More about additive representation functions for integers
Labib Haddad
关于Kiss和Sandor最近关于加法表示函数的最大值的一个注释的简短评论。
A short comment about a recent note by Kiss and Sandor on the maximum values of additive representation functions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the Additive Volume of Sets of Integers
集合的可加体积的研究可以归结为一维集合的情况。作为一个猜想，给出了极值集体积的精确值。
Additive structure of totally positive quadratic integers
设$K=\mathbb Q(\sqrt D)$是一个实二次域.我们考虑$K$中的全正整数的加法半群$\mathcal O_K^+(+)$，确定了它的生成元（不可分解的整数）和关系，它们可以用$\sqrt D$的周期连分数很好地描述.我们还刻画了$K$中所有可唯一分解的整数，并估计了它们的范数。利用这些结果，我们证明了半群$\mathcal O_K^+(+)$完全决定实二次域$K$ .
On additive and multiplicative decompositions of sets of integers with restricted prime factors, I. (Smooth numbers.)
本文第三作者在[10]中给出了“光滑”（或“脆弱”）数列的加法可分解性的两个证明。Elsholtz和Harper [4]证明了（通过使用筛法）第二个（要求较低的）猜想。本文的目标是通过使用不同的方法（基于$S$ -单位方程理论）在三个方向上扩展和锐化他们的结果。
On additive and multiplicative decompositions of sets of integers with restricted prime factors, II. (Smooth numbers and generalizations.)
本文的第一部分研究了$y$ -smooth数的集合$\F_y$的加法可分解性和移位集合$\g_y=\F_y+\{1\}$的乘法可分解性。在本文中，重点是“大”功能$y$的情况下，我们继续研究这些问题。此外，我们还研究了任意$k$的$k$ -项和集的m-可分解性问题。
On the asymmetric additive energy of polynomials
本文证明了一类四维仿射超曲面上整数点缺乏的一般性结果。因此，我们推导出整数值多项式具有小的非对称加性能量。
On additive complement of a finite set
我们说非负整数A和B的集合是加法补的，如果它们的和包含所有足够大的整数。本文证明了Chen和Fang关于有限集的可加补的一个猜想。
Products of Small Integers in Residue Classes and Additive Properties of Fermat Quotients
我们表明，对于任何$\varepsilon > 0$和足够大的立方自由$q$，任何减少剩余类模$q$可以表示为从间隔$[1, q^{1/4e^{1/2} + \varepsilon}]$的$14$整数的产品。的间隔的长度是在下极限什么是可能的最小的二次nonresidue上的Burgess界得到改善之前。我们还考虑了这一结果的几个变化，并给出了应用费马定理。
A Note on Additive Complements
两个非负整数的无穷序列A和B称为加法补数，如果它们的和包含所有足够大的整数。设$A(x)$和$B(x)$是A和B的计数函数。本文推广了Liu和Fang在2016年的结果，得到了关于加法补数的一些结果。例如，我们证明了存在可加补数$A$和$B$，使得对于无穷正整数$x$，有$\limsup_{x\to+\infty} A(x)B(x)/x= 2$和$A(x)B(x) - x = 1$.
