On the congruence $1^m + 2^m + \dotsb + m^m \equiv n \pmod{m}$ with $n | m$
证明了如果上述同余成立且$n\mid m$成立，则商$Q:=m/n$满足$\sum_{p\mid Q} \frac{Q}{p}+1 \equiv 0\pmod{Q}$，其中$p$是素数.后一个同余的唯一已知解是$Q=1$和八个已知的准伪完全数$2,6,42, 1806, 47058, 2214502422, 52495396602,$和$8490421583559688410706771261086$。固定$Q$，我们证明了正整数集$n$满足合同的标题，与$m=Q n$，是空的情况下$Q=52495396602$，并在其他八种情况下有一个渐近密度之间的界限，我们提供的$(0,1)$。
2014-05-29 math.NT
Parameterizing roots of polynomial congruences
本文利用理想的序运算来参数化多项式同余$F(μ) \equiv 0 \pmod m$、$F(X) \in \mathbb{Z}[X]$幺半群、不可约和次数$d$的根$μ\pmod m$。我们的参数化推广高斯的经典参数化的二次同余的根使用二进制二次形式，这以前只被扩展到三次多项式$F(X) = X^3 - 2$。我们表明，只有一个特殊的理想类需要参数化的根$μ\pmod m$，并在三次设置，$d = 3$，一般理想对应于对根$μ_1 \pmod{m_1}$，$μ_2 \pmod {m_2}$满足$\gcd(m_1, m_2, μ_1 - μ_2) = 1$。在最后，我们说明了我们的参数化和根和理想之间的这种对应关系与一些应用，包括找到近似$\fracμ{m} \in \mathbb{R}/ \mathbb{Z}$，找到一个明确的欧拉产品的共同型zeta函数的$\mathbb{Z}[2^{\frac{1}{3}}]$，并计算三次理想的根$μ_1 \pmod {m_1}$和$μ_2 \pmod {m_2}$的组成。
2021-09-03 math.NT
On a conjectural congruence of Guo
设$p\equiv3\pmod{4}$为素数，$r$为正整数。证明了$$ \prod_{k=1}^{(p^{2r}-1)/2}\frac{4k-1}{4k+1}\equiv1\pmod{p^2}. $$.这证实了郭文贵最近的一个猜想.
2020-01-23 math.NT
Congruence relations for r-colored partitions
设$\ell \geq 5$是素数。对于配分函数$p(n)$和$5 \leq \ell \leq 31$，Atkin发现了一些素数$Q \geq 5$的例子，使得存在形式为$p(\ell Q^{3} n+β) \equiv 0 \pmod{\ell}.$的同余。最近，Ahlgren，Allen和Tang证明了对于每个$\ell$都有无穷多个这样的同余。在本文中，对于广泛的$c \in \mathbb{F}_{\ell}$，我们证明了形式$p(\ell Q^{3} n+β_{0}) \equiv c \cdot p(\ell Q n+β_{1}) \pmod{\ell}$的同余无穷多个素数$Q$。对于正整数$r$，令$p_{r}(n)$为$r$着色配分函数.我们的方法产生类似的同余$p_{r}(n)$。特别地，如果$r$是一个奇正整数，其中$\ell > 5r+19$和$2^{r+2} \not \equiv 2^{\pm 1} \pmod{\ell}$，那么我们表明，有无穷多个同余式的形式$p_{r}(\ell Q^{3}n+β) \equiv 0 \pmod{\ell}$。我们的方法涉及模块化伽罗瓦表示理论。
2022-06-11 math.NT
Super congruences involving Bernoulli and Euler polynomials
令$p>3$是素数，并且令$a$是有理p-adic整数。令$\{B_n(x)\}$和$\{E_n(x)\}$分别表示伯努利多项式和欧拉多项式。在本文中，我们证明了$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{-1-a}k\equiv (-1)^{\langle a\rangle_p}+ p^2t(t+1)E_{p-3}(-a)\pmod{p^3}$$和$a\not\equiv -\frac 12\pmod p$，$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{-1-a}k\frac 1{2k+1}\equiv \frac{1+2t}{1+2a} +p^2\frac{t(t+1)}{1+2a}B_{p-2}(-a)\pmod{p^3},$$，其中$\langle a\rangle_p\in\{0,1,\ldots,p-1\}$满足$a\equiv \langle a\rangle_p\pmod p$和$t=(a-\langle a\rangle_p)/p$。取$a=-\frac 13,-\frac 14,-\frac 16$在上述同余式中，我们解出了Z.W.太阳本文还建立了$\sum_{k=0}^{p-1}k\binom ak\binom{-1-a}k,\ \sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{-1-a}k\frac…
2014-07-28 math.NT
New Congruences of Partitions With Odd Parts Distinct
令$\mathrm{pod}(n)$表示具有不同奇数部分的$n$的分区的数目，并且${{r}_{k}}(n)$是作为$k$平方和的$n$的表示的数目。我们发现了以下两个算术关系：对任意整数$n\ge 0$，\[\mathrm{pod}(3n+2)\equiv 2{{(-1)}^{n+1}}{{r}_{5}}(8n+5) \pmod{9}, \]和\[\mathrm{pod}(5n+2)\equiv 2{{(-1)}^{n}}{{r}_{3}}(8n+3) \pmod{5}.\]，我们由此导出了许多有趣的同余式，包括以下两个Ramanujan型同余式的无限族：对$a \in \{11, 19\}$和任意整数$α\ge 1$和$n \ge 0$，我们有\[\mathrm{pod}\Big({{5}^{2α+2}}n+\frac{a \cdot {{5}^{2α+1}}+1}{8}\Big)\equiv 0 \pmod{5}.\]
2014-10-31 math.NT
On congruences involving product of variables from short intervals
