Congruences concerning Jacobi polynomials and Apéry-like formulae
设$p>5$为素数。我们证明了一般形式$\sum_{k=0}^{(p-3)/2}\binom{2k}{k}t^k/(2k+1)^{d+1}$和$\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\binom{2k}{k}t^k/k^d$与$d=0,1$的和的模$p^{3-d}$同余。我们还考虑了前一个和的特殊情况$t=(-1)^{d}/16$，其中同余保持模$p^{5-d}$。
2012-07-31 math.NT
Congruences concerning quadrinomial coefficients
本文建立了涉及四项式系数的模 $p^2$ 同余式，作为 Elkhiri 和 Mihoubi 关于三项式系数同余式结果的类比。
2023-07-27 math.NT
Congruences concerning Lucas' law of repetition
设$P,Q\in\Bbb Z$、$U_0=0,\ U_1=1$和$U_{n+1}=PU_n-QU_{n+1}$。本文得到了$U_{kmn^r}/U_k\pmod {n^{r+1}}$的一般同余式，其中$k,m,n,r$为正整数.作为应用，我们推广了Lucas重复律，刻画了$a^n+1$或$S_n$的平方素因子，其中$\{S_n\}$由$S_1=P^2+2$和$S_{k+1}=S_k^2-2\ (k\ge 1)$给出.
2013-12-12 math.NT
Super congruences concerning binomial coefficients and Apéry-like numbers
设$p$是一个素数，其上有$p>3$，$a,b$是两个有理数$p-$.本文给出了$\sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{-1-a}k\frac p{k+b}\pmod {p^2}$的一般同余式.对于$n=0,1,2,\ldots$，令$D_n$和$b_n$分别为Domb和Almkvist-Zudilin数。我们还建立了$$\sum_{n=0}^{p-1}\frac{D_n}{16^n},\quad \sum_{n=0}^{p-1}\frac{D_n}{4^n}, \quad \sum_{n=0}^{p-1}\frac{b_n}{(-3)^n},\quad \sum_{n=0}^{p-1}\frac{b_n}{(-27)^n}\pmod {p^2}$$在某些二元二次型方面的同余。
2020-02-27 math.NT
Congruences related to Eulerian and Euler numbers
利用欧拉数和欧拉数，建立了调和数、正切数和Genocchi数的和的同余关系.
2021-11-19 math.NT
Congruences involving the reciprocals of central binomial coefficients
我们提出了几个同余模幂的素数$p$关于以下类型的总和$\sum_{k=1}^{p-1}{m^k\over k^r}{2k\choose k}^{-1}$揭示了一些有趣的连接与类似的无穷级数。
2009-12-20 math.NT
Congruences concerning generalized central trinomial coefficients via the constant term method
Nanjing Forestry University（南京林业大学）
研究广义中心三项式系数，利用常数项方法和生成函数证明参数同余式，证实了孙志伟的几个猜想。
2026-07-21 math.CO math.NT
Proof of a congruence concerning truncated hypergeometric series ${}_6F_5$
本文主要证明了J. C. Liu：$$ {}_6F_5\bigg[\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\&\frac{1}{4}&1&1&1&1\end{matrix}\bigg|\ -1\bigg]_{\frac{p-1}{2}}\equiv-\frac{p^3}{16}Γ_p\left(\frac{1}{4}\right)^4\pmod{p^5}, $$其中$p\geq5$是与$p\equiv3\pmod{4}$的素数。
2018-12-26 math.CO math.NT
A congruence concerning a convolution involving weighted Bernoulli numbers
给定一个素数$p\geq 5$，我们用调和数和广义调和数约化模p为两个加权Bernoulli数的幂与Bernoulli数的p-1阶卷积.我们的证明是基于研究Sym（p-2）的排列数的p-adic扩展与偶数的上升，直到模数$p^2$。
2021-11-05 math.CO math.NT
Congruences concerning generalized central trinomial coefficients
对于任何$n\in\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$和$b,c\in\mathbb{Z}$，广义中心三项式系数$T_n(b,c)$表示在$(x^2+bx+c)^n$的展开中$x^n$的系数。设$p$为奇素数。本文确定了整数$m$在一定限制条件下的模$p^2$和$\sum_{k=0}^{p-1}T_k(b,c)^2/m^k$.作为应用，我们确认了Sun [Sci.中国数学57（2014），1375- 1400].