A general formula in Additive Number Theory
我们减少的主要问题的加性数论的一个无穷序列的整数是否构成一个有限的基础，一个丢番图问题涉及的差集的序列，通过证明一个公式连接各自的解决方案。
Robust additive bases without minimal subbases
该研究构造了一个加法基底集合，其中表示数的下界与log m相关，但不存在最小子集使得其和集包含所有大整数。
Additive bases arising from functions in a Hardy field
经典的加性基问题是华林问题。它已被推广到整数多项式和非整数幂序列。在本文中，我们将考虑一个更广泛的功能，即功能从一个Hardy域，并表明他们是渐近的基础。
On function $SX$ of additive complements
两个非负整数集合$A,B$称为\emph{additive complements}，如果所有足够大的整数都可以表示为$A$和$B$中两个元素的和。如果每个非负整数都可以唯一地表示为来自$A$和$B$的两个元素之和，则我们进一步称之为$A,B$ \emph{perfect additive complements}。令$A(x)$为$A$的计数函数。在本文中，我们专注于功能$SX$，其中$SX=\limsup_{x\rightarrow\infty}\frac{\max\{A(x),B(x)\}}{\sqrt{x}}$是由埃尔德斯和弗洛伊德在1984年提出的。作为主要结果，我们确定了完全可加补的$SX$的值，并进一步确定了下确界。我们也给出了加法补数的$SX$的绝对下界。
On the Structure of Additive Systems of Integers
和距系统是有限整数集合的集合，从每个集合中取一个元素形成的和与差生成规定的等差数列。这样的系统，有两个组件集，自然出现在研究矩阵的对称性和连续的整数项目。和系统是一个类似的概念，其中只考虑元素的和。我们建立了和系统与相应大小的和-距离系统之间的双射，并证明了和系统等价于主可逆长方体，主可逆长方体是具有整数元的张量，具有“可逆正方形”型对称性.我们证明了一个结构定理的主要可逆长方体，从而产生一个明确的建设公式的所有和系统的联合有序因式分解的组成部分集基数。
On Unique Additive Representations of Positive Integers and Some Close Problems
设（m_r（n）），n>=0，是Moser序列，使得每个非负整数都是唯一的s_k+rs_l的和.本文给出了这种形式的一个显式分解公式和一个出乎意料的简单的Moser数的递归关系。我们还研究了序列（rm_r（n-1）+1），n>=1的一些有趣的性质，以及它与一些重要问题的联系。特别是，在r=2的情况下，这个序列令人惊讶地与解决组合约瑟夫斯-格罗尔问题的数字有关。我们还提出了一些悬而未决的问题。
Additive completition of thin sets
正整数的两个集合$A,B$称为\emph{exact additive complements}，如果$A+B$包含所有足够大的整数和$A(x)B(x)/x\rightarrow1$。令$A=\{a_1<a_2<\cdots\}$是一组正整数。用$A$的计数函数表示$A(x)$，用$A\bigcap [1,x]$中的最大元素表示$a^*(x)$。在Ruzsa和Chen-Fang工作的基础上，我们证明了对于$A,B$与$\frac{a_{n+1}}{na_n}\rightarrow\infty$的正合可加补，我们有$A(x)B(x)-x\ge \frac{a^*(x)}{A(x)}+o\left(\frac{a^*(x)}{A(x)^2}\right)$作为$x\rightarrow +\infty$ .另一方面，我们还构造了具有$\frac{a_{n+1}}{na_n}\rightarrow\infty$的正合可加补$A,B$，使得对于无穷多个正整数$x$，$A(x)B(x)-x\le \frac{a^*(x)}{A(x)}+(1+o(1))\left(\frac{a^*(x)}{A(x)^2}\right)$成立。
Binary Additive Problems Involving Naturals with Binary Decompositions of a Special Kind
令$h$和$l$是整数，使得$0\le h\le 2$，$0\le l\le 4$。我们得到了方程$n-3m=h$，$n-5m=l$在正整数中的解的个数的渐近公式$m$和特殊类型的$n$，$m\le X$ .
Additive number theory and the ring of quantum integers
设$m$和$n$为正整数。对于量子整数$[n]_q = 1 + q + ... + q^{n-1}$，存在自然多项式加法使得$[m]_q \oplus_q [n]_q = [m+n]_q$和自然多项式乘法使得$[m]_q \otimes_q [n]_q = [mn]_q$。这些构造导致量子整数环和量子有理数域的构造。证明了量子整数的加法和乘法等价于加性数论中整数区间的初等分解。
Problems in additive number theory, V: Affinely inequivalent MSTD sets
MSTD集是整数的有限集，其和大于差。证明了对无穷多个正整数$k$，存在无穷多个仿射不等价的基数MSTD集$k$ .有几个相关的未决问题。
Infinite sets of $b$-additive and $b$-multiplicative Ramanujan-Hardy numbers
