Patterns in numbers and infinite sums and products
Yining Hu
在这篇文章中，我们提出了一个通用的方法，获得无限总和的产品与功能，计数模式的数字。
In this article we propose a general method of obtaining infinite sums of products with functions that count patterns in numbers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
General proof for irrationality of infinite sums based on Fourier's proof
本文给出了一个关于取某种形式的无穷和的数的无理性的一般证明。
On an infinite number of new families of odd-type Euler sums
我们提出了几个序列的欧拉和涉及奇调和数。计算技术基于适当的二值整数函数，允许仅根据zeta值显式计算这些序列。
Infinite arctangent sums involving Fibonacci and Lucas numbers
使用一个简单的初等方法，我们推导出许多无穷反正切求和公式涉及斐波那契和卢卡斯数。虽然大多数的结果是新的，一对夫妇的庆祝结果出现在这里推导出的更一般的公式的特殊情况。
Sums of arctangents and sums of products of arctangents
给出了新的无穷反正切和及无穷反正切乘积和。许多以前已知的评价出现在本文中导出的一般结果的特殊情况。
Arithmetic sums and products of infinite multiple zeta-star values
本文研究了受限索引的无穷多重ζ星值的算术和与积，并受连分数理论和康托集启发，提出关于特定索引的ζ星值代数点及算术运算的猜想。
On supercongruences for truncated sums of squares of basic hypergeometric series
无穷级数的截断和的同余式并不直接推广到这些无穷级数的截断高次幂和的同余式。Guo和Zudilin最近建立了一类基本超几何级数截断和的超同余。在本文中，我们将其中的一些超同余推广到相应级数的截断平方和。
On the transcendence of some infinite sums
本文研究了无穷收敛和$T=\sum_{n=0}^\infty\frac{P(n)}{Q(n)}$，其中$P(x)\in\bar{\mathbb{Q}}[x]$，$Q(x)\in\mathbb{Q}[x]$和$Q(x)$只有单有理零点. N. Saradha和R. Tijdeman等得到了当$Q(x)$的次数为3时$T$超越的充必要条件。本文给出了当$Q(x)$的度为4且$Q(x)$是约化的时，$T$超越的充必要条件.
Infinite partial sumsets in the primes
本文构造两个无限自然数集 $A$ 和 $B$，证明在下标满足 $i<j$ 时所有交叉和 $a_i+b_j$ 均为素数，从而得到素数中的无限部分和集。
Periodic analogues of Dedekind sums and transformation formulas of Eisenstein series
本文导出了一类广义Eisenstein级数在模替换下的变换公式。出现在变换公式中的是包含周期伯努利函数的Dedekind和的推广。互易定理证明这些Dedekind和。作为变换公式的应用，还导出了各种无穷级数之间的关系和几种无穷级数的求值。最后，我们考虑这些总和的一些特殊情况。
On an infinite number of nonlinear Euler sums
线性调和数和在过去的几个世纪里已经被各种各样的作者研究过，但是关于二次或更高次的非线性欧拉和的结果很少。第一个系统的研究非线性欧拉和组成的产品的超调和和已出版的Flajolet和萨尔维在1997年其次是类似的研究在过去几年中提出的不同作者。虽然这些研究已被限制在其中的提名人组成的产品的偶或奇超调和和，其中的分母是类型$1/k^n$的总和。我们将这些结果推广到具有不同的增元和提名者的非线性欧拉和，这些增元和提名者由偶数和奇数超调和数之间的混合乘积组成。详细地，我们给出了八个可用zeta值表示的二次欧拉和族，以及仅当非线性欧拉和的阶总是偶数时的特殊类型的线性欧拉和族.由此产生的八个不同的家庭的非线性欧拉和，我们发现，包括各种产品之间的偶数和奇数的超调和数，除以三种不同类型的分解器$1/k^n$，$1/((2k-1)^n)$和$1/(k(2k-1))$。计算方案是基于适当的二值整数函数，这使我们能够计算这些序列明确的zeta值和对奇型线性调和数和偶超调和数的二阶。