2020-12-08 math.CO math.NT
Three pairs of congruences concerning sums of central binomial coefficients
最近，第一作者证明了Adamchuk在2006年提出的一个同余：$\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{2p}{3}\rfloor}\binom{2k}{k}\equiv 0\pmod{p^2}$对任何素数$p=1 \pmod{3}$。本文给出了同类同余式$$\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{ap}{r}\rfloor}\binom{2k}{k}x^k \pmod{p^2}$$的更多例子（并给出了证明），其中$p$是素数，使得$p\equiv 1 \pmod{r}$，$a/r$是$(1/2,1)$中的分数，$x$是$p$ -adic整数.关键成分是$p$ -adic Gamma函数$Γ_p$和一类特殊的计算机发现的超几何恒等式。
2020-07-20 math.CO math.NT
A variation of a congruence of Subbarao for n=2^(alpha)*5^(beta)
关于满足某些同余的正整数$n$的特征，以及正整数$n$的欧拉函数$φ$和正因子和函数$σ$，有许多公开的问题。本文讨论了$$ nφ(n)\equiv2\pmod{σ(n)} $$形式的同余关系，证明了满足上述同余关系的$2^α5^β, \enspace α, β\geq0,$形式的正整数只有$n=1, 2, 5, 8$ .
2016-07-05 math.NT
Two congruences concerning Apéry numbers
设$n$为非负整数。第$n$个Apéry数由$$ A_n:=\sum_{k=0}^n\binom{n+k}{k}^2\binom{n}{k}^2. $$ Z定义。W. Sun曾研究过Apéry数的同余性质，并给出了一些证明。例如，Sun指出，对于任何素数$p\geq7$ $$ \sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)A_k\equiv p-\frac{7}{2}p^2H_{p-1}\pmod{p^6} $$和任何素数$p\geq5$ $$ \sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)^3A_k\equiv p^3+4p^4H_{p-1}+\frac{6}{5}p^8B_{p-5}\pmod{p^9}, $$，其中$H_n=\sum_{k=1}^n1/k$表示$n$ -th调和数，而$B_0,B_1,\ldots$是众所周知的伯努利数。在本文中，我们将证实这两个命题。
2019-09-19 math.CO math.NT
Congruences concerning binomial coefficients and binary quadratic forms
设$p>3$为素数。本文得到了$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^3}{(-8)^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^2\binom{3k}k}{(-192)^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}}{(-144)^k}\ \text{and} \ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}}{648^k}$$模$p^2$的同余式，以及$\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \binom{2k}k^3\frac{w(k)}{m^k}$模$p^2$的部分结果，其中$m\in\{1,16,-64,256,-512,4096\}$和$w(k)\in\{k^2,k^3,\frac 1{k+1},\frac 1{(k+1)^2},\frac 1{(k+1)^3}, \frac 1{2k-1},\frac 1{k+2}\}$ .
2022-11-24 math.CO math.NT
A congruence involving products of $q$-binomial coefficients
本文建立了一个关于二项式系数模素数平方乘积的Sun同余的$q$ -模拟。
2005-08-27 math.CO math.NT
On some new congruences for binomial coefficients
本文建立了中心二项式系数和Catalan数的新同余式。设$p$是素数，$a$是任意正整数。我们确定了$d=0,...,p^a$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}$ mod $p^2$和$δ=0,1$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+δ}$ mod $p^3$。我们还表明，$$C_n^{-1}\sum_{k=0}^{p^a-1}C_{p^an+k}=1-3(n+1)((p^a-1)/3) (mod p^2)$$对每个n= 0，1，2，.，其中$C_m$是加泰罗尼亚数字$\binom{2m}{m}/(m+1)$，（-）是勒让德符号。
2011-06-02 math.CO math.NT
Equalities, congruences, and quotients of zeta functions in Arithmetic Mirror Symmetry
本文部分地推广了Wan最近关于Calabi-Yau超曲面的zeta函数与它的（奇异）镜像簇之间关系的结果.