设$b$为一个计数基数。一个$b$ -加法Ramanujan-Hardy数$N$是一个整数，对于它至少存在一个整数$M$，称为加法乘数，使得$M$与$N$的基$b$的和的乘积加上乘积的逆，得到$N$。证明了对任意$b$，存在无穷多个$b$ -加法Ramanujan-Hardy数和无穷多个加法乘子.一个$b$ -乘法Ramanujan-Hardy数$N$是一个整数，对于它至少存在一个整数$M$，称为乘法乘数，使得$M$与$N$的基$b$的和的乘积乘以乘积的逆，得到$N$。证明了对于偶数$b$，$b\equiv 1 \pmod {3}$和$b=2$，存在无穷多个$b$ -乘法Ramanujan-Hardy数和无穷多个乘法乘子.这些结果完全回答了V. Nijuichte，\emph{About some relatives of the taxicab number}，arXiv：1805.10739v4中提出的两个问题，并部分回答了另外两个问题。
On a problem of Chen and Fang related to infinite additive complements
两个非负整数的无限集合$A$和$B$称为加补，如果它们的和集包含每个非负整数.在1964年，Danzer构造了无限加法补$A$和$B$，其中$A(x)B(x) = (1 + o(1))x$为$x \rightarrow \infty$，其中$A(x)$和$B(x)$分别表示集合$A$和$B$的计数函数。本文通过推广Danzer的构造，解决了Chen和Fang的一个问题。
On minimal additive complements of integers
令$C,W\subseteq \mathbb{Z}$。如果是$C+W=\mathbb{Z}$，则集合$C$被称为$\mathbb{Z}$中$W$的加法补码。如果没有$C$的真子集是$W$的加法补，则称$C$为极小加法补。令$X\subseteq \mathbb{N}$。如果存在一个正整数$T$，使得对于所有足够大的整数$x\in X$，$x+T\in X$，那么我们称$X$最终为周期的。本文研究了当$W$最终为周期或非周期时，$W$的极小补的存在性.这部分回答了Nathanson的一个问题。
Lagrange-like spectrum of perfect additive complements
本文针对非负整数的完美加性补集，定义了类拉格朗日谱$\boldsymbol{\rm \textfraktur{L}}$，得到其最小聚点并证明$\boldsymbol{\rm \textfraktur{L}}$为闭集，同时给出相关补充结果与待研究问题。
Exact additive complements
设$A,B$是正整数的集合，使得$A+B$包含除100个以外的所有正整数。Sárközy和Szemerédi证明，如果$ A(x)B(x)/x \to 1$，则$A(x)B(x)-x \to \infty $。Chen和Fang大大改进了Sárközy和Szemerédi的界。我们进一步改进了他们的估计，并通过一个例子表明，我们的结果几乎是最好的可能。
Additive bases with coefficients of newforms
令$f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a(n) e^{2πi nz}$是具有整数傅里叶系数的$S_{2k}^{\text{new}}(Γ_0(N))$中的归一化Hecke本征形。证明了存在一个常数$C(f)>0$使得任意整数至多是$C(f)$系数$a(n) $的和.它装有$C(f)\ll_{\varepsilon,k}N^{\frac{6k-3}{16}+\varepsilon}$。
Arithmetic Subderivatives and Leibniz-Additive Functions
我们首先引入了一个正整数关于一个非空素数集的算术次导数.这个概念推广了算术导数和算术偏导数的概念。更一般地，我们定义算术函数$f$是莱布尼兹-可加的，如果存在一个非零值的完全乘性函数$h_f$，对所有正整数$m$和$n$满足$f(mn)=f(m)h_f(n)+f(n)h_f(m)$。我们研究了这类函数的一些基本性质。例如，我们提出的条件时，一个算术函数是莱布尼兹加法和推广众所周知的算术导数的界限，建立界限的莱布尼兹加法函数。
Sets Arising as Minimal Additive Complements in the Integers
阿贝尔群$G$的子集$C$是$W \subseteq G$的最小加法补，如果对任意真子集$C' \subset C$，$C + W = G$和$C' + W \neq G$都是。在本文中，我们研究了哪些整数集合作为最小加法补出现。我们证实了Kwon的一个猜想，证明了具有任意大间隙的有界下集是作为最小的加法补充而出现的。此外，我们的建设表明，任何这样的集合属于一个共同的最小对，加强了一个结果的Biswas和Saha的空缺序列。我们绑定的上，下Banach密度的syndetic集，作为最小的添加剂补充有限集。本文给出了最终周期集成为极小可加补集的若干必要条件，并证明了这些必要条件对于某些类最终周期集也是充分的.最后，我们给出了关于极小可加补数结构的几个定理和问题。
Nets in groups, minimum length $g$-adic representations, and minimal additive complements
度量几何中网的数论模拟提出了组合数论和加性数论中的新问题和新结果。例如，对于一个固定的整数g > 1，关于生成集A_g = {g^i：i= 0，1，2，.}需要关于A_g的整数的字长的知识。描述了整数的g-adic表示，其在算法上产生最短长度的表示。还讨论了加法补和加法渐近补，以及与之相关的极小性问题。
