Bilevel Polynomial Programs and Semidefinite Relaxation Methods
二层规划是一个最优化问题，其约束涉及另一个最优化问题。本文研究二层多项式规划（BPP），即，所有的函数都是多项式。我们重新制定BPPs相当于半无限多项式程序（SIPPs），使用弗里茨约翰条件和雅可比表示。结合交换技术和Lasserre型半定松弛，我们提出了求解简单和一般BPP的数值方法。对于简单的BPP，我们证明了全局最优解的收敛性。数值实验表明了算法的有效性。
2016-11-03 math.OC
Convergence rates of S.O.S hierarchies for polynomial semidefinite programs
本文提出一种 S.o.S 层级下界方法，通过惩罚函数处理矩阵半定约束，并基于 Jackson 定理和 Łojasiewicz 不等式推导出离散与连续多项式优化问题的收敛速率及正性认证所需多项式次数的新界限。
2025-10-17 math.OC
Polynomial-sized Semidefinite Representations of Derivative Relaxations of Spectrahedral Cones
我们给出了明确的多项式大小（在$n$和$k$）半定表示的双曲锥与$n$变量的初等对称多项式的程度$k$。这些凸锥形成非负正交的非多面体外近似的家庭，保持低维的面，而连续丢弃高维的面。更一般地，我们构造与$p(x) = \det(\sum_{i=1}^{n}A_i x_i)$形式的多项式的$k$次方向导数相关联的双曲性锥的显式半定表示（$k,m$和$n$中的多项式大小），其中$A_i$是$m\times m$对称矩阵。这些凸锥形成了一个类似于任何谱面体锥的外近似族。我们的表示允许我们使用半定规划来解决与这些凸锥以及它们的（不太好理解的）对偶锥相关的线性锥规划。
2014-08-11 math.OC
Expansions of the Characteristic Polynomial of a Perturbed Positive Semidefinite Matrix and Convergence Analysis of Alternating Projections
本研究利用线性扰动半正定矩阵特征多项式分析半正定锥与直线的交替投影收敛性，证明其收敛速率为O(k^{-1/2})且与奇异度无关，还得到线性收敛的充分条件，方法不依赖误差界。
2025-04-16 math.OC
Semi-infinite programming using high-degree polynomial interpolants and semidefinite programming
在半无限规划的一个常见公式中，无限约束集是一个要求，即由决策变量参数化的函数在一个区间上是非负的。如果这个函数可以用一个多项式或一个有理函数充分逼近，那么这个半无限规划就可以转化为一个等价的半定规划。解决这个半定规划是具有挑战性的，如果所涉及的多项式是高的程度，由于数值困难和不良缩放所产生的多项式逼近和事实，即半定规划约束来自非负多项式的平方和表示是不良缩放。我们结合有理函数逼近技术和多项式编程来克服这些数值困难，使用平方和插值。具体而言，它示出的条件下，使用平方和插值的重新不恶化，随着程度的增加，和问题涉及的平方和插值的数百度可以处理没有困难。所提出的重新公式是足够好的规模，他们可以很容易地解决每一个常用的半定规划求解器，如SeDuMi，SDPT 3和CSDP。令人鼓舞的应用包括半无限约束和半定圆锥不等式的凸优化问题，如实验的最优设计中出现的问题。数值结果与理论预测一致;在所考虑的问题中，可用内存是限制多项式次数的唯一因素，约为1000。
2017-03-22 math.OC
Semidefinite programming relaxations for linear semi-infinite polynomial programming
研究了一类线性半无限多项式规划问题。它是线性半无限规划问题的一个子类，其约束函数是关于参数的多项式，指标集是基本半代数集。我们提出了一个层次的半定规划（SDP）松弛的LSIPP问题。在已有结果的基础上，建立了SDP弛豫的收敛速度分析.我们展示了如何验证LSIPP问题的可行集的紧性。最后，我们将SDP松弛法推广到更一般的半无限规划问题。
2019-10-24 math.OC
Multi-objective convex polynomial optimization and semidefinite programming relaxations
针对一类具有凸多项式数据的多目标最优化问题，给出了有效解。为此，一个混合方法，它允许我们转换问题（MP）到一个标量凸多项式最优化问题（P $_z$），并不破坏凸性的性质，被认为是。首先，我们在一些温和的假设下证明了问题（MP）的有效解的存在性。然后，对于问题（P $_z$），建立了凸半代数集上凸多项式的两种非负性表示，并在适当的假设下，给出了问题（P $_z$）的Lasserre型半定规划松弛族的两种有限收敛性结果.最后，我们发现，找到有效解的问题（MP）可以成功地实现解决层次的半定规划松弛和检查一个平坦的截断条件。
2020-11-02 math.OC
Polynomial (chaos) approximation of maximum eigenvalue functions: efficiency and limitations
