Robust BPX Preconditioner for Fractional Laplacians on Bounded Lipschitz Domains
我们提出并分析了一个强大的BPX预处理器的积分分数拉普拉斯有界Lipschitz域。无论是准均匀网格还是分次对分网格，我们都证明了所得到的系统的条件数关于级数和分数阶幂保持一致有界。结果也适用于谱和截尾分数拉普拉斯算子。
2021-06-03 cs.NA math.NA
A grid-overlay finite difference method for the fractional Laplacian on arbitrary bounded domains
针对任意有界区域上的分数阶 Laplace 算子，提出叠加均匀网格与非结构网格的有限差分方法，并给出可解性条件、稀疏预条件子及结合 MMPDE 的自适应数值验证。
2024-04-04 cs.NA math.NA
Optimal Collocation Nodes for Fractional Derivative Operators
本文研究了分数导数算子的谱离散化方法，通过Jacobi多项式构建基函数，并探讨了非一致网格与插值网格的结合方式，以提高近似空间维度和计算效率。
2014-07-02 cs.NA math.NA
Efficient Parallel-in-Time Solution of Time-Periodic Problems Using a Multi-Harmonic Coarse Grid Correction
本文提出了一种有效解非线性时间周期问题的高度并行算法。它基于Parareal方法的时间周期扩展，已知通过细网格上的并行化来加速顺序计算。该方法通过引入一个简化的牛顿算法，允许在粗网格上进行额外的并行化，从而降低了周期Parareal解的复杂性。特别地，在每次牛顿迭代时，执行多谐波校正，其将时域中的块循环周期系统转换为频域中的块对角系统，从而并行地求解每个频率分量。对一个一维模型问题讨论了该方法的收敛性。介绍的算法和几个现有的解决方案的方法进行了比较，通过他们的应用程序的涡流问题的线性和非线性模型的同轴电缆。所考虑的方法的性能也说明了一个三维的Transformer模型。
2020-07-07 cs.NA math.NA
A monotone discretization for integral fractional Laplacian on bounded Lipschitz domains: Pointwise error estimates under Hölder regularity
对具有齐次Dirichlet边界条件的有界Lipschitz域上的分数阶Laplace积分方程提出了一种单调离散方法。该方法的灵感来自于基于正交的有限差分法的黄和Oberman，但定义在非结构化网格在任意尺寸的更灵活的域近似奇异积分。奇异积分域的尺度不仅取决于局部网格的大小，而且取决于到边界的距离，因为解的Hölder系数随着其接近边界而恶化。通过使用一个离散的障碍函数，也反映了到边界的距离，我们显示了最佳的逐点收敛速度的Hölder正则性的数据上的准均匀和梯度网格。几个数值例子来说明理论结果的清晰度。
2022-08-03 cs.NA math.NA
Using hierarchical matrices in the solution of the time-fractional heat equation by multigrid waveform relaxation
本文研究非均匀时间网格上时间分数阶热传导方程的有效数值解。非均匀网格对于捕捉时间分数阶问题的“典型”解的奇异性是必不可少的。我们提出了一种基于波形松弛技术的时空多重网格方法，该方法考虑了分数阶微分算子的非局部特性。为了保持一个最佳的复杂性，这可以得到的情况下，均匀的网格，我们近似的系数矩阵对应的时间离散化的分层矩阵（${\cal H}$ -矩阵）表示。特别地，所提出的方法具有${\cal O}(k N M \log(M))$的计算成本，其中$M$是时间步长的数量，$N$是空间网格点的数量，并且$k$是控制${\cal H}$ -矩阵近似的精度的参数。该算法的效率和良好的收敛性，这可以从理论上证明了半代数模式分析，通过数值实验在一维和二维空间。
2020-05-07 cs.NA math.NA
A fast fractional block-centered finite difference method for two-sided space-fractional diffusion equations on general nonuniform grids
本文针对一般非均匀网格上的双边变系数空间分数阶扩散方程，提出分数阶块中心有限差分法，并结合指数和近似与Krylov子空间方法设计快速算法，显著降低计算复杂度和内存需求，同时保持精度。
2024-10-04 cs.NA math.AP math.NA
A Finite Difference Method on Quasi-uniform Mesh for Time-Fractional Advection-Diffusion Equations with Source Term
University of Messina（墨西拿大学）
本文提出一种无条件稳定的隐式有限差分方法，用于求解含源项的时间分数阶对流-扩散方程，通过特殊设计的准均匀网格提高经典离散分数公式计算精度，并通过误差估计和数值实验验证方法的有效性。