Sums of products of Ramanujan sums
Ramanujan和$c_n(k)$被定义为本原单位根$n$的$k$次幂之和。我们研究$r$变量的算术函数定义为产品$c_{m_1}(g_1(k))...c_{m_r}(g_r(k))$，其中$g_1,..., g_r$是整系数多项式的某些总和。一个修正的正交关系的Ramanujan和也被推出。
A study in sums of products
我们给出了一个一般版本的取消指数和所产生的产品的跟踪功能满足一个适当的独立性条件有关的Goursat-Kolchin-Ribet标准的总和，在一种形式，很容易适用于解析数论。
Oscillations in Mertens Theorems and Other Finite Sums and Products
本文简化了Martens定理中关于素积振动性的一个新结果的证明，并给出了误差项的定量表达式。此外，还给出了素数的倒数的有限和及其它有限和与乘积的相应振动性结果。
On an infinite number of nonlinear Euler sums
针对二次及更高次非线性欧拉和研究成果少的问题，推广现有结果至含偶奇超调和数混合乘积的非线性欧拉和，提出8类仅由zeta值和线性欧拉和表示的二次欧拉和，给出基于二值整数函数的计算方案。
Sums of products involving power sums of $φ(n)$ integers
引入了一个有理数序列作为Bernoulli数列的推广.然后使用Faà di Bruno公式的应用程序获得涉及这个广义序列的项的产品和。这些乘积和类似于高阶Bernoulli数，并且用于开发涉及幂和$\displaystyle Ψ_k(x,n):=\sum_{d|n}μ(d)d^k S_k(\frac{x}{d}), n\in\mathbb{Z}^+$的乘积和的封闭形式表达式，所述幂和$\displaystyle Ψ_k(x,n):=\sum_{d|n}μ(d)d^k S_k(\frac{x}{d}), n\in\mathbb{Z}^+$通过默比乌斯函数$μ$和实变量或复变数$x.$的通常幂和$\displaystyle S_k(x):=\frac{B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(0)}{k+1}.$来定义。
Character sums over products of prime polynomials
本文研究了$\mathbb{F}_q[t]$中多项式上的Dirichlet特征标的和问题.我们的主要结果是明确的公式，这些总和的Dirichlet L-函数的零点。我们还展示了新的现象，切比雪夫型偏差的不可约因子的数量是非常大的。
Some new sums of $q$-trigonometric and related functions through a theta product of Jacobi
本文计算了涉及$q$ -三角函数和$q$ -双Γ函数的有限和与无限和.在让$q$逼近$1$时，人们得到经典三角函数和双Γ函数的相应和。我们的主要论点是一个θ积公式的Jacobi和Goelman的$q$三角恒等式。
Recursive formulas for sums of squares and sums of triangular numbers
我们证明了递归公式平方和和三角数的总和的总和的约数函数，我们给这些公式的各种后果。中间应用包括一些无穷乘积的系数的正性的陈述。
Sums of products of Kloosterman sums to prime power moduli
本文针对素幂模下的Kloosterman和乘积和，证明了新的强幂节省界，通过利用p进可微性的初始项估计完全指数和的方法实现，为相关数论问题提供了量化的对齐分析。
Sums of products of power sums
对于任何两个算术函数$f,g$，令$\bullet$是交换和结合算术卷积$(f\bullet g)(k):=\sum_{m=0}^k \left( \begin{array}{c} k m \end{array} \right)f(m)g(k-m)$，对于任何$n\in\mathbb{N},$，$f^n=f\bullet \cdots\bullet f$是$f\in \mathcal{S}.$的$n-$倍积对于任何$x\in\mathbb{C},$，令$\mathcal{S}_0=e$是环$(\mathcal{S},\bullet,+)$的乘法恒等式，$\mathcal{S}_x(k):=\frac{\mathcal{B}_{x+1}(k+1)-\mathcal{B}_{1}(k+1)}{k+1},~x\neq 0$表示由伯努利多项式$\mathcal{S}^N_x(k)(x)$定义的幂和。Faulhaber公式，推导出。进一步研究了$α-$ Euler数\cite{JS9}（Apostol Bernoulli数的一种变体）及其乘积和的一些性质，利用这些性质得到了$η_α(k):=\sum_{n=0}^{\infty}α^n n^k,~0<|α|<1,~k\in\mathbb{N}_0$形式的无穷级数的乘积和及其Abel和的封闭形式表达式，特别是给出了著名Bernoulli数的封闭…