我们证明了几个结果，这意味着以下后果。对于任何$\varepsilon>0$和任何足够大的素数$p$，如果$\cI_1,\ldots, \cI_{13}$是基数$|\cI_j|>p^{1/4+\varepsilon}$和$abc\not\equiv 0\pmod p$的区间，则同余式$$ ax_1\cdots x_6+bx_7\cdots x_{13}\equiv c\pmod p $$有解$x_j\in\cI_j$。存在一个绝对常数$n_0\in\N$，使得对于任何$0<\varepsilon<1$和任何足够大的素数$p$，任何二次剩余$λ$模$p$可以表示为$$ x_1\cdots x_{n_0}\equiv λ\pmod p,\quad x_i\in\N,\quad x_i\le p^{1/(4e^{2/3})+\varepsilon}. $$对于任何$\varepsilon>0$，存在$n=n(\varepsilon)\in \N$，使得对于任何足够大的$m\in\N$，同余$$ x_1\cdots x_{n}\equiv 1\pmod m,\quad x_i\in\N,\quad x_i\le m^{\varepsilon} $$具有$x_1\not=1$的解。
2017-01-25 math.NT
On the relationship between the number of solutions of congruence systems and the resultant of two polynomials
设$q$为奇素数，$f(x)$，$g(x)$为整系数多项式.如果同余系$f(x) \equiv g(x) \equiv 0 \pmod{q}$有$\ell$解，则有$R\left(f(x),g(x)\right)\equiv 0 \pmod{q^\ell}$，其中$R\left(f(x),g(x)\right)$是多项式的结果。利用这个结果，我们给出了一些已知的包含Lucas序列的同余式的新证明.
2016-10-10 math.NT
End-symmetric continued fractions and quadratic congruences
我们证明了对于一个固定的整数$n \neq \pm2$，同余$x^2 + nx \pm 1 \equiv 0 \pmodα$有解$β$与$0 < β< α$当且仅当$α/β$有一个连分数展开与序列的连续性具有有限数量的可能的不对称类型之一。这推广了旧的定理，即一个有理数$α/β> 1$在最低项有一个对称的连分数时，正好$β^2 \equiv \pm 1 \pmodα$。
2014-12-08 math.NT
New Ramanujan-type congruences for overpartitions modulo $11$ and $13$
本文通过模形式理论推导出11和13模下的新分拆恒等式，并推测其他模数的可能恒等式。
2026-03-09 math.NT
An easy proof of Ramanujan's famous congruences $p(5m+4)\equiv 0 \equiv τ(5m+5) \pmod 5$
本文利用 Jacobi 三重积恒等式的极限情形和拉马努金计算 $τ(n)$ 的技巧，给出其两个模 5 同余式的简明证明。
2025-08-30 math.CO math.NT
Ramanujan-type Congruences for Overpartitions Modulo 16
令$\overline{p}(n)$表示$n$的过分区数。最近，Fortin-Jacob-Mathieu和Hirschhorn-Sellers分别得到了$\overline{p}(n)$的生成函数的2-、3-和4-剖分，并导出了$\overline{p}(n)$模$4$、$8$和$64$的一系列同余式，包括$\overline{p}(5n+2)\equiv 0 \pmod{4}$、$\overline{p}(4n+3)\equiv 0 \pmod{8}$和$\overline{p}(8n+7)\equiv 0 \pmod{64}$ . Yao和Xia利用剖分技术得到了$\overline{p}(n)$模$8, 16$和$32$的同余式，如$\overline{p}(48n+26) \equiv 0 \pmod{8}$，$\overline{p}(24n+17)\equiv 0 \pmod{16}$和$\overline{p}(72n+69)\equiv 0 \pmod{32}$ .本文给出了$\overline{p}(n)$模16的生成函数的16-剖分，并证明了$n\ge 0$的生成函数为$\overline{p}(16n+14)\equiv0\pmod{16}$.利用Mahlburg对$\overline{p}(n)$的生成函数的$2$ -adic展开式，得到了$\overlin…
2014-08-07 math.CO math.NT
An almost all result on $q_1 q_2 \equiv c \pmod q$
本文研究了同余方程$q_1 q_2 \equiv c \pmod q$与$a < q_1 \leq a + q^{1/2+ε}$和$b < q_2 \leq b + q^{1/2+ε}$的解，证明了它对几乎所有的$a$和$b$都有解.然后，我们将其应用到一个问题的藤井和Kitaoka以及推广到更多的变量。最后，我们将提出一种利用高阶矩求解上述同余方程问题的新方法。
2008-12-08 math.NT
Congruences like Atkin's for the partition function
设$p(n)$为普通的分拆函数。在20世纪60年代，阿特金发现了一些形式为$p( Q^3 \ell n+β)\equiv0\pmod\ell$的同余式的例子，其中$\ell$和$Q$是素数，而$5\leq \ell\leq 31$是素数;这些都属于两个自然家族，由$1-24β\pmod\ell$的平方类区分开来。近几十年来，人们做了大量的工作来理解$p(Q^m\ell n+β)\equiv 0\pmod\ell$形式的同余。现在知道，当$m\geq 4$时，有许多这样的同余，当$m=1, 2$时，这样的同余是稀少的（如果它们存在的话），而对于$m=0$，这样的同余只存在于当$\ell=5, 7, 11$时。对于像阿特金的同余（当$m=3$），更多的例子已经发现了$5\leq \ell\leq 31$，但很少有人知道。在这里，我们使用的理论模块伽罗瓦表示证明，每一个总理$\ell\geq 5$，有无限多的同余像阿特金的第一个自然家庭，他发现，并至少为$17/24$的总理$\ell$有无限多的同余在第二个家庭。
2022-07-18 math.NT
On multiplicative congruences
