Holomorphic Legendrian curves
本文研究了$\mathbb{C}^{2n+1}$上标准全纯切触结构中的全纯Legendrian曲线，其中对任意$n\in\mathbb{N}$ .我们提供了几个近似和desingularization的结果，使我们能够证明一般的存在定理，解决一些开放的问题的主题。特别是，我们证明了每个开放的黎曼曲面$M$允许一个适当的全纯勒让德嵌入$M\hookrightarrow\mathbb{C}^{2n+1}$，我们证明了，对于每个紧的有边黎曼曲面$M=\mathring M\cup bM$存在一个拓扑嵌入$M\hookrightarrow \mathbb{C}^{2n+1}$，其内部的限制是一个完整的全纯勒让德嵌入$\mathring M\hookrightarrow \mathbb{C}^{2n+1}$。因此，我们推断，每个复杂的接触流形$W$进行相对紧凑的全纯勒让德曲线，规范化的任何给定的边界黎曼曲面，这是完整的关于任何黎曼度量$W$。
2017-06-05 math.CV math.DG
Point selections from Jordan domains in Riemannian Surfaces
该研究利用纤维丛理论与共形映射，实现黎曼曲面若尔当区域的等距等变连续点选取，推导常曲率曲面对应空间的强形变收缩性质，并给出平面若尔当区域选点的规范方法。
2024-08-19 math.DG math.GN math.GT
Complete meromorphic curves with Jordan boundaries
本文证明带边Riemann曲面去掉有限点集后存在完全亚纯浸入（或嵌入）映射，其边界像为有限多条不相交的Hausdorff维数1的Jordan曲线，并推广到一致逼近与插值。
2023-10-11 math.CV math.DG
Complete curvature homogeneous pseudo-Riemannian manifolds
本文证明了3类完全曲率齐性伪黎曼流形，它们都是不可约对称空间上的非局部齐性流形。所有的流形都有幂零的雅可比算子;一些流形是，此外，约旦Osserman和约旦伊万诺夫-彼得罗夫。
2004-04-05 math-ph math.DG math.MP
A scattering theory of harmonic one-forms on Riemann surfaces
我们构造了Riemann曲面上调和一型的散射理论，它是由边值问题通过曲线系和跳跃问题得到的。我们得到一个明确的表达的散射矩阵的积分算子，我们称之为希弗算子，并表明矩阵是酉的。作为这个散射理论的后果，我们证明这些共形不变的积分算子的拓扑不变量的指标定理。我们还得到了正极化拉格朗日空间的一般协会的边界黎曼曲面，它统一了代数几何的紧致曲面的经典极化与无限维周期映射的通用Teichmueller空间。
2021-12-01 math.AG math.CV math.DG
Parallel mean curvature surfaces with constant contact angle along free boundaries
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
本文研究了具有常接触角的平行平均曲率曲面，通过分类和构造例子验证了相关定理的准确性。
2026-01-19 math.DG
Inscriptions in non-Euclidean Geometries
本文将平面内接问题推广至常曲率 Riemannian 曲面，利用 symplectic 与 Riemannian 几何思想，证明了双曲平面中光滑 Jordan 曲线的广义内接定理，以及两球面上不与对跖点相交的光滑 Jordan 曲线的矩形内接定理。
2025-07-10 math.DG math.SG
Gaussian curvature of minimal graphs in $M\times \mathbb{R}$
本文考虑三维黎曼流形$M\times\mathbb{R}$中的极小图。我们主要估计这类曲面的高斯曲率。考虑平行平面上由两条Jordan曲线围成的极小圆盘和极小图。证明的关键是这些曲面通过$\wp-$调和映射的Weierstrass表示。我们还证明了黎曼曲面中测地圆盘间调和映射的Schwarz引理型结果和Heinz型结果。
2022-07-11 math.DG
