Differentiability properties of Riesz potentials of finite measures and non-doubling Calderón-Zygmund theory
研究了维数d大于2的有限Borel测度的里斯位势的可微性.里斯核具有二维齐性。在二维中，我们考虑对数势。我们引入了容量意义下的可微性的概念，容量在大于2的维度上是牛顿容量，在平面上是维纳容量。结果表明，在一个点上的容量意义下的可微性与关于齐次1-d的向量值里斯位势x/ |x| ^d的测度的主值的存在性有关。这导致了非加倍测度的卡尔德龙-齐格蒙德理论。证明了有限Borel测度的里斯位势在容量意义下是可微的，但C^1-调和容量为零的情形除外。这个结果是尖锐的。令人惊讶的是，在平面上有两个不同的概念，在能力意义上的可微性。对于他们中的每一个，我们得到的最好的可能结果的大小的例外集的Hausdorff措施。在维数大于2的情形下，得到了具有例外集的零勒贝格测度的Peano二阶可微性在容量意义下的结果.最后，我们应用这些结果找到了平衡测度关于勒贝格测度奇异的一个新的证明。
2017-06-14 math.CA
Hausdorff dimension of measures with arithmetically restricted spectrum
基于谱的算术性质，我们给出了单位圆上测度的低豪斯多夫维数的估计.通过将抽象$q$ -正则鞅的一个一般结果应用于Gundy-Varopoulos倒向鞅，得到了我们的界.为了显示我们的方法的清晰度，我们改进了最好的已知的数值下界的豪斯多夫维数的某些Riesz产品。
2020-02-15 math.CA
Maximizing Riesz capacity ratios: conjectures and theorems
本文研究紧集上Riesz容量比的最大化问题，刻画了不同参数区域中球、正则单纯形顶点和区间端点等最优形状，并证明了一维和二维情形下第三象限的多种最大化结果。
2024-10-18 math.CA
Square function and Riesz transform in non-integer dimensions
最近，X. Tolsa和A. Ruiz de Villa [非整数维度的带符号里斯变换的主值不存在，预印本]，我们证明了与里斯变换相关的平方函数关于Hausdorff测度的有限性$H^s$意味着$s$是整数。
2009-06-15 math.CA math.FA
Non existence of principal values of signed Riesz transforms of non integer dimension
本文证明了：当s> 0时，若E是R ^m的一个子集，具有正的有界s维Hausdorff测度H ^s和H ^s的s维符号里斯变换的主值|E中几乎处处存在H ^s-，则s为整数.这个结果的其他更一般的变体也被证明。
2008-12-12 math.CA math.FA
Jacques Peyrière et les produits de Riesz
雅克Peyrière研究Riesz产品与一组给定的频率和相应的系数：相互奇异性或绝对连续性的措施所定义的两个产品，豪斯多夫维数的集进行这种措施，多重分形分析。本文从Peyrière的结果出发，给出了研究同样问题的新方法。由于Riesz积也是Sidon集的一个重要工具，因此给出并评论了Pisier和Bourgain利用拟独立集对Sidon集的刻画。最后给出了一个<<big>>拟独立集的初等构造.报纸是法文的。一个英文导言解释了为什么它将不会在它打算为之撰稿的书中出版。
2010-03-24 math.CA
Riesz capacity ratios with negative exponents
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本研究结合计算与严格分析，证明负指数Riesz容量比的尖锐不等式，提出奇数多边形平衡测度猜想，并证明高维正单纯形优于球，附代码支持复现。
2026-09-11 math.CA
Riesz capacities of a set due to Dobiński
本研究引入二进类似Riesz (a,p)-容量的方法，刻画了使Dobiński集(a,p)-Riesz容量为正的参数范围，证明其具有正对数容量，解决了三位学者提出的相关问题。
2021-11-11 math.CA math.NT
Principal values for Riesz transforms and rectifiability
设$E\subset R^d$具有$H^n(E)<\infty$，其中H^n表示$n$维Hausdorff测度。本文证明了E是n-可求长的当且仅当极限$$\lim_{\ve\to0}\int_{y\in E:|x-y|>\ve} \frac{x-y}{|x-y|^{n+1}} dH^n(y)$$在E中几乎几乎处处存在H^n-。为了证明这一结果，我们得到精确的估计，从上面和下面的n维里斯变换Lipschitz图的$L^2$范数。