设$ε$是一个固定的正数，$m$是一个大整数，$x_j$表示整数变量。我们证明了对于任何正整数$N_1,N_2,N_3$与$N_1N_2N_3>m^{1+ε},$的集合$$ \{x_1x_2x_3 \pmod m: \quad x_j\in [1,N_j] \} $$包含几乎所有模$m$的剩余类（即，其基数等于$m+o(m)$）。进一步证明了：若$m$是无立方的，则对任意正整数$N_1,N_2,N_3,N_4$和$N_1N_2N_3N_4>m^{1+ε},$，集合$$ \{x_1x_2x_3x_4 \pmod m: \quad x_j\in [1,N_j] \} $$也包含几乎所有模$m.$的剩余类。设$p$是一个大素参数，且设$p>N>p^{63/76+ε}.$。证明了对任意非零整数常数$k$和任意整数$λ\not\equiv 0\pmod p$，同余$$ p_1p_2(p_3+k)\equiv λ\pmod p $$容许素数中的$(1+o(1))π(N)^3/p$解$p_1, p_2, p_3\le N.$
2008-08-11 math.NT
Congruences of multiple sums involving invariant sequences under binomial transform
我们将证明几个同余模幂的素数，如$$ \sum_{0<k_1<...<k_{n}<p}\leg{p-k_{n}}{3} {(-1)^{k_{n}}\over k_1... k_{n}}\equiv {lll} -{2^{n+1}+2\over 6^{n+1}} p B_{p-n-1}({1\over 3}) &\pmod{p^2} &{if $n$ is odd} -{2^{n+1}+4\over n6^n} B_{p-n}({1\over 3}) &\pmod{p} &{if $n$ is even}. $$其中$n$是一个正整数和$p$是素数，使$p>\max(n+1,3)$。
2009-11-05 math.NT
Congruences for Catalan-Larcombe-French numbers
令$\{P_n\}$是由$P_0=1,\ P_1=8$和$n^2P_n=8(3n^2-3n+1)P_{n-1}-128(n-1)^2P_{n-2}$ $(n\ge 2)$给出的Catalan-Larcombe-French数，并令$S_n=P_n/2^n$。本文给出了$S_{mp^r}\pmod{p^{r+2}}$，$S_{mp^r-1}\pmod{p^r}$和$S_{mp^r+1}\pmod{p^{2r}}$的同余式，其中$p$是奇素数，$m,r$是正整数.我们还证明了对任何素数$p\equiv 5,7\pmod 8$，都有$S_{(p^2-1)/2}\equiv 0\pmod {p^2}$，并证明了$\{S_m\}$是对数凸的。
2015-07-14 math.CO math.NT
Congruences concerning Legendre polynomials II
令$p>3$是素数，令$m$是具有$p\nmid m$的整数。本文解决了Z.W. Sun关于$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k^3/m^k\pmod{p^2}$，$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k\b{4k}{2k}/m^k\pmod p$和$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k^2\b{4k}{2k}/m^k\pmod {p^2}.$的研究。特别地，我们证明了$\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}\binom{2k}k^3\equiv 0\pmod {p^2}$对于$p\equiv 3,5,6\pmod 7$。令$P_n(x)$为勒让德多项式。本文还证明了$ P_{[\frac {p}{4}]}(t)\equiv -\big(\frac{-6}{p}\big)\sum_{x=0}^{p-1} \big(\frac{x^3-3/2(3t+5)x-9t-7}{p}\big)\pmod p$，并确定了$P_{\frac{p-1}{2}}(\sqrt 2), P_{\frac{p-1}{2}}(\frac{3\sqrt 2}{4}), P_{\frac{p-1}{2}}(\sqrt {-3}),P_{\frac{p-1}{2}}(\frac{\sqrt 3}{2}), P_{\frac{p-1}{2}}(\sq…
2012-08-03 math.NT
Congruences modulo powers of 2 and 3 for overpartition $k$-tuples
本文将过分割k-元组数的若干模2、模3幂次同余式从奇整数q推广到所有正整数q，并证明关于奇数部分过分割k-元组数的多个新同余式，从而证实相关猜想。
2025-09-22 math.NT
Three pairs of congruences concerning sums of central binomial coefficients
最近，第一作者证明了Adamchuk在2006年提出的一个同余：$\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{2p}{3}\rfloor}\binom{2k}{k}\equiv 0\pmod{p^2}$对任何素数$p=1 \pmod{3}$。本文给出了同类同余式$$\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{ap}{r}\rfloor}\binom{2k}{k}x^k \pmod{p^2}$$的更多例子（并给出了证明），其中$p$是素数，使得$p\equiv 1 \pmod{r}$，$a/r$是$(1/2,1)$中的分数，$x$是$p$ -adic整数.关键成分是$p$ -adic Gamma函数$Γ_p$和一类特殊的计算机发现的超几何恒等式。
2020-07-20 math.CO math.NT
Congruences involving product of intervals and sets with small multiplicative doubling modulo a prime and applications