Scattering theory on Riemann surfaces II: The scattering matrix and generalized period mappings
本文基于曲线系统边值问题与跳跃问题构建黎曼曲面调和一形式散射理论，给出由 Schiffer 算子表示的酉散射矩阵，并通过正极化 Lagrangian 空间统一经典极化与万有 Teichmüller 空间周期映射。
2025-06-09 math.AG math.CV math.DG
The Calabi-Yau problem for Riemann surfaces with finite genus and countably many ends
该研究解决有限亏格、可数个端的黎曼曲面的Calabi-Yau问题，证明此类曲面是三维欧氏空间中完备有界极小曲面的复结构，且对应浸入可延拓至闭包、边界映为互不相交的若尔当曲线，推广了带边黎曼曲面的相关结果。
2019-10-14 math.CV math.DG
A variational approach to the regularity of minimal surfaces of annulus type in Riemannian manifolds
给定黎曼流形中的两条Jordan曲线，以这两条曲线为界的环型极小曲面被刻画为某个泛函（狄利克雷积分）的临界点在边界参数化空间中的调和延拓.应用临界点理论和Morrey增长条件证明了环型极小曲面的$H^{2,2}$ -正则性。
2006-03-27 math.AP math.DG
Proper superminimal surfaces of given conformal types in the hyperbolic four-space
本文证明双曲四空间中任意光滑共形超极小浸入可被真浸入一致逼近，并利用扭量空间中的全纯勒让德曲线分析，构造了由任意有限拓扑类型开黎曼曲面规范化的真超极小曲面。
2020-05-05 math.CV math.DG
Darboux charts around holomorphic Legendrian curves and applications
本文在复切触流形$(X,ξ)$中找到了一个围绕浸入非紧全纯Legendrian曲线的全纯Darboux图。利用这样的图，我们证明了开黎曼曲面上的所有全纯勒让德浸入$R\to X$都可以在相对紧的子集上用全纯勒让德嵌入来逼近，并且紧有边黎曼曲面上的所有全纯勒让德浸入$M\to X$都是拓扑嵌入$M\hookrightarrow X$的一致极限，使得$\mathring M\hookrightarrow X$是完全的全纯勒让德嵌入.我们还建立了各向同性Stein子流形的接触邻域定理，并且在任意复接触流形中，我们找到了围绕任何可收缩的各向同性Stein子流形的全纯Darboux图。
2017-06-16 math.CV math.DG
New complex analytic methods in the study of non-orientable minimal surfaces in $\mathbb{R}^n$
本工作的目的是适应复杂的分析方法起源于现代Oka理论的非定向共形极小曲面在$\mathbb{R}^n$的任何$n\ge 3$的研究。这些方法主要是从第一性原理发展而来的，它们使我们能够证明给定的不可可定向曲面到$\mathbb{R}^n$的共形极小浸入空间是一个实解析Banach流形，得到了不可可定向曲面的共形极小浸入的Runge-Mergelyan型逼近结果，并给出了不可定向共形极小曲面在$\mathbb{R}^n$中的一般位置定理.我们还给出了第一个已知的例子，一个适当嵌入的非定向极小曲面在$\mathbb{R}^4$ ;莫比乌斯带。我们上面提到的所有新工具都适用于不可定向的极小曲面，它们具有固定的共形结构选择。这使我们能够获得显着的新的应用程序的整体理论的不可定向的极小曲面。特别地，我们构造了具有任意给定共形结构的$\mathbb{R}^n$中的真不可定向共形极小曲面，具有任意共形类型的$\mathbb{R}^n$中的完全不可定向极小曲面，其广义Gauss映射是非退化的，并省略了$\mathbb{CP}^{n-1}$在一般位置的$n$超平面，由Jordan曲线包围的完全不可定向极小曲面，在$\mathbb{R}^n$的$p$ -凸域上，用有边曲面规范化的完备真不可定向极小曲面.