2006-05-29 math.AG math.NT
Modular congruences, Q-curves, and the diophantine equation x^4 + y^4 = z^p
本文证明了关于广义Fermat方程$x^4+y^4=z^p$的两个结果。特别地，我们证明了第一种情况是真的，如果$p \neq 7$。
2003-04-27 math.AG math.NT
Non-Negative Integer Linear Congruences
考虑多元一次同余方程的所有非负整数解的刻画问题。这个问题可以简化为求解同余式$x_1 + 2x_2 + 3x_3 + ... + (n-1)x_{n-1} \equiv 0 \pmod n$，其中在非负整数中寻找未知数$x_i$的值。我们考虑这个方程的幺半群的解决方案，并证明了一个猜想Elashvili关于这些解决方案的结构。这就产生了一个简单的算法，用于生成方程的大多数（几乎所有）高度不可分解的解。
2004-09-24 math.NT
Simultaneous insolvability of exponential congruences
我们确定了素数$p$无穷大的一个充要条件，使得方程$a_i^x \equiv b_i \pmod{p}, 1 \le i \le n,$都不可解。我们控制的不可解性$a^x \equiv b \pmod{p}$的乘法独立的$a$和$b$的幂剩余，并通过divisional，最重要的是，奇偶校验的订单乘法依赖的情况下。我们还考虑一个更一般的问题，关于dividencies的订单。这些问题的动机是阿廷的原根猜想及其变种。
2020-07-02 math.NT
On congruences involving Apéry numbers
本文证明了Z.-W. Sun猜想的一个涉及Apéry数求和的同余式，对任意素数p>3和正奇数m，存在仅依赖m的p-adic整数c_m使该同余式成立。
2023-05-19 math.CO math.NT
A Determinant Congruence Conjectured by Sun
Sichuan University（四川大学）
本文证明了孙氏关于二元二次型行列式的一个加强形式猜想，通过分析范德蒙德因子和模p矩阵的秩，得到了复合数和素数情况下的同余结论。
2026-05-27 math.NT
The Quadratic and Cubic Characters of 2
本文研究了2的二次与三次特征，通过引入埃森斯坦整数、高斯和雅可比和以及三次互反律，探讨了二次同余式和三次同余式的可解性问题。
2025-06-30 math.NT
Some parametric congruences involving generalized central trinomial coefficients
对于$n\in\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$和$b,c\in\mathbb{Z}$，$n$第广义中心三项式系数$T_n(b,c)$是$x^n$在$(x^2+bx+c)^n$展开式中的系数。特别地，$T_n=T_n(1,1)$是中心三项式系数。本文主要建立了几类含广义中心三项式系数的参数同余。作为结果，我们证明了对于任何素数$p>3$ $$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}{k}}{12^k}T_k\equiv\left(\frac{p}{3}\right)\frac{3^{p-1}+3}{4}\pmod{p^2} $$和$$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{T_kH_k}{3^k}\equiv\frac{3+\left(\frac{p}{3}\right)}{2}-p\left(1+\left(\frac{p}{3}\right)\right)\pmod{p^2}, $$，其中$(-)$表示Legendre符号和$H_k:=\sum_{j=1}^k1/j$表示$k$次谐波数。这证实了第二作者的两个理论一致性。
2022-08-18 math.CO math.NT
Applications of Lerch's theorem and permutations concerning quadratic residues
设$p$为奇素数。对于每一个具有$p\nmid a$的整数$a$，著名的Zolotarev引理说Legendre符号$(\frac{a}{p})$是$\Z/p\Z$的置换的符号，该置换通过乘以$a$而导出。弗罗贝纽斯将佐洛塔列夫的结果推广到了奇数的情形。在那之后，Lerch将这些推广到所有正整数。本文探讨了Lerch结果的一些应用。例如，我们研究涉及任意$k$次幂剩余模$p$和原根的幂$p$的置换。最后讨论了二次剩余模$p$的置换问题。特别地，我们确认了Sun提出的一些假设。
2019-02-08 math.NT