本文研究了参数化本征值问题谱横坐标函数（本征值实部的上确界）的多项式逼近，当参数对应于随机变量的实现时，它与多项式混沌逼近密切相关。与现有的作品不同，我们突出的光谱横坐标函数的平滑特性的主要作用。即使本征值问题的矩阵是参数的解析函数，谱横坐标函数也可能不是处处可微的，甚至不是处处Lipschitz连续的，这与多个最右特征值或重数大于1的最右特征值有关.所提出的分析表明，光滑性严重影响的Galerkin和配置为基础的多项式逼近的逼近误差，和积分方法的系数评估的数值误差。通过Chebfun软件对基准问题进行的实验的文档是公开的。
2019-01-21 cs.NA math.DS math.NA
Convergent Semidefinite Programming Relaxations for Global Bilevel Polynomial Optimization Problems
本文考虑一个两层多项式最优化问题，其中上下层问题的目标函数和约束函数都是多项式。我们提出了使用一系列半定规划（SDP）松弛来寻找其全局极小值和全局极小值的方法，并给出了这些方法的收敛结果。我们的方案的问题与凸低级别的问题涉及到解决一个转换的等价单级问题的SDP松弛序列，而我们的方法一般问题，涉及一个非凸多项式低级别的问题，解决了一个序列的近似问题，通过另一个序列的SDP松弛。
2016-01-13 math.OC
An experimental approach for global polynomial optimization based on Moments and Semidefinite Programming
在这篇文章中，我们提供了一个实验算法，在许多情况下，给我们一个上界的一个真正的多项式$\R^{n}$的整体下确界。众所周知，在$\R^{n}$上求一个实多项式的全局下确界，往往归结为求解一系列半正定规划，称为矩松弛。我们提出的算法涉及到解决一系列的半正定规划，其可行集包含在一个时刻松弛的可行集。我们的附加约束试图引发一个平坦性条件，如Curto和Fialkow所使用的，用于计算的时刻。在最后，我们提出的算法的应用程序的非负多项式的平方和的数值结果。我们还提供了数值结果的应用程序的一个版本的算法的基础上提出的方法由聂，Demmel和Sturmfels的问题，最小化多项式的梯度品种。
2018-09-24 math.OC
T-semidefinite programming relaxation with third-order tensors for constrained polynomial optimization
针对带多项式不等式约束的多项式优化问题，提出基于三阶张量的T-半定规划松弛方法，证明其可转化为块对角标准半定规划松弛，在适度假设下收敛于最优值，且数值效率更优。
2024-05-14 math.OC
Semidefinite approximations of projections and polynomial images of semialgebraic sets
给定R^n的一个紧半代数集S和R^n到R^m的一个多项式映射f，我们考虑R^m中象集F = f（S）的逼近问题.这尤其包括当n大于m时S在R^m上的投影。假设F包含在一个“简单”的集合B中（例如一个盒子或一个球），我们提供了两种方法来计算F的证明外近似。方法1利用了F可以用存在量词定义的事实，而方法2计算了像测度的支持度的近似，这两种方法输出了一个由单个多项式定义的超水平集序列，这些超水平集产生了F的显式外近似。找到这个多项式的系数归结为计算一个凸半定规划的最优解。当多项式逼近的次数趋于无穷大时，我们保证了在B上的L^1范数下强收敛于F。提供了几个应用程序的例子，连同数值实验。
2015-07-22 math.OC
Semidefinite Approximations of Reachable Sets for Discrete-time Polynomial Systems
考虑在一般半代数集约束下，由半代数初始条件集逼近离散时间多项式系统的可达集的问题。假设包含在一个给定的简单集，如一个盒子或椭球，我们提供了一种方法来计算认证的外部近似的可达集。所提出的方法包括建立一个层次的松弛的无穷维矩问题。在一定的假设条件下，该问题的最优值是可达集的体积，最优解是勒贝格测度对该集的约束。然后，我们可以外近似的可达集，如所需的增加次数多项式的超水平集的层次结构。对于每一个固定的次数，找到多项式的系数归结为计算凸半定规划的最优解。当多项式逼近的次数趋于无穷大时，我们给出了超水平集到可达集的强收敛保证。我们还提供了一些应用实例和数值结果。
2019-06-05 math.OC
Tractable semidefinite bounds of positive maximal singular values
我们专注于计算认证上界的正最大奇异值（PMSV）的给定矩阵。PMSV问题归结为最大化单位球面和非负正交线的交点上的二次多项式。我们提供了一个易于处理的半定松弛的层次近似值的后一个多项式最优化问题，如所期望的。这个层次结构是基于波利亚的表示定理的扩展。这样做，正多项式可以被分解为$s$ -多项式的加权平方和，其中$s$可以是先验固定的（$s=1$对应于单项式，$s=2$对应于二项式等）。这反过来又使我们能够控制产生的半定松弛的大小。