2007-08-01 math.CA math.FA
Riesz transforms of non-integer homogeneity on uniformly disconnected sets
本文利用$d-1<s<d$，得到了$\mathbb R^d$中Cantor集上支持的非常一般测度上$s$维里斯变换的$L^2$范数的精确估计.从这些估计，我们推断，对于所谓的一致断开的紧集，与里斯核$x/|x|^{s+1}$的容量$γ_s$是可比的容量$\dot{C}_{\frac{2}{3}(d-s),\frac{3}{2}}$从非线性位势论。
2014-09-04 math.AP math.CA
Rigidity of reflectionless Riesz measures and Sobolev estimates for Riesz transforms on Lipschitz graphs
Beijing Institute of Technology（北京理工大学）；City University of Hong Kong（香港城市大学）
本文针对Xavier Tolsa提出的正无反射测度刚性猜想，在多项式增长和单点大尺度下质量界条件下，证明了两类平坦性结果，并建立了Lipschitz图上Riesz变换的Sobolev估计。
2026-09-29 math.CA
The Riesz transform, rectifiability, and removability for Lipschitz harmonic functions
我们证明了，给定一个具有有限$n$ -Hausdorff测度$H^n$的集合$E\subset \mathbb R^{n+1}$，如果$n$ -维里斯变换$$R_{H^n|E} f(x) = \int_{E} \frac{x-y}{|x-y|^{n+1}} f(y) dH^n(y)$$在$L^2(H^n|E)$中有界，则$E$是$n$ -可求积的.从这个结果我们推出了一个紧集$E\subset\mathbb R^{n+1}$与$H^n(E)<\infty$是Lipschitz调和函数可去的当且仅当它是纯粹的$n$ -不可求长的，从而证明了Vitushkin猜想在高维的类比.
2013-12-05 math.AP math.CA
Limits of Discrete Energy of Families of Increasing Sets
Hari Nathan（独立研究者）
研究点序列填充集合时，探讨其里斯能量离散类似物对集合豪斯多夫维数的界定，还涉及在数据科学及相关问题中的应用。
2026-07-17 cs.LG math.CA math.MG
Analog version of Hausdorff--Young's theorem for quadratic Fourier transforms and boundedness of oscillatory integral operator
本文基于 Riesz--Thorin 插值定理证明了二次 Fourier 变换和线性正则变换的 Hausdorff--Young 型不等式，并研究了多项式相位振荡积分算子的有界性。
2024-08-28 math.CA math.FA
Condensers with touching plates and constrained minimum Riesz and Green energy problems
我们研究最小能量问题相对于$α$ - Riesz核$|x-y|^{α-n}$，$α\in(0,2]$，在签署氡措施$μ$上$\mathbb R^n$，$n\geqslant3$，与广义冷凝器$(A_1,A_2)$，其中$A_1$是一个相对封闭的域$D$和$A_2=\mathbb R^n\setminus D$的子集。我们表明，虽然$A_2\cap\mathrm{Cl}_{\mathbb R^n}A_1$可能有非零容量，这个最小能量问题是唯一可解的（即使在存在的外部字段），如果我们限制自己的$μ$与$μ^+\leqslantξ$，其中一个约束$ξ$是适当的选择。我们建立了清晰的充分条件，从而获得的可解性，提供的加权$α$ - Riesz电位的解决方案的描述，挑选出他们的特征属性，并分析他们的支持。该方法主要是建立在与$(A_1,A_2)$相关的符号测度上的约束最小$α$ -Riesz能量问题和$A_1$承载的正测度上的约束最小$α$ -Green能量问题之间的密切关系上。最后用实例说明了结果。
2018-10-25 math.CA
$p$-capacity with Bessel convolution
本文用贝塞尔卷积和贝塞尔核定义并研究了非线性势。研究了Laplace-贝塞尔不等式的可去集.通过研究极大测度和分式极大测度，证明了一个Wolff型不等式.最后讨论了B- $p$容度与B-Lipschitz映射的关系，B- $p$容度与加权Hausdorff测度的关系以及Cantor集的B- $p$容度.