On the Atkin and Swinnerton-Dyer type congruences for some truncated hypergeometric ${}_1F_0$ series
设$p$为奇素数，$n$为正整数。对于任何正整数$α$和$m\in\{1,2,3\}$，我们有\begin{align*} \sum_{k=0}^{p^αn-1}\frac{(\frac12)_k}{k!}\cdot\frac{(-4)^k}{m^k}\equiv\bigg(\frac{m(m-4)}{p}\bigg)\sum_{k=0}^{p^{α-1}n-1}\frac{(\frac12)_k}{k!}\cdot\frac{(-4)^k}{m^k}\pmod{p^{2α}}, \end{align*}，其中$(x)_k=x(x+1)\cdots(x+k-1)$和$\big(\frac{\cdot}{\cdot}\big)$表示Legendre符号。此外，当$m=4$、\begin{align*} \sum_{k=0}^{p^αn-1}(-1)^k\cdot\frac{(\frac12)_k}{k!}\equiv p\sum_{k=0}^{p^{α-1}n-1}(-1)^k\cdot\frac{(\frac12)_k}{k!}\pmod{p^{2α}}. \end{align*}
2018-10-22 math.CO math.NT
On $p$-adic congruences involving $\sqrt d$
针对奇素数$p$和不被$p$整除的整数$d$，证明了含$\sqrt{d}$的特定乘积多项式模$p$的同余式（分Legendre符号为1和-1两种情况），推广N. Kalinin猜想，并得到Wolstenholme型同余式。
2025-04-16 math.NT
The congruence subgroup property for $S$-arithmetic subgroups of simple algebraic groups when $S$ has positive Dirichlet density
University of Virginia（弗吉尼亚大学）
本文研究了当S具有正狄利克雷密度时，简单代数群的S-算术子群的同余子群性质，证明了同余核为平凡群，为塞雷的同余子群猜想提供了证据。
2026-03-29 math.NT
Congruences involving $\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}m^{-k}$
令$p>3$是素数，令$m$是具有$p\nmid m$的整数。本文利用Ishii和Deuring关于复乘椭圆曲线的定理，解决了孙志伟关于$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}m^{-k}\mod {p^2}$的一些问题。
2011-04-18 math.CO math.NT
Some congruences involving central q-binomial coefficients
受Sun和Tauraso最近工作的启发，我们证明了一些涉及中心q-二项式系数的Green-Krammer恒等式的变体，如$$ \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kq^{-{k+1\choose 2}}{2k\brack k}_q \equiv (\frac{n}{5}) q^{-\lfloor n^4/5\rfloor} \pmod{Φ_n(q)}, $$，其中$\big(\frac{n}{p}\big)$是Legendre符号，$Φ_n(q)$是$n$ th分圆多项式.作为结果，我们推导出，$$ \sum_{k=0}^{3^a m-1} q^{k}{2k\brack k}_q &\equiv 0 \pmod{(1-q^{3^a})/(1-q)}, \sum_{k=0}^{5^a m-1}(-1)^kq^{-{k+1\choose 2}}{2k\brack k}_q &\equiv 0 \pmod{(1-q^{5^a})/(1-q)}, $$为$a,m\geq 1$，第一个是一个部分q模拟的Strauss-Shallit-Zagier同余模幂为3。提出了几种相关的解决方案。
2010-01-31 math.CO math.NT
Congruences involving $\binom{2k}k^2\binom{3k}km^{-k}$
令$p>3$是素数，令$m$是具有$p\nmid m$的整数。本文在Brillhart和Morton工作的基础上，利用Ishii和Deuring关于复乘椭圆曲线的定理，解决了孙志伟关于$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k^2\binom{3k}km^{-k}\mod {p^2}$的一些问题.