2017-05-21 math.CV math.DG
Null curves and directed immersions of open Riemann surfaces
本文研究开黎曼曲面到C^n中的全纯浸入，其导数位于C^n的一个离原点光滑的圆锥代数子簇A中。这类A-浸入的经典例子包括C^3中与R^3中的极小曲面密切相关的零曲线，以及SL_2（C）中与Bryant曲面相关的零曲线。本文建立了加边黎曼曲面的A-浸入集的基本结构定理，并证明了几个逼近和去奇异化定理。假设A是不可约的，并且不包含在任何超平面中，我们证明了每个A-浸入都可以用A-嵌入来近似;这特别适用于C^3中的零曲线。如果A-{0}是Oka流形，则证明A-浸入满足Oka原理，包括Runge和Mergelyan逼近定理。另一个版本的Oka原则成立时，A承认一个光滑的Oka超平面部分。这让我们可以特别证明，每个开黎曼曲面都是双全纯的，它是C^3中一条适当嵌入的零曲线。
2013-06-24 math.AG math.CV math.DG
Transmission of harmonic functions through quasicircles on compact Riemann surfaces
设$R$是紧致曲面，$Γ$是将$R$分解为两个连通分支$Σ_1$和$Σ_2$的Jordan曲线.有界Dirichlet范数的$Σ_1$上的调和函数$h_1$在$Γ$上的某个保形不变的非切向意义下具有边界值$H$.证明了若$Γ$是拟圆，则在$Σ_2$上存在唯一的有界Dirichlet范数的调和函数$h_2$，其边界值与$h_1$的边界值一致.此外，从$Σ_1$的Dirichlet空间到$Σ_2$的映射关于Dirichlet半范数是有界的。
2020-01-25 math.CV math.DG
Complete minimal surfaces densely lying in arbitrary domains of $\mathbb{R}^n$
本文证明了：给定开黎曼曲面$M$和整数$n\ge 3$，具有$\overline{X(M)}=\mathbb{R}^n$的完全共形极小浸入$M\to\mathbb{R}^n$的集合在赋紧开拓扑的所有共形极小浸入$M\to\mathbb{R}^n$的空间中形成稠密子集.此外，我们表明，$\mathbb{R}^n$中的每个域包含完整的极小曲面，这些曲面是稠密的，并且具有任意可定向拓扑（可能是无限的）;我们还提供了这样的曲面，其复杂结构是任何给定的有边黎曼曲面。我们的证明方法可以适用于给出类似的结果，在$\mathbb{R}^n$ $(n\ge 3)$的非定向极小曲面，在$\mathbb{C}^n$ $(n\ge 2)$的复杂曲线，全纯零曲线在$\mathbb{C}^n$ $(n\ge 3)$，和全纯Legendrian曲线在$\mathbb{C}^{2n+1}$ $(n\in\mathbb{N})$。
2016-11-15 math.CV math.DG
Piecewise geodesic Jordan curves II: Loewner energy, projective structures, and accessory parameters
本文研究黎曼球面上过给定点的若尔当曲线，证明每个相对同痕类中存在唯一Loewner能量最小的分段双曲测地曲线，其配连参数为最小能量的Wirtinger导数，且所得射影结构通过π-嫁接与Fuchsian射影结构相关。
2025-10-03 math.CV math.DG
The Calabi-Yau problem for minimal surfaces with Cantor ends
本文证明任意连通紧致或带边黎曼面都含有一个康托集，其补集可完备共形极小浸入到有界区域中的 $\mathbb R^3$，并将类似结论推广到多种全纯、勒让德及超极小浸入情形。
2022-07-14 math.CV math.DG
$\mathrm{CMC\text{-}1}$ surfaces in hyperbolic and de Sitter spaces with Cantor ends
该研究证明紧黎曼曲面挖去康托集后可到三维双曲空间作真共形$\text{CMC-}1$浸入，带边及此类挖去康托集的紧黎曼曲面可到三维德西特空间作几乎真$\text{CMC-}1$面，结果基于新建立的全纯零曲线一致逼近定理。
2024-05-21 math.CV math.DG
Minimal surfaces in minimally convex domains
本文证明了紧致有边Riemann曲面$M$到极小凸域$D\subset \mathbb{R}^3$的每一个共形极小浸入都可以在$\mathring M=M\setminus bM$中的紧致上用真的完全共形极小浸入$\mathring M\to D$一致地逼近.我们还得到了包含在$\mathbb{R}^3$中极小凸域中的有限全曲率的完全浸入极小曲面的刚性定理，并对任意的$n\ge 3$，用其边界在测度论意义下收敛于$K$的共形极小圆盘序列刻画了$\mathbb{R}^n$中紧集$K$的极小曲面壳.