2023-03-23 math.CA
A Note on Capacity Muckenhoupt Weights with respect to the Hausdorff Content
本文证明在固定指标 p 时，Capacity Muckenhoupt 权类关于指标 δ 不满足自改进性质，补充了该类权性质的研究。
2026-10-01 math.CA math.FA
Constrained minimum Riesz and Green energy problems for vector measures associated with a generalized condenser
对于$\mathbb R^n$，$n\geqslant3$中的局部闭集的有限集合$\mathbf A=(A_i)_{i\in I}$，我们考虑了正向量Radon测度$\boldsymbolμ=(μ^i)_{i\in I}$上相对于$α$ - Riesz核$|x-y|^{α-n}$，$α\in(0,2]$的最小能量问题，使得每个$μ^i$，$i\in I$由$A_i$携带，并由$μ^i(A_i)=a_i\in(0,\infty)$归一化.我们表明，虽然封闭的带相反电荷的板可能会相互交叉，即使在一组非零容量，这个问题有一个解决方案$\boldsymbolλ^{\boldsymbolξ}_{\mathbf A}=(λ^i_{\mathbf A})_{i\in I}$（也存在一个外部字段），如果我们限制自己的$\boldsymbolμ$与$μ^i\leqslantξ^i$，$i\in I$，其中的约束$\boldsymbolξ=(ξ^i)_{i\in I}$是适当的选择。我们建立了清晰的充分条件，从而获得的可解性，提供的加权矢量$α$-Riesz势的解决方案的描述，挑选出他们的特征性质，并分析支持的$λ^i_{\mathbf A}$，$i\in I$。我们的方法是基于同时使用的模糊拓扑结构和适当的半度量结构定义的$α$ -Riesz能量与$\mathbf A$的一组向量的措施，以及建立一个…
2018-02-19 math.CA
The Riesz transform of codimension smaller than one and the Wolff energy
修复$d\geq 2$和$s\in (d-1,d)$。刻画了$\mathbb{R}^d$中非负局部有限的非原子Borel测度$μ$，使得相应的$s$ -里斯变换在$L^2(μ)$中以Wolff能量有界.这扩展了$s$的范围，其中具有有界$s$ -里斯变换的测度的Mateu-Prat-Verdera特征是已知的。作为应用，我们利用非线性位势理论中的一个著名的容量，给出了分数Laplacian算子$(-Δ)^{α/2}$，$α\in (1,2)$的局部Lipschitz连续解的可去集的度量刻画.这一结果与Lipschitz调和函数的可移除性结果形成鲜明对比。
2016-02-28 math.AP math.CA
Balls minimize moments of logarithmic and Newtonian equilibrium measures
本文证明在给定容量下，三维集合中球体最小化静电平衡测度的矩，二维中圆盘在 $q\leq2$ 时最小化，并推广至更高维，提出 Riesz 矩的开放问题。
2024-03-19 math.CA
Classifying Triebel-Lizorkin capacities in metric spaces
本文研究度量测度空间中的非局部容量，厘清三类 Triebel-Lizorkin 容量与 Riesz 容量的关系，并据此给出 Hajlasz-Triebel-Lizorkin 容量密度条件的刻画。
2024-03-19 math.AP math.CA
Balayage for Riesz kernels with application to potential theory for the associated Green kernels
