A positive density of elliptic curves are diophantine stable in certain Galois extensions
Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）
本文证明，对于循环p-扩张L/Q（p=3或5），存在正密度的椭圆曲线E（按高度排序）在L中具有丢番图稳定性。
2025-12-10 math.NT
A note on the ternary purely exponential Diophantine equation $A^x+B^y=C^z$ with $A+B=C^2$
令$\ell, m, r$为固定正整数，使得$2\nmid \ell$、$3\nmid \ell m$、$\ell>r$和$3\mid r$。本文利用Lehmer数原因子存在性的BHV定理证明了：若$\min\{r\ell m^2-1,(\ell-r)\ell m^2+1\}>30$，则方程$(r\ell m^2-1)^x+((\ell -r)\ell m^2+1)^y=(\ell m)^z$只有正整数解$(x,y,z)=(1,1,2)$ .
2020-03-23 math.NT
The Diophantine Equation $(x+1)^k+(x+2)^k+\cdots+(\ell x)^k=y^n$ Revisited
设$k,\ell\geq2$为固定整数，$C$为仅依赖于$k$和$\ell$的有效可计算常数。本文证明了方程$(x+1)^{k}+(x+2)^{k}+...+(\ell x)^{k}=y^{n}$在整数$x,y,n$中的所有解都满足$\max\{x,y,n\}<C$，其中有$x,y\geq1, n\geq2, k\neq3$和$\ell\equiv 1 \pmod 2$. $\ell$是偶数的情况已经由Escherdan完成（Publ. Math. Debrecen 91（2017），pp. 369-382）。
2019-09-13 math.NT
Diophantine stability for curves over finite fields
本文综述有限域上的丢番图稳定曲线，推导其一般性质并分析多个稳定曲线族。
2025-05-13 math.NT
Elliptic curves of twin-primes over Gauss field and Diophantine Equations
设$p, q$与$q-p=2$是孪生素数.考虑椭圆曲线E=E_σ：y^2 = x（x+σp）（x+σq）.（σ= \pm 1）。当σ=+1或$-1时，E=E_σ也记为E_+或E_-.这里确定了高斯域K=Q（\sqrt-1）（和有理域Q）上椭圆曲线E的Mordell-Weil群和秩，并给出了有关的丢番图方程和联立Pellian方程解的结果.上一篇文章[1]研究了Q上椭圆曲线E的算术结构，确定了Selmer群，得到了关于Mordell-Weil群、秩、Shafarevich-Tate群和扭子群的结果.
2000-04-07 math.NT
An exponential diophantine equation related to odd perfect numbers
证明了对任意给定的素数$\ell\geq 17$和$p, q\equiv 1\pmod{\ell}$，丢番图方程$(x^\ell-1)/(x-1)=p^m q$至多有四个正整数解$(x, m)$，并给出了它在奇完满数问题中的应用.
2020-12-25 math.NT
Arithmetic statistics and diophantine stability for elliptic curves
本文研究有理数域椭圆曲线在素数幂循环扩张中的Mordell-Weil群与Tate-Shafarevich群稳定性，提出“Sha”-稳定性概念，并利用算术统计与岩泽理论证明非CM椭圆曲线在几乎所有素数处稳定。
2021-09-03 math.NT
Random Diophantine equations of large degree
本研究聚焦系数为±1的齐次多项式定义的d次ℓ维超曲面，探究d和ℓ趋于无穷时超曲面对应有理点存在的概率，拓展了随机丢番图方程的相关研究。
2025-10-30 math.NT
On localization in Kronecker's diophantine theorem
研究了克罗内克丢番图定理中的局部化问题。我们引入了一个概率的方法，允许扩展一般$\Q$线性无关序列的结果图兰有关的序列$ (\log p_\ell)$，$p_\ell$是$\ell$第素数。
2008-06-24 math.NT math.PR
A system of certain linear Diophantine equations on analogs of squares
