Subsets of Rectifiable curves in Hilbert Space-The Analyst's TSP
本文研究希尔伯特空间中的一维集合（豪斯多夫维数）.其目的是分类子集的希尔伯特空间所包含的一个连接集的有限豪斯多夫长度。我们这样做的扩展和改进的结果彼得琼斯和凯特Okikiolu集$\R^d$。他们的结果形成了$\R^d$定量校正的基础。我们证明了以下陈述的定量版本：有限豪斯多夫长度（或一个子集）的连通集，其特征在于以下事实：在大多数尺度上，球内的大多数点的集合，该集合位于接近直线段（这取决于球）。这是通过一个量来完成的，类似于\cite{Jones90}中引入的量，它是平方函数的几何模拟。这使我们能够得出结论，对于给定的集合$K$，这个量的$\ell_2$范数（它是$K$的函数）具有与包含$K$的最短（豪斯多夫长度）连通集相当的大小。特别是，我们的结果意味着，与正确的重新制定的定理，估计在\cite{Jones90,Okik92}是{ \bf独立的环境尺寸}。
2007-05-20 math.CA math.MG
Rectifiability, interior approximation and Harmonic Measure
本文证明了任意$n$ -可求长集$E\subset \mathbb{R}^{n+1}$，$n\ge 1$，满足较低ADR条件的弱形式，且具有局部有限$H^n$（$n$ -维Hausdorff）测度的一个结构定理.也就是说，$H^n$ -几乎所有的$E$可以覆盖的边界包含在$\mathbb{R}^{n+1}\setminus E$有界Lipschitz域的可数并。因此，对于这样一个集合$E$的补集中的调和测度，我们建立了一个非退化条件，这相当于说$H^n|_E$关于调和测度是“绝对连续的”，在这个意义上，具有严格正$H^n$测度的$E$的任何Borel子集在$\mathbb{R}^{n+1}\setminus E$的某些连通分量中具有严格正的调和测度。我们还提供了一些反例，说明我们关于调和测度的结果是最优的.此外，我们表明，如果，此外，一组$E$如上所述是一个连通域$Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$满足无穷小内部厚度条件的边界，那么$H^n|_{\partialΩ}$是绝对连续的（在通常意义下）关于调和测度$Ω$。这些结果的本地版本也证明：如果只是一些片的边界是$n$ -可求长的，那么我们得到相应的绝对连续的那片。由于这一结果和最近的结果阿扎姆-霍夫曼-马特尔-梅博罗达-马戈格洛-托尔萨-沃尔伯格，我们可以分解边界的任何开放的连接集满足上述条件的两个不相交的部分：…
2018-10-09 math.AP math.CA
Cantor sets with absolutely continuous harmonic measure
我们构造了平面上的小维Ahlfors正则Cantor集$K$，使得$K$上的Hausdorff测度等价于与它的补集相关的调和测度.特别地，当$\mathrm{dist} (x, K) \le 1$和$p$远离$K$时，$R^2 \backslash K$中的格林函数满足$G^p (x) \simeq \mathrm{dist} (x, K)^δ$。
2023-03-03 math.AP math.CA
Rectifiable measures, square functions involving densities, and the Cauchy transform
本文给出了两个相关结果的证明。第一个定理断言，如果$μ$是$\mathbb R^d$中的Radon测度，满足$$\limsup_{r\to 0} \frac{μ(B(x,r))}{r}>0\quad \text{ and }\quad \int_0^1\left|\frac{μ(B(x,r))}{r} - \frac{μ(B(x,2r))}{2r}\right|^2\,\frac{dr}r< \infty$$，则$μ$ -a.e. $x\in\mathbb R^d$，则$μ$是可校正的。由于逆蕴涵是已知的，这产生了以下特征的可求积集：一个集$E\subset\mathbb R^d$有限$1$ -维Hausdorff测度$H^1$是可求积的当且仅当$$\int_0^1\left|\frac{H^1(E\cap B(x,r))}{r} - \frac{H^1(E\cap B(x,2r))}{2r}\right|^2\,\frac{dr}r< \infty \quad\mbox{ for $H^1$-a.e. $x\in E$.}$$第二个结果的文件涉及之间的关系，一个类似的平方函数在复平面和柯西变换$C_μf(z) = \int \frac1{z-ξ}\,f(ξ)\,dμ(ξ)$。假设$μ$具有线性增长，即，对于所有$z\in\mathbb C$和所有$r>0$，都是$μ(B(z,r)…