本文研究了整环$D\subset\mathbb R^n$的$α$--$0<α\leqslant2$阶的绿核$g_D^α$的性质，$n\geqslant3$ .该内核与$α$-Riesz内核$|x-y|^{α-n}$、$x,y\in\mathbb R^n$以在$α=2$情况下特别公知的方式相关联。除了位势论的一般原理外，我们还建立了$α$ -Green核的相容性.这使我们能够证明$μ$上的正测度锥的完备性，在由能量范数$\|μ\|_{g_D^α}=\sqrt{g_D^α(μ,μ)}$定义的拓扑结构中，$D$具有有限能量$g_D^α(μ,μ):=\iint g_D^α(x,y)\,dμ(x)\,dμ(y)$，以及在有限$α$-Green容量的$D$中的相对封闭集合中存在$α$ -Green平衡测度。主要的工具是一个推广的Cartan的平衡（清扫）理论的牛顿核$α$ -里斯核与$0<α<2$。
2017-08-30 math.CA math.CV
Intermediate dimensions of measures: Interpolating between Hausdorff and Minkowski dimensions
本文定义了介于豪斯多夫和闵可夫斯基维度之间的测度中间维度，填补了测度维度插值研究中的空白，并提出了反Frostman引理和容量理论方法。
2025-11-20 math.CA
Priors leading to well-behaved Coulomb and Riesz gases versus zeroth-order phase transitions -- a potential-theoretic characterization
我们给一个潜在的理论表征先验的财产，相应的库仑气体是“行为良好的”，同样为更一般的Riesz气体。这意味着相应的随机点过程的经验测度的定律满足大偏差原理，其速率泛函连续依赖于温度，在伽玛收敛的意义下。同样，在平均场区域，在零温度下没有零级相变。这被证明是一个紧凑的Lipschitz超曲面上的Hausdorff措施的情况下，以及Lesbesgue措施的有界Lipschitz域。我们还提供了建设的先验知识，绝对连续的勒贝格措施上的光滑有界域，使相应的二维库仑表现出零阶相变。这是基于正交多项式理论中的Ullman准则和Bernstein-Markov不等式的关系。
2021-12-06 cond-mat.stat-mech math-ph math.CA
Favard length of non-homogeneous random disc-like Cantor sets
本文研究了非齐次随机四角康托尔集的Favard长度衰减，给出了尖锐估计，证明了Mattila下界的尖锐性，并构造了正解析容量但零Favard长度的新例子。
2026-09-29 math.CA
The mutual singularity of harmonic measure and Hausdorff measure of codimension smaller than one
设$Ω\subset\mathbb R^{n+1}$是开的，并且对于某些$s\in(n,n+1)$，设具有$0<H^s(E)<\infty$的$E\subset \partialΩ$满足局部容量密度条件。本文证明了调和测度在$E$上不能与$H^s$相互绝对连续.这就回答了Azzam和Ruggoglou的一个问题，他们在附加假设$Ω$是一致域的情况下证明了同样的结果。
2019-04-25 math.AP math.CA
Symmetric function kernels and sweeping of measures
这是一个潜在的理论研究balayage（清扫）的一个积极的氡措施在局部紧（Hausdorff）空间到一个封闭的，或更一般的quasiclosed集（即，一套可以近似的外容量的封闭集）。设置是相对于一个合适的正对称函数核的电位。按照Choquet（1959），我们考虑能量容量，不是作为一个集函数，而是作为一个泛函，作用于正的数值函数。限制在所讨论的集合上的势的上容量的有限性对于扫掠的可能性是足够的。
2016-05-27 math.CA
An alternative concept of Riesz energy of measures with application to generalized condensers