本文研究了整数元组$(k, \ell, m)$的存在性，使得$k$，$\ell$，$m$，$k+\ell$，$\ell+m$，$m+k$，$k+\ell+m$都属于$S(α)$，其中$S(α)$是$n\geq α^{-1/2}$的所有$\lfloor αn^2 \rfloor$形式的整数的集合，$\lfloor x\rfloor$表示$x$的整数部分.我们表明，$T(α)$，所有这样的元组的集合，是无限的所有$α\in (0,1)\cap \mathbb{Q}$和几乎所有的$α\in (0,1)$在勒贝格措施的意义。进一步证明了如果存在$α>0$使得$T(α)$是有限的，则不存在完美欧拉砖。我们还研究了$n\in \mathbb{N}$的所有形式为$\lceil αn^2 \rceil$的整数的集合。
2023-01-03 math.NT
On Diophantine equations with Fibonacci and Lucas sequences associated to Hardy-Ramanujan problem
该研究围绕哈代-拉马努金问题，探究涉及斐波那契序列和卢卡斯序列的两类三次丢番图方程，找出了兼具哈代-拉马努金数属性的斐波那契数与卢卡斯数。
2024-01-30 math.NT
Inhomogeneous Diophantine approximation for generic homogeneous functions
本文是[Monatsh.~]的续篇。数学。{ \bf 194}（2021），523- 554]，其中推广了该论文的结果，使它们在非齐次丢番图逼近的情况下成立。给定任意整数$n \geq 2$和$\ell \geq 1$，任意${\pmb ξ} = \left(ξ_1, \dots , ξ_\ell \right) \in \mathbb{R}^\ell$，以及任意满足一定非奇异性假设的齐次函数\linebreak $f = \left(f_1, \dots , f_\ell \right): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^\ell$，我们得到了关于$f$的$\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ -轨道中的类元$f \circ g$的逼近函数$ψ= \left(ψ_1, \dots , ψ_\ell \right): \mathbb{R}_{\geq 0} \to \left(\mathbb{R}_{>0}\right)^\ell$的双凸准则为（分别不为）$ψ$ -在${\pmb ξ} = (ξ_1,\dots,ξ_n)$近似：也就是说，存在无穷多个（相应地，仅为无穷多个）$\mathbf{v} \in \mathbb{Z}^n$，使得对于每个$j \in \left\lbrace 1, \dots, \ell \right\rb…
2022-08-29 math.NT
Diophantine equations of the form $Y^n=f(X)$ over function fields
设$\ell$和$p$是（不一定是不同的）素数，$F$是特征$\ell$的全局函数域，其域为常数$κ$。设$F$的一个素数$P_\infty$的度为$1$，$\mathcal{O}_F$是$F$的一个子环，该子环由没有极点远离$P_\infty$的函数组成.令$f(X)$是$X$中的多项式，系数在$κ$中。我们研究了位于$\mathcal{O}_F$中的$Y^{n}=f(X)$形式的丢番图方程的解，特别地，证明了如果$m$和$f(X)$满足附加条件，则不存在非常数解。所得到的结果适用于研究的解决方案PDMATHAMBMV在某些环的整数在$\mathbb{Z}_{p}$-扩展的$F$称为常数$\mathbb{Z}_p$ -扩展。我们证明了类似的结果的解决方案在多项式环$K[T_1, \dots, T_r]$，其中$K$是任何领域的特征$\ell$，表明唯一的解决方案必须位于$K$。我们应用我们的方法来研究解丢番图方程的形式$Y^n=\sum_{i=1}^d (X+ir)^m$，其中$m,n, d\geq 2$是整数。
2022-07-09 math.NT
Diagonal genus 5 curves, elliptic curves over $\mathbb Q(t)$, and rational diophantine quintuples
寻找一个给定的有理丢番图四元组到一个有理丢番图五元组的所有可能扩张的问题等价于确定亏格为5的某条曲线上的有理点集，该曲线可以写成$\mathbb P^4$中三个对角二次曲面的交集。我们讨论如何可以（尝试）确定这样的曲线上的有理点的集合。我们在几种情况下将我们的方法应用于原始问题。特别是，我们表明，费马的丢番图四元组（1，3，8，120）可以扩展到一个合理的丢番图五元组只有一种方式，即由777480/8288641。然后，我们讨论了一种方法，使我们能够找到的Mordell-Weil群的椭圆曲线$E$定义在有理函数域$\mathbb Q(t)$时，$E$有充分的$\mathbb Q(t)$ -有理2-挠。这是基于Dujella、Gusić和Tadić最近的结果。我们给出了几个具体的例子，这种方法可以应用。这些结果之一意味着，只有一个扩大的丢番图四重$\bigl(t-1,t+1,4t,4t(4t^2-1)\bigr)$在$\mathbb Q(t)$。
