Chordal-TSSOS: a moment-SOS hierarchy that exploits term sparsity with chordal extension
本文提出 chordal-TSSOS 层级，通过项稀疏性与弦扩展构造准块对角半定规划松弛，在无理论收敛保证下显著提升求解多项式优化问题的效率与可扩展性。
2020-03-04 math.OC
SparseJSR: A Fast Algorithm to Compute Joint Spectral Radius via Sparse SOS Decompositions
研究了稀疏矩阵情况下联合谱半径的计算问题。我们提供了一个稀疏的变种的Parrilo和Jadbabaie提出的程序，计算上界的JSR的平方和（SOS）松弛。我们得到的迭代算法，称为SparseJSR，是基于长期稀疏SOS（TSSOS）框架，由王，Magron和Lasserre开发，产生SOS分解的多项式与任意稀疏支持。SparseJSR利用输入矩阵的稀疏性来显著减少与JSR计算相关的计算负担。我们的算法框架，然后成功地应用于计算JSR的上界，随机生成的基准，以及所产生的问题的控制器的稳定性证明，在可能的硬件和软件故障。
2021-03-18 math.OC
Improving Efficiency and Scalability of Sum of Squares Optimization: Recent Advances and Limitations
众所周知，任何平方和（SOS）程序都可以转换为特定结构的半定程序（SDP），并且其中存在SOS程序的计算瓶颈，因为当SOS程序中涉及的多项式具有大量变量和次数时，由该过程生成的SDP很大且求解成本高。在本文中，我们回顾SOS优化技术，并提出了两个新的方法，以提高其计算效率。第一种方法利用底层SDP的稀疏性来获得计算加速。如果描述问题的多项式的系数具有称为弦稀疏的特定稀疏模式，则可以获得进一步的改进。第二种方法完全绕过半定规划，而是依赖于求解一系列更易处理的凸规划，即线性和二阶锥规划。这就提出了一个问题，如何可以近似锥SOS多项式的二阶表示锥。在文章的最后一部分，我们介绍了一些最近的负面结果与这个问题有关。
2017-10-03 math.OC
Efficient Data Structures for Exploiting Sparsity and Structure in Representation of Polynomial Optimization Problems: Implementation in SOSTOOLS
我们提出了一种新的数据结构表示多项式变量的平方和（SOS）程序的解析。在SOS程序中，变量$s(x;Q)$在自变量$x$中是多项式的，但在决策变量$Q$中是线性的。然而，当前的SOS解析器未能利用多项式变量的半线性结构，将决策变量视为其表示中的自变量。这导致在存储和操作多项式变量时产生不必要的开销，从而阻止解析器解决更大规模的最优化问题。为了消除这种计算开销，我们引入了一种新的表示多项式变量，“dpvar”结构，即仿射的决策变量。我们表明，在dpvar表示规模有利的决策变量的数量上的变量的操作的复杂性。我们进一步表明，存储多项式变量所需的内存是相对较小的使用dpvar结构，特别是当利用MATLAB稀疏存储结构。最后，我们将dpvar数据结构集成到SOSTOOLS4.00中，并对几个多项式最优化问题测试了解析器的性能。
2022-09-02 cs.MS math.OC
Sparse non-SOS Putinar-type Positivstellensätze
最近，紧半代数集上多项式的非SOS Positivstellensätze，遵循Schmüdgen的Positivstellensätze的一般形式，通过适当地用其他类多项式替换SOS多项式而导出。在文献中的一个悬而未决的问题是如何获得类似的结果以下的一般形式的Putinar的Positivstellenstrasse。外推用于在SOS情况下获得这种类型的结果的代数几何工具无法回答这个问题，因为代数几何方法强烈使用SOS多项式类的标志性属性，例如乘法下的闭包和与其他多项式复合下的闭包。在这篇文章中，我们使用一种新的方法，证明了Putinar型Positivstellensätze的存在性，这些Positivstellensätze是使用非负多项式的非SOS类构造的，如SONC，SDSOS和DSOS多项式。甚至不一定非负类的多项式，如算术平均/几何平均多项式的总和可以使用。此外，我们表明，这些证书可以写固有的稀疏特性。这样的特性可以进一步利用时的稀疏结构的多项式的非负性被证明和多项式定义的半代数集的兴趣是已知的。与专注于利用SOS Positivstellensätze中的稀疏性的相关文献相比，后者的结果显示了如何在更一般的设置中利用稀疏性，其中使用非SOS多项式来构造Positivstellensätze。
2021-10-12 math.AG math.CA math.OC
Sparse SOS Relaxations for Minimizing Functions that are Summations of Small Polynomials
本文讨论了如何求小多项式（“小”意味着涉及少量变量）的和函数的全局极小值。提出了一些稀疏平方和（SOS）技术。我们比较他们的计算复杂性和下界与以前的SOS松弛。在一定的条件下，我们还讨论了如何从这些稀疏松弛中提取全局极小点。所提出的方法在求解稀疏多项式系统和非线性最小二乘问题时特别有用。数值实验表明，所提出的方法显着提高了以前的方法来解决这些问题的计算性能。最后，我们提出了应用这种稀疏技术在解决多项式系统的非线性微分方程和传感器网络定位。
2007-10-05 math.OC
Exploiting Sparsity in Complex Polynomial Optimization