鉴于最近的一个例子，正氡测量$μ$在一个域$D\subset\mathbb R^n$，$n\geqslant3$上，使得$μ$是有限的能量$E_g(μ)$相对于$α$ -绿色内核$g$在$D$上，虽然能量$μ-μ^{D^c}$相对于$α$ - Riesz内核$|x-y|^{α-n}$，$0<α\leqslant2$，没有很好地定义（这里$μ^{D^c}$是$μ$到$D^c=\mathbb R^n\setminus D$上的$α$-Riesz扫描测量），我们提出了一个较弱的$α$-Riesz能量概念，其中这个缺陷已经被消除。本文将这一概念应用于研究与广义凝聚体${\mathbf A}=(A_1,D^c)$相关的$\mathbb R^n$上的Radon测度上的最小弱$α$-Riesz能量问题，其中$A_1$是$D$的一个相对封闭的子集.这个问题的解决方案存在当且仅当$A_1$的$g$ -容量是有限的，这反过来又成立当且仅当存在所谓的冷凝器$\mathbf A$的测量，其存在性在不同的设置由Beurling，Deny，Kishi，Bliedtner和Berg分析过。我们的分析是特别是根据我们最近的结果上的完整性锥的所有积极的氡措施$μ$ $D$有限$E_g(μ)$在度量所确定的规范$\|μ\|_g:=\sqrt{E_g(μ)}$。我们还表明，前希尔伯特空间的氡措施$\mathbb R^n…
2018-03-28 math.CA math.CV
Boundary exceptional sets for radial limits of superharmonic functions on non-positively curved Harmonic manifolds of purely exponential volume growth
本文研究了纯指数体积增长非正曲率Harmonic流形上，函数沿径向测地射线发散的边界例外集大小，利用Poisson积分和Green位势获得了Hausdorff维数的尖锐界限与上界，并结合Riesz分解定理得到了正上调和函数例外集维数的主要结果。
2023-09-11 math.CA math.DG
Quasiconformal maps, analytic capacity, and non linear potentials
本文证明了：若$ϕ:\C\to\C$是一个具有$K>1$的$K$ -拟共形映射，且$E\subset \C$是包含在球$B$中的紧集，则有$$\frac{\dot C_{\frac{2K}{2K+1},\frac{2K+1}{K+1}}(E)}{\diam(B)^{\frac2{K+1}}} \geq c^{-1} (\frac{γ(ϕ(E))}{\diam(ϕ(B))})^{\frac{2K}{K+1}},$$，其中$γ$表示解析容量，$\dot C_{\frac{2K}{2K+1},\frac{2K+1}{K+1}}$表示与非线性Riesz势有关的容量.因此，如果$E$不是$K$ -可移除的（即对于有界$K$ -拟正则映射是可移除的），则它具有正容量$\dot C_{frac{2K}{2K+1},\frac{2K+1}{K+1}}$。这改进了以前的结果，断言$E$必须有非$σ$ -有限Hausdorff测度的尺寸$2/(K+1)$。我们还表明，指数$\frac{2K}{2K+1}$，$\frac{2K+1}{K+1}$是尖锐的，Hausdorff规范函数不适当区分哪些集是$K$ -可移动的。因此，我们基本上解决了为$K$ -可移除性找到尖锐的“度量”条件的问题。
2012-05-09 math.CA math.CV
Geometric Bounds for Favard Length
本文发展新的几何技术估计Favard长度，证明Hausdorff维数与邻域Favard长度衰减率的关系，并证明自相似集各代Favard长度序列的凸性，从而为分形集合提供Favard长度下界。
2017-11-27 math.CA
Harmonic measure, equilibrium measure, and thinness at infinity in the theory of Riesz potentials