Dedekind sums with arguments near certain transcendental numbers
研究了超越数\BD \sum_{j=0}^\ infty \frac {1}{b^{2^j}}，\ b \ge 3的可收敛$s_k/t_k$ $k\ge 0$序列的经典Dedekind和$s(s_k/t_k)$的渐近性态. \ED特别是，我们表明，有无穷多个开放的恒定长度的区间，使序列$s(s_k/t_k)$有无穷多个超越聚类点在每个区间。
Problems on infinite sumset configurations in the integers and beyond
本文围绕正密度自然数集中的无限和集及其他无限构型，梳理相关最新进展，并系统探讨待解决问题与存在的障碍。
Sums of Products of Riemann Zeta Tails
Furdui和Valean最近的一篇论文证明了关于黎曼ζ函数的级数的“尾”的乘积和的一些结果。我们将展示如何证明这样的结果可以用较弱的假设，使用多个zeta值，也展示了他们如何可以推广到产品的三个或更多这样的尾巴。
A note on some infinite sums of Hurwitz zeta functions
我们考虑了某些包含形式为\[\sum_{k=1}^\infty (\pm 1)^k k^m ζ(s,k),\]的Hurwitz zeta函数$ζ(s,α)$的无穷和的封闭形式估计，其中$m$是非负整数.对于$m=0$和用$ka+b$代替$ζ(s,k)$中的自变量$k$的和，其中$a$和$b$是正参数，我们还得到了一个适合于极限$a\to0$中计算的变换公式.
Finite Sums and Products involving Special Functions
本文利用特殊函数建立了各种积与和的关系，这些关系源自受包含Hurwitz-Lerch zeta函数的有限和启发的公式。
Complete sums of products of (h,q)-extension of Euler numbers and polynomials
本文研究了欧拉数和多项式的（h，q）-扩张的一些有趣性质。最后，我们将给出这些数与多项式之间的一些关系
Infinite products involving binary digit sums
令$(u_n)_{n\ge 0}$表示具有值$\pm 1$的Thue-Morse序列。下面的伍兹-罗宾斯恒等式和它的几个推广在文献\begin{equation*}\label{WR}\prod_{n=0}^\infty\left(\frac{2n+1}{2n+2}\right)^{u_n}=\frac{1}{\sqrt 2}.\end{equation*}中是众所周知的。没有其他这样的产品涉及一个有理函数在$n$和序列$u_n$似乎是已知的封闭形式。为了详细了解这些产品，我们研究了功能\begin{equation*}f(b,c)=\prod_{n=1}^\infty\left(\frac{n+b}{n+c}\right)^{u_n}.\end{equation*}，我们证明了一些分析性质的$f$。我们还得到了一些类似于Woods-Robbins乘积的新恒等式。
Infinite families of recursive formulas generating power moments of Kloosterman sums: O^- (2n, 2^r) case
本文构造了八个关于特殊正交群$SO^-(2n,2^r)$的极大抛物子群的二元线性码的双陪集无限族。然后我们得到了四个无限族的Kloosterman和的幂矩的递归公式，以及四个二维Kloosterman和的幂矩的递归公式。这是通过Pless幂矩恒等式和利用与正交群$O^-(2n,2^r)$的“高斯和”的求值有关的双陪集上的指数和的显式来完成的
Size of product of a number and its multiplicative inverse, Moments of L-functions and Exponential Sums
本文研究了一个数与其模为素数p的乘法逆乘积的平均大小，这与L函数的矩有关，并导出了某个三重指数和的一个奇异的渐近公式.