2019-08-17 math.AG math.NT
Rank stability makes rings of integers diophantine
该研究给出了数域扩张下与阿贝尔簇秩稳定性相关的整数环丢番图性定理的替代证明，并回顾该定理在希尔伯特第十问题否定解答中的应用。
2025-10-22 math.AG math.NT
Diophantine rank stability and non-vanishing of $L$-functions
Aarhus University（奥胡斯大学）；University of Copenhagen（哥本哈根大学）
本文证明模阿贝尔簇在解析秩为零时，存在无穷多个G-扩张使得阿贝尔簇有限，并推广到有理椭圆曲线情形，证明依赖于扭曲中心L-值的同步非零性结果。
2026-07-01 math.NT
One-sided Diophantine approximations
本文研究$\ell$类（$\ell\in\mathbb{N}$）的最佳单侧（下或上）丢番图逼近.我们使用普通的连分数展开式来构造分数$\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}$是给定$α\in\mathbb{R}$的$\ell$ -th类的最佳下或上丢番图逼近的显式判据。最好的上下近似集的基数和度量性质进行检查。应用我们的结果在谱分析中，我们得到了一个解释的稀有性，所谓的Bethe-Sommerfeld量子图。
2019-01-15 math-ph math.MP math.NT
Diophantine approximation on abelian varieties; a conjecture of M. Waldschmidt
本文研究阿贝尔簇上的丢番图逼近，将Waldschmidt猜想等价转化为矩阵条件，提出较弱猜想并证明其上界，对秩1椭圆曲线获得弱型Dirichlet定理并证明猜想。
2025-06-23 math.NT
Diophantine definability of infinite discrete non-archimedean sets and Diophantine models over large subrings of number fields
证明了在某些数域的大子环中，无限p-代数离散集具有丢番图定义。首先，如果K是全实数域或全实数域的全复2次扩张，则存在K的素数p和密度任意接近1的K-素数集S，使得存在K中S-整数环O_{K,S}上的无限p-基数离散集Diophantine.其次，如果K是一个数域，其上存在一条秩为1的椭圆曲线，则存在一个密度为1的K-素数集S和一个对K的每一个位置v都是v-向离散的O_{K,S}的无限丢番图子集。第三，如果K是一个数域，其上存在秩为1的椭圆曲线，则存在一组密度为1的K-素数S，使得存在O_{K,S}上Z的丢番图模型。这一系列的研究是出于一个问题马祖尔关于分布的有理点品种在非阿基米德拓扑和问题有关的扩展希尔伯特第十问题的子环数领域。
2004-08-19 math.LO math.NT
Existential definability and diophantine stability
本文研究数域及其代数扩张的整数环的丢番图定义，在阿贝尔簇秩条件及扩张类型限制下，证明了丢番图稳定性。
2023-12-23 math.LO math.NT
Using Indices of Points on an Elliptic Curve to Construct A Diophantine Model of $\Z$ and Define $\Z$ Using One Universal Quantifier in Very Large Subrings of Number Fields, Including $\Q$
令$K$是数域，并且令$E$是在$K$上定义的秩为1的椭圆曲线。对于$K$的素数集合$\calW_K$，令$O_{K,\calW_K}=\{x\in K: \ord_{\pp}x \geq 0, \forall \pp \not \in \calW_K\}$。设$P \in E(K)$是$E(K)$模扭子群的生成元.设$(x_n(P),y_n(P))$是$[n]P$相对于$E$的固定Weierstrass方程的仿射坐标。证明了存在自然密度为1的$K$的素数集合$\calW_K$，使得在$O_{K,\calW_K}$中指数的乘法（关于$P$的某个固定倍数）是存在可定义的，因此这些指数可以用来构造$\Z$的丢番图模型.我们还表明，$\Z$是可定义的$O_{K,\calW_K}$使用只有一个全称量词。这两种方法都可以将使用指数和$\Z$的一阶定义构造丢番图模型提升到$K$的任意无限扩展$K_{\infty}$中的$O_{K,\calW_K}$的整数闭包，只要$E(K_{\infty})$是随机生成的且秩为1.