在本文中，我们得到了新的上界估计的同余$$ x\equiv y r\pmod p;\quad x,y\in \mathbb{N},\quad x,y\le H,\quad r\in\cU, $$的解的数目为一定范围的$H$和$|\cU|$，其中$\cU$是一个子集的剩余类模$p$具有小乘法倍。然后，我们使用这个估计，以显示的解决方案的数量的同余$$ x^n\equiv λ\pmod p; \quad x\in \N, \quad L<x<L+p/n, $$是最多$p^{\frac{1}{3}-c}$一致的正整数$n, λ$和$L$，一些绝对常数$c>0$。这意味着，特别是，如果$f(x)\in \Z[x]$是一个固定的多项式没有多个根的$\C$，那么同余$ x^{f(x)}\equiv 1\pmod p, \,x\in \mathbb{N}, \,x\le p,$有最多$p^{\frac{1}{3}-c}$解决方案的$p\to\infty$，改进了一些最近的结果Kurlberg，卢卡和Shparlinski和的Bayesian，Broughan和Shparlinski。我们使用我们的结果表明，几乎所有的剩余类模$p$可以表示的形式$xg^y \pmod p$与正整数$x<p^{5/8+\varepsilon}$和$y<p^{3/8}$。这里$g$表示原始根模$p$。我们还证明了几乎…
2014-08-21 math.NT
Partition Frequency Moments: Modularity and Congruences
本文研究分割频率矩的模性与同余，通过转换方法将矩生成函数表示为显式除数求和级数，并认证了普通分割和超分割的同余，展示了过滤统计量可生成新的拉马努金型进展。
2026-02-10 math.NT
Super congruences concerning binomial coefficients and Apéry-like numbers
设$p$是一个素数，其上有$p>3$，$a,b$是两个有理数$p-$.本文给出了$\sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{-1-a}k\frac p{k+b}\pmod {p^2}$的一般同余式.对于$n=0,1,2,\ldots$，令$D_n$和$b_n$分别为Domb和Almkvist-Zudilin数。我们还建立了$$\sum_{n=0}^{p-1}\frac{D_n}{16^n},\quad \sum_{n=0}^{p-1}\frac{D_n}{4^n}, \quad \sum_{n=0}^{p-1}\frac{b_n}{(-3)^n},\quad \sum_{n=0}^{p-1}\frac{b_n}{(-27)^n}\pmod {p^2}$$在某些二元二次型方面的同余。
2020-02-27 math.NT
A congruence involving alternating harmonic sums modulo $p^αq^β$
在2014年，Wang和Cai建立了以下调和同余式：对于任何奇素数$p$和正整数$r$，\begin{equation*} \sum\limits_{i+j+k=p^{r}\atop{i,j,k\in \mathcal{P}_{p}}}\frac{1}{ijk}\equiv-2p^{r-1}B_{p-3} ~(\bmod ~ p^{r}), \end{equation*}，其中$\mathcal{P}_{n}$表示与$n$互素的正整数的集合。本文得到了不同奇素数$p,~q$与正整数$α,~β$、\begin{equation*} \sum\limits_{i+j+k=p^αq^β\atop{i,j,k\in\mathcal{P}_{pq}\atop{i\equiv j\equiv k\equiv 1\pmod{2}}}}\frac{1}{ijk}\equiv\frac{7}{8}(2-q)(1-\frac{1}{q^{3}})p^{α-1}q^{β-1}B_{p-3}\pmod{p^α} \end{equation*}和\begin{equation*} \sum\limits_{i+j+k=p^αq^β\atop{i,j,k\in \mathcal{P}_{pq}}}\frac{(-1)^{i}}{ijk} \equiv \frac{1}{2}(q-2)(1-\frac{1}{q…
2015-03-11 math.NT
Simultaneous insolvability of exponential congruences
我们确定了素数$p$无穷大的一个充要条件，使得方程$a_i^x \equiv b_i \pmod{p}, 1 \le i \le n,$都不可解。我们控制的不可解性$a^x \equiv b \pmod{p}$的乘法独立的$a$和$b$的幂剩余，并通过divisional，最重要的是，奇偶校验的订单乘法依赖的情况下。我们还考虑一个更一般的问题，关于dividencies的订单。这些问题的动机是阿廷的原根猜想及其变种。
2020-07-02 math.NT
A congruence involving harmonic sums modulo $p^αq^β$
在2014年，Wang和Cai建立了以下调和同余式：对于任何奇素数$p$和正整数$r$，\begin{equation*} Z(p^{r})\equiv-2p^{r-1}B_{p-3} ~(\bmod ~ p^{r}), \end{equation*}，其中$ Z(n)=\sum\limits_{i+j+k=n\atop{i,j,k\in\mathcal{P}_{n}}}\frac{1}{ijk}$和$\mathcal{P}_{n}$表示与$n$互素的正整数的集合。本文得到了不同奇素数$p,~q$与正整数$α,~β$，\begin{equation*} Z(p^αq^β)\equiv 2(2-q)(1-\frac{1}{q^{3}})p^{α-1}q^{β-1}B_{p-3}\pmod{p^α} \end{equation*}的一个同余关系，以及\begin{equation*} Z(p^αq^β)\equiv 0\pmod{p^αq^β}. \end{equation*}成立的充要条件。最后，我们提出了一个猜想：对于$n>1$与奇素数幂$p^α||n$，$α\geq1$，\begin{eqnarray} \nonumber Z(n)\equiv \prod\limits_{q|n\atop{q\neq p}}(1-\frac{2}{q})(1-\frac{1}{q^{3}})(-…
2016-11-28 math.NT
A primality criterion based on a Lucas' congruence
设$p$为素数。1878年，卢卡斯证明了同余式$$ {p-1\choose k}\equiv (-1)^k\pmod{p}$$对任何非负整数$k\in\{0,1,\ldots,p-1\}$成立。在1997年由E. Deutsch和I. M杰塞尔在本文中，我们通过以下结果推广了这个相反的断言：如果$n>1$和$q>1$是整数，使得对于每个整数$k\in\{0,1,\ldots, n-1\}$都有$$ {n-1\choose k}\equiv (-1)^k \pmod{q}$$，则$q$是素数，$n$是$q$的幂。
2014-07-29 math.NT