Infinite Families of Recursive Formulas Generating Power Moments of Kloosterman Sums: Symplectic Case
本文构造了关于辛群Sp（2 n，q）的某个极大抛物子群的两个具有双陪集的二元线性码无限族，其中q是2的幂.然后得到了Kloosterman和的幂矩以及二维Kloosterman和的幂矩关于码中权的频率的无穷族递推公式。这是通过Pless幂矩恒等式和利用与辛群Sp（2n，q）的“高斯和”的计算有关的双陪集上的指数和的显式来完成的。
Infinite Families of Recursive Formulas Generating Power Moments of Kloosterman Sums: O\^{+}(2n, 2r) Case
本文构造了关于正交群O^+（2n，2 ^r）的某个极大抛物子群的四个具有双陪集的二元线性码的无限族.这里q是2的幂。然后得到了Kloosterman和的幂矩和二维Kloosterman和的幂矩关于码中权的频率的两个无穷族递推公式。这是通过Pless幂矩恒等式和利用与正交群O^+（2n，2 ^r）的“高斯和”的求值相关的双陪集上的指数和的显式来实现的。
GCD sums and sum-product estimates
在本说明中，我们证明了一个新的估计所谓的GCD和（也称为Gál和），其中，对于某些系数，显着提高了一般的界限，由于德拉Bretèche和Tenenbaum。我们用我们的估计证明新的结果的equidistribution序列模1，改善Aistleitner，Larcher和Lewko的结果如何度量泊松性质涉及到的概念的添加剂能量。特别是，我们表明，任意子集的平方米泊松。
On reciprocity formula of character Dedekind sums and the integral of products of Bernoulli polynomials
利用欧拉-麦克劳林求和公式的特征标类比，给出了模不必相同的两个本原特征标对应的特征标Dedekind和的互易公式的一个简单证明.此外，我们推广了关于伯努利多项式乘积积分的已知结果，考虑了积分\[ \int\limits_{0}^{x}B_{n_{1}}(b_{1}z+y_{1})... B_{n_{r}}(b_{r}z+y_{r}) dz, \]，其中$b_{l}$、$(b_{l}\neq 0)$和$y_{l}$ $(1\leq l\leq r)$是实数.由于这一积分，我们建立了一个连接之间的相互作用关系的总和产品的伯努利多项式和戴德和。
Fields generated by sums and products of singular moduli
证明了由两个奇异模~ $x$和~ $y$生成的域$\mathbb{Q}(x,y)$由它们的和${x+y}$生成，除非~ $x$和~ $y$在~ $\mathbb{Q}$上共轭，在这种情况下${x+y}$生成一个次数至多为~ $2$的子域.对于两个奇异模的乘积，我们也得到了类似的结果。
Generalizations for reciprocal Fibonacci-Lucas sums of Brousseau
我们推导出封闭形式的表达式有限和无限Fibonacci-Lucas和产品的Fibonacci或Lucas数的分母的被加数。我们的结果推广和扩展了先驱兄弟阿尔弗雷德布鲁索和后来的研究人员所获得的。
Multiple zeta values, WZ-pairs and infinite sums computations
本研究结合Wilf-Zeilberger对方法与多重zeta值系统理论，证明了Z.W. Sun提出的大量级数恒等式，破解了诸多长期悬而未决的猜想。
Infinite Families of Recursive Formulas Generating Power Moments of Ternary Kloosterman Sums with Square Arguments Associated with $O^{-}_{}(2n,q)$
本文构造了八个关于特殊正交群$SO^{-}(2n,q)$的极大抛物子群的具有双陪集的三元线性码的无限族。这里，${q}$是3的幂。在此基础上，我们得到了四个关于带平方变元的Kloosterman和的幂次矩的无穷族递归公式和四个关于其偶次幂次矩的无穷族递归公式.这是通过Pless幂矩恒等式和利用与正交群$O^{-}(2n,q)$的$"$高斯和的求值相关的双陪集上的指数和的显式来完成的。
On a product of three theta functions and the number of representations of integers as mixed ternary sums involving squares, triangular, pentagonal and octagonal numbers
本文推导了三个theta函数乘积的线性组合一般公式，并由此得到两个theta函数乘积的公式，进而应用于整数表示为平方数、三角数、广义五角数和广义八边形数的混合三元和问题。
General Multi-sum Transformations and Some Implications
我们给出了两个一般的转换，允许某些相当一般的基本超几何多重和任意深度（涉及任意序列$\{g(k)\}$的总和），减少到一个无限的$q$产品倍一个单一的基本超几何和。给出了各种应用，包括某些$q$正交多项式的求和公式，以及可表示为无穷乘积的各种多重和。