2018-02-13 cs.NA math.NA
A fourth-order compact solver for fractional-in-time fourth-order diffusion equations
对一类四阶次扩散方程第一Dirichlet边界条件提出了一个四阶紧致格式。首先将四阶问题化为一对空间二阶系统，并利用平均算子构造了一个四阶空间近似。该平均算子是紧凑的，因为它只涉及两个网格点的导数边界条件。对Caputo分数阶导数考虑了不规则网格上的L1公式，通过在初始时刻附近增加网格点来解决解的初始奇异性。利用互补离散卷积核、离散分数阶格朗沃尔不等式和误差卷积结构三种理论工具证明了算法的稳定性和收敛性。一些数值实验证明了我们的方法的准确性和效率。
2019-07-03 cs.NA math.NA
Partially Explicit Time Discretization for Time Fractional Diffusion Equation
时间分数阶偏微分方程已被用于许多建模和仿真的应用中。这些应用中的许多是多尺度的，并且在介质属性中包含高对比度变化。它需要非常小的时间步长来执行详细的计算。另一方面，在小的空间网格的存在下，显式方法需要非常小的时间步长。显式方法有许多优点，正如我们在本文中讨论的。在本文中，我们提出了一个部分显式方法的时间分数偏微分方程。该方法解决了一个粗略的计算网格，这是远远大于空间异质性的前向问题，只需要几个自由度进行隐式处理。通过构造适当的空间和仔细的稳定性分析，我们可以表明，时间步长可以选择不依赖于对比度或规模作为粗网格步长。因此，可以在显式方法中使用更大的时间步长。我们目前的稳定性理论，我们所提出的方法和我们的数值结果证实了稳定性的调查结果，并证明了该方法的性能。
2021-08-30 cs.NA math.NA
Tensor product method for fast solution of optimal control problems with fractional multidimensional Laplacian in constraints
本文介绍了在大的$n^{\otimes d}$张量积笛卡尔网格上离散化的约束条件下，用张量数值方法求解具有分数Laplacian型算子的$d$维最优控制问题.该方法是基于相应的分数差分拉普拉斯矩阵值函数的秩结构逼近。我们求解控制函数的方程，其中系统矩阵包括分数$d$维拉普拉斯算子及其逆算子的和。利用快速傅里叶变换（FFT）对张量网格上离散拉普拉斯算子的矩阵值函数进行对角化。然后，通过折叠相应的大对角矩阵的特征值得到的$d$维张量的低秩近似计算，这允许解决控制方程的张量结构的格式。通过对生成函数的拉普拉斯变换应用sinc求积逼近方法，证明了这类矩阵值函数的低秩正则逼近的存在性.控制函数的线性方程组由PCG迭代法求解，在每个迭代步骤中进行秩截断，其中预先计算低Kronecker秩预条件子。右手边、解向量和控制系统矩阵保持在秩结构张量格式中，这有益地降低了$O(n\log n)$的数值成本，优于3D情况下复杂度$O(n^3\log n)$的基于标准FFT的方法。二维和三维控制问题的数值试验证实了该方法在单变量网格尺寸$n$中的线性复杂度缩放。
2020-05-26 cs.NA math.NA
A computational macroscale model for the time fractional poroelasticity problem in fractured and heterogeneous media
在本文中，我们引入了一个耦合压力和位移的孔隙弹性模型的时间记忆形式。我们假设这个多物理过程发生在多连续介质中。该数学模型包含一个耦合系统的方程的压力在每个连续和弹性方程的位移的介质。我们假设时间动力学是由分数阶导数以下的一些工作在文献中。我们推导出一个隐式有限差分近似的时间离散的基础上Caputo时间分数阶导数。离散裂缝模型（DFM）用于模拟通过裂缝的流体流动并处理复杂的裂缝网络。我们假设不同的分数功率骨折和矩阵由于慢和快的动力学。基于广义多尺度有限元法（GMsFEM），提出了一种基于粗网格近似的多尺度基函数求解方法。本文给出了裂隙非均质多孔介质二维模型问题的数值结果。我们研究了参考（细尺度）解和多尺度解之间的误差分析。结果表明，该方法在粗网格上具有良好的精度。
2022-01-19 cs.NA math.NA
A multigrid-reduction-in-time solver with a new two-level convergence for unsteady fractional Laplacian problems
多重网格减少时间（MGRIT）技术已被证明是成功的，在实现更高的运行时加速利用时间上的并行性。本文的目标是开发和分析一个MGRIT算法，使用FCF松弛与时间相关的时间网格传播，寻求非定常分数拉普拉斯问题的有限元近似。文[L.陈河，巴西-地H. Nochetto，E. Ot{á}rola，A. J. Salgado，Math.Comp.85（2016）2583- 2607]被选择为空间解算器。由[B]驱动。S. Southworth，SIAM J. Matrix Anal. 40（2019）564- 608]，我们提供了一个新的时间特征值近似性质，然后推导出一个广义的两级收敛理论，该理论消除了[X. Q. Yue，S. Shu，X. W. Xu，W. P. Bu，K. J. Pan，Comput.数学应用78（2019）3471- 3484]。通过数值计算证实了理论预测的正确性，并证明了收敛上界的精确性。