Ramanujan-Type congruences for cubic partition functions
Chan和Kim提出的自然数$n$的三次分拆具有生成函数$\sum_{n=0}^{\infty}a(n)q^n= \frac{1}{(q; q)_{\infty}(q^2; q^2)_{\infty}}.$.本文推广了Chen-Lin的一些结果，指出$a(n)$应具有普通分拆函数的类似性质.具体地说，我们证明了对每个非负整数$n$，$a(5^4n+547)\equiv 0\pmod{5^2}, a(7^3n+190)\equiv 0\pmod{7^2}, a(7^3n+288 \equiv 0\pmod{7^2} and a(7^3n+337)\equiv 0\pmod{7^2}.$
2010-06-22 math.CO math.NT
Congruences involving $g_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}kx^k$
为$n=0,1,2,...$定义$g_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}kx^k$。这些数$g_n=g_n(1)$与Apéry数和Franel数密切相关。本文建立了涉及$g_n(x)$的几个基本同余.例如，对于任何素数$p>5$，我们有$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{g_k(-1)}{k}\equiv 0\pmod{p^2}\quad{and}\quad\sum_{k=1}^{p-1}\frac{g_k(-1)}{k^2}\equiv 0\pmod p.$$这类似于Wolstenholme对任何素数$p>3$的经典同余$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac1k\equiv0\pmod{p^2}\quad{and}\quad\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^2}\equiv0\pmod p$$。
2016-07-19 math.CO math.NT
Theta-type congruences for colored partitions
研究了所有$n$的$p_r(\ell m n + t) \equiv 0 \pmod{\ell}$形式的同余关系，其中$p_r(n)$是$n$的$r$着色划分的个数，$m,\ell$是不同素数.
2022-06-23 math.NT
Spacing and A Large Sieve Type Inequality for Roots of a Cubic Congruence
出于了解三次同余根的分布的愿望，我们重新推导了Hooley发现的$X^3 \equiv 2 \pmod m$的根$ν\pmod m$的参数化。虽然这种参数化并没有导致我们在这里证明任何对equidistribution的序列$\fracν{m} \pmod 1$，我们能够证明间距的结果，然后一个大筛型不等式，我们认为类似于大筛不等式根的二次同余发现Fouvry和Iwaniec在他们的证明，有无穷多个素数的形式$n^2 + p^2$。参数化产生近似值，这些近似值是点$\left( \fracν{m}, \frac{ν^2}{m} \right)$的$O\left(\frac{1}{m} \right)$内的$\mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2$中的$\asymp m^{2/3}$ -扭转点。在一个题外话，以表征这些扭转点具有统计预期的间距，我们证明了上述提到的间距属性：在最多有界数量的点$\left(\fracν{m}, \frac{ν^2}{m}\right)$与$m \asymp M$可以躺在任何圆盘半径$\frac{1}{M}$在$\mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2$。
2018-09-14 math.NT
Ramanujan-type Congruences for Overpartitions Modulo 5
令$\overline{p}(n)$表示$n$的过分区数。Hirschhorn和Sellers表明，$\overline{p}(4n+3)\equiv 0 \pmod{8}$适用于$n\geq 0$。他们还证实了$n\geq 0$的$\overline{p}(40n+35)\equiv 0 \pmod{40}$。Chen和Xia利用Alaca，Alaca和Williams给出的θ函数的$(p,k)$ -参数化证明了这个猜想.本文利用Treneer发现的$\overline{p}(5n)$模$5$的生成函数之间的关系和Mahlburg给出的$\overline{p}(n)$的生成函数的$2$-adic展开式，证明了$n \geq 0$的$\overline{p}(5n)\equiv (-1)^{n}\overline{p}(4\cdot 5n) \pmod{5}$和$n \geq 0$的$\overline{p}(n)\equiv (-1)^{n}\overline{p}(4n)\pmod{8}$.因此，我们推断，PDMATHAMBMZ的$\overline{p}(4^k(40n+35))\equiv 0 \pmod{40}$。利用$ϕ(q)^3$上的Hecke算子和$ϕ(q)^3$是Hecke本征形的事实，我们得到了一个无穷族的正整数$\overline{p}(4^k \cdot5…
2014-06-15 math.CO math.NT
Some Extensions to Touchard's Theorem on Odd Perfect Numbers
奇数完全数$n$的乘法结构是$n=π^αM^2$，其中$π$是素数，$\gcd(π,M)=1$和$π\equiv α\equiv1\pmod{4}$。Touchard建立的$n$的加性结构是“$\bigl(n\equiv 9\pmod{36}\bigr )$ OR $\bigl (n\equiv1\pmod{12}\bigr )$“。Touchard的结果的第一个扩展是命题“$\bigl(n\equiv x^2\pmod{4 x^2}\bigr )$ OR $\bigl (n\equiv π\equiv1\pmod{4 x}\bigr )$“对$x=3$成立（该扩展是由于第二个同余也包含$π$的事实）。我们进一步扩展的证明$x=α+2$，$α+2$素数，与限制的同余模$4 x$不包括$n$。此外，我们还注意到Touchard结果的第一个推广在一个异或条件下也成立，从而$π\equiv 1\pmod{12}$是一个充分条件，因为$3\nmid n$ .