2022-02-17 math.OC
The Split Feasibility Problem with Polynomials
本文讨论了多项式的分裂可行性问题。集合是半代数的，由多项式不等式定义。它们可以是凸的或非凸的，也可以是可行的或不可行的。我们给出半定松弛表示集的交集。研究了半定松弛的性质。在此基础上，给出了求解分裂可行性问题的半定松弛算法。在一般条件下，证明了：如果分裂可行性问题是可行的，我们可以得到一个可行点;如果是不可行的，我们可以得到一个不可行的证明。给出了一些数值例子。
2017-07-28 math.OC
A finite-termination algorithm for testing copositivity over the positive semidefinite cone
University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；Hefei Normal University（合肥师范学院）
本文提出一种有限终止算法，用于检验多项式在正半定锥上的正定性，并通过数值实验验证其有效性。
2026-01-10 math.OC
Lower bounds on matrix factorization ranks via noncommutative polynomial optimization
我们使用的技术（跟踪非交换）多项式优化，制定层次的半定规划下界矩阵分解秩。特别地，我们考虑非负秩，半正定秩，以及它们的对称类似物：完全正秩和完全半正定秩。我们研究了层次结构的收敛性，将它们与已知的下界进行了广泛的比较，并提供了一些（数值）示例。
2018-11-05 math.OC
Completely positive and completely positive semidefinite tensor relaxations for polynomial optimization
完全正（CP）张量对应于CP矩阵的推广，允许用CP张量的锥上的圆锥最优化问题来重新表达或近似一般多项式最优化问题（POP）。类似地，完全半正定（CPSD）张量，这对应于一个推广的半正定（PSD）矩阵，可以用来近似一般的持久性有机污染物与锥上的CPSD张量的圆锥最优化问题。在本文中，我们研究CP和CPSD张量松弛一般持久性有机污染物，并通过拉格朗日松弛的持久性有机污染物得到的界限进行比较。这表明，在这一方向上针对二次持久性有机污染物的现有结果可扩展到一般持久性有机污染物。此外，我们提供了一些易于处理的近似策略CP和CPSD张量松弛。这些近似策略表明，具有类似的计算工作，从他们获得的一般持久性有机污染物的界限可以更紧比这些问题的界限通过重新制定的POP作为二次POP，随后可以近似使用CP和PSD矩阵。为了说明我们的研究结果，我们数值比较小规模的四阶度持久性有机污染物从这些放松的方法得到的界限。
2016-10-10 math.OC
Exact Semidefinite Formulations for a Class of (Random and Non-Random) Nonconvex Quadratic Programs
研究了一类二次约束二次规划（QCQP），称为{ \em对角QCQP\/}，其中不含非对角项$x_j x_k$（对于$j \ne k$），并给出了保证基本Shor半定松弛是精确的一个充分条件.我们的条件补充和完善那些已经存在于文献中，可以在多项式时间内检查。然后，我们将我们的分析从对角QCQP扩展到一般QCQP，即，没有特殊结构的。通过将一般的QCQP转化为对角形式，我们建立了一般QCQP的半定松弛是精确的新的多项式时间可检验的充分条件。最后，这些想法被扩展到表明，一类随机一般QCQP具有精确的半定松弛与高概率，只要约束的数量增长不快于一个固定的多项式的变量的数量。据我们所知，这是第一个结果，建立随机一般QCQP的半定松弛的精确性。
2018-11-07 math.OC
Polynomial Optimization via Random Projection and Consensus
提出一种基于随机线性子空间投影的黑盒方法，将大型半定规划约简为多个小规模半定规划，并在多项式优化问题上验证了其可扩展性的提升。
2025-09-16 math.OC
Moment Analysis of Stochastic Hybrid Systems Using Semidefinite Programming
提出了一种基于半定规划的随机混杂系统矩估计方法。对于多项式SHS--由多项式连续向量场、重置映射和过渡强度组成--矩的动态根据线性常微分方程系统演化。然而，它通常是不可能解决的系统，因为一个特定的时刻的时间演化可能取决于阶比它更高的时刻。克服这个问题的一种方法是采用所谓的时刻关闭方法，给点近似的时刻，但这些是有限的，在该估计的准确性是未知的。我们通过一个半定的程序，其中包括从矩动力学获得的线性约束，以及从矩矩阵的非负性产生的半定约束，找到感兴趣的时刻上的下限和上限。这些界限进一步证明，以提高半定程序的大小增加。该方法的关键是将具有多个离散模态的随机混合系统简化为具有代数约束的单模态混合系统。我们进一步扩展所提出的方法的范围，一类非多项式SHS，可以通过增加额外的状态重铸多项式SHS。最后，我们通过来自不同学科的SHS的例子来说明结果的适用性。
2018-02-01 math.OC