2021-02-09 cs.NA math.NA
An efffcient numerical scheme for two-dimensional nonlinear time fractional Schrödinger equation
针对二维非线性时间分数阶薛定谔方程的弱奇异解问题，提出线性化全离散格式，证明其无条件稳定性与时间点态收敛性，数值结果验证了理论准确性。
2025-04-14 cs.NA math.NA
Spectral analysis and multigrid preconditioners for two-dimensional space-fractional diffusion equations
Amirkabir University of Technology（阿米尔卡比尔理工大学）；University of Insubria（因苏布里亚大学）；Max Planck Institute for Plasma Physics（马克斯·普朗克等离子体物理研究所）
本文研究二维空间分数扩散方程的离散化问题，通过谱分析设计多网格预处理子，证明其收敛性，并验证其在Krylov方法中的有效性。
2017-06-21 cs.NA math.NA
Asymptotically Compatible Fractional Grönwall Inequality and its Applications
本文通过估计离散卷积互补核，建立了渐近相容的分数阶Grönwall不等式，并将其用于非均匀网格上差分格式的稳定性与逐点误差分析，数值实验验证了理论结果。
2024-04-30 cs.NA math.NA
Numerical solving the boundary value problem for fractional powers of elliptic operators
Nuclear Safety Institute, Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院核安全研究所）；North-Eastern Federal University（东北联邦大学）
本文研究了二阶椭圆算子分数次幂的边值问题，采用伪抛物型方程时间依赖问题进行数值求解，提出标准双层方案并研究了稳定性条件，通过二维模型问题验证了时间与空间网格对精度的影响。
2014-02-07 cs.NA math.NA
Numerical analysis of a semilinear fractional diffusion equation
研究了一类具有非光滑初值的半线性分数阶扩散方程的数值分析。提出了一个新的Grönwall不等式及其离散形式.利用这两个不等式，得到了空间半离散化和全离散化的三个Sobolev范数下的误差估计，它们对于解的正则性是最优的.一个尖锐的时间误差估计梯度时间网格也严格建立。此外，空间精度$\scriptstyle O(h^2(t^{-α} + \ln(1/h)\!)\!) $逐点$ \scriptstyle L^2(Ω) $ -范数获得的空间半离散化。最后，通过数值计算验证了理论分析的正确性.
2019-08-30 cs.NA math.NA
A Second-order method on graded meshes for fractional Laplacian via Riesz fractional derivative with a singular source term
针对低正则解及奇异或超奇异源项，本文在分级网格上结合网格映射与右预条件子，提出通过 Riesz 分数阶导数求解分数阶 Laplacian 的二阶数值方法并验证其理论收敛性。
2025-02-16 cs.NA math.NA
Numerical solution of space-fractional partial differential equations by a differential quadrature approach
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）
本文提出一种直接数值方法，利用新的差分四次技术求解空间分数阶偏微分方程，通过三种径向基函数作为测试函数计算权重，验证了方法的鲁棒性和高精度。
2017-01-22 cs.NA math.NA
Estimating Discretization Error with Preset Orders of Accuracy and Fractional Refinement Ratios
解决方案的验证对于建立模拟的可靠性至关重要。一个核心的挑战是找到一个准确可靠的估计的离散化误差。目前的估计方法依赖于所观察到的准确性顺序;然而，研究表明，它可能会不规则地改变或变得不确定。因此，我们提出了一种网格加密方法，它采用恒定的命令，由用户给定，称为预置订单扩展方法（POEM）。保证用户通过迭代获得最优阶数集，从而获得离散化误差的准确估计。该方法通过评估展开项的收敛性来评估估计的可靠性，这是所有网格细化方法的基础。我们证明了这些能力，沿不同的细化路径使用平流和扩散问题。POEM需要一个较低的计算成本时，细化比率较高。然而，由于共享网格点的数量减少，估计误差遭受更高的不确定性。我们规避这一点，使用分数细化比和插值之间的差异近似解（MIDAS）的方法。因此，我们可以得到一个整体估计的离散化误差较低的不确定性，在减少计算成本。