On a problem of minimal additive complements for not eventually periodic $S$-difference sets
针对非最终周期S-差集的极小加法补集问题，本文对Ma和Chen提出的一个相关问题给出了肯定回答。
The arithmetic derivative and Leibniz-additive functions
算术函数$f$是莱布尼茨加性的，如果存在完全乘性函数$h_f$，即，对于所有正整数$m$和$n$满足$h_f(1)=1$和$h_f(mn)=h_f(m)h_f(n)$，对于所有正整数$m$和$n$满足$$ f(mn)=f(m)h_f(n)+f(n)h_f(m) $$。本研究的动机是这样一个事实，即莱布尼茨加性函数是算术导数$D$的推广，即$D$是莱布尼茨加性与$h_D(n)=n$。本文研究了Leibniz-可加函数的基本性质，证明了Leibniz-可加函数$f$完全由$f$和$h_f$在素数处的值决定.我们还考虑了莱布尼兹可加函数关于算术函数的乘积、复合和狄利克雷卷积的性质。
On an inverse problem in additive number theory
对于集合$A$，设$P(A)$是$A$的所有有限子集和的集合。本文对整数序列$B=\{1<b_1<b_2<\cdots\}$和$3b_1+5\leq b_2\leq 6b_1+10$，确定了$b_3$的临界值，使得存在正无穷序列$A$，其中$P(A)=\mathbb{N}\setminus B$ .这一结果表明我们部分地解决了Fang和Fang [“关于加性数论中的一个逆问题”，Acta Math. Hungar. 158（2019），36-39]。
$k$-additive uniqueness of the set of squares for multiplicative functions
P. V. Chung证明了有许多乘性函数$f$对所有正整数$m$和$n$满足$f(m^2+n^2) = f(m^2)+f(n^2)$.在这篇文章中，我们表明，如果超过$2$平方在添加剂的条件涉及，那么这样的$f$是唯一确定的。也就是说，如果乘法函数$f$对于任意正整数$a_i$满足\[ f(a_1^2 + a_2^2 + \dotsb + a_k^2) = f(a_1^2) + f(a_2^2) + \dotsb + f(a_k^2) \]，则$f$是恒等函数。在这个意义上，我们把所有正平方的集合称为乘性函数的\emph{$k$-additive uniqueness set}。
Limits and decomposition of de Bruijn's additive systems
非负整数的加法系是一族（A_i）_{i \in I}，其中对于所有i个\in I，\in A_i为0，使得每个非负整数都可以唯一地写成\sum_{i\in I} a_i的形式，其中对于所有i，a_i \in A_i为a_i，并且对于只有100个i，a_i \neq为0。1956年，de Bruijn证明了每个加法系都是由一个无穷序列（g_i）_{i \in \N }构造的，其中g_i对所有i都是\geq 2，或者是这样一个系统的收缩。本文给出了“不可压缩”或“不可分解”可加系统的完整分类，并讨论了可加系统的极限和稳定性。
Additive bases and Niven numbers
在胡利黎曼假设下，证明基$g$的Niven数集是加性基，即每个自然数可表示为至多$C_g$个此类数之和。
Explicit sumset sizes in additive number theory
本文研究有限整数集的和集大小，构造了无限族的有限集并计算了其h重和集大小。
Problems in additive number theory, I
加性数论中与和集和差集、更一般的二元线性型以及整数和非负整数的加性基的表示函数有关的问题。
Finite Representability of Integers as $2$-Sums
如果$\{0,1,\ldots,hn\}$中的每个元素都可以写为$\mathcal{A}$的元素在{ \it至少}单向的$h$-和，则集合$\mathcal{A}$被称为是加性$h$ -基。我们寻求多种表示$h$ -总和，在本文中，我们开始限制自己$h=2$。如果每个$j\in[αn, (2-α)n]$可以至少以$g$方式表示为$\mathcal{A}$的元素的$2$ -和，则我们说$\mathcal{A}$是截断的$(α,2,g)$加性基。在本文中，我们提供了尖锐的渐近事件，随机选择的集合是一个截断$(α,2,g)$加性基具有高或低的概率。
Triangular and tetrahedral number differences of sumset sizes in additive number theory
本文研究有限整数集合sumset大小的完整范围，发现在大小为4的集合流行sumset大小分布中存在与三角数和四面体数相关的意外模式。
Additive systems and a theorem of de Bruijn
本文给出了de Bruijn的一个定理的完整证明，该定理对非负整数的加法系统进行了分类，即非负整数集合的族$\mca = (A_i)_{i\in I}$，每个集合包含0，使得每个非负整数都可以唯一地写成$\sum_{i\in I} a_i$的形式，其中对所有的$i$都有$a_i \in A_i$，而对只有100个$i$有$a_i \neq 0$.确定了所有不可分解的加法系。
A binary additive equation involving fractional powers
研究了二元加法方程$[m^c] + [p^c] = n$的可解性，其中$m$是整数，$p$是素数，$c$是$1 < c < 3/2$范围内的固定实数.