Sum-of-squares optimization without semidefinite programming
将非对称锥优化技术与多项式插值相结合，提出了一种求解平方和最优化问题的齐次原始-对偶邻点法。该方法直接优化的平方和锥和它的对偶，绕过半定规划（SDP）的重新制定，需要大量的辅助变量。因此，它具有比传统的基于SDP的方法低得多的理论时间和空间复杂度。虽然我们的方法避免了半定规划的重新制定，一个最优解的半定规划可以恢复很少的额外努力。计算结果表明，对于涉及高次多项式的问题，所提出的方法比半定规划快几个数量级。
2018-12-20 math.OC
Factorization-free Orthogonal Projection onto the Positive Semidefinite Cone with Composite Polynomial Filtering
Harvard University（哈佛大学）；NVIDIA Corporation（英伟达公司）
提出一种无分解的正交投影到半正定锥方法，利用复合多项式滤波通过矩阵乘法近似投影算子，在GPU上实现低精度高效计算，相比cuSOLVER加速约10倍。
2026-06-29 math.OC
Real ideal and the duality of semidefinite programming for polynomial optimization
研究了半代数集上多项式消失生成的理想，提出了一种基于柱面代数分解技巧的生成元计算算法。应用这些方法，可以等价地修改带有多项式等式约束的多项式最优化问题，使得相应的半定规划松弛问题没有对偶间隙.给出了理想实性的一些判别准则的初等证明。
2009-02-14 math.AC math.OC
A new look at nonnegativity on closed sets and polynomial optimization
首先证明了闭集$K\subseteq R^n$上的连续函数f是非负的当且仅当支持度等于K的符号测度$dν=fdμ$的（可数多个）矩矩阵都是半正定的（如果$K$是紧的，$μ$是支持度等于K的任意有限Borel测度）。特别是，我们得到了一个收敛显式的半定（外）近似与{ \it没有}提升，锥的次数最多$d$的非负多项式的层次。文用于某些简单闭集$\K$上的多项式优化（例如，整个空间$\R^n$，正正交，一个盒子，一个单纯形，或顶点的超立方体），它提供了一个非增序列的上界收敛到全局最小值，通过解决一个层次的半定规划只有一个变量。这个收敛序列的上界补充的收敛序列的下界通过解决一个层次的半定松弛。
2011-05-12 math.OC
On semi-infinite systems of convex polynomial inequalities and polynomial
考虑半无限多项式不等式组\[ \mathbf{K}:=\{x\in\mathbb{R}^m\mid p(x,y)\ge 0,\ \ \forall y\in S\subseteq\mathbb{R}^n\}, \]，其中$p(x,y)$是关于变量$x$和参数$y$的实多项式，指标集$S$是$\mathbb{R}^n$中的基本半代数集，对每个$y\in S$，$-p(x,y)$在$x$中是凸的.我们提出了一个程序来构造近似半定表示的$\mathbf{K}$。有两个指标来索引这些近似半定表示。随着两个指数的增加，这些半定表示集分别膨胀和收缩，并且在某些假设下可以尽可能接近$\mathbf{K}$。在某些特殊情况下，我们可以固定两个索引之一或两者。然后，我们考虑最小化$\mathbf{K}$上的凸多项式的最优化问题。我们提出了一个SDP松弛方法，这个最优化问题的类似的策略用于构建近似半定表示的$\mathbf{K}$。在一定的假设条件下，也可以从SDP松弛得到最优化问题的一些近似极小值。在某些特殊情况下，我们证明了最优化问题的SDP松弛是精确的，并且所有的极小值都可以被提取出来。
2019-08-03 math.OC
Tight Relaxations for Polynomial Optimization and Lagrange Multiplier Expressions
本文提出了多项式优化的紧半定松弛。研究了最优性条件最优性条件。我们证明了一般情况下拉格朗日乘子可以表示为临界点集合上决策变量的多项式函数。多项式表达式可以由线性方程确定。在此基础上，构造了求解多项式最优化问题的新的Lasserre型半定松弛。我们证明了新的弛豫族具有有限收敛性，或者等价地，新的弛豫族对于有限的弛豫阶是紧的。
2018-04-06 math.OC
The Saddle Point Problem of Polynomials
本文研究多项式的鞍点问题。我们给出了一个计算鞍点的算法。它是基于解决Lasserre的层次的半定松弛。在定义多项式的一些一般性假设下，我们证明了：i）如果存在鞍点，我们的算法可以通过求解有限个Lasserre型半定松弛来得到一个鞍点; ii）如果不存在鞍点，我们的算法可以检测到它的不存在。
2021-06-08 math.OC
The Cone Generated by Positive Semidefinite Mean Polynomials
University of Saskatchewan（萨斯喀彻温大学）；University of Konstanz（康斯坦茨大学）