2011-04-28 math.CO math.NT
Congruences involving generalized central trinomial coefficients
对于整数$b$和$c$，广义中心三项式系数$T_n(b,c)$表示$(x^2+bx+c)^n$展开式中$x^n$的系数。这些$T_n=T_n(1,1)\ (n=0,1,2,\ldots)$是通常的中心三项式系数，$T_n(3,2)$与组合学中的Delannoy数$D_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{n+k}k$一致。本文系统地研究了含广义中心三项式系数的同余。以下是一些典型的结果：对于每个$n=1,2,3,\ldots$，我们有$$\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)T_k(b,c)^2(b^2-4c)^{n-1-k}\equiv0\pmod{n^2}$$，特别是$n^2\mid\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)D_k^2$ ;如果$p$是奇素数，则有$$\sum_{k=0}^{p-1}T_k^2\equiv\left(\frac{-1}p\right)\ \pmod{p}\ \ \ {\rm and}\ \ \ \sum_{k=0}^{p-1}D_k^2\equiv\left(\frac 2p\right)\ \pmod{p},$$，其中$(-)$表示Legendre符号。我们还提出了几个approachures其中一些涉及参数表示素数的某些二元二次型。
2014-06-17 math.CO math.NT
Some congruences involving powers of Delannoy polynomials
定义了Delannoy多项式$D_n(x)$：$$ D_n(x)=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}{n+k\choose k}x^k. $$我们证明了，如果$x$是一个整数，$p$是一个不整除$x(x+1)$的素数，则有\begin{align*} \sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)D_k(x)^3 &\equiv p\left(\frac{-4x-3}{p}\right) \pmod{p^2}, \\ \sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)D_k(x)^4 &\equiv p \pmod{p^2}, \\ \sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k(2k+1)D_k(x)^3 &\equiv p\left(\frac{4x+1}{p}\right) \pmod{p^2}, \end{align*}，其中$\big(\frac{\cdot}{p}\big)$表示Legendre符号.前两个同余证实了Z的一个猜想。W. Sun [Sci. China 57（2014），1375- 1400].第三个同余式证实了Z的另一个猜想的一个特例。W. Sun [J.数论132（2012），2673- 2699].证明了对任意整数$x$和奇素数$p$，都成立\begin{align*} \sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k(2k+1)D_k(x)^4…
2014-12-10 math.CO math.NT
On Mordell-Weil groups and congruences between derivatives of twisted Hasse-Weil L-functions
设A是数域k上的阿贝尔簇，F是k的有限Galois扩张.设p为素数。然后在A和F上的某些不太严格的条件下，我们显式地计算对（h^1（A/F）（1），Z[Gal（F/k）]）的等变Tamagawa数的p-分量的代数部分。通过将计算结果与Gross和Zagier的定理进行比较，我们能够在技术上最苛刻的情况下首次验证阿贝尔簇的等变Tamagawa数猜想的p-分量，其中相关的Mordell-Weil群具有严格正秩，并且相关的域扩张是非阿贝尔的且度可被p整除。我们的方法使我们制定了某些精确的家庭的代数p-adic同余之间的值在s=1的Hasse-Weil L函数的衍生物与扭曲的A，规范化的产品的显式等变调节器和周期，并明确预测有关伽罗瓦结构的Tate-Shafarevich群。在一些有趣的情况下，我们提供了理论和数值证据来支持这些更普遍的预测。
2015-05-18 math.NT
Symbolic summation methods and hypergeometric supercongruences
本文建立了以下两个同余式：\begin{gather*} \sum_{k=0}^{(p+1)/2}(3k-1)\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)_k^2\left(\frac{1}{2}\right)_k4^k}{k!^3}\equiv p-6p^3\left(\frac{-1}{p}\right)+2p^3\left(\frac{-1}{p}\right)E_{p-3}\pmod{p^4},\\ \sum_{k=0}^{p-1}(3k-1)\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)_k^2\left(\frac{1}{2}\right)_k4^k}{k!^3}\equiv p-2p^3\pmod{p^4}, \end{gather*}其中$p>3$是素数，$E_{p-3}$是第$(p-3)$个欧拉数，$\left(-\right)$是Legendre符号.第一个模$p^3$同余是最近由Guo和Schlosser得到的.