2015-01-31 math.AP math.CA
Approximate tangents, harmonic measure, and domains with rectifiable boundaries
设$Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$、$n \geq 1$是开连通集。将$\mathcal{T}_n$设为点集$ξ\in \partial Ω$，使得在$ξ$处存在$\partialΩ$的近似切$n$ -平面，并且$\partialΩ$在$ξ$处满足弱下Ahlfors-David $n$ -正则性条件。我们首先证明了$\mathcal{T}_n$可以被有界Lipschitz域的边界的可数并所覆盖。然后，设$\partial^\star Ω$是$\mathcal{T}_n$的一个子集，其中$Ω$满足适当的厚度条件，我们证明了$\partial^\star Ω$可以被包含在$Ω$中的有界Lipschitz域的边界的可数并所覆盖.作为推论，我们得到，如果$Ω$有局部有限周长，$\partialΩ$是弱下Ahlfors-David $n$ -正则的，和测量理论的边界与$Ω$的拓扑边界重合，直到一组$\mathcal{H}^n$ -测量零，那么$\partial Ω$可以覆盖，直到一组$\mathcal{H}^n$ -测量零，由一个可数的有界Lipschitz域的边界包含在$Ω$中。这意味着在这样的区域中，$\mathcal{H}^n|_{\partialΩ}$关于调和测度是绝对连续的。
2021-03-08 math.AP math.CA
Hausdorff measure and decay rate of Riesz capacity
本文研究了 Riesz 容量随指数趋近集合维数时的衰减行为，证明其可刻画 Hausdorff 测度，并推广到强可整流集合、欧氏子流形及严格自相似分形，同时给出 Riesz 能量倒数次可加性的纯测度论证明。
2024-09-04 math.CA
Rectifiability of harmonic measure in domains with porous boundaries
本文证明了：如果$n\geq 1$，$Ω\subset \mathbb R^{n+1}$是一个具有多孔边界的连通区域，$E\subset \partialΩ$是一个有限的正Hausdorff $H^{n}$ -测度的集合，在这个集合上调和测度$ω$关于$H^{n}$是绝对连续的，则$ω|_E$集中在一个$n$ -可求长集上.
2015-05-29 math.AP math.CA
The mutual singularity of harmonic measure and Hausdorff measure of codimension smaller than one
设$Ω\subset\mathbb R^{n+1}$是开的，并且对于某些$s\in(n,n+1)$，设具有$0<H^s(E)<\infty$的$E\subset \partialΩ$满足局部容量密度条件。本文证明了调和测度在$E$上不能与$H^s$相互绝对连续.这就回答了Azzam和Ruggoglou的一个问题，他们在附加假设$Ω$是一致域的情况下证明了同样的结果。
2019-04-25 math.AP math.CA
Hausdorff-Young type theorems for the Laplace transform restricted to a ray or to a curve in the complex plane
设p和q是共轭指数，p在[1，2]中。证明了拉普拉斯变换有界地作用于正实半轴上单位权的Lp空间和右复半平面上被良投影测度（文中定义了良投影测度）加权的Lq空间之间.算子范数在具有相同“投影常数”的测度类上一致有界。特殊情况是某些类可求长曲线上的弧长测度。此外，在“错误”指数p>2的情况下，得到了Lorentz空间中Hausdorff-Young不等式的一个类似结果.