该研究定义了半正定均值多项式生成的锥，证明其相关预素强生成性，构造了分离实例，并提出基于该锥的多项式优化收敛下界层级。
2026-08-25 math.OC
Positive Semidefinite Univariate Matrix Polynomials
研究了沿实直线半正定的对称一元实矩阵多项式的平方和表示。本文给出了一个新的证明，证明了大小为$n\times n$的一元半正定矩阵多项式都可以写成$M=Q^TQ$的平方和，其中$Q$的大小为$(n+1)\times n$，这是Blekherman-Plaumann-Sinn-Vinzant最近证明的.我们的新方法使用的理论，二次型，使我们能够证明这些作者的猜想，这些最小的表示$M=Q^TQ$一般在一对一的对应关系的非负一元多项式$\det(M)$的表示为两个平方和。在平行，我们将使用我们的方法来证明更基本的埃尔米特模拟，每一个埃尔米特单变量矩阵多项式$M$，这是半正定沿实数线，是一个广场，这是众所周知的矩阵Fejér-Riesz定理。
2017-07-26 math.AG math.OC
Rank conditions for exactness of semidefinite relaxations in polynomial optimization
LAAS-CNRS（法国国家科学研究中心拉兹实验室）；Toulouse School of Economics（图卢兹经济学院）
本文针对多项式优化中的Moment-SOS层级，提出一个基于矩矩阵秩的充分条件，保证截断K-矩问题有原子表示测度且层级有限收敛，并适用于受约束问题及恢复全局极小点。
2026-09-18 math.OC
D-optimal design for multivariate polynomial regression via the Christoffel function and semidefinite relaxations
在紧致半代数设计空间上，提出了一种新的D-最优试验设计方法，该方法采用多元多项式回归。我们应用半定规划问题的矩平方和的层次来解决数字和近似的最优设计问题。利用半定规划对偶理论和Christoffel多项式恢复了设计的几何形状。
2017-03-06 math.OC math.ST stat.TH
Improving the semidefinite programming bound for the kissing number by exploiting polynomial symmetry
$\mathbb{R}^n$的吻接数是能同时接触一个中心单位球的两两不重叠的单位球的最大数目。Mittelmann and Vallentin（2010）基于Bachoc and Vallentin（2008）的半定规划界，计算了$n \leq 23$的几个值的接吻数的最佳已知上界。在本文中，我们利用对称性存在于半定规划界提供改进的上界$n = 9, \ldots, 23$。
2016-09-16 math.MG math.OC
Certificates of Impossibility of Hilbert-Artin Representations of a Given Degree for Definite Polynomials and Functions
我们部署数值半定规划和转换到精确的有理不等式，以证明对于一个半正定的输入多项式或有理函数，任何表示为一个分数的平方和多项式的实系数必须包含多项式的分母的次数不小于一个给定的输入下界。通过阿廷对希尔伯特第17问题的解，这样的表示对于某个分母次数总是存在的。我们的不可行性证明是基于Farkas引理到半定规划的推广。文献中有许多关于SOS不可表示性的著名例子，包括Motzkin、Robinson、Choi和Lam的多项式，以及Reznick关于均匀多项式的低阶界，例如，每个变量的平方和的幂。我们在半正定性的精确证明上的工作允许非一致的恒等式，它可以具有较低的度，并且通常更容易转换为精确恒等式。在这里，我们证明了我们的算法计算证书的不可能性为任意的平方和分母的程度为2和4的一些对称六分之四和5个变量，分别。我们也可以证明在限制期限结构的分母中不可能存在基多项式，例如在朗道减少一个变量中。
2012-03-01 math.OC
First Order Conditions for Semidefinite Representations of Convex Sets Defined by Rational or Singular Polynomials
一个集合称为半定可表示或半定规划（SDP）可表示，如果它可以表示为一个高维集合的投影，而高维集合又可以用线性矩阵不等式（LMI）表示.本文讨论了S_D（f）= {x \in D：f（x）>= 0}的凸集的半定可表示性条件。这里D={x \in R^n：g_1（x）>= 0，.，g_m（x）>= 0}是由一些“漂亮的”凹多项式g_i（x）（它们满足某些证明）定义的凸区域，f（x）是多项式或有理函数。当f（x）是\mc{D}上凹的时，我们证明了S_D（f）在一定的条件下有一些显式半定表示，称为预序半定表示或q-模半定表示，这些条件基于一阶半定准则的正半定表示证明.当f（x）是多项式或有理函数时，在一定条件下，通过引入透视变换，得到了S_D（f）的显式半定表示.在n=2的特殊情形下，如果f（x）在一个奇点附近的Laurent展开只有两个连续的齐次部分，我们证明了S_D（f）总是存在一个显式可构造的半定表示.
