元的一个核.我们还将上述结果推广到一类具有多项式非线性项的反应扩散算子.
2007-07-21 math.AP math.PR
On the Kolmogorov equation associated with Volterra equations and Fractional Brownian Motion
本文研究由Riemann-Liouville型分数布朗运动扰动的Volterra方程所对应的SPDE，通过扩展漂移算子及其Fréchet微分证明Markov随机流的二次可微性，并据此在无穷维微积分意义下求解路径依赖Kolmogorov方程，同时指出温和形式分析中的未解障碍。
2023-09-24 math.PR
A sharp rate of convergence for the empirical spectral measure of a random unitary matrix
研究了随机$N \times N$酉矩阵的经验谱测度的收敛性.给出了单位圆上的谱测度与均匀测度之间的Kolmogorov距离的上、下界，证明了单位圆上的谱测度与均匀测度之间的Kolmogorov距离是$\log N / N$阶的，这是期望的，也是几乎必然的.这特别意味着，Kolmogorov距离的收敛比$L_1$ -Kantorovich距离的收敛更慢。证明依赖于特征值过程的行列式结构。
2017-03-27 math-ph math.MP math.PR
Essential m-dissipativity and hypocoercivity of Langevin dynamics with multiplicative noise
我们提供了一个完整的阐述$L^2$ -希尔伯特空间hypovivity定理的退化Langevin动力学与乘性噪声，研究的长期行为的强连续压缩半群解决抽象柯西问题的相关向后Kolmogorov算子。Dolbeault，Mouhot和Schmeiser在相应的Fokker-Planck框架下证明了具有常数扩散矩阵的Langevin动力学的假设性，Grothaus和Stilgenbauer在Kolmogorov向后设置下证明了该假设性。我们将这些结果推广到弱可微的扩散系数矩阵，在相应的随机微分方程中引入乘性噪声。收敛的收敛速率是根据这些系数的选择和给出外力的势显式计算的。为了得到抽象Cauchy问题的解，我们首先利用Bogachev，Krylov和Röckner的椭圆正则性结果和技巧证明了希尔伯特空间上非退化椭圆Dirichlet算子的本质自伴性.利用算子扰动理论得到了Kolmogorov算子的本质m-耗散性，推广了Conrad和Grothaus的m-耗散性结果.我们强调，选择Kolmogorov方法是自然的，广义Dirichlet形式的理论意味着随机表示的Langevin半群的过渡内核的扩散过程提供了一个鞅解的Langevin方程乘性噪声。此外，我们证明了即使是一个弱解是获得这种方式。
2022-05-24 math-ph math.FA math.MP
An optimal regularity result for Kolmogorov equations and weak uniqueness for some critical SPDEs
证明了临界SPDE $$ dX_t = AX_t dt + (-A)^{1/2}F(X(t))dt + dW_t,\;\; X_0 =x \in H, $$的唯一性定理，其中$A$ $ : dom(A) \subset H \to H$是可分Hilbert空间$H$上的一个负定自伴算子，且$H$上的一个圆柱Wiener过程具有迹类$A^{-1}$.这里，$F: H \to H $可以是连续的，最多线性增长（也可以考虑增长超过线性的一些函数$F$）。这导致新的唯一性结果的广义随机Burgers方程和三维随机Cahn-Hilliard型方程有有趣的应用。为了得到弱唯一性，我们还建立了Kolmogorov方程$ λu - Lu = f$在$H$上的一个新的最优正则性结果，其中$λ>0$，$ f: H \to {\mathbb R}$是Borel有界的，$L$是当$F=0$时与SPDE相关的Ornstein-Uhlenbeck算子.特别是，我们表明，一阶导数$Du : H \to H$验证$Du(x) \in \text{dom}((-A)^{1/2})$，对于任何$x \in H,$，而且$$ \sup_{x \in H} |(-A)^{1/2}Du (x)|_H = \| (-A)^{1/2}Du \|_{0} \le C \, \| f\|_{0}. $$
2021-02-23 math.PR
Hypocoercivity for Kolmogorov backward evolution equations and applications
在这篇文章中，我们扩展了现代的，强大的和简单的抽象希尔伯特空间的战略，证明hypocolvity最初已开发的Dolbeault，Mouhot和Schmeiser。众所周知，hypovervity方法意味着一个指数衰减到平衡与明确的可计算的收敛速率。本文推广到研究由退化Kolmogorov向后算子L生成的强连续半群的长时间行为。此外，我们引入了几个领域的问题的框架。证明假言性的必要条件只需在L的某个固定算子核上加以验证。此外，该设置还适合于覆盖存在和作图题，如在许多应用中所需要的。该方法适用于各种不同的Kolmogorov向后演化问题。作为主要部分，我们将扩展框架应用于（退化）球速度Langevin方程。后者可以被看作是某种类似的经典朗之万方程的情况下，球面速度是必需的。该模型具有重要的工业意义，描述了非织造布生产过程中的纤维铺放。为了构造强连续压缩半群，我们利用现代亚椭圆性工具和扰动理论。
2012-07-23 math-ph math.AP math.FA