Constancy of an Infinite Cyclotomic Product via Ramanujan Sums
本文通过拉马努金求和证明了无限循环多项式乘积在单位圆内的恒定性，并揭示了相关恒等式对无限乘积的进一步影响。
Large even order character sums
佩利的一个经典定理断言存在一个无限族的二次特征标，其特征标和变得异常大。本文对任意固定偶数阶特征标建立了一个类似的结果。以前，我们的边界只知道在广义黎曼假设的假设下。
On sums involving products and quotients of L-functions over function fields
我们估计了$L$ -函数的乘积或乘积的和，这里的和是在一个固定的整体函数域上给定亏格的所有二次扩张上取的。我们的估计的总和商的两个$L$ -功能是类似的结果施密特在那里他估计的总和商的两个$L$ -系列，其中的总和是超过二次扩展的$\bq$与绝对值的判别式小于一个给定的界限。
An application of sums of triple products of binomials
本文证明了一类三个二项式乘积和族具有模素数$p$的交替性。为了实现这一点，我们重写这些款项的产品的三个二项式，更好地处理$p$的有符号的总和，我们给两个相关的三个二项式的有符号的产品的总和封闭形式的表达式。
A complement to a recent paper on some infinite sums with the zeta values
最近，有关级数sum（-1）^n zeta（n）/（n+k）的计算的一些新结果被发表.在这个简短的说明中，我们表明，这个系列也拥有一个有趣的连接到临界线上的ζ函数的值和欧拉常数。
An Infinite Family of Recursive Formulas Generating Power Moments of Kloosterman Sums with Trace One Arguments: O(2n+1,2^r) Case
本文构造了一类关于正交群O（2n+1，q）的某个极大抛物子群的双陪集二元线性码.这里q是2的幂。然后，我们得到了生成迹为1的Kloosterman和的奇次幂矩的无穷族递归公式，这些公式是关于O（2n+1，q）中的双陪集所对应的码和辛群Sp（2n，q）中的相似双陪集所对应的码的权的频率的.这是通过Pless幂矩恒等式和利用与正交群O（2n+1，q）的“高斯和”求值相关的双陪集上的指数和的显式来完成的。
Sums of products of generalized Fibonacci and Lucas numbers
本文建立了广义Fibonacci数与Lucas数乘积的和与交错和的几个公式。特别地，我们恢复和推广了Z. Cerin和Z. Cerin & G. M.吉亚内拉，更容易。
Discovering and Proving Infinite Binomial Sums Identities
我们考虑无穷远处的二项和逆二项和，并将它们重写为一小组常数，例如$π$或$\log(2)$的幂。为了进行这些简化，我们将级数视为生成级数的特化。对于这些生成级数，我们导出了根值迭代积分的整表示。利用代换，我们将积分表示为分圆调和多项式。最后，利用已知的分圆调和多项式之间的关系，我们推导出几个常数的表达式。
Sums, products and ratios along the edges of a graph
在其开创性的文件Erdés和Szemerédi制定的Aktures的大小和积集的整数。他们猜想的最强形式是关于沿着图的边的和与积。在本文中，我们表明，这种强形式的Erdens-Szemerédi猜想不成立。给出了图的边的和集、积集和比集的基数的上界和下界。
Infinite Families of Recursive Formulas Generating Power Moments of Ternary Kloosterman Sums with Trace Nonzero Square Arguments: $O(2n+1,2^{r})$ Case
本文构造了$O(2n+1,q)$中关于特殊正交群$SO(2n+1,q)$的某个极大抛物子群的四个具有双陪集的三元线性码的无限族.这里$q$是三的幂。然后得到了两个无穷族递归公式，一个产生具有$``$迹非零平方参数的Kloosterman和的幂矩，另一个产生它们的偶次幂矩.这两个族都用与$O(2n+1,q)$中的那些双陪集相关联的码和与辛群$Sp(2n,q)$中的类似双陪集相关联的码中的权重的频率来表示。这是通过Pless幂矩恒等式和利用与正交群$O(2n+1,q)$的$"$高斯和的求值相关的双陪集上的指数和的显式来完成的。
Infinite sumsets in $U^k(Φ)$-uniform sets
研究$U^k(Φ)$-均匀整数子集中的无限和集模式，探讨其与度数k的关系，并提出更高阶奇偶障碍，同时提供Thue-Morse和Rudin-Shapiro序列的应用实例。
Sums and Products with Smooth Numbers
在A = S（x，y）的特殊情况下，我们估计了和集A + A和积集A $\cdot$ A的大小，S（x，y）是小于或等于x的正整数n的集合，没有超过y的素因子.