首先关注内部$α$ -调和测度$\varepsilon_y^A$（$\varepsilon_y$是单位Dirac测度，$μ^A$是Radon测度$μ$到$A\subset\mathbb R^n$任意的内$α$-Riesz平衡），描述了它的欧氏支集，给出了它的总质量的计算公式，建立了内$α$-$A$的不规则点外映射$y\mapsto\varepsilon_y^A$的Vague连续性，并得到$\varepsilon_y^A$具有有限能量（更一般地，$\varepsilon_y^A$相对于内容量是绝对连续的）以及$\varepsilon_y^A(\mathbb R^n)\equiv1$成立的充要条件。这些标准是根据新定义的$α$ -thinness和$α$ -ultrathinness at infinity的概念给出的，它们分别概括了Doob和Brelot的thinness at infinity的概念。进一步，通过验证公式$μ^A=\int\varepsilon_y^A\,dμ(y)$，将其中的一些结果推广到一般的$μ^A$.我们还证明了存在一个$K_σ$ -集$A_0\subset A$使得对所有的$μ$都有$μ^A=μ^{A_0}$，并给出了这个定理的各种应用.特别地，我们分别证明了内扫描的Vague连续性和强连续性。平衡，在$A$任意的近似下测量，从而加强了Fuglede为$A…
2020-06-22 math.CA math.CV
Inner Riesz pseudo-balayage and its applications to minimum energy problems with external fields
对于Riesz核$κ_α(x,y):=|x-y|^{α-n}$，$0<α<n$，在$\mathbb R^n$，$n\geqslant2$，我们介绍了内部伪平衡$\hatω^A$的（氡）措施$ω$ $\mathbb R^n$的一组$A\subset\mathbb R^n$作为（唯一）措施最小化高斯功能\[\intκ_α(x,y)\,d(μ\otimesμ)(x,y)-2\intκ_α(x,y)\,d(ω\otimesμ)(x,y)\]类$\mathcal E^+(A)$的所有正措施$μ$的有限能量，集中在$A$。对于相当一般的有符号$ω$（不一定是有限能量的）和$A$（不一定是闭的），这样的$\hatω^A$确实存在，并且它保持了正测度（在$α\leqslant2$时定义）的内平衡的基本特征，除了那些由控制原理所暗示的。(To为了说明后者，我们指出，与balayage发生的情况相反，正测度的内部伪balayage可能会增加其总质量。内伪平衡$\hatω^A$进一步被证明是一个强大的工具，在问题中最小化高斯功能在所有$μ\in\mathcal E^+(A)$与$μ(\mathbb R^n)=1$，这使我们能够大大提高许多最近的结果在这个话题上，通过加强他们的配方和/或通过扩展其应用领域。例如，如果$A$是非零内部容量$c_*(A)$的拟闭集，并且如果$ω$是有符号测度，在$\mathb…
2023-01-01 math.CA math.CV
Inner Riesz balayage in minimum energy problems with external fields
本文研究带外场的 Riesz 核最小能量问题，证明在拟闭集上内 balayage 具有有限能量时，解存在的充要条件为内容量有限或 balayage 总质量不小于1，并给出解的替代刻画与支集分析。
2023-11-29 math.CA math.CV
Analytic capacity and dimension of sets with plenty of big projections
本文研究具有大量大投影（PBP）的集合，证明其具有正解析容量及高维 Riesz 核容量对应结果，并建立 Analyst's Traveling Salesman 定理，推出 Hausdorff 维数与子集容量估计。
2024-06-21 math.CA math.MG
Projection theorems for macroscopic intermediate dimensions
Guangzhou University（广州大学）；Ningbo University（宁波大学）
本文提出宏观中间维数概念，证明无界集在典型线性子空间上的投影维数等于容量剖面，并计算了Moran集等例子的投影维数，应用于Lipschitz图和算术和集。
2026-10-06 math.CA
Fractional harmonic measure in minimum Riesz energy problems with external fields
本文研究带外场的最小 Riesz 能量问题，刻画了极小化子存在性的充要条件，并发现同一导体上两个符号相反的电荷在特定条件下不会发生补偿效应。
2023-11-29 math.CA math.CV
