Locally (co)Cartesian fibrations as realisation fibrations and the classifying space of cospans
我们证明了Steimle的"协边范畴的可加性定理"中的条件可以被削弱到只需要\emph{locally}（co）笛卡尔纤维化，使得它适用于更大的一类函子.作为应用，我们计算了有限集余跨距的无穷范畴与其同伦范畴在分类空间上的差别。
2022-03-23 math.AT math.CT math.KT
Fibrations and Koszul duality in locally Cartesian localisations
我表明，任何局部笛卡尔左本地化的可呈现的无穷大范畴承认一个正确的适当的模型结构，其中所有态射是上纤维化，并获得Koszul对偶分类的纤维化。通过一个简单的标准，在生成元方面的一个本地化是局部笛卡尔，这适用于任何无效函子。特别地，它包括具有非平凡“同伦内容”的例子。“我进一步描述，并提供了例子，在三个上下文中的纤维化的集合：Mazel-Gee的更高的范畴化的Cuparason模型结构，其中纤维化是局部系统; Morel-Voevodsky A1-局部化，其中它们是A1-覆盖空间的更高的模拟;和Quillen加结构，其中它们与闭路空间模块相关，这些模块在通用的非循环扩展上被平凡化。
2021-08-12 math.AT math.CT
A model structure for cartesian 2-fibrations
Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）；University of Hamburg（汉堡大学）；University of Minnesota（明尼苏达大学）；Dalhousie University（达尔豪斯大学）；Univ. Artois, UR 2462 , Laboratoire de Mathématiques de Lens (LML)（阿图瓦大学，UR 2462，伦斯数学实验室 (LML)）；Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）
本文通过带标记2-范畴构造模型结构，使纤维对象恰为笛卡尔2-纤维化，并证明带标记Grothendieck构造将其等同于严格2-函子，同时构造同时反转态射和2-胞腔的局部化。
2026-09-11 math.AT math.CT
Cartesian Fibrations of $(\infty,2)$-categories
本文在缩放单纯集框架下引入$\infty$-双范畴的四种笛卡尔2-纤维化变体，刻画其提升性质与相容条件，证明等价性可逐纤维检验，并建立富集$\infty$-范畴情形与缩放神经之间的对应关系。
2024-01-07 math.AT math.CT
Cartesian Factorization Systems and Grothendieck Fibrations
每一个Grothendieck纤维化都在其定义域上产生一个垂直/直角正交分解系统。我们定义了一个正交分解系统，其中左类满足2-of-3，并且在右类的拉回下是封闭的。我们努力表明，这一定义抽象的垂直/carnival分解系统的Grothendieck纤维化的关键特征，并给出各种2类分解系统和Grothendieck纤维化之间的比较，以证明这种关系。然后，我们给出了一个结构，对应于纤维的Grothendieck纤维化的水平上的carbohydorfactorization系统。除了最后的双分类结果，本文是完全回顾以前建立的材料。它应被视为一个临时说明。
2021-01-20 math.CT
2-Cartesian fibrations II: A Grothendieck construction for $\infty$-bicategories
本文通过构造Lurie拉直-反拉直伴随的2-范畴版本，建立了缩放单纯集上2-笛卡尔纤维化与取值于∞-双范畴的反变函子之间的等价，并借助相对神经构造与已有双范畴格罗滕迪克构造进行比较。
2023-04-13 math.AT math.CT
Cocartesian fibrations and straightening internal to an $\infty$-topos
我们定义和研究范畴内部的$\infty$ -topos和证明矫直等价在这种情况下，carnival和cocarnival纤维化。
2022-05-25 math.AT math.CT
A cartesian closed fibration of higher-order regular languages
CNRS, Université Paris Cité, INRIA（法国国家科学研究中心、巴黎西岱大学、法国国家信息与自动化研究所）；Tallinn University of Technology（塔林科技大学）
本文通过两种方法构造高阶正则语言的笛卡儿闭纤维化，并推广Brzozowski导数至更高阶正则语言。
2026-01-25 cs.FL cs.LO math.CT
A note on coCartesian fibrations
当基是小范畴的神经时，我们证明了（余）笛卡尔纤维化的适当性以及与笛卡儿积相容的拉直和非拉直等价性.