2022-04-11 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A simple solver for the fractional Laplacian in multiple dimensions
给出了分数阶Laplace算子的超奇异整表示的一种简单离散化方法和相应的分数阶Laplace问题的求解方法。通过奇异性减法，我们得到了一个正则化的被积函数，它服从具有等间距节点的梯形法则，假设基础函数具有高度的正则性（即，$u\in C^6(R^d)$）。由此产生的求积方案给出了规则网格上的离散算子，该算子是平移不变的，因此可以通过快速傅里叶变换快速应用。对于有界域上的空间分数阶扩散问题的离散化，我们观察到基本的线性系可以通过基于有限差分（非分数阶）拉普拉斯算子的预条件的预条件Krylov方法有效地解决。我们展示了数值结果，说明我们的简单方案的错误，以及我们的预处理方法的效率，无论是椭圆（稳态）分数扩散问题和时间依赖性问题。
2020-01-28 cs.NA math.NA
A linearized second-order scheme for nonlinear time fractional Klein-Gordon type equations
Department of Mathematics, University of Macau（澳门大学数学系）
本文提出一种线性化二阶方案解决非线性时间分数Klein-Gordon型方程，避免迭代方法，通过引入新网格函数和近期研究思想，证明方法在时间上具有二阶精度。
2017-05-25 cs.NA math.NA
Numerical analysis of scattered point measurement-based regularization for backward problems for fractional wave equations
本文针对分数阶波动方程反问题，提出基于散点测量的正则化方法，在非均匀网格上实现初值重构，并给出最优误差估计与参数先验选择，数值实验验证了算法有效性。
2025-06-23 cs.NA math.NA
Discontinuous Galerkin method for a distributed optimal control problem governed by a time fractional diffusion equation
研究了一类具有非光滑初值的时间分数阶扩散方程的控制约束分布式最优控制问题。将状态解和协状态解分解为奇异部分和正则部分，并对奇异部分给出了增长估计。遵循变分离散的概念，在空间上采用线性协调有限元法，在时间上采用分段常值间断Galerkin法，对相应的状态方程和协状态方程进行全离散。利用增长估计，得到了非光滑初始数据下的误差估计。特别地，分级时间网格被用来获得一阶时间精度。最后，数值实验验证了理论结果。
2020-10-03 cs.NA math.NA
A Monotone Finite Volume Method for Time Fractional Fokker-Planck Equations
Changsha University of Science and Technology（长沙理工大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；Tongji University（同济大学）
本文提出一种单调有限体积法求解时间分数福克-普朗克方程，证明其无条件稳定性，并展示其在空间上的收敛率可达二阶。
2017-11-02 cs.NA math.NA
Meshfree finite difference solution of homogeneous Dirichlet problems of the fractional Laplacian
本文研究无网格设置下的网格叠加有限差分法（GoFD）以求解分数阶拉普拉斯算子齐次Dirichlet问题，提出两种数据转移矩阵构建方法，实验证明其收敛阶与现有方法相似且对点位置随机扰动具有鲁棒性。
2024-04-05 cs.NA math.NA
Finite difference methods for fractional Laplacians
The University of Manchester（曼彻斯特大学）；McGill University（麦吉尔大学）
本文研究了一维均匀网格上分数拉普拉斯算子的多种有限差分离散方法，分析其精度、渐进行为及远场边界条件处理，为高维方案发展提供统一视角。
2016-11-01 cs.NA math.NA
Energy stability of variable-step L1-type schemes for time-fractional Cahn-Hilliard model
本文提出一种新技术估计分数阶Caputo导数L1型公式离散卷积核的最小特征值，为时间分数阶Cahn-Hilliard模型建立了变步长L1型格式的变分能量耗散定律，并证明其渐近相容性。
2022-01-04 cs.NA math.NA
Approximating and preconditioning the stiffness matrix in the GoFD approximation of the fractional Laplacian
分析了分数阶拉普拉斯算子有限差分逼近中刚度矩阵近似精度对整体计算的影响，讨论了四种近似方法及两种基于稀疏和循环矩阵的预处理方法，并验证了其与GoFD方法配合的有效性。