2011-09-28 math.CA
A note on topological dimension, Hausdorff measure, and rectifiability
本文的目的是对一般度量空间记录David Bate最近的一个结果的一个推论。证明了如下事实：设$X$是拓扑维数为$n$的紧度量空间.设$X$的$n$维Hausdorff测度$\mathcal H^n(X)$是有限的.进一步假设测度$\mathcal H^n$的低n-密度是正的，$\mathcal H^n$ -几乎在$X$中的任何地方。则$X$包含正$\mathcal H^n$ -测度的$n$ -可求长子集.此外，如果使用最近宣布的Csörnyei-Jones的结果，则不需要对较低密度的假设。
2018-07-07 math.CA math.MG
Hausdorff Dimension of Union of Lines Covering a Curve: Applications to Mathematical Physics
研究证明非线性函数图像覆盖线的豪斯多尔夫维数下界为1+α，并应用于物理中守恒律的可观察集维数及向量场总通量的维数分析。
2026-03-31 math.AP math.CA
Generating Point Configurations via Hypersingular Riesz Energy With an External Field
对于一个紧凑的$ d $维可求长子集的$ \mathbb{R}^{p} $，我们研究渐近性质$N$点配置$ N\to\infty $最小化所产生的能量从Riesz $ s $ -潜在的$ 1/r^s $和外部场在超奇异的情况下$ s\geq d$。给出了这类最优点集的归一化计数测度的弱$ ^* $极限和最小能量的一阶渐近值。作为一个应用程序，我们推导出一种方法，用于生成配置的归一化计数措施收敛到一个给定的绝对连续的措施上支持的可求长子集$ \mathbb{R}^{p} $。给出了离散极小解的分离性和覆盖性的结果。我们的定理说明了几个数值例子。
2016-10-11 math-ph math.CA math.MP
Rectifiability of harmonic measure
本文证明了对任何开连通集$Ω\subset\mathbb{R}^{n+1}$，$n\geq 1$，以及任何具有$\mathcal{H}^n(E)<\infty$的$E\subset \partial Ω$，调和测度$ω$关于$E$上的Hausdorff测度的绝对连续性蕴涵着$ω|_E$是可求长的.这解决了一个关于调和测度的公开问题，即使在平面情形$n=1$中，这个问题也是一个古老的猜想。
2015-12-09 math.AP math.CA
The dimensions of Hausdorff and Mendes France. A comparative study
本文对平面上两类简单曲线进行了比较研究。一方面，我们得到了单位区间上的分形曲线，它们具有自相似的结构，并伴随着一个豪斯多夫维数。另一方面，我们有相反的：一类局部可求长的无界曲线，它有另一个由M定义的“分数维”。法国门德斯。我们提出了一个几何建设性的过程，将使我们能够获得-作为一系列的多边形曲线的限制-一条曲线的第一家庭，由压缩变换;和另一个第二家庭，由膨胀变换。由于这一过程的连接曲线从两个家庭，我们能够比较他们的尺寸-我们在这项工作中的目的-并获得有趣的结果，如平等的情况下，后者严格的自相似性。
2000-04-10 math-ph math.CA math.MG
On the Hausdorff Continuity of Free Lèvy Processes and Free Convolution Semigroups
令$μ$表示Borel概率测度，$\{ μ_{t} \}_{t\geq 1}$表示Nica和Speicher的自由加卷积半群.我们表明，这些措施的支持不断变化的Hausdorff度量$t >1$。我们利用复杂的分析方法，特别是，由于黄的绝对连续的部分，这些支持的表征。
2016-07-29 math.CA math.OA math.PR
The Riesz transform, rectifiability, and removability for Lipschitz harmonic functions
我们证明了，给定一个具有有限$n$ -Hausdorff测度$H^n$的集合$E\subset \mathbb R^{n+1}$，如果$n$ -维里斯变换$$R_{H^n|E} f(x) = \int_{E} \frac{x-y}{|x-y|^{n+1}} f(y) dH^n(y)$$在$L^2(H^n|E)$中有界，则$E$是$n$ -可求积的.从这个结果我们推出了一个紧集$E\subset\mathbb R^{n+1}$与$H^n(E)<\infty$是Lipschitz调和函数可去的当且仅当它是纯粹的$n$ -不可求长的，从而证明了Vitushkin猜想在高维的类比.