2022-10-14 math.CT
Lax colimits and free fibrations in $\infty$-categories
定义并讨论了$\infty$ -范畴中图的松弛和加权余极限，证明了与函子相关的余笛卡尔纤维化是由其松弛余极限给出的.一个关键的成分，独立的利益，是一个简单的表征的自由笛卡尔纤维相关的一个函子的$\infty$ -类别。作为这些结果的一个应用，我们证明了松弛可表示函子在指数化下保持不变，并且证明了$\infty$ -范畴之间的可表示笛卡尔纤维化的全空间是可表示的，从而将Makkai和Paré的一个定理推广到了$\infty$ -范畴的情形.最后，在附录中，我们观察到（2，1）-范畴之间的伪函子通过Duskin神经产生$\infty$ -范畴之间的函子。
2020-10-31 math.AT math.CT
Fibrations of predicates and bicategories of relations
我们调和了谓词逻辑中正则理论的两种不同的范畴论语义。构造了一个2-类的“正则纤维化”，以及一个2-类的“正则proarrow设备”，并证明了两者是等价的。正则设备是满足某些公理的“笛卡尔设备”，而笛卡尔设备是笛卡尔双范畴的略微推广。这是通过定义一个三范畴Biprof来完成的，该三范畴Biprof的对象是双范畴，其态射是范畴值的原函子，然后将一个设备定义为该三范畴中的伪单子。由此产生的设备的概念相比，现有的几个。最重要的是，这涉及到证明Biprof中的每个伪单子都有一个Kleisli对象。在局部离散基双范畴上，识别出一个严格的2-范畴设备，并将车载设备定义为该2-范畴中的车载对象。因此，Carbohydrate设备本身形成一个2-范畴，这是承认一个2-完全-忠实函子从2-范畴的正规纤维化。在这个函子的图像中的carbohydrate设备的特点是那些满足某些公理，因此，一个2-类的“定期设备”被确定为是等价的定期纤维化。然后，它表明，一个经常纤维承认理解谓词当且仅当其相应的经常设备承认制表态射，并进一步指出，存在的制表态射是等价于存在的Eilenberg-摩尔对象的合作单子。最后，我们根据上述情况，通过triposes和通过assemblies对有效topos的两种不同结构进行了简要的检查。
2015-02-27 math.CT
Two-sided cartesian fibrations of synthetic $(\infty,1)$-categories
本文在 Riehl–Shulman 合成 $(\infty,1)$-范畴理论中建立双侧笛卡尔纤维化理论，给出多种刻画、Yoneda 引理与封闭性质，并说明其语义对应。
2024-03-12 cs.LO math.AT math.CT
Fibrations of $\infty$-categories
我们构造了一个由$\infty$ -范畴和其中的双模组成的带标记的$\infty$ -范畴${\sf Corr}$.我们证明了${\sf Corr}$分类指数纤维化。可指数纤维化的这种可表示性扩展了Lurie建立的余笛卡尔纤维化和笛卡尔纤维化的可表示性，因为它们分别被分类为$\infty$ -范畴的$\infty$ -范畴及其相反范畴。我们引入了带标记的$\infty$ -${\sf Corr}$的子范畴${\sf LCorr}$和${\sf RCorr}$，它们的态射分别是\emph{left final}和\emph{right initial}。我们确定这些标记的$\infty$ -子类别分类的纤维化的概念，并表明这些$\infty$ -类别进行普遍的左/右纤维化。
2020-06-23 math.AT math.CT
Two-variable fibrations, factorisation systems and $\infty$-categories of spans
本文在Barwick适当三元组框架下证明张成空间$\infty$-范畴的万有性质，引入正交适当三元组并证明其自等价性，进而统一推广了展开定理、正交分解系统、双变量纤维化及参数化伴随等多个范畴论结果。
2023-09-20 math.AT math.CT
Lax monoidal adjunctions, two-variable fibrations and the calculus of mates
本文建立面向 ∞-范畴函子的配偶演算，推广 unstraightening 等价，并通过二变量纤维化刻画 lax/oplax 幺半伴随及 Gray 张量积函子。