2024-07-09 cs.NA math.NA
Nonlinear fractional-periodic boundary value problems with Hilfer fractional derivative: existence and numerical approximations of solutions
Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）
本文研究了具有Hilfer分数导数的非线性分数-周期边值问题，通过解析方法和数值近似方法探讨了解的存在性和收敛性。
2026-01-20 cs.NA math.NA
A coercive space-time variational approach to fractional diffusion problems
Johannes Kepler University Linz（林茨约翰内斯·开普勒大学）；Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics（约翰·拉德纳计算与应用数学研究所）；University of Vienna（维也纳大学）
针对作用于扩散通量的时间非局部分数阶扩散问题，提出强制时空变分方法，建立解的适定性，发展协调张量积Galerkin离散化并证明误差估计，保留因果结构且可高效实现。
2026-09-02 cs.NA math.NA
Wave simulation in 2D heterogeneous transversely isotropic porous media with fractional attenuation: a Cartesian grid approach
Uppsala University（乌普萨拉大学）
本文提出了一种二维各向异性Biot孔弹性波时域数值模型，采用动态渗透性模型描述孔隙中的粘性耗散，并通过扩散近似模型分析了Biot-JKD和Biot-DA模型的超几何性、能量衰减和色散特性。
2015-04-01 cs.NA math.NA physics.class-ph
The Crank-Nicholson type compact difference scheme for a loaded time-fractional Hallaire's equation
Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS（俄罗斯科学院KBSC应用数学与自动化研究所）；Indian Institute of Technology Delhi（印度德里理工学院）
本文研究了带负载的修正扩散方程（带有时间分数导数的Hallaire方程），提出了一种高阶Crank-Nicholson型紧致差分格式，用于在均匀网格上近似该问题，并通过差分和微分解释得到先验估计，从而得出差分问题解与微分问题解的唯一性、稳定性及收敛性，收敛率为$\mathcal{O}(h^4+τ^{2-α}.)$，并通过数值实验验证了理论计算结果。
2019-03-11 cs.NA math.NA
A note on the spectral analysis of matrix sequences via GLT momentary symbols: from all-at-once solution of parabolic problems to distributed fractional order matrices
本文的第一个重点是对抛物型扩散问题的时空网格离散化和分布阶分数阶方程的近似所产生的系数矩阵的谱和奇异值的特征。为此，我们将使用经典的GLT理论和GLT瞬时符号的新概念。第一个允许描述系数矩阵序列的奇异值或特征值渐近分布，后者允许导出一个函数，该函数描述序列矩阵的奇异值或特征值分布，即使对于小的矩阵大小，但在给定的假设下。该说明的结论是一个开放的问题，包括使用我们的机器在迭代矩阵的研究，特别是那些有关multigrid-type技术的列表。
2022-02-11 cs.NA math.NA
Parallel-in-Time with Fully Finite Element Multigrid for 2-D Space-fractional Diffusion Equations
Xiangtan University（湘潭大学）；Institute of Applied Physics and Computational Mathematics（应用物理与计算数学研究所）；Central South University（中南大学）
本文提出一种非侵入式并行时间积分方法，结合全有限元多网格技术，解决二维空间分数扩散方程的数值求解问题，通过理论分析和数值实验验证了该方法的高效性和准确性。
2018-05-17 cs.NA math.NA
A second order difference scheme for time fractional diffusion equation with generalized memory kernel
在目前的工作中，我们建立了一个差分模拟的Caputo分数阶导数与广义记忆核（$_λ$ L2-1 $_σ$公式）。本文研究了这种差分算子的基本性质，并在此基础上对变系数广义时间分数阶扩散方程构造了时间上二阶近似的差分格式。我们证明了所给格式在网格$L_2$ -范数下的稳定性和收敛性，其收敛速度等于逼近误差的阶。所得结果得到了一些试验问题的数值计算的支持。