2013-12-05 math.AP math.CA
Square packings and rectifiable doubling measures
本文利用平面正方形填装观察构造高维 Lipschitz 像，证明 $\mathbb{R}^d$ 上存在 $m$-可整流且纯 $(m-1)$-不可整流的加倍测度，并应用于海森堡群及 Assouad 维数受限的紧度量空间。
2025-05-07 math.CA math.MG
$L^2$-boundedness of gradients of single layer potentials and uniform rectifiability
设$A(\cdot)$是具有Hölder连续实系数的$(n+1)\times (n+1)$一致椭圆矩阵，$\mathcal E_A(x,y)$是$\mathbb R^{n+1}$中PDE $\mathrm{div} A(\cdot) \nabla u =0$的基本解.设$μ$是$\mathbb R^{n+1}$中紧支撑的$n$-AD-正则测度，并考虑相应的算子$$T_μf(x) = \int \nabla_x\mathcal E_A(x,y)\,f(y)\,dμ(y).$$，证明了若$T_μ$在$L^2(μ)$中有界，则$μ$是一致$n$ -可求长的.这将Riesz变换的余维$1$ David-Semmes问题的解决方案扩展到单层势的梯度。与Conde-Alonso，Ruggoglou和Tolsa以前的结果一起，这表明，给定具有有限Hausdorff测度$\mathcal H^n$的$E\subset\mathbb R^{n+1}$，如果$T_{\mathcal H^n|_E}$在$L^2(\mathcal H^n|_E)$中有界，则$E$是$n$ -可求长的。此外，作为应用，我们表明，如果椭圆测度相关的上述偏微分方程是绝对连续的表面措施，那么它必须是可求长的，类似于发生什么与调和措施。
2019-09-05 math.CA
Harmonic measure and quantitative connectivity: geometric characterization of the $L^p$-solvability of the Dirichlet problem. Part I
设$Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$是一个开集，不一定连通，有一个$n$维一致可求长边界。我们表明，$\partialΩ$可以近似在“大件”的意义上的边界的弦弧子域的$Ω$，因此，调和测度$Ω$是弱$A_\infty$相对于表面测量$\partialΩ$，只要$Ω$满足一定的弱版本的局部约翰条件。在进一步假设$Ω$满足内部Corkscrew条件下，结合我们以前的工作，以及Azzam，Jugoglou和Tolsa最近的工作，得到了调和测度关于表面测度是定量绝对连续的域的几何刻画，从而刻画了相关的$L^p$ -狄利克雷问题对于某些有限的$p$是可解的.
2018-07-09 math.AP math.CA
Frostman lemma revisited
我们研究了Frostman引理的各种推广的清晰度。这些推广提供了更好的估计较低的豪斯多夫维数的措施。作为推论，我们证明了：如果函数$f$在$d$变量中的广义各向异性梯度$(\partial_1^{m_1} f, \partial_2^{m_2} f,\ldots, \partial_d^{m_d} f)$是有界变差的测度，那么这个测度关于Hausdorff $d-1$维测度是绝对连续的.
2022-04-22 math.CA
Principal values for Riesz transforms and rectifiability
设$E\subset R^d$具有$H^n(E)<\infty$，其中H^n表示$n$维Hausdorff测度。本文证明了E是n-可求长的当且仅当极限$$\lim_{\ve\to0}\int_{y\in E:|x-y|>\ve} \frac{x-y}{|x-y|^{n+1}} dH^n(y)$$在E中几乎几乎处处存在H^n-。为了证明这一结果，我们得到精确的估计，从上面和下面的n维里斯变换Lipschitz图的$L^2$范数。
2007-08-01 math.CA math.FA
Tangent measures and absolute continuity of harmonic measure
证明了对于边界满足一定非退化条件的均匀域$Ω\subseteq \mathbb{R}^{d+1}$，除非$α\leq d$，否则调和测度不能相对于$α$维Hausdorff测度相互绝对连续.我们采用的引理表明，在几乎每一个非退化点，我们可以找到一个正切测度的调和测度的支持是另一个统一的域的边界，其调和测度类似的正切测度。
2016-06-02 math.AP math.CA
An Analyst's Traveling Salesman Theorem for sets of dimension larger than one
在他1990年的Inventions论文中，P. Jones通过$β$数的多尺度和来描述平面上可求长曲线的子集。这些$β$ -数是几何量，测量给定集合在每个尺度和位置处偏离最佳拟合线的程度。琼斯的结果是一种定量的方式说，一条曲线是可求长的，当且仅当它几乎在每一点都有切线。此外，计算曲线的平方和将曲线的长度返回到乘法常数。K. Okikiolu延长他的结果从子集的飞机子集的欧几里得空间。G. David和S.塞姆斯在阿尔福斯正则性的假设下，使用琼斯的$β$数的一个变体，将讨论扩展到包括大于1的（整数）维集合。本文对欧几里得空间中的任意（整数）维集合给出了P. Jones定理的一个版本。我们用$β$型数的类似和来估计一个集合的$d$维Hausdorff测度.没有假设Ahlfors正则性，而是只有Hausdorff内容的下界。我们通过使用Choquet积分来重新定义Jones的$β$ -数，从而适应David和Semmes的版本。证明中的一个关键工具是G.大卫和T. Toro的参数化Reifenberg平坦集（与洞）。