2020-04-25 math.CO math.NT
A conjecture of Zhi-Wei Sun on matrices concerning multiplicative subgroups of finite fields
本文研究有限域乘法子群相关矩阵的行列式，证明了二次平方元矩阵的显式行列式公式，从而证实Zhi-Wei Sun的猜想。
2024-05-22 math.NT
A family of polynomials and related congruences and series
Nanjing University（南京大学）
本文研究了一族多项式及其相关同余与级数，提出了关于$1/π$的开放猜想。
2026-02-10 math.CO math.NT
Super congruences and Euler numbers
设$p>3$为素数。本文证明了$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}{k}/2^k=(-1)^{(p-1)/2}-p^2E_{p-3} (mod p^3),$$ $$\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\binom{2k}{k}/k=(-1)^{(p+1)/2}8/3*pE_{p-3} (mod p^2),$$ $$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\binom{2k}{k}^2/16^k=(-1)^{(p-1)/2}+p^2E_{p-3} (mod p^3)$$，其中E_0，E_1，E_2，.是欧拉数。我们的新方法是组合性质的。我们还制定了许多关于超同余关系的公式，并将其中大部分与欧拉数或伯努利数联系起来。受超同余研究的启发，我们还对$π^2$、$π^{-2}$和常数$K:=\sum_{k>0}(k/3)/k^2$（带（-）Jacobi符号）提出了7个新的级数猜想，其中两个是$$\sum_{k=1}^\infty(10k-3)8^k/(k^3\binom{2k}{k}^2\binom{3k}{k})=π^2/2$$和$$\sum_{k>0}(15k-4)(-27)^{k-1}/(k^3\binom{2k}{k}^2\binom{3k}k)=K.$$
2011-11-03 math.CO math.NT
Morley's other miracle: $\displaystyle 4^{p-1}\equiv\pm (\smallmatrix p-1 \frac{p-1}{2} \endsmallmatrix) \pmod {p^3} $
弗兰克·莫利以他关于三角形的三等分角的定理而闻名。本文给出了Morley的另一个结果的初等证明，该结果将中间二项式系数与二的某个幂联系起来。关于莫利同余的惊人之处在于，它对所考虑的素数的三次幂取模有效。
2013-02-15 math.NT
Supercongruences on some binomial sums involving Lucas sequences
本文证明了Sun关于二项和整除性的几个证明同余。例如，借助于二次超几何变换，我们证明了对于任何素数$p\equiv 7\mod{8}$，$$ \sum_{k=0}^{p-1}\binom{p-1}k\binom{2k}k^2\frac{P_k}{8^k}\equiv0\pmod{p^2} $$，其中$P_k$是$k$ -th Pell数。此外，我们还提出了三个新的同类型的同余。
2016-11-11 math.CO math.NT
A new kind of numbers and related congruences
Nanjing University（南京大学）
研究整数\(l>0\)、\(m\geqslant0\)相关的数\(S_l^{(m)}(n)\)，通过证明得出特定素数模下的同余式，尤其当\(l = 4\)、\(m = 2\)时得到关于\(Domb\)数\(D(n)\)的奇特素数模同余式。
2026-07-22 math.CO math.NT
Proof of some supercongruences concerning truncated hypergeometric series
本文证明了截断超几何级数的一些超同余。例如，我们证明了对于任何素数$p>3$和正整数$r$，$$ \sum_{k=0}^{p^r-1}(3k+1)\frac{(\frac12)_k^3}{(1)_k^3}4^k\equiv p^r+\frac76p^{r+3}B_{p-3}\pmod{p^{r+4}} $$和$$ \sum_{k=0}^{(p^r-1)/2}(4k+1)\frac{(\frac12)_k^4}{(1)_k^4}\equiv p^r+\frac76p^{r+3}B_{p-3}\pmod{p^{r+4}}, $$，其中$(x)_k=x(x+1)\cdots(x+k-1)$是Pochhammer符号和$B_0,B_1,B_2,\ldots$是伯努利数。这两个一致性证实了孙[科学。中国数学。54（2011），2509--2535]和郭[Adv. Appl. Math. 120（2020），Art. 102078]分别。
2020-10-26 math.CO math.NT
On Selberg's small eigenvalue conjecture and residual eigenvalues
我们表明，Selberg的本征值猜想关于自守Laplacian同余群的小本征值是等价于一个猜想关于不存在的剩余本征值的扰动系统。我们使用渐进扰动理论和数论的组合方法证明了这一点。
2008-11-07 math.NT math.SP
Divisibility results concerning truncated hypergeometric series
利用著名的Karlsson-Minton公式，主要建立了截断超几何级数的两个整除性结果.令$n>2$和$q>0$为整数，其中$2\mid n$或$2\nmid q$。我们证明了对于任何素数$p>\max\{n,(q-1)n+1\}$，$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{(q-\frac{p}{n})_k^n}{(1)_k^n}\equiv0\pmod{p^3} $$和$$p^n\sum_{k=0}^{p-1}\frac{(1)_k^n}{(\frac{p}{n}-q+2)_k^n}\equiv0\pmod{p^3}$$，其中$(x)_k$表示由$$ (x)_k=\begin{cases}1,\quad &k=0,\\ x(x+1)\cdots(x+k-1),\quad &k>0.\end{cases}$$定义的Pochhammer符号。令$n\geq4$是一个偶数。则对任何素数$p$与$p\equiv-1\pmod{n}$，上述第一个同余式暗示$$\sum_{k=0}^{p-1} \frac{(\frac{1}{n})_k^n}{(1)_k^n}\equiv0\pmod{p^3}. $$这证实了郭文贵最近的一个猜想.