2008-06-28 math.AG math.OC
Computational complexity of decomposing a symmetric matrix as a sum of positive semidefinite and diagonal matrices
本文研究对称矩阵的低秩半正定加对角分解复杂性，证明常数秩情形可多项式求解，而一般及近似情形 NP-hard，且许多问题在实数一阶理论中完全。
2023-09-29 math.OC
Regularization Methods for SDP Relaxations in Large Scale Polynomial Optimization
研究了大规模多项式优化问题的半定规划松弛算法。当使用边界点法时，通常只能解决小问题或中等规模的问题。本文研究求解多项式最优化问题的正则化方法。我们描述了这些具有块结构的半定优化方法，并将其应用于求解大规模多项式最优化问题。各种数值例子的性能进行测试。通过正则化方法，可以在常规计算机上解决更大的问题，这几乎是不可能的内点方法。
2011-12-05 math.OC
Optimal Cuts and Optimal Faces of Exact Max-Cut Semidefinite Relaxations
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）；The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文研究Max-Cut半定松弛精确时最优割符号向量张成对偶松弛核的条件，证明双非负矩阵经偶数复制可作证书，并刻画有理核障碍与张成亏缺。
2026-10-14 math.OC
A hierarchy of spectral relaxations for polynomial optimization
我们证明了（i）任何约束多项式最优化问题（POP）在欧氏球面中的一个簇上都有一个等价的公式;（ii）所得到的矩SOS族中的半定松弛对所涉及的矩阵具有恒迹性质（CTP）.然后，我们利用CTP，以避免解决半定松弛通过邻点方法，而是使用特设谱方法，最大限度地减少矩阵束的最大特征值。保证收敛到半定松弛的最优值。因此，我们得到了一个层次的非光滑的“光谱松弛”的初始POP。效率和鲁棒性的光谱层次进行测试，对几个平等约束的POP球以及随机生成的二次约束二次问题（QCQP）的样本。
2020-07-17 math.OC
A Lagrangian relaxation view of linear and semidefinite hierarchies
考虑一般多项式最优化问题$P: f^*=\min \{f(x)\,:\,x\in K\}$，其中$K$是一个紧的基本半代数集.我们首先表明，标准的拉格朗日松弛产生一个下界，如所需的全局最优值$f^*$，只要它被施加到一个问题$\tilde{P}$相当于$P$，其中足够多的冗余约束（产品的初始）被添加到初始描述的$P$。接下来，我们证明了$P$的LP松弛的标准层次（在Sherali-Adams的RLT的精神中）可以被解释为上述拉格朗日松弛的强力简化，其中非负多项式（系数待定）被替换为等于零的常数多项式。受这种解释的启发，我们提供了一个系统的LP-层次结构的改进，做了一个不那么残酷的简化，结果成一个参数化的层次结构的半定程序（而不是线性程序）。对于每个半定程序的参数化层次结构中，半定约束有一个固定的大小$O(n^k)$，独立的等级在层次结构中，与标准层次的半定松弛。参数$k$由用户决定。当应用到一个非平凡的一类凸问题，参数化的层次的第一松弛是准确的，在LP-层次的收敛不能是有限的。当应用于0/1程序时，它至少和半定松弛层次中的第一个一样好。然而，准确性的障碍仍然存在，并简要分析。最后，标准的半定层次也可以被看作是一个扩展的拉格朗日松弛的简化，但不同的精神，因为平方和（而不是标量）乘数是允许的。
2012-10-17 math.OC
A method for computing lowest eigenvalues of symmetric polynomial differential operators by semidefinite programming
N。Z. Shor，J. B.拉塞尔和P.A.帕里洛本文的目的是将他们的方法的一个变体推广到变量$X$和$Y$满足$YX-XY=1$和$X^\ast=X$，$Y^\ast=-Y$的非交换对称多项式。这种多项式的全局极小值的定义和证明是等于相应的微分算子的谱的极小值。我们还讨论了如何利用稀疏性和对称性。包括几个数值实验。最后一节解释了我们的理论如何适应非交换实代数几何的框架。