2019-11-21 math.CA math.MG
Characterizing rectifiability via biLipschitz pieces of Lipschitz mappings on the space
本文给出了可求长度量空间的新刻画：通过Lipschitz映射的biLipschitz片段及完全biLipschitz分解，并利用独立Alberti表示构造方法，将不可求长空间刻画为存在与低维映射定量横截的曲线片段上$\cH^1$-零测集的空间。
2025-10-15 math.CA math.MG
Absolute continuity of complex Bernoulli convolutions
我们证明了复Bernoulli卷积是绝对连续的超临界参数区域，一个例外的零豪斯多夫维数的参数集之外。类似的结果也得到了有偏的情况下，和其他参数化家庭的自相似集和措施在复平面，推广早期的结果。
2015-04-02 math.CA math.DS
Tangents to Lipschitz and Sobolev images
University of Connecticut（康涅狄格大学）；University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）；The University of Tennessee（田纳西大学）
本文研究了Lipschitz和Sobolev映射像的切线性质，证明了在特定条件下图像具有唯一的切集或切线，并展示了如何通过包装内容有限性来升级近切线。
2026-01-30 math.CA math.MG
Carleson measure estimates and $ε$-approximation of bounded harmonic functions, without Ahlfors regularity assumptions
令$Ω$为$\mathbb{R}^{d+1}$中的域$d \geq 1$。在文献[HMM 2]和[GMT]中证明了：若$Ω$满足螺旋条件，且$\partial Ω$是$d$-Ahlfors正则的，即对所有$x \in \partial Ω$和$0 < r < {\rm diam}(\partial Ω)$都是Hausdorff测度$\mathcal{H}^d(B(x,r) \cap \partial Ω) \sim r^d$，则$\partial Ω$是一致可求积的当且仅当（a）对于$Ω$上的每个有界调和函数，平方函数Carleson测度估计成立，或（b）$\varepsilon$ -所有$0 < \varepsilon <1$的近似性质。在这里，我们探讨（a）和（b）当$\partial Ω$不需要是Ahlfors规则的。我们首先证明了对于任何定义域$Ω$，存在一个定义域$\widetilde Ω\subset Ω$使得$\partial Ω\subset \partial \widetilde Ω$和$\partial \widetilde Ω$是一致可求积的，（a）和（b）成立.接下来，我们假设$Ω$满足螺旋形条件，并且$\partial Ω$满足容量密度条件。在这些假设下，我们反过来证明了这样的$\widetilde Ω$的存在性意味着（a）和（b）在$Ω$上成立，并给出了…
2020-07-26 math.CA
Tangent measures of elliptic harmonic measure and applications
切测度和blow-up方法是理解区域边界的无穷小结构与其调和测度行为之间关系的有力工具。本文介绍了一种研究任意域上椭圆测度的切测度的方法，该域上的椭圆测度与系数在边界处具有零平均振荡的散度型椭圆算子（可能是非对称的）有关.在此设置中，我们为域$ Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$显示以下内容：1.我们推广了Kenig，Preiss和Toro [KPT 09]的结果，证明了{ \it any}域的内外椭圆测度的相互绝对连续性，并暗示了正切测度是a.e.平坦且椭圆测度具有维数$n$。2.本文推广了Kenig和Toro [KT 06]的工作，证明了一般域上的二重内外椭圆测度的VMO等价性意味着正切测度总是椭圆多项式. 3.在满足容量密度条件、边界局部有限且具有a.e.正的下$n$ -Hausdorff密度，证明了若椭圆测度关于$n$ -Hausdorff测度绝对连续，则边界可求长.这概括了阿克曼、巴杰、霍夫曼和马特尔的工作[ABHM 17]。最后，推广了[Bad 11]的一个主要结果，证明了如果$ω$是Radon测度，且在一点的所有切线测度都是在原点消失的调和多项式，则它们都是齐次调和多项式.
2017-08-11 math.AP math.CA math.MG
On dimension and regularity of bundle measures
本文对某些向量值测度的傅里叶变换的反对称性进行了量化。引入的尺度与内山定理中出现的条件有关，并用于给出这些测度的可求长维数的下界。此外，我们得到的估计较低的豪斯多夫维数假设某些更严格的版本的$2$波锥条件。我们考虑的结果可以被看作是一个不确定性类型的原则，在以下方式：这是不可能的同时本地化（束）措施和方向的傅里叶变换的小集合。所研究的类以BV函数的梯度为例进行建模。文章还包含一个定理关于正则性：我们证明了元素考虑类消失1-纯粹不可求长集。我们的结果可用于研究偏微分方程约束测度的性质。
2020-01-30 math.CA math.FA