2024-04-03 math.AT math.CT
A Fibrational Theory of First Order Differential Structures
本文提出基于纤维化理论的范畴论框架，用纤维化截面统一刻画多种微分范畴的一阶片段，阐明其异同并简化已有构造。
2024-09-09 cs.LO math.CT
Complete Segal Objects
我们定义了完整的Segal对象，它扮演着内部高阶范畴对象的角色。然后，我们研究他们使用可表示的笛卡尔纤维化，特别是定义完整的Segal对象的约束和限制。最后，我们使用Segal对象来定义一个局部笛卡尔闭范畴中的univalence，这是不presentable和推广以前的一些结果的非presentable设置。
2018-05-09 math.AT math.CT
2-fold complete Segal operads
我们定义了笛卡尔2-纤维化的概念，并证明了一个弱的类似拉直。利用Barwick的算子范畴概念和Cartesian 2-纤维化的概念，我们将$\infty$ -算子的概念推广到$(\infty,2)$ -范畴的上下文中.这些$(\infty,2)$ -操作用于定义和研究$\infty$ -范畴上下文中的2-环。
2016-10-14 math.CT
Yoneda Lemma for $\mathcal{D}$-Simplicial Spaces
对于一个小范畴$\mathcal{D}$，我们定义了范畴$\mathcal{D}\timesΔ$上的单纯预层的纤维化，我们称之为局部化的$\mathcal{D}$ -左纤维化。我们发现这些纤维化可以被看作是一个模型结构，本地化的$\mathcal{D}$协变模型结构，这是Quillen等价于一类函子值的单预层$\mathcal{D}$，其中Quillen等价通过广义的Grothendieck建设。我们使用我们的理解，这种结构的纤维化和弱等价在这个模型结构的详细表征，特别是获得米田引理。我们应用这个一般框架来研究$(\infty,n)$范畴的笛卡尔纤维化，对于通过单纯预层产生的$(\infty,n)$范畴的模型，如$n$ -fold完备Segal空间。特别是，这导致了$(\infty,n)$ -范畴的笛卡尔纤维化的Yoneda引理和Grothendieck构造。
2021-08-13 math.CT
Fibrations and Yoneda's lemma in an $\infty$-cosmos
我们使用术语$\infty$ -范畴和$\infty$ -函子来表示$\infty$ -宇宙中的对象和态射：一个满足一些公理的简单丰富范畴，让人想起一个丰富的范畴的对象。拟范畴、Segal范畴、完备Segal空间、标记单纯集、迭代完备Segal空间、$θ_n$ -空间以及它们各自的纤维化版本都是这个意义上的$\infty$ -范畴。本系列以前的工作表明，$\infty$ -范畴和$\infty$ -函子的基本范畴论只能参照$\infty$ -宇宙的公理来发展;实际上，大部分工作是同伦2-范畴、$\infty$ -范畴、$\infty$ -函子和自然变换的严格2-范畴的内部工作。在准范畴的$\infty$ -宇宙中，我们精确地重新获得了由Joyal和Lurie发展的相同的范畴论，尽管我们的定义自然是2-范畴的，没有利用区分每个模型的组合细节。本文介绍了一类$\infty$ -函子--carnivibration及其群胚变体。笛卡尔纤维化形成了一个基石，在抽象处理的“类范畴”结构的一个洛杉矶街，并发挥了重要作用，在卢里的工作准范畴。在建立了它们的基本理论之后，我们陈述并证明了Yoneda引理，它具有可表示纤维化映射的拟范畴与纤维在其表示元上的拟范畴之间的等价形式。一个配套文件将应用这些结果建立一个演算的模块之间的$\infty$类别，这将被用来定义和研究点态Kan扩展沿$\infty$…
2016-06-13 math.AT math.CT
Fibrations and lax limits of $(\infty,2)$-categories