2013-07-07 math.OC math.QA
Sparse-BSOS: a bounded degree SOS hierarchy for large scale polynomial optimization with sparsity
我们为多项式最优化问题提供了有界度SOS层次BSOS [7]的稀疏版本。它允许处理满足结构化稀疏模式的大规模问题。当稀疏模式满足运行交集属性时，半定规划的稀疏BSOS层次（具有固定大小的半定约束）收敛到原问题的全局最优值。此外，对于这类SOS-凸问题，有限收敛发生在第一步的层次，就像在稠密版本。
2017-05-27 math.OC
Sum-of-square-of-rational-function based representations of positive semidefinite polynomial matrices
Quy Nhon University（归仁大学）；Paris-Sud University（巴黎第十一大学）
本文证明了在某些特殊集合上半正定的多项式矩阵的基于有理函数平方和的表示（简称为基于sosrf的表示）：$\mathbb{R}^n;$ $\mathbb{R}$及其区间$[a,b]$、$[0,\infty)$ ;以及条带$[a,b] \times \mathbb{R} \subset \mathbb{R}^2.$还提供了数值计算此类表示的方法。该方法分为两个阶段：（S1）基于Schmüdgen的过程\cite{Schmudgen09}对角化初始多项式矩阵;（S2）对于所得矩阵的每个对角元素，找到满足解决Hilbert第17问题的Artin定理的低秩sosrf表示。对于每一类多项式矩阵，本文还用\textsf{OCTAVE}进行了数值试验和举例说明。
2019-03-28 cs.CL math.OC
Postive Semidefinite and Sum of Squares Biquadratic Polynomials
本文证明 $m \ imes n$ 双二次多项式可转化为 $m+n-1$ 变量的三方齐次四次多项式，从而得出 $2 \ imes 2$ PSD 双二次多项式可表示为三个二次多项式平方和，改进了 Calderón 的结果，并给出了其为 SOS 的充要条件与构造性证明。
2025-07-17 math.OC
On Polynomial Optimization over Non-compact Semi-algebraic Sets
我们考虑一类多项式最优化问题$\inf \{f(x):x\in K\}$，其中由定义$K$和多项式$c-f$（对于某些标量$c$）的多项式生成的二次模是阿基米德的。对于这样的问题，最优值可以通过求解一系列半定规划来逼近，并且收敛性一般是有限的。此外，阿基米德条件（以及一个充分的非线性条件）也可以通过求解类似的半定规划层次来数值检验。换句话说，在合理的假设下，现在标准的SDP松弛等级通过适当的修改扩展到非紧的情况。
2013-07-04 math.OC
Bounding stationary averages of polynomial diffusions via semidefinite programming
我们介绍了一个算法的基础上半定规划，产量增加（分别）。降序（递减）具有多项式漂移向量和扩散系数的多项式平稳平均的上界。通过优化的目标，确定的固定平均的利益，在一组真正的向量定义的某些线性等式和半定不等式，满足的时刻的任何固定措施的扩散。我们使用的方法，通过几个应用程序：贝叶斯推理问题;计算的线性常微分方程的李雅普诺夫指数受乘性白噪声;和可靠性问题，从结构力学。此外，我们证明了边界收敛到下确界和上确界的一组平稳平均值与计算的李雅普诺夫指数，我们提供了数值证据的收敛在更一般的设置。
2016-06-03 math.OC math.PR
Symmetry groups, semidefinite programs, and sums of squares
研究了对称多项式的平方和表示。由于这个任务是解决使用半定编程工具，我们探讨了几何，代数和计算的影响，在半定程序中的离散对称性的存在。结果表明，对称性开发允许显着减少矩阵的大小和数量的决策变量。这一结果适用于计算多元多项式的平方和分解所产生的半定程序。从不变量理论的角度重新解释了这一结果，给出了一类非负对称多项式的新表示。主要定理指出，不变平方和多项式是矩阵对的内积之和，其元素是不变多项式。在这些对中，其中一个矩阵是基于群的实不可约表示计算的，另一个是平方和矩阵。减少技术使大规模的情况下，否则计算上不可行的解决数值解。