2021-08-24 cs.NA math.AP math.NA
Mesh-free mixed finite element approximation for nonlinear time-fractional biharmonic problem using weighted b-splines
针对非线性时间分数阶双调和问题，提出加权B样条无网格混合有限元全离散格式，结合L2-1_σ时间离散，推导α-鲁棒先验界与收敛估计，并通过数值实验验证。
2024-03-17 cs.NA math.NA
Fast implicit difference schemes for time-space fractional diffusion equations with the integral fractional Laplacian
本文对一类具有分数阶积分Laplacian算子的变系数时-空分数阶扩散方程提出了两种快速隐式差分格式。该格式利用Caputo分数阶导数的分次$L1$公式和IFL的特殊有限差分离散，分次网格可以捕获初始时刻具有弱奇异性的模型问题。通过对IFL空间离散矩阵的$M$ -矩阵分析，严格证明了算法的稳定性和收敛性。此外，所提出的计划使用快速指数和近似和Toeplitz矩阵算法，以减少时间和空间分数阶导数的非局部性的计算成本，分别。该快速格式大大减少了从$\mathcal{O}(MN^3 + M^2N)$到$\mathcal{O}(MN(\log N + N_{exp}))$的直接求解的计算工作量，并减少了从$O(MN^2)$到$O(NN_{exp})$的存储需求，其中$N$和$(N_{exp} \ll)~M$是空间和时间网格节点的数目.为了保证循环预条件子的加速效益，给出了预条件矩阵的谱。最后，数值结果显示所提出的方法的实用性。
2020-07-05 cs.NA math.NA
An Alternating Direction Explicit Method for Time Evolution Equations with Applications to Fractional Differential Equations
分别推导和分析了具有含时Dirichlet边界条件和零Neumann边界条件的时间发展方程的交替方向显式（ADE）方法.原始的ADE方法是一种加性算子分裂（AOS）方法，它已发展用于处理广泛的线性和非线性时间发展方程的零Dirichlet边界条件。对于线性方程，它已被证明，以实现二阶精度的时间，但对于任意时间步长是无条件稳定的。对于本文所考虑的边界条件，我们在计算区域边界附近的网格点上仔细构造了修正公式，并证明了这些公式保持了所需的精度和无条件稳定性。我们还构造了两类分数阶微分方程的基于ADE格式的数值方法。我们将给出数值例子来证明该方法的简单性和计算效率。
2022-06-13 cs.NA math.NA
A Petrov-Galerkin Spectral Element Method for Fractional Elliptic Problems
Michigan State University（密歇根州立大学）；Brown University（布朗大学）
本文提出了一种新的C^0连续Petrov-Galerkin谱元方法，用于求解一维分数椭圆问题，通过局部基函数和全局测试函数组合，提高计算效率和精度，适用于光滑和奇异解。
2016-10-27 cs.NA math.NA
A space-time finite element method for fractional wave problems
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
本文提出一种用于分数波问题的空间-时间有限元方法，采用Petrov-Galerkin型时间步进方案离散时间分数导数，证明方法稳定性并推导最优收敛性，讨论解在t=0处奇异时的性能，并通过数值实验验证理论结果。
2018-03-09 cs.NA math.NA
Exponential-sum-approximation technique for variable-order time-fractional diffusion equations
本文研究了变阶时间分数阶扩散方程。对于VO函数$α(t)\in(0,1)$，我们开发了一种指数和近似（ESA）技术来逼近VO Caputo分数阶导数。ESA技术保持求积指数和求和中的指数的数量在不同的时间水平不变。适当地选择近似参数以实现有效的精度。与一般的直接方法相比，该方法减少了从$\mathcal{O}(n)$到$\mathcal{O}(\log^2 n)$的存储需求，降低了从$\mathcal{O}(n^2)$到$\mathcal{O}(n\log^2 n)$的计算量，其中$n$是时间层的数目.利用该快速算法构造VO时间分数阶扩散方程的快速ESA格式，其计算复杂度仅为$\mathcal{O}(mn\log^2 n)$和$\mathcal{O}(m\log^2n)$，其中$m$表示空间网格数.理论上给出了快速ESA格式的无条件稳定性和误差分析。数值算例验证了算法的有效性。
2021-01-20 cs.NA math.NA
Multigrid waveform relaxation for the time-fractional heat equation
CWI, Centrum Wiskunde and Informatica（荷兰数学与计算机科学研究中心）；University of Zaragoza（萨拉戈萨大学）