本文提出稀疏自适应复moment-HSOS层级，用于复多项式优化，通过数值实验证明其在计算成本与界质量间提供有效权衡。
2025-04-28 math.OC
Decomposition and Completion of Sum-of-Squares Matrices
University of Oxford（牛津大学）；Imperial College London（帝国理工学院）
本文提出求和平方矩阵的分解与补全概念，展示了稀疏求和平方矩阵在具有柴尔德稀疏模式的子集可以等价分解为多个非零仅在主子矩阵上的求和平方矩阵。此外，求和平方矩阵的补全等价于其主子矩阵上的求和平方条件和主子矩阵的格拉姆表示的一致性条件。这些结果是将标量矩阵的柴尔德分解与补全扩展到具有多项式条目的矩阵的部分扩展。我们应用求和平方分解结果来利用矩阵值求和平方程序中的稀疏性。数值结果展示了该方法在解决大规模稀疏矩阵值求和平方程序中的巨大潜力。
2018-04-08 cs.SY eess.SY math.OC
S-SOS: Stochastic Sum-Of-Squares for Parametric Polynomial Optimization
本文提出随机平方和（S-SOS）算法，通过构造半定规划层级求解随机参数化多项式优化的严格下界与全局极小点候选解，并利用 n 体先验诱导稀疏性，成功处理高达 40 个变量、矩阵规模超过 800×800 的传感器网络定位问题。
2024-06-13 math.OC
The AHI family of sum of squares polynomials
Indian Statistical Institute, Hyderabad Unit（印度统计研究所海得拉巴分部）
本文提出AHI多项式族，证明其兼具SOS与SONC性质，构造的Π_AHI锥属SOS锥却异于SONC、SDSOS锥，利用其稀疏性可大幅加速多项式优化计算。
2026-08-31 math.OC
Non-SOS Positivstellensätze for semi-algebraic sets defined by polynomial matrix inequalities
本文将 Handelman 与 Krivine-Stengle 定理推广至多项式矩阵不等式，提出非 SOS 的正性证书及稀疏表示，并构建规模不随变量数增长的半定规划松弛层级。
2025-09-01 math.OC
A Correlatively Sparse Lagrange Multiplier Expression Relaxation for Polynomial Optimization
本文针对具有相关稀疏性的多项式优化问题，提出基于 KKT 条件的相关稀疏拉格朗日乘子表达式重构方法，结合 CS-SOS 松弛获得更紧下界，并在保证收敛性的同时显著降低计算成本。
2023-11-02 math.OC
TSSOS: a Julia library to exploit sparsity for large-scale polynomial optimization
Julia库TSSOS旨在帮助多项式优化器解决具有稀疏输入数据的大规模问题。底层的算法框架是基于利用相关性和术语稀疏性，以获得一个新的时刻SOS层次涉及潜在的小得多的正半定矩阵。TSSOS可以应用于从电力网络到非交换多项式的特征值和迹优化的许多问题，涉及多达数万个变量和约束。
2021-03-01 cs.MS math.OC
Leveraging Christoffel-Darboux Kernels to Strengthen Moment-SOS Relaxations
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；LAAS-CNRS（法国国家科学研究中心拉扎尔实验室）；Toulouse School of Economics（图卢兹经济学院）；Institute of Mathematics from Toulouse（图卢兹数学研究所）；Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）
针对高阶 Moment-SOS 松弛计算代价过高的问题，提出利用 Christoffel-Darboux 核增强低阶松弛，以提升精度并改进边界，在二次约束二次规划上验证了有效性。
2026-10-12 math.OC
Exploiting Sign Symmetries in Minimizing Sums of Rational Functions
本文研究基本半代数集上有理函数和的最小化问题，提出与广义矩方法对偶的SOS松弛层级，利用符号对称性与相关稀疏性构建高效稀疏半定松弛，通过数值实验验证有效性并给出广义Rayleigh商最大化的应用。
2024-05-15 math.OC
Sum-of-squares chordal decomposition of polynomial matrix inequalities
我们证明分解定理稀疏正（半）定多项式矩阵，可以被视为稀疏利用版本的希尔伯特-阿廷，Reznick，Putinar，和Putinar-瓦西列斯库Positivstellensätze。首先，我们建立了弦稀疏的多项式矩阵$x\in \mathbb{R}^n$是半正定的当且仅当存在一个平方和（SOS）多项式$σ(x)$，使得$σP$是稀疏SOS矩阵的总和。其次，我们表明，设置$σ(x)=(x_1^2 + \cdots + x_n^2)^ν$的一些整数$ν$足够，如果$P$是齐次和正定的全球。第三，我们证明了如果$P$在满足阿基米德条件的紧半代数集$\mathcal{K}=\{x:g_1(x)\geq 0,\ldots,g_m(x)\geq 0\}$上是正定的，那么对于稀疏SOS矩阵的和的矩阵$S_i(x)$，有$P(x) = S_0(x) + g_1(x)S_1(x) + \cdots + g_m(x)S_m(x)$。最后，当$g_1,\ldots,g_m$和$g_1,\ldots,g_m$是偶次齐次的时，如果$\mathcal{K}$不是紧的或不满足阿基米德条件，我们得到了具有某个整数$ν\geq 0$的$(x_1^2 + \ldots + x_n^2)^νP(x)$的类似分解.利用这些结果，我们发现稀疏SOS表示定理的多项式，是二次和相关稀疏的变量的子集，我们构建新的收敛层次的稀疏开…