Kolmogorov equations on spaces of measures associated to nonlinear filtering processes
本文针对随机滤波中的测度值过程，在不假设密度存在的条件下直接于正测度与概率测度空间建立抛物型后向 Kolmogorov 方程，并证明经典解的存在唯一性。
2023-04-20 math.AP math.PR
Correction to "An optimal regularity result for Kolmogorov equations and weak uniqueness for some critical SPDEs"
本文证明了临界SPDE \begin{eqnarray} \label{qq1} dX_t = AX_t dt + (-A)^{1/2}F(X(t))dt + dW_t,\;\; X_0 =x \in H, \end{eqnarray}的唯一性定理，其中$A$ $ : \text{dom}(A) \subset H \to H$是可分Hilbert空间$H$上的一个负定自伴算子，$H$具有迹类的$A^{-1}$，$W$是$H$上的一个圆柱Wiener过程.这里$F: H \to H $可以是局部Hölder连续的，至多线性增长（也可以考虑一些增长超过线性的函数$F$）。这导致新的唯一性结果的广义随机Burgers方程和三维随机Cahn-Hilliard型方程有有趣的应用。我们不知道唯一性是否在PDMATHAMT连续性的唯一假设下成立，加上[Priola，Ann. of Prob. 49（2021）]中所述的生长条件。当$F = z \in H$为常数且$λ>0$为常数时，为了得到弱唯一性，我们对与SPDE相关的Kolmogorov方程$ λu - L u = f$使用无穷维局部化原理和最优正则性结果.这个最佳结果类似于[Da Prato，J. Evol.当量3（2003）]。
2022-10-13 math.PR
Regularization and Asymptotic Behaviour of Ornstein-Uhlenbeck Evolution Operators in Infinite Dimension
研究无限维奥恩斯坦-乌伦贝克演化算子性质，通过分析其在希尔伯特空间中关于高斯测度的情况，确定该算子关于时间的最优收敛速率，并给出依赖于柯尔莫哥洛夫方程漂移项的最优性准则。
2026-07-13 math.AP math.PR
Uniqueness for solutions of Fokker-Planck equations on infinite dimensional spaces
我们发展了一种一般的技巧来证明无穷维空间上Fokker-Planck方程解的唯一性。我们通过对希尔伯特空间中具有非正则系数的Kolmogorov算子的Fokker-Planck方程的非退化或退化二阶部分的求解来说明这种方法。
2010-03-22 math.PR
Time changed spherical Brownian motions with longitudinal drifts
本文研究带纵向漂移的二维球面扩散过程的时间变换，通过谱分解法求解时间非局部Kolmogorov方程强解，构造复合过程得到解的随机表示与谱分解，给出低正则初始数据下的极弱解，并证明该过程为反常扩散，改进了已有结果。
2024-03-08 math.PR
Averaging principle for a class of stochastic reaction-diffusion equations
考虑随机反应扩散方程的平均原理。在某些假设下，提供了一个唯一的不变测度的快速运动与冻结的慢分量的存在，我们计算限制慢运动。对希尔伯特空间中Kolmogorov方程的可解性的研究和解的正则性分析，使得经典方法在SPDE的情况下推广到有限维问题。
2008-05-02 math.PR
Fokker-Planck equations for SPDE with non-trace class noise
本文发展了一种新的技巧，证明了希尔伯特空间上具有非迹类二阶系数的Kolmogorov算子的Fokker-Planck方程解的存在性，或等价地证明了具有非迹类噪声的随机偏微分方程（SPDE）解的存在性.应用包括随机二维和三维Navier-斯托克斯方程与非迹类加性噪声。
2013-09-03 math.PR
A hypocoercivity related ergodicity method with rate of convergence for singularly distorted degenerate Kolmogorov equations and applications
在这篇文章中，我们开发了一个新的抽象策略证明遍历性与显式计算收敛速率的退化Kolmogorov算子L的扩散。关键的一点是，演化算子L可能具有奇异和非光滑的系数。这使得应用的方法，例如退化和奇异粒子系统中出现的数学物理。据我们所知，在这种奇异的情况下，放松到平衡不能讨论与现有的方法使用hypoellipticity，hypopyravity或随机李雅普诺夫型技术的帮助下。该方法是制定在L2-希尔伯特空间设置，是基于泛函分析和随机之间的相互作用。此外，它还包含一个遍历率，这个遍历率与半群的L2-指数收敛有关。此外，遍历性方法显示了一个有趣的类比与现有的hypocompativity方法。在第一个应用中，我们讨论了具有奇异势的N粒子简并Langevin动力学的遍历性。这个方程的对偶也被称为具有外部限制势的动力学Fokker-Planck方程。在第二个例子中，我们应用的方法，所谓的（退化）球速度朗之万方程，这也被称为纤维铺设过程中出现的工业数学。
2015-12-29 math-ph math.AP math.FA