Local Galois representations associated to additive polynomials
本文针对加法多项式构造了非阿基米德局部域Weil群的不可约光滑表示，研究其不变量并给出原始性的充要条件。
On the maximum values of the additive representation functions
令$A$和$B$是非负整数的集合。对于正整数$n$，让$R_{A}(n)$表示$n$的表示数，作为来自$A$的两项之和。令$\displaystyle s_{A}(x) = \max_{n \le x}R_{A}(n)$和$\displaystyle d_{A,B}(x) = \max_{\hbox{t: $ a_{t} \le x $ or $ b_{t} \le x $}}|a_{t} - b_{t}|$。本文研究了$s_{A}(x)$、$s_{B}(x)$和$d_{A,B}(x)$之间的关系。改进了Haddad和Helou关于Erdens-Turán猜想的一个结果.
A new explicit formula in the additive theory of primes with applications II. The exceptional set in Goldbach's problem
改进了几位作者早先的估计，我们证明了在X之下的Goldbach例外偶数（即不能写成两个素数之和的偶数）的个数E（X）满足对足够大的X的界E（X）< X^0.72.在证明至关重要的作用是发挥了明确的公式的贡献主要弧证明第一部分本系列（arXiv：1804.05561）。在这个新版本中，一些印刷错误被纠正，并增加了一个解释性的句子定理C和D的共同证明。
Additive properties of numbers with restricted digits
本文研究了具有限制数展开式的整数的一些加法性质。设$b\geq 3$是一个整数，$B_b$是其基$b$展开式只有位数的整数集$\{0,1\}.$设$a,b,c$是比$2.$大三个整数，我们给出了$(B_{a}+B_{b})\cap B_{c}.$的大小的一些估计。特别地，在温和的条件下，$(B_{a}+B_{b})\cap B_{c}$是一个非常薄的集，在下面的意义上，对于每个$ε>0,$作为$N\to\infty,$ \[ \#((B_{a}+B_{b})\cap B_{c} \cap [1,N])=O(N^ε). \]
A Cesàro average for an additive problem with prime powers
在本文中，我们推广和改进我们的结果加权平均数的整数表示为两个幂的素数之和。设$1\le \ell_1 \le \ell_2$是两个整数，$Λ$是von Mangoldt函数，% \(r_{\ell_1,\ell_2}(n) = \sum_{m_1^{\ell_1} + m_2^{\ell_2}= n} Λ(m_1) Λ(m_2) \) %是表示整数为两个素数幂和的数的加权计数函数。令$N \geq 2$为整数。我们证明了$r_{\ell_1,\ell_2}$在区间$[1, N]$上的权$k > 1$的Cesàro平均有一个发展，它是明确依赖于黎曼ζ函数零点的项之和。
Bi-Lipschitz equivalent metrics on groups, and a problem in additive number theory
有一个标准的“字长“度量规范地关联到组的任何生成器集合。具体地，对于大于1的任何整数a和b，整数的加法群具有分别与度量d_A和d_B相关联的生成集{a^i}_{i=0}^{\infty }和{b^j}_{j=0}^{ \infty }。证明了这些度量是双Lipschitz等价的当且仅当存在正整数m和n使得a^m = b^n.