2017-09-14 math.NT
On the Number of Solutions of Exponential Congruences
对于素数$p$和整数$a \in \Z$，我们得到了同余式$x^x \equiv a \pmod p$，$1 \le x \le p-1$的解的个数的非平凡上界.我们使用这些估计来估计同余式$x^x \equiv y^y \pmod p$、$1 \le x,y \le p-1$的解的数量，这与密码学相关。
2010-03-09 math.CO math.NT
A note on congruences for generalized cubic partitions modulo primes
本文用经典q级数方法重新证明广义三次分拆函数的两条已知同余式，并给出素数p不≡1 mod 8时的无穷同余族。
2025-01-29 math.CO math.NT
An incomplete variant of Wilson's congruence
本文研究了同余式\[ (p-1)\cdots(p-r) \equiv -1 \pmod p. \]的非平凡解，并讨论了有该同余式的正$N$解的素数$p$的比例.我们提供的数值证据支持这些结构，并讨论我们的计算中使用的算法。
2013-10-10 math.NT
Kloosterman sums with primes and solvability of one congruence with inverse residues. I
本文建立了素数上Kloosterman和关于任意模$q$的一个新的估计.这个估计与第二作者的一些最近的结果一起被应用到素变量$p_{1},\ldots, p_{k}\le N$，$N\le q^{1-δ}$中的同余\[ g(p_{1})\, + \,\ldots\, + \,g(p_{k}) \,\equiv\, m\pmod{q} \]的可解性问题.这里是$g(x)\,\equiv\,a\overline{x}+bx\pmod{q}$，其中$a,b,m$和$k\ge 3$是任意整数，$(ab,q)=1$。本文的主要结果给出了当$q$与$6$互质时解的个数的一个渐近公式.在这个版本中，我们纠正了一些错别字和小错误。
2019-12-06 math.NT
Residue Classes Having Tardy Totients
我们以一种有效的方式证明了存在一系列同余类$a_k\pmod {m_k}$，使得同余类$ϕ(n)\equiv a_k\pmod {m_k}$的最小解$n=n_k$存在并满足$\log n_k/\log m_k\to\infty $作为$k\to\infty$。这里，$ϕ(n)$是欧拉函数。这回答了\cite{FS}中提出的一个问题。我们还表明，每一个同余类包含一个偶数包含无限多个值的卡迈克尔函数$λ(n)$和最少这样的$n$满足$n\ll m^{13}$。
2007-09-19 math.NT
Congruences involving alternating multiple harmonic sum
我们表明，对于任何素数素数$p\not=2$ $$\sum_{k=1}^{p-1} {(-1)^k\over k}{-{1\over 2} \choose k} \equiv -\sum_{k=1}^{(p-1)/2}{1\over k} \pmod{p^3}$$通过表达l.h.s.作为交替的多个谐波和的组合。
2009-12-24 math.NT
Congruences for Apéry numbers $β_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}$
本文建立了Apéry数$β_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}$ $(n=0,1,2,\ldots)$的几个同余.例如，我们证明了对于任意正整数$n$，$$\sum_{k=0}^{n-1}(11k^2+13k+4)β_k\equiv0\pmod{2n^2}$$是零，对于任意素数$p>3$，$$\sum_{k=0}^{p-1}(11k^2+13k+4)β_k\equiv 4p^2+4p^7B_{p-5}\pmod{p^8}$$是零，其中$B_{p-5}$是$(p-5)$ th Bernoulli数.给出了两类Aesthetic数$β_n$和$A_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2$的同余性质之间的某些关系。
2020-06-21 math.NT
Congruences of concave composition functions
凹组合物是有序的分区，其部分朝向中心部分减少。研究了凹复合数的分布模$a$。令$c(n)$为具有偶数长度的$n$的凹组合的数目。很容易看出，$c(n)$甚至适用于所有$n\geq1$。精炼这一事实，我们证明，$$\#\{n<X:c(n)\equiv 0\pmod 4\}\gg\sqrt{X}$$，也为每个$a>2$和至少两个不同的值的$r\in\{0,1,\dotsc,a-1\}$，$$\#\{n<X: c(n)\equiv r\pmod{a}\} > \frac{\log_2\log_3 X}{a}.$$我们得到类似的结果，凹组成的奇数长度。
2014-07-04 math.NT