2021-07-05 cs.DS cs.SY eess.SY
CS-TSSOS: Correlative and term sparsity for large-scale polynomial optimization
本文提出了一种新的矩SOS层次结构，称为CS-TSSOS，用于求解大规模稀疏多项式最优化问题。它的新颖之处是同时利用相关稀疏性和术语稀疏性，结合现有的两个框架的优势稀疏多项式优化。前者是由Waki等人提出的，而后者最初是由Wang等人提出的，后来在TSSOS层次中得到了利用。在这样做，我们得到CS-TSSOS -一个两级层次的半定规划松弛与（i），涉及块的SDP矩阵的关键属性和（ii），保证在一定条件下收敛到全局最优值。我们证明了它的效率和可扩展性的几个大规模的情况下，著名的最大割问题和重要的工业最优潮流问题，涉及多达六千个变量和数万个约束。
2021-06-08 cs.MS math.OC
Sparse Polynomial Optimization with Unbounded Sets
针对无界集合上的稀疏多项式优化问题，提出带扰动的稀疏齐次化Moment-SOS层级方法，证明其渐近收敛性，给出两种消去扰动的替代稀疏层级，得到新的稀疏正多项式正性定理，数值实验验证其可处理数千变量问题，还可应用于轨迹优化。
2024-01-29 math.OC
Certifying Global Optimality of AC-OPF Solutions via sparse polynomial optimization
我们报告的实验结果证明1%的全局最优的AC-OPF实例的解决方案，从PGLiB通过CS-TSSOS层次结构-一个时刻SOS为基础的层次结构，利用相关性和长期稀疏性，它可以提供更紧密的SDP松弛比肖尔的放松。我们的数值实验表明，CS-TSSOS层次结构与问题大小很好地匹配，并且确实有助于证明大规模现实世界问题的解的全局最优性，例如，AC-OPF问题。特别是，我们能够证明1%的全局最优性具有挑战性的AC-OPF实例与6515总线涉及14398实变量和63577约束。
2022-07-20 math.OC
Refined TSSOS
针对TSSOS层级中块对角矩阵最大块过大的问题，提出利用组合优化精细化TSSOS迭代以减小最大块大小，在保持几乎相同界的同时显著加速无约束和受约束多项式优化问题的求解。
2024-02-08 math.OC
Composition and tensor train structure in polynomial optimization
LAAS - CNRS, Université de Toulouse（图卢兹大学 LAAS-CNRS）；Faculty of Electrical Engineering, Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学电气工程学院）
本文研究具有组合或张量列车结构的目标多项式优化问题，提出两种利用该结构的矩-SOS方法，通过数值实验展示其在处理数百甚至千变量问题中的有效性，并应用于马尔可夫链优化、量子最优控制和神经网络等领域。
2026-04-19 math.OC
Approximating regions of attraction of a sparse polynomial differential system *
出于大规模电力系统的稳定性分析，我们描述了如何Lasserre（矩和平方，SOS）的层次结构可以用来产生外近似的吸引区（ROA）的稀疏多项式微分系统，在解决线性矩阵不等式（LMI）的价格增加的大小。我们确定特定的稀疏结构，我们可以提供数值验证的外部近似的区域的吸引力在高维。为了这个目的，我们结合以前的结果，非稀疏ROA近似稀疏半代数集体积计算。
2020-03-16 cs.SY eess.SY math.OC
Convex hulls of monomial curves, and a sparse positivstellensatz
考虑参数给定为$(t^{m_1},\ldots,t^{m_n})$的单项曲线的闭凸包$K$，其中参数$t$在$I$的区间内变化。我们表明，使用建设性的参数，$K$承认解除半定描述$\mathcal{O}(d)$线性矩阵不等式（LMI），每个大小$\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor +1$，其中$d= \max \{m_1,\ldots,m_n\}$是曲线的程度。在对偶方面，我们表明，如果一个单变量多项式$p(t)$的程度$d$与最多$2k+1$单项是非负的$\mathbb{R}_+$，那么$p$承认一个表示$p = t^0 σ_0 + \cdots + t^{d-k} σ_{d-k}$，其中多项式$σ_0,\ldots,σ_{d-k}$的平方和$\operatorname{deg} (σ_i) \le 2k$。后者是一个单变量的正stellenomics稀疏多项式，与非负的$p$被证明的SOS多项式的程度只取决于$p$的稀疏性。我们的结果适合一般的尝试制定多项式优化问题的半定问题的小尺寸的LMI。从计算的角度来看，这种小尺寸的描述更容易处理。
2023-03-07 math.AG math.OA math.OC