2011-07-10 math.AG math.LO math.NT
Construction of Arithmetic Teichmuller spaces II: Towards Diophantine Estimates
本文讨论arXiv：2106.11452的算术Teichmuller空间存在性的三个推论。令$\mathscr{X}_{F,\mathbb{Q}_p}$（分别$B=B_{\mathbb{Q}_p}$）是完整的Festhes-Fontaine曲线（分别为环），由Festies-Fontaine用基准$F={\mathbb{C}_p^\flat}$（$\mathbb{C}_p$的倾斜），$E=\mathbb{Q}_p$构建。修复一个奇素数$\ell$，设$\ell^*=\frac{\ell-1}{2}$。构造（§7）具有同时赋值标度性质（定理7.8.1）、伽罗瓦作用和其他对称性的不可数子集$Σ_{F}\subset \mathscr{X}_{F,\mathbb{Q}_p}^{\ell^*}$。现在修正$\mathbb{Q}_p$的有限扩张上的Tate椭圆曲线。$Σ_{F}$的存在导致构造（§9）一个集合$\widetildeΘ\subset B^{\ell^*}$，该集合由（到$B$的）提升、在所选椭圆曲线上的$2\ell$ -扭点处求值的所选θ-函数的值（位于$Σ_{F}$提供的不同单位中）组成。$\widetildeΘ$的结构可以容易地细化。此外，我还证明了一个下界（定理10.1.1）$\widetildeΘ$的大小（这里大小定义的$B$的Fréchet结构）。我还证明了（在§11…
2023-03-16 math.AG math.NT
Zeros and $S$-units in sums of terms of recurrence sequences in function fields
本文利用Brownawell-Masser结果，证明函数域上非退化线性递推序列项之和属于S-单位的丢番图方程解有限性，并研究三个简单递推序列之和为零的有限性结果。
2025-02-10 math.NT
Diophantine triples and K3 surfaces
一个丢番图$m$ -元组（英语：Diophantine $m$ -tuple）是$K$的一组非零（相异）元素，其性质是任何两个相异元素的乘积比$K$中的平方小一。设$X: (x^2-1)(y^2-1)(z^2-1)=k^2,$为三重。它的$K$ -有理点将$K$上的丢番图三元组参数化，使得对应于点$(x,y,z,k)\in X(K)$的三元组的元素的乘积等于$k$。我们用$\overline{X}$表示$X$的投射闭包，对于固定的$k$用$X_k$表示由与$X$相同的方程定义的簇。证明了簇$\overline{X}$对$\mathbb{P}^3$是双有理的，从而得到了丢番图三元组集合的一个新的有理参数化。其次，专门针对有限域，我们找到了一个K3曲面$X_k$之间的对应，对于一个给定的$k\in\mathbb{F}_{p}^{\times}$在素域$\mathbb{F}_{p}$的奇特征和阿贝尔曲面，这是一个产品的两个椭圆曲线$E_k\times E_k$其中$E_k: y^2=x(k^2(1 + k^2)^3 + 2(1 + k^2)^2 x + x^2)$。我们推导出$N(p,k)$的一个公式，$N(p,k)$是$\mathbb{F}_{p}$上元素乘积等于$k$的丢番图三元组的个数。我们表明，各种$\overline{X}$承认纤维化的合理椭圆表面，并从它导出的公式上$\ove…
2021-08-24 math.AG math.NT
Differences between perfect powers : the Lebesgue-Nagell Equation
我们开发了各种新的技术来处理丢番图方程的形状$x^2+D =y^n$，基于边界的线性形式在$p$进和复杂的矩阵，模块化的伽罗瓦表示附加到Frey-Hellegouarch椭圆曲线，和机械从丢番图逼近。我们使用这些显式地确定所有互质整数$x$和$y$，和$n \geq 3$的集合，具有$y^n > x^2$和$x^2-y^n$没有超过$11$的素因子的性质。
2022-07-29 math.NT
A conjecture of Erdos, supersingular primes and short character sums
当$k$是一个充分大的正整数时，证明了丢番图方程$$n (n+d) \cdots (n+ (k-1)d) = y^{\ell}$$在正整数$n, d, y$和$\ell$中至多有2个解，其中有$\operatorname{gcd}(n,d)=1$和$\ell \geq 2$ .我们的证明依赖于Frey-Hellegouarch曲线和结果超奇异素数的椭圆曲线没有复乘，来自上界短字符和筛，分析和组合。
2017-09-04 math.NT
On the solutions of certain Lebesgue-Ramanujan-Nagell equations
除了$2\mid k, 2\nmid \ell m$和$5\mid n$的情形外，我们用$\gcd(x,y)=1$完全求解了丢番图方程$x^2+2^k11^\ell19^m=y^n$的整数解$x,y\geq 1;~ k,\ell, m\geq 0~$和$n\geq 3$.我们用这个结果来恢复一些早期的结果在相同的方向。
2021-06-01 math.NT
Quasifinite fields of prescribed characteristic and Diophantine dimension
本文构造了具有任意指定特征和丢番图维数的拟有限域，并证明对满足 k≤ℓ 的任意 k、ℓ，存在特征为 q、丢番图维数为 ℓ、伽罗瓦上同调维数为 k 的域，从而推进了 cd(G_E)≤ddim(E) 这一公开问题的研究。
2023-10-10 math.NT math.RA
Power of Two as sums of Three Pell Numbers
本文给出了丢番图方程$P_\ell + P_m +P_n=2^a$在非负整数变量$(n,m,\ell, a)$中的所有解，其中$P_k$是由$P_0=0$，$P_1=1$和$P_{n+1}=2P_{n}+ P_{n-1}$对所有$n\geq 1$给出的Pell序列$\{P_n\}_{n\ge 0}$的第$k$项.