Congruences for an arithmetic function from 3-colored Frobenius partitions
设$a(n)$定义为$\sum_{n=1}^{\infty}a(n)q^n := \prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(1-q^{3n})(1-q^n)^3}.$本文证明了对每个非负整数$n$，a（15 n +6）\equiv 0 \pmod{5}，a（15 n +12）\equiv 0 \pmod{5} .作为推论，我们得到了Ono的一些结果
2010-04-27 math.CO math.NT
Sign Patterns and Congruences of certain infinite products involving the Rogers-Ramanujan continued fraction
本文研究涉及Rogers-Ramanujan连分数的无穷乘积系数符号规律，证明特定算术级数中系数的正负性，并发现若干模3、模4和模15的同余式。
2025-03-11 math.NT
Proof of a congruence concerning truncated hypergeometric series ${}_6F_5$
本文主要证明了J. C. Liu：$$ {}_6F_5\bigg[\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\&\frac{1}{4}&1&1&1&1\end{matrix}\bigg|\ -1\bigg]_{\frac{p-1}{2}}\equiv-\frac{p^3}{16}Γ_p\left(\frac{1}{4}\right)^4\pmod{p^5}, $$其中$p\geq5$是与$p\equiv3\pmod{4}$的素数。
2018-12-26 math.CO math.NT
New congruences for sums involving Apery numbers or central Delannoy numbers
Apéry数$A_n$和中心Delannoy数$D_n$由$$A_n=\sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}^2{2k\choose k}^2, \quad D_n=\sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}{2k\choose k}. $$定义。W. Sun，我们证明了下列同余：\sum_{k=0}^{n-1}（2k+1）^{2 r +1}A_k & \equiv \sum_{k=0}^{n-1} \varepsilon^k（2k+1）^{2 r +1}D_k \equiv 0 \pmod n，其中$n\geqslant 1$，$r\geqslant 0$，和$\varepsilon=\pm1$ .对于$r=1$，我们进一步证明了\sum_{k=0}^{n-1}（2k+1）^{3}A_k & \equiv 0 \pmod{n^3}，\quad \sum_{k=0}^{p-1}（2k+1）^{3}A_k & \equiv p^3 \pmod{2p^6}，其中$p>3$是素数.下面的同余式\sum_{k=0}^{n-1} {n+k \choose k}^2{n-1 \choose k}^2 \equiv 0 \pmod{n}在我们的证明中起着重要的作用。
2012-05-25 math.CO math.NT
Note on super congruences modulo $p^2$
令$p$是奇素数，并且令$m$是具有$p\nmid m$的整数。本文证明了$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k\binom ak\binom{-1-a}k}{m^k} \equiv 0\pmod p \quad\hbox{implies}\quad\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k\binom ak \binom{-1-a}k}{m^k}\equiv 0\pmod {p^2}.$$
2015-03-11 math.CO math.NT
Congruences for sequences analogous to Euler numbers
对于给定的实数$a$，我们通过$E_{0,a}=1$和$E_{n,a}=-a\sum_{k=1}^{[n/2]} \binom n{2k}E_{n-2k,a}$ $(n\ge 1)$定义序列$\{E_{n,a}\}$，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数。由于$E_{n,1}=E_n$是第n个欧拉数，$E_{n,a}$可以被看作是欧拉数的自然推广。本文给出了涉及$\{E_{n,a}\}$的一些恒等式和一个反演公式，并建立了$E_{2n,a}\mod{2^{{\rm ord}_2n+8}}$，$E_{2n,a}\pmod{3^{{\rm ord}_3n+5}}$和$E_{2n,a}\pmod{5^{{\rm ord}_5n+4}}$的同余关系，其中${\rm ord}_pn$是使$p^{\a}\mid n$但$p^{\a+1}\nmid n$的最小非负整数$α$.