本文研究了给定基$\mathcal{B}$上$\infty$ -双范畴的四类（共）Carbonization纤维化，证明了它们编码了$\infty$ -范畴的$\mathcal{B}$ -指标图的四种方差风味.然后，我们使用这种机器建立一个一般理论的2-（co）限制值的图在$\infty$ -bicategory，能够表示宽松，加权和伪限制。当手头的$\infty$ -bicategory从一个模型范畴张量标记单纯集，我们表明，这一概念的2-（co）限制可以计算为一个合适的形式的加权同伦限制的模型范畴水平，从而显示特别是这些2-（co）限制的存在，在广泛的例子。最后，我们讨论了一个概念的共尾性适当的设置，并使用它来推导的唯一性2-（共）限制，一旦存在。
2021-03-10 math.AT math.CT
Free fibrations, lax colimits and Kan extensions for $(\infty,2)$-categories
本文研究了$(\infty,2)$-范畴的纤维化、余限和Kan扩展，提出了自由纤维化的构造，并给出了部分懒惰余限和Kan扩展的纤维化描述。
2026-02-07 math.AT math.CT
Monoidal envelopes and Grothendieck construction for dendroidal Segal objects
本文在Segal树型空间模型中构造了$\infty$ -操作的么半群包络，并利用它定义了此类空间的余carnanofibrations.我们实现这一点，通过查看树状范畴作为一个“加建设”的范畴指出有限集，并在更一般的语言的代数模式西格尔条件的工作。最后，我们重新表达Lurie的定义carnival结构表现出的范畴纤维化来自信封，并推导出一个矫直/unstraightening等价的树状空间。
2023-01-25 math.AT math.CT
On the $\infty$-stack of complexes over a scheme
我们研究增强导出范畴的fppf下降。我们在宽松的背景下重新审视[HS]和[TV 08]的工作。更准确地说，我们构造了一个笛卡尔和coCartesian纤维化${}^{\mathrm{op}}\mathscr D^+_S\rightarrow N(\mathop{\mathrm{Sch}}_S)$，其纤维在$S$ -计划$T$是相反的$\mathscr D^+(T)^{\mathrm{op}}$的拟范畴的有界下复$\mathscr O_T$ -模。我们表明，这种纤维化满足fppf下降的计划。
2018-02-20 math.AG math.AT math.CT
Colimits in Oriented Category Theory
本文针对高阶范畴理论中lax余极限的几何不兼容性缺陷，提出定向余极限理论，引入兼容Gray张量积的Grothendieck构造，证明其等价性并将其应用于高阶主丛分类、伴随函子表示及Quillen定理推广。
2026-08-04 math.AT math.CT
$(\infty,1)$-Categorical Comprehension Schemes
本文在$(\infty,1)$-范畴论中定义并研究理解概念，通过单值元理论实现Bénabou基础，推广小性与相对可定义性，并利用理解模式刻画高阶范畴性质。
2024-07-19 math.AT math.CT math.LO
Kan extensions and the calculus of modules for $\infty$-categories
$(\infty,1)$ -范畴的各种模型，包括拟范畴、完备Segal空间、Segal范畴和自然标记单纯集，都可以看作是$\infty$ -宇宙的对象。在一般的$\infty$ -宇宙中，我们称其对象为$\infty$ -范畴，我们在$\infty$ -范畴之间引入模（也称为原函子或对应），具体表现为具有群胚纤维的适当定义的纤维化的跨度。顾名思义，从$A$到$B$的模块在适当的意义上是配备有$A$的左动作和$B$的右动作的$\infty$类别。应用米田引理的纤维化形式，我们开发了一个通用演算的模块，证明他们自然组装成一个多范畴的结构称为虚拟设备，这是已知的是一个强大的设置，在其中开发正式的范畴论。使用微积分的模块，它是简单的定义和研究逐点Kan扩展，我们涉及的情况下，carnival封闭的$\infty$ -cosmoi，限制和colimits的图值在一个$\infty$类，如在以前的工作中介绍。
2016-06-13 math.AT math.CT
Differential bundles and fibrations for tangent categories