2016-08-22 math.NT
Generalized Fruit Diophantine equation over number fields
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）；Stat-Math Unit, Indian Statistical Institute（印度统计学院统计数学单元）
本文研究了数域上广义水果丢番图方程的解结构，证明了特定平方自由整数t的集合密度为1/6，并构造了无整数点的椭圆曲线。
2026-01-15 math.NT
Using elliptic curves of rank one towards the undecidability of Hilbert's Tenth Problem over rings of algebraic integers
设F和K是数域，F包含在K中。设O_F和O_K是它们的整数环。若存在F上的椭圆曲线E使得E（F）和E（K）秩为1，则存在O_K上O_F的丢番图定义.
2002-03-29 math.NT
On equal values of products and power sums of consecutive elements in an arithmetic progression
本文研究丢番图方程\begin{align*} b^k + \left(a+b\right)^k + &\left(2a+b\right)^k + \ldots + \left(a\left(x-1\right) + b\right)^k = \\ &y\left(y+c\right) \left(y+2c\right) \ldots \left(y+ \left(\ell-1\right)c\right), \end{align*}，其中$a,b,c,k,\ell$是自然条件下给定的整数.我们证明了$c,k$和$\ell$在特殊情况下的一些有效结果，并基于Bilu-Tichy方法得到了一个一般的无效结果.
2023-02-16 math.NT
Diophantine approximation with primes in an arithmetic progression
GITAM (Deemed to be university)（GITAM（视为大学））；Indian Institute of Science Education and Research Thiruvananthapuram（印度科学教育与研究学院特里凡得琅分校）
本文研究算术级数中素数对无理数的丢番图逼近，通过推广Vaughan定理得到逼近上界，并构造不可数集S使素数满足更强逼近，回答Erdős和Mahler的问题。
2026-09-10 math.NT
A variety of Euler's conjecture
我们考虑各种各样的欧拉猜想，即，丢番图系统\[\begin{cases} n=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{s-1}, a_{1}a_{2}\cdots a_{s-1}(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{s-1})=b^{s} \end{cases}\]是否有解$n,b,a_i\in\mathbb{Z}^+,i=1,2,\ldots,s-1,s\geq 3.$利用椭圆曲线理论证明了丢番图系统$s=3$无解$n,b,a_i\in\mathbb{Z}^+$，$s=4$有无穷多个解$n,b,a_i\in\mathbb{Z}^+$，$s\geq 5$有无穷多个多项式正解$n,b,a_i\in\mathbb{Z}[t_1,t_2,\ldots,t_{s-3}]$满足该丢番图系统.
2013-09-29 math.NT
Irreducibility of mod p Galois representations of elliptic curves with multiplicative reduction over number fields
本文证明了对于每一个整数$d \geq 1$，存在一个显式常数$B_d$，使得下列成立.令$K$是次数为$d$的数域，令$q > \max\{d-1,5\}$是在$K$中完全惰性的任意有理素数，而$E$是定义在$K$上的任意椭圆曲线，使得$E$在$q$之上的素数$\mathfrak q$处具有潜在的乘性约化。则对每一个有理素数$p> B_d$，$E$都有一个不可约模$p$伽罗瓦表示。这个结果在“模块化方法”中有丢番图应用。我们提出了一个这样的应用程序的形式的渐近版本的费马最后定理，还没有被覆盖在现有的文献。
2021-04-14 math.NT
Stability of the Kato-Kuzumaki's properties under field extensions
École polytechnique de Paris (CMLS)（巴黎综合理工学院）；University of Bath（巴斯大学）
本文研究了Kato-Kuzumaki性质在超越和代数扩张下的稳定性，并应用该结果得到有限域上多项式域的C_n^1性质。
2026-05-14 math.AG math.KT math.NT