2002-11-28 math.AC math.OC
Sparse Polynomial Matrix Optimization
本文研究利用项稀疏性、相关稀疏性和矩阵稀疏性降低多项式矩阵优化中平方和方法的计算复杂度，提出稀疏半定规划松弛方法，并分析其收敛性与全局最优性检测。
2025-06-05 math.OC
Exploiting constant trace property in large-scale polynomial optimization
证明了球约束下多项式最优化问题的半定矩松弛问题可以转化为一个包含常迹性矩阵的半定规划问题。因此，这种矩松弛可以通过利用CTP的一阶方法有效地解决，例如，基于条件梯度的增广拉格朗日方法。我们还扩展了这个CTP开发框架，以大规模的持久性有机污染物具有不同的稀疏结构。我们的框架的效率和可扩展性的二阶矩松弛各种随机生成的二次约束的二次规划。
2020-12-16 math.OC
Chordal and factor-width decompositions for scalable semidefinite and polynomial optimization
半定规划和多项式优化的弦和因子宽度分解方法最近已使大型线性系和中型非线性系统的分析和控制成为可能。弦分解利用了半定规划（SDP）中半定矩阵的稀疏性，从而可以更有效地求解具有较小半定约束的等价SDP。因子宽度分解，而不是放松或加强SDP与密集的半定矩阵到更容易处理的问题，交易的可行性或最优性较低的计算复杂性。本文综述了这两种分解方法在大规模半定和多项式优化方面的最新进展，突出了它们之间的联系和区别。我们还表明，弦和因子宽度分解允许显着的计算节省了一系列的经典问题，从控制理论，和最近的问题，从机器学习。最后，我们概述了未来研究的可能方向，有可能促进高效的优化为基础的研究日益复杂的大型动力系统。
2021-07-06 cs.SY eess.SY math.DS
Semidefinite Representation of the $k$-Ellipse
$k$ -椭圆是由到$k$给定点的距离之和为固定数的所有点组成的平面代数曲线。如果$k$是奇数，则定义$k$ -椭圆的多项式方程具有次数$2^k$，如果$k$是偶数，则具有次数$2^k{-}\binom{k}{k/2}$。我们将这个多项式方程表示为线性多项式的对称矩阵的行列式。我们的表示扩展到加权$k$ -椭圆和$k$ -椭球在任意维，它导致新的几何应用的半定规划。
2007-01-31 math.AG math.OC
Real Factorization of Positive Semidefinite Matrix Polynomials
该研究给出实正则对称半正定矩阵多项式可分解为次数减半的实矩阵多项式转置乘自身形式的充要条件，通过求解修正代数Riccati方程的反对称解给出构造性证明，并提出相应因式分解算法。
2023-08-25 math.FA math.OC
Interpolation by polynomials with symmetries on the imaginary axis
在这里，我们专门的标准矩阵值多项式插值的情况下，在虚轴上的插值多项式承认各种对称性：半正定，斜埃尔米特，$J$ -埃尔米特，汉密尔顿和其他。该过程是三个阶段，说明了通过的情况下，在$i\R$的插值多项式是半正定的。首先，以加倍次数为代价，得到一个极小次插值多项式$P(s)$，它在$i\R$上是Hermite的.然后，我们找到所有的多项式$Ψ(s)$，消失的插值点是半正定的$i\R$。最后，利用正半定矩阵的集合是埃尔米特矩阵的凸子锥的事实，可以计算最小标量$\hatβ\geq 0$，使得$P(s)+βΨ(s)$满足所有$β\geq\hatβ$的所有插值约束。这种方法，然后适应的情况下，当家庭的插值多项式不是凸的。只要是凸的，我们就参数化所有的最小次插值多项式。
2012-08-09 math.CV math.OC
Solving clustered low-rank semidefinite programs arising from polynomial optimization
针对源自多项式优化的聚类低秩半定规划高精度求解需求，提出结合采样、对称性约简与贪心基选取的专用原-对偶内点法，在接吻数界计算等问题上实现加速且对病态问题表现良好。
2025-02-21 math.MG math.OC