本文提出一种高效稳健的多重网格方法求解时间分数热方程，通过波形松弛方法设计并行时间多重网格算法，利用系数矩阵的Toeplitz-like结构，实现O(NM log M)的计算复杂度，并通过半代数模式分析验证结果，展示了非光滑解和多孔介质应用的数值实验。
2017-08-24 cs.NA math.NA
Some Aspects of the Numerical Analysis of a Fractional Duffing Oscillator with a Fractional Variable Order Derivative of the Riemann-Liouville Type
本文考虑了具有Riemann-Liouville型变分数阶导数的分数Duffing数学模型的数值分析的某些方面。使用数值方法：基于Grunwald-Letnikov和Adams-Bashford-Moulton（预估-校正）近似的显式差分格式，建立了数值模型，并通过算例验证了方法的有效性。结果表明，预估校正法比显式差分法具有更快的收敛性。对于这些方案，使用龙格规则，计算精度的估计，这往往与计算的网格节点的数量的增加统一。
2021-06-12 cs.NA math.DS math.NA
A limited-memory block bi-diagonal Toeplitz preconditioner for block lower triangular Toeplitz system from time-space fractional diffusion equation
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）；Southwestern University of Finance and Economics（西南财经大学）；Lanzhou University of Technology（兰州理工大学）
本文提出了一种用于块下三角Toeplitz系统的有限记忆块Bi对角Toeplitz预置器，该预置器存储复杂度为O(N)，并设计了一种新的斜循环预置器以快速计算块Bi对角Toeplitz预置器乘以向量的逆，通过数值实验验证了预置器的有效性。
2018-11-01 cs.NA math.NA
Arbitrary order of convergence for Riesz fractional derivative via central difference method
我们提出了一种新的方法来计算Riesz导数的有限差分模板，以提高收敛速度。该方法基于对Grünwald-Letnikov型中心差分模板应用预滤波器。该滤波器通过求解对称Vandemonde矩阵的逆矩阵并利用泰勒级数系数与快速傅里叶变换之间的关系而获得。该滤波器花费O个\left（N^{2} \right）操作来评估O个\left（h^{N} \right）收敛，其中h是采样距离。更高的收敛速度应该大于抵消开销，其中对于期望的误差容限的节点数量的要求显著降低。由于滤波的应用，Grünwald-Letnikov型差分格式的动态问题的自适应网格大小的模板系数的渐进生成的好处也被保留。通过数值实验验证了该方法具有较高的收敛速度。
2021-08-09 cs.NA math.NA
A fast fully discrete mixed finite element scheme for fractional viscoelastic models of wave propagation
针对分数阶偏微分方程数值求解内存与计算成本高的问题，本文提出波传播分数阶粘弹性模型的快速全离散混合有限元格式，通过拉普拉斯变换、SOE近似结合混合有限元与Newmark格式，显著降低复杂度并经实验验证。
2025-03-20 cs.NA math.NA
Uniform convergence of multigrid finite element method for time-dependent Riesz tempered fractional problem
Lanzhou University（兰州大学）；Xiangtan University（湘潭大学）；South University of Science and Technology of China（南方科技大学）
本文提出了一种理论框架，用于时间依赖Riesz温分数问题的伽辽金有限元近似，无需分数正则性假设。通过分析分数τ-范数，严格证明了V-循环多重网格方法的均匀收敛性，其收敛率与网格尺寸h和时间步长τ无关。数值实验验证了仅需O(N log N)复杂度的收敛性。
2018-06-18 cs.NA math.NA
Bi-orthogonal fPINN: A physics-informed neural network method for solving time-dependent stochastic fractional PDEs