2020-02-24 math.CO math.NT
Quartic residues and sums involving $\binom{4k}{2k}$
令$p$是奇素数，令$m\not\equiv 0\pmod p$是有理p-adic整数。本文揭示了四次剩余与和$\sum_{k=0}^{[p/4]}\binom{4k}{2k}\frac 1{m^k}$之间的关系，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数.设$q$是一个素数，其形式为$4k+1$，因此$q=a^2+b^2$与$a,b\in\Bbb Z$。当$p\nmid ab(a^2-b^2)q$时，我们证明了对于$r=0,1,2,3$，$p^{\frac{q-1}4}\equiv (\frac ab)^r\pmod q$当且仅当$$\sum_{k=0}^{[p/4]}\binom{4k}{2k}\Big(\frac{a^2}{16q}\Big)^k\equiv (-1)^{\frac{p^2-1}8a+\frac{p-1}2\cdot \frac{q-1}4}\Big(\frac pq\Big) \Big(\frac ab\Big)^r\pmod p,$$，其中$(\frac pq)$是Legendre符号。我们还建立了$m=17,18,20,32,52,80,272$病例中$\sum_{k=0}^{[p/4]}\binom{4k}{2k}\frac 1{m^k}\pmod p$的全等性。
2013-12-02 math.NT
Proof of three conjectures on determinants related to quadratic residues
本文确定了Z. W.太阳的决定因素。我们首先证明了任何奇数$n>3$整除行列式$$\left|(i^2+dj^2)\left(\frac{i^2+dj^2}n\right)\right|_{0\le i,j\le (n-1)/2},$$，其中$d$是任何整数，$(\frac{\cdot}n)$是雅可比符号。然后证明了关于$|(i+dj)^n|_{0\le i,j\le n-1}$和$|(i^2+dj^2)^n|_{0\le i,j\le n-1}$的一些整除性结果，其中$d\not=0$和$n>2$是整数.最后，对任意奇素数$p$和整数$c$，$d$，以及$p\nmid cd$，我们完全确定了Legendre符号$(\frac{S_c(d,p)}p)$，其中$S_c(d,p):=|(\frac{i^2+dj^2+c}p)|_{1\le i,j\le(p-1)/2}$ .