Strongly Regular Cayley Graphs, Skew Hadamard Difference Sets, and Rationality of Relative Gauss Sums
本文给出了强正则Cayley图和斜Hadamard差集的构造。这两种构造都是基于有限域上分圆类的选择，我们的结果将Schmidt和White [24]给出的11个分圆强正则图的散例中的10个和几个子域例子推广到无限族中.这些强正则图的无限族具有新的参数。我们采用的主要工具是相对高斯和，而不是明确的评价高斯和。
Sums, products and dilates on sparse graphs
设$A \subset \mathbb R$和$G \subset A \times A$。我们证明了，对于任何$λ\in \mathbb R \setminus \{-1,0,1\}$，\[ \max \{|A+_G A|, |A+_G λA|, |A\cdot_G A|\} \gg |G|^{6/11}. \]
On popular sums and differences of sets with small products
给出了实数子集$A$的小积$AA$，得到了$A$的加性能量的一个新的上界.该证明利用了$A$的特征函数的卷积的水平集与$A$的乘积较小的自然观察。
Sums of products of fractional parts
利用傅里叶分析中的优、劣化函数，证明了某些分数部分乘积和的上、下界。在特殊情况下，如果在丢番图逼近中存在Littlewood猜想的反例，则上界是尖锐的。我们介绍了这样的反例，我们称之为强坏逼近矩阵的推广。证明了强差逼近矩阵的一个转移原理。
Few products, many h-fold sums
改进的技术的Croot和哈特，我们表明，对于每个$h$，存在一个$ε> 0$，如果$A \subseteq \mathbb{R}$是足够大的$|A.A| \le |A|^{1+ε}$，那么$|hA| \ge |A|^{Ω(e^{\sqrt{c\log{h}}})}$。
L-Functions for Symmetric Products of Kloosterman Sums
经典的Kloosterman和给出了在0和$\infty$之外的函数域的伽罗瓦表示。在Deligne和Katz工作的基础上，利用$l$ -adic方法研究了这种表示在$\infty$上的局部单值性.作为应用，我们确定了上述表示的对称积的$L$ -函数的次数和坏因子。我们的结果推广了Robba通过$p$ -adic方法得到的一些结果.
Breaking the 6/5 threshold for sums and products modulo a prime
设$A \subset \mathbb{F}_p$的大小至多为$p^{3/5}$。我们显示了$c = 4/305$的$$|A+A| + |AA| \gtrsim |A|^{6/5 + c},$$。我们的主要工具是Stevens和deZeeuw的笛卡儿积点线关联定理和第二作者发展的高能理论。
Big Birkhoff sums in $d$-decaying Gauss like iterated function systems
研究了导数多项式衰减的无穷迭代函数系统（如高斯映射）中Birkhoff和的增长率。对于不同的无界势函数，得到了Birkhoff和具有相同增长率的点集的豪斯多夫维数.
Sign changes of the partial sums of a random multiplicative function
本文给出了Rademacher随机乘性函数$f$的部分和$\sum_{n\leq x}f(n)$几乎必然无穷地变号为$x\to\infty$的简单证明。
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