分数阶偏微分方程（FPDE）可以有效地描述反常输运和非局域相互作用。然而，由于随机强迫或未知的材料特性，在实际应用中自然会出现固有的不确定性。考虑非局部相互作用和不确定性量化的数学模型可以表示为随机分数阶偏微分方程（SFPDEs）。数值求解SFPDE有许多挑战，特别是对于长时间积分，因为这些问题是高维和非局部的。在这里，我们结合双正交（BO）的方法来表示随机过程与物理信息的神经网络（PINN）求解偏微分方程制定双正交PINN方法（BO-fPINN）解决不定常SFPDE。具体来说，我们引入了一个深度神经网络的随机解的不定常SFPDE，并包括BO约束的损失函数以下弱制定。由于自动微分目前不适用于分数阶导数，我们采用网格上的离散化来计算神经网络输出的分数阶导数。BO-fPINN方法的弱形式损失函数可以克服BO方法的一些缺点，从而可以用于求解具有特征值交叉的SFPDE。此外，BO-fPINN方法可以用于具有与正问题相同的框架和相同的计算复杂性的逆SFPDE。我们证明了不同的基准问题的BO-fPINN方法的有效性。结果表明，所提出的方法的灵活性和效率，特别是反问题。
2023-03-20 cs.NA math.NA
Multigrid for two-sided fractional differential equations discretized by finite volume elements on graded meshes
众所周知，保守定态双边分数阶扩散问题的解在边界附近会表现出奇异性。由于这一点，并由于保守性的问题，我们采用了有限的体积元离散化途径在一个通用的非均匀网格。我们专注于网格映射的光滑函数，其中包括在一个梯度网格附近的奇异性和均匀网格的解决方案是光滑的组合。这样的选择产生了类似托普利茨的离散化矩阵，因此允许矩阵-向量乘积的低计算成本和详细的谱分析。所获得的谱信息被用来开发一个ad-hoc参数自由多重网格预处理GMRES，数值计算表明，产生良好的收敛结果，在存在的梯度网格映射的幂函数，积累点附近的奇异性。所考虑的梯度网格的近似顺序的数值比较，在文献中给出的一个特定的复合网格，仍然导致Toeplitz样的线性系，然后仍然非常适合我们的多重网格方法。几个数值试验证实，幂次梯度网格的结果比复合的更低的近似误差，我们的求解器具有广泛的适用性。
2022-09-19 cs.NA math.NA
Dual Approach as Empirical Reliability for Fractional Differential Equations
分数阶微分方程的计算方法具有本质不稳定性。即使是对系数或其他输入数据的微小修改，也可能将良好的结果切换到发散。本文的目的是提出可靠的双重方法，解决这种不一致。我们建议使用两个并行的方法的基础上通过分部积分法或通过替代的分数阶导数的转换。介绍了替代法，并选择了适合分块法的网格点的离散格式。只有当两种方法产生相同的结果时，解决方案才是可靠的。作为一个额外的控制工具，泰勒级数展开允许估计分数阶导数的近似误差。为了证明所提出的对偶方法，我们将其应用于线性，拟线性和半线性方程，并获得很好的精度的结果。所提供的例子和反例支持使用双重方法的必要性，因为单独使用任何一种方法都可能产生不正确的结果。精确度的阶数接近于分数阶导数近似的精确度。
2021-12-16 cs.NA math.NA nlin.CD
A Survey on Numerical Methods for Spectral Space-Fractional Diffusion Problems
综述了分数阶方程$A^αu=f$，$0 < α<1$的数值解，其中$A$是对称正定算子，对应于$\mathbb R^d$中有界区域$Ω$中的二阶椭圆边值问题.算子分数幂是一种非局部算子，通过谱定义。由于对亚扩散模型在物理和工程中应用的兴趣和需求不断增长，在过去的十年中，已经提出了几种数值方法，研究和测试。我们考虑离散椭圆算子$A$通过使用$N$维有限元空间$V_h$或有限差分在一个统一的网格与$N$网格点。该方程的数值解基于解的以下三个等价表示：（1）Dunford-Taylor积分公式（2）二阶椭圆问题在$Ω\times (0,\infty)\subset \mathbb R^{d+1}$中的推广（用局部算子）或作为柱面$(x,t) \in Ω\times (0,1) $中的伪抛物方程，（3）$z^α$在$[0,1]$上的谱表示和最佳一致有理逼近（BURA）。虽然在起源和分析上有很大的不同，但这些方法可以被解释为$A^{-α}$的某种合理近似。在本文中，我们介绍了这些方法的主要思想和相应的算法，讨论了它们的精度，计算复杂度，并比较了它们的效率和鲁棒性。
2020-10-03 cs.NA math.NA
Partially Explicit Time Discretization for Nonlinear Time Fractional Diffusion Equations
非线性时间分数阶偏微分方程在建模和仿真中有着广泛的应用。在许多应用中，介质属性存在高对比度变化。为了解决这些问题，人们通常使用粗空间网格来提高空间分辨率。对于时间离散化，通常使用隐式方法。对于隐式方法，虽然时间步长可以相对较大，但由于非线性和处理大规模系统的事实，方程很难计算。另一方面，显式方法中的离散系统更容易计算，但它需要小的时间步长。在这项工作中，我们提出了部分显式计划的早期工作发展的部分显式方法的非线性扩散方程。在该方案中，扩散项被部分显式处理，反应项被完全显式处理。通过适当的空间构造和稳定性分析，我们发现，所提出的格式所需的时间步长与粗网格步长成比例，从而节省了大量的计算量。这项工作的主要新颖之处是我们以前的工作扩散方程的时间分数扩散方程的扩展。对于分数阶扩散方程的情况下，时间步长的约束更严重，所提出的方法减轻了这一点，因为在部分显式方法的时间步长尺度作为粗网格步长。我们提供稳定性结果。数值结果，我们比较我们提出的部分显式方法与全隐式方法。我们表明，我们提出的方法提供了类似的结果，同时明确地处理许多非线性项的自由度。
2021-10-25 cs.NA math.NA