切范畴是配备有切函子的范畴：一个具有某些自然变换的内函子，这些变换使它的行为类似于光滑流形范畴上的切丛函子。他们提供了一个抽象的设置微分几何公理化的关键方面的问题，使这些几何设置的基本理论被捕获。重要的是，他们不仅在经典微分几何及其扩展中有模型，而且在代数几何，组合数学，计算机科学和物理学中也有模型。本文发展了这类范畴的“微分丛”理论，考虑了它们与“微分对象”的关系，并发展了切范畴的纤维化理论。微分丛推广了经典微分几何中光滑向量丛的概念。然而，这个定义在几个重要的方面与标准的定义不同：一般来说，在这些丛的纤维中没有标量乘法，并且一般来说这些丛不需要是局部平凡的。为了理解这些微分丛与微分对象的关系，需要仔细处理关于切函子的拉回行为。微分对象是光滑流形中向量空间的推广。切范畴的“横向”系统和“显示”系统捕捉到了这一点，这将我们引入切范畴的纤维化理论。切向纤维化的一个关键例子是由具有显示系统的切向范畴的“显示”微分丛提供的。引人注目的是，在这些例子中，纤维是笛卡尔微分范畴，这证明了这些范畴的理论与切线范畴的理论之间的紧密联系。
2017-03-09 math.CT math.DG
Generalized Chevalley criteria in simplicial homotopy type theory
本研究在Riehl–Shulman单纯同伦类型论框架下，将（余）笛卡尔箭头、纤维化与函子的经典条件推广为以任意形状包含替代端点包含的广义形式，为合成内蕴$(\u221e,1)$-范畴论研究提供了新的处理方式。
2024-03-13 cs.LO math.AT math.CT
On the equivalence of all models for $(\infty,2)$-categories
本文的目标是提供最后的等价需要，以确定所有已知的模型$(\infty,2)$类别。我们这样做表明，Verity的模型饱和$2$平凡复杂集是等价于Lurie的模型$\infty$双范畴，这反过来，已被证明是等价于所有其他已知的模型$(\infty,2)$类别。一个关键的技术输入是通过识别的概念，$\infty$-bicategories与弱$\infty$ -bicategories，一个步骤，使我们能够理解Lurie的模型结构的Cisinski-Olschok的理论。这种描述的$\infty$ -bicategories，这可能是独立的利益，证明了使用工具来自一个新的理论外（共）carbohydrate纤维化，进一步发展的配套文件。本文最后构造了$2$ -范畴的同伦完全忠实标度单纯神经函子，给出了它的两个等价刻画，并证明了$\infty$ -双范畴的同伦$2$ -范畴保留了足够的信息来检测薄$2$ -单纯.
2022-03-01 math.AT math.CT
Limits of $(\infty, 1)$-categories with structure and their lax morphisms
本研究将Riehl与Verity关于准范畴Eilenberg-Moore对象保极限的结果推广到多类带结构的$(\n\infty,1)$-范畴模型，证明仅需图中一个态射保结构时就存在含插入子、等化子的松弛态射极限，给出了这类极限存在的最小条件与清晰解释。
2025-05-21 math.AT math.CT
Categories for the practising physicist
在这一章中，我们将以一种有点非传统的方式来考察范畴论中的一些特殊主题。我们的主要重点将是monoidal范畴，主要是对称的，我们提出了一个物理解释。这些与量子基础和量子信息学特别相关。特别注意的范畴，其中有有限维希尔伯特空间作为对象，线性映射作为态射，张量积作为其monoidal结构（FdHilb）。我们还提供了一个详细的讨论范畴的集合作为对象，关系作为态射，和carnival产品作为其monoidal结构（Rel），第三，范畴与流形作为对象和cobordisms之间作为态射（2Cob）。虽然集合、希尔伯特空间和流形不共享任何非平凡的共同结构，但这三个类别实际上在结构上非常相似。共同的特点是图解演算，紧凑的封闭结构和特殊类型的内部commonies发挥了重要作用，在每一个。范畴FdHilb和Rel还允许范畴矩阵演算。这些特征一起引导我们走向拓扑量子场论。我们还讨论了姿态范畴，群表示如何实际上是范畴结构，以及monoidal范畴的严格化和连贯性是什么。为了补充现有的文献，我们省略了一些非常基本的主题。对于这些，我们建议读者参考其他可用的来源。
2009-10-12 math-ph math.CT math.MP