The addition on totally positive integers uniquely determines the totally real number field
本文证明全实数域的全正代数整数作为加法半群唯一确定该域，并给出其以不可分解元为生成元的表示，推广至半格类。
Additive arithmetic functions meet the inclusion-exclusion principle: Asymptotic formulas concerning the GCD and LCM of several integers
我们得到了包含整数$n_1,\ldots,n_k$的gcd和lcm的和$\sum_{n_1,\ldots,n_k\le x} f((n_1,\ldots,n_k))$和$ \sum_{n_1,\ldots,n_k\le x} f([n_1,\ldots,n_k])$的渐近公式，其中$f$属于某些加性算术函数类.特别地，我们考虑了由Duncan（1962）和Hassani（2018）研究的广义Ω函数$Ω_{\ell}(n)= \sum_{p^ν\mid\mid n} ν^{\ell}$，以及由Alladi和Erds（1977）研究的函数$A(n)=\sum_{p^ν\mid\mid n} νp$、$A^*(n)= \sum_{p \mid n} p$、$B(n)=A(n)-A^*(n)$。作为一个关键的辅助结果，我们使用一个包含-排除型恒等式。
Additive properties of even perfect numbers
一个正整数n被称为完美的，如果sigma（n）=2n，其中sigma表示n的约数之和。本文证明了：如果n是偶完满数，则任意整数m<=n都表示为n的若干因子之和。
On an additive prime divisor function of Alladi and Erdos
本文讨论了Alladi和Erd \H os于1977年提出的可加性素除子函数$A(n) := \sum\limits_{p^α|| n} α\, p$.证明了对于任意固定整数$q > 1.$，$A(n)$是均匀分布的（mod $q$
Additive Diophantine Equations involving S-Units, Factorials and Ternary Recurrences with repeated root
研究Cullen数C_n=n2^n+1与阶乘及S-单位构成的加法丢番图方程，证明其最大素因子趋于无穷，并求解特定方程。
Generalized additive bases, Konig's lemma, and the Erdos-Turan conjecture
设A是一组非负整数。对于每个非负整数n和正整数h，设r_{A}（n，h）表示n的表示形式n = a_1 + a_2 +. + a_h，其中a_1，a_2，.，a_h是A的元素，a_1 \leq a_2 \leq. \leq a_h.无限集A称为h阶基，如果对每个非负整数n，有r_{A}（n，h）\geq 1. Erdos和Turan证明了对每个2阶基A，limsup_{n\to\infty} r_A（n，2）= \infty.本文引入了一类新的可加基和一般的可加问题，其特例是Erdos-Turan猜想。利用Konig关于某些图中存在无限路的引理，证明了这个一般问题等价于一个有关的非负整数的有限集问题.
Binary Additive Problems: Recursions for Numbers of Representations
证明了正整数表示为和x+y，x在X中，y在Y中的个数的一般递推式，其中X，Y是递增序列.特别是，我们得到的哥德巴赫，Lemoine-Levy，陈和其他二进制分区的数量的递归。
On the Sum of Additive Characters and its Applications over Finite Fields
该研究建立了有限域上指定\bF_q阶加性特征和的通用公式，推导了多项式莫比乌斯函数与k-正规元特征函数，并推广了若干经典恒等式，揭示了整数与多项式域的结构相似性。
Multiple Lucas Dirichlet series associated to additive and Dirichlet characters
本文给出了多重移位Lucas zeta函数、多重Lucas $L$ -函数与Dirichlet特征标和可加特征标的解析延拓.然后，我们计算这些函数在这些极点处的精确奇点和留数的完整列表。进一步，我们证明了与二次特征标相关的多个Lucas $L$ -函数在负整数参数下的合理性.
A new upper bound for finite additive bases
设n（2，k）表示最大整数n，对于该最大整数n存在k个非负整数的集合A，使得和集2A包含{0，1，2，.，n-1}。加性数论中的一个经典问题是求n（2，k）的上界。本文证明了limsup_{k\to\infty} n（2，k）/k^2 \leq 0.4789.
On an additive problem involving fractional powers with one prime and an almost prime variables
本文研究分数次幂整数部分的二元加法表示，证明在指数范围内充分大整数可表为素数与素因子个数有界的殆素数之和，并改进已有结果。
Problems in additive number theory, VII: The structure of additive $h$-bases for $n$
本文研究加性数论中有限整数集作为$h$-基的结构问题，提出了一类适合AI求解的新问题。
Sharp order-preserving integer models for short additive equalities
本文研究有限实数集的最小递增整数模型，在保持等长和相等关系下，确定了$H_4(q)$、$H_5(q)$和$H_6(2)$的精确值，并给出更大集合的渐近界及应用。
The behaviour of a certain additive function in large intervals between consecutive primes
本文研究连续素数之间大区间内特定整数素因子所决定的加性函数的行为，结合素数大间隙相关结果、Erdős–Kac 定理及 Kubilius 模型得到主要结论。
Prime Solutions to a Binary Additive Equation and Mixed Moments of Character Sums
本文通过泊松求和与Kloosterman分数和均值估计，得到二元加法方程素数解的渐近公式，并应用于特征和混合四阶矩，获得非平凡界。
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