2013-07-28 math.NT
Some congruences related to the q-Fermat quotients
我们给出了下列同余的q-模拟。W.孙：\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k}{k} \equiv - \frac{2^{p-1}-1}{p} \pmod p，\\ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{H_k}{k 2^k} \equiv 0 \pmod{p}，\quad p \geqslant 5，其中p是素数，D_n= \sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}{2k\choose k}是Delannoy数，H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}是调和数.证明了对任意正整数m和素数p>m+1，有\sum_{1\leqslant k_1\leqslant \cdots \leqslant k_m\leqslant p-1} \frac{1}{k_1\cdots k_m 2^{k_m}} \equiv \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^{k-1}}{k^m} \pmod p，它是Kohnen同余式的多重推广.此外，还建立了这个同余式的一个q-模拟。
2013-12-23 math.CO math.NT
Concentration of points on Modular Quadratic Forms
设$Q(x,y)$是具有判别式$D\neq 0$的二次型。在假定$Q(x,y)-λ$是模$p$的绝对不可约多项式的条件下，得到了同余式$Q(x,y)\equivλ\pmod{p}$解的个数的非平凡上界估计，其中$p$是素数，$x,y$位于$M$的一定长度区间内.特别地，我们证明了当$M\ll p^{1/4}$时，这个同余式的解的个数是$M^{o(1)}$.这些估计推广了Cilleruelo和Garaev关于特殊同余$xy\equiv λ\pmod{p}$的一个结果。
2011-02-07 math.NT
Extensions of Stern's congruence for Euler numbers
对于非零整数$a$，令${E_n^{(a)}}$由$\sum_{k=0}^{[n/2]}\binom n{2k}a^{2k}E_{n-2k}^{(a)}=(1-a)^n$ $(n=0,1,2,...)$给出，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数。由于$E_n^{(1)}=E_n$是欧拉数，所以$E_n^{(a)}$可以被看作是欧拉数的推广。令$k$和$m$是正整数，并且令$b$是非负整数。本文确定了$m\ge 5$的$E_{2^mk+b}^{(a)}$模$ 2^{m+10}$。对于$m\ge 5$，我们还建立了$U_{kφ{(5^m)}+b},\; E_{kφ{(5^m)}+b},\; S_{kφ{(5^m)}+b}\pmod{5^{m+5}}$和$S_{kφ{(3^m)}+b}\pmod{3^{m+5}},$的同余式，其中$U_{2n}=E_{2n}^{(3/2)}$，$S_n=E_n^{(2)}$和$φ(n)$是欧拉函数。
2013-07-15 math.NT
Congruences for the difference of even and odd number of parts of the cubic and some analogous partition functions
其中偶数部分以两种不同颜色出现的分区称为立方分区。最近，梅尔卡介绍和研究的功能$A(n)$，这是定义为之间的差异的数量立方分区的$n$到一个偶数的部分和数量立方分区的$n$到一个奇数的部分。特别是，使用斯穆特的\textsf{RaduRK} Mathematica软件包，梅尔卡证明了以下同余找到确切的生成函数的各自职能。对于所有的$n\ge0$，\begin{align*}A(9n+5)\equiv 0\pmod 3,\\ A(27n+26)\equiv 0\pmod 3. \end{align*}，da Silva和Sellers利用生成函数的操作和剖分，证明了这些同余和由这些同余产生的模3的两个无穷族同余.本文利用Ramanujan的θ函数恒等式，给出了生成函数的简化公式，由此可以很自然地证明Merca的同余式以及da Silva和Sellers的同余式.我们还研究了类似的分拆函数，其中多个$k$出现在两种不同的颜色，其中$k\in\{3,5,7,23\}$。
2023-01-25 math.NT
Cubic congruences and sums involving $\binom{3k}k$
令$p$是大于$3$的素数，令$a$是有理p-adic整数。本文试图确定$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}ka^k\pmod p$，并实现三次同余与和$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}ka^k$之间的联系，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数.设$a_1,a_2,a_3$是有理p-adic整数，$P=-2a_1^3+9a_1a_2-27a_3$，$Q=(a_1^2-3a_2)^3$和$PQ(P^2-Q)(P^2-3Q)(P^2-4Q)\not\equiv 0\pmod p$ .本文证明了同余$x^3+a_1x^2+a_2x+a_3\equiv 0\pmod p$的解的个数只依赖于$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}k(\frac{4Q-P^2}{27Q})^k\pmod p$ .设$q$是一个素数，其形式为$3k+1$，因此$4q=L^2+27M^2$与$L,M\in\Bbb Z$。当$p\not=q$和$p\nmid L$时，我们建立了$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}k(\frac{M^2}q)^k$和$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}k(\frac{L^2}{27q})^k$模p的同余关系，从而证明了$x^3-qx-qM\equiv 0\pmod p$有三个…
2013-11-20 math.CO math.NT
Elementary Proofs of Two Congruences for Partitions with Odd Parts Repeated at Most Twice
University of Minnesota Duluth（明尼苏达大学德卢斯分校）
本文通过初等方法证明了关于有奇数部分最多重复两次的划分函数在模2下的两个同余式，解决了Merca提出的经典证明需求。
2025-08-08 math.NT
On sums of Apéry polynomials and related congruences
Apéry多项式由$$A_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2x^k\ \ (n=0,1,2,\ldots).$$给出（这些$A_n=A_n(1)$是Apéry数）。令$p$为奇素数。我们证明了$$\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kA_k(x)\equiv\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^3}{16^k}x^k\pmod{p^2},$$和$$\sum_{k=0}^{p-1}A_k(x)\equiv\left(\frac xp\right)\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{4k}{k,k,k,k}}{(256x)^k}\pmod{p}$$对于任何$p$ -进整数$x\not\equiv 0\pmod p$ .这使我们能够明确地确定$\sum_{k=0}^{p-1}(\pm1)^kA_k$ mod $p$，以及在$p\equiv 2\pmod3$情况下的$\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kA_k$ mod $p^2$。另一个结果表明，$$\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kA_k(-2)\equiv\begin{cases}4x^2-2p\pmod{p^2}&\mbox{if}\ p=x^2+4y^2\ (x,y\in\mathbb Z),\\0\pmo…
2014-04-28 math.CO math.NT