2020-11-16 math.NT
Points on polynomial curves in small boxes modulo an integer
给定一个整数$q$和一个系数在剩余环$\mathbb Z_q=\mathbb Z/q\mathbb Z,$中的$d$次多项式$f\in \mathbb Z_{q}[X]$，我们得到了关于整数变量位于边长为$H$的立方体$\mathcal B$中的$$y\equiv f(x) \pmod{q},$$型同余的解的个数的新结果.我们的论点使用的想法Cilleruelo，Garaev，Ostafe和Shparlinski减少了问题的维诺格拉多夫中值定理和一个格点计数问题。我们用数的几何中的迁移原理来处理格点问题。我们还使用了一个变种的主要猜想的维诺格拉多夫中值定理的布尔甘，德米特和古斯和伍利允许一个处理，而稀疏集。
2018-03-28 math.NT
The sum of two cubes problem -- an approach that's classroom friendly
本文用无限3下降法在艾森斯坦整数环中统一证明欧拉、勒让德和西尔维斯特关于两个立方数之和的经典结果，并给出新结果，适合课堂阅读。
2023-08-31 math.HO math.NT
On a polynomial involving roots of unity and its applications
本文推广了 Gauss、Dirichlet 和 Sun 关于涉及单位根的多项式 $S_p(x)$ 的研究，并将其应用于扩展 S. Chowla 关于实二次域基本单位数的同余结果，同时给出了扩展 Ankeny-Artin-Chowla 猜想的等价形式。
2020-01-09 math.NT
First moment of Hecke eigenvalues at the integers represented by binary quadratic forms
本文研究稀疏整数集索引的Hecke特征形式傅里叶系数求和估计，给出特定二元二次型表示的无平方因子整数对应的和式上界，并确定其Hecke特征值首次符号改变的量级，改进推广了已有结果。
2024-01-31 math.NT
Impossible intersections in a Weierstrass family of elliptic curves
考虑由非零$λ\in\overline{\mathbb{Q}_2}$参数化的椭圆曲线$E_λ:y^2=x^3+λ$的Weierstrass族，并设$P_λ(x)=(x,\sqrt{x^3+λ})\in E_λ$。在这篇文章中，给定$α,β\in\overline{\mathbb{Q}_2}$使得$\fracαβ\in\mathbb{Q}$，我们提供了一个明确的描述参数集$λ$，使得$P_λ(α)$和$P_λ(β)$是同时扭转$E_λ$。特别地，我们证明了上述集合是空的，除非$\fracαβ\in\{-2,-\frac{1}{2}\}$。此外，我们表明，即使当$\fracαβ\notin\mathbb{Q}$提供的$α$和$β$有不同的$2-$进的绝对值和分歧指数$e(\mathbb{Q}_2(\fracαβ)~\vert~\mathbb{Q}_2)$是互质的$6$，这个集合是空的。我们还改进了最近的结果斯托尔关于勒让德家庭的椭圆曲线$E_λ:y^2=x(x-1)(x-λ)$，这本身加强了早期的工作，Masser和Zannier建立，提供$a,b$有不同的减少模$2$，集$\{λ\in\mathbb{C}\setminus\{0,1\}~:~(a,\sqrt{a(a-1)(a-λ)}),(b,\sqrt{b(b-1)(b-λ)})\in (E_λ)_{tors}\}$是空的。
2016-07-18 math.DS math.NT
Convolutions with probability distributions, zeros of L-functions, and the least quadratic nonresidue
假设$d$是一个概率分布。在某些温和的条件下，我们证明了$$ \lim_{x\to\infty}x\sum_{n=1}^\infty \frac{d^{*n}(x)}{n}=1,\qquad\text{where}\quad d^{*n}:=\underbrace{\,d*d*\cdots*d\,}_{n\text{ times}}. $$对于紧支撑分布$d$，我们证明了，如果$c>0$是一个给定的常数和函数$f(k):=\widehat d(k)-1$不为零的线$\{k\in{\mathbb C}:\Im\,k=-c\}$，其中$\widehat d$是$d$的傅里叶变换，那么一个有渐近展开$$ \sum_{n=1}^\infty\frac{d^{*n}(x)}{n}=\frac{1}{x}\bigg(1+\sum_k m(k) e^{-ikx}+O(e^{-c x})\bigg)\qquad (x\to +\infty), $$，其中的总和是在那些零$k$的$f$，位于带$\{k\in{\mathbb C}:-c<\Im\,k<0\}$，$m(k)$是任何这样的零的重数，并且隐含的常数仅取决于$c$。对于一个给定的这种类型的分布$d$，我们简要地描述了在下半平面$\{k\in{\mathbb C}:\Im\,k<0\}$的$f$的零$k$的位置。对于奇素数$p$，令$n_0(p…
2015-05-12 math.NT math.SP
New series for some special values of $L$-functions
Nanjing University（南京大学）
本文通过建立同余变换定理，基于计算提出48个涉及调和数的猜想级数，用于表示ζ函数和某些L-函数的特殊值。
2016-01-12 cs.NA math.CA math.CO
Supercongruences via Beukers' method
本文利用 Beukers 基于模形式提出的统一方法，证明了第一作者关于若干涉及二项式系数和 Apéry 型数的和式模素数立方同余式的猜想。
2024-09-19 math.CA math.CO math.NT