2018-06-09 math.CV math.DG
Unstable minimal surfaces of annulus type in manifolds
不稳定的极小曲面是Dirichlet积分的不稳定的驻点。为了得到不稳定解，一般采用梯度流方法和极大极小原理。在\cite{s3}中给出了该方法在欧氏空间中极小曲面的应用。我们将这一理论推广到黎曼流形中获得不稳定的极小曲面。特别地，我们处理了环面型的极小曲面，即在黎曼流形中定义了两条$C^3$类的Jordan曲线，并证明了以这两条曲线为界的环面型的不稳定极小曲面的存在性.
2008-05-30 math.AP math.DG
Two optimization problems for the Loewner energy
本文研究Loewner能量的两个优化问题：在黎曼球面上固定点约束下优化Jordan曲线，以及在圆周上固定点焊接约束下优化焊接同胚，并揭示两者在双曲空间与AdS空间边界上的对称性。
2025-01-23 math.CV math.DG math.GT
Scattering theory on Riemann surfaces I: Schiffer operators, cohomology, and index theorems
本文研究带 Jordan 曲线分割的紧 Riemann 曲面上的 Schiffer 与 Cauchy 积分算子，建立演算、伴随恒等式、跳跃公式及同构结果，并刻画核像、证明指标定理以连接共形与拓扑不变量。
2025-06-09 math.AG math.CV math.DG
The Calabi-Yau problem, null curves, and Bryant surfaces
本文证明了复欧氏$3$ -空间$\mathbb{C}^3$的每一个加边Riemann曲面M都有一个球的完全真零全纯嵌入。这种嵌入的实部是一个完全的共形极小浸入$M\to \mathbb{R}^3$与有界图像。对于任何这样的$M$，我们也构造适当的零全纯嵌入$M\to \mathbb{C}^3$与有界的坐标函数，这些产生适当嵌入的零曲线$M\to SL_2(\mathbb{C})$和适当浸入布莱恩特曲面$M\to \mathbb{H}^3$在双曲$3$ -空间。特别是，我们给出了第一个例子，适当的布赖恩特曲面有限拓扑和双曲共形型。主要的新颖性相比，现有的文献中的结果是，我们的工作与固定的共形结构$M$。这是通过引入一种基于复分析技术的概念性新方法来实现的。我们的主要工具之一是一个近似解的黎曼希尔伯特边值问题的零曲线$\mathbb{C}^3$。
2014-04-10 math.CV math.DG
Carleman approximation by conformal minimal immersions and directed holomorphic curves
设$\mathcal{R}$为开黎曼曲面。本文证明了定义在发散若尔当弧$M \subset \mathcal{R}$上的每个连续函数$M \to \mathbb{R}^n$，$n\ge 3$都可以用共形极小浸入在Carleman意义下逼近，从而给出了Carleman定理的一个新的推广.事实上，我们证明了这一结果仍然适用于零曲线和许多其他类别的定向全纯浸入的指示品种满足一定的灵活性。此外，在对簇和连续映射的自然假设下，构造的浸入可以被选择为完全的或适当的。作为结果，我们给出了欧几里得空间中发散Jordan曲线的Plateau问题的一个近似解。
2019-12-12 math.CV math.DG
Area minimizing surfaces of bounded genus in metric spaces
Plateau-Douglas问题要求在欧几里得空间中找到一个覆盖给定有限Jordan曲线集的亏格为固定或有界的面积极小曲面。本文在允许曲线的局部二次等周不等式的适当度量空间的背景下解决了这个问题。此外，我们获得连续的边界和内部的Hölder正则性的解决方案。我们的结果将Jost和Tomi-Tromba的相应结果从黎曼流形的情形推广到具有局部二次等周不等式的真度量空间的情形.在适当的度量空间中，由Lytchak和第二作者最近解决的一个圆盘型曲面跨越一条Jordan曲线的特殊情况对应于Plateau的经典问题。
2019-04-04 math.AP math.DG math.MG
Stability and uniqueness of minimal disks in non-constant curvature
Universidad de la República（乌拉圭共和国大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；Laboratoire de mathématiques d’Orsay（奥赛数学实验室）；University of Chicago（芝加哥大学）；PUC-Rio（天主教里约热内卢大学）
本文在具有平均凸边界的黎曼3-球体中，在负截面曲率收缩条件和Ricci张量协变导数有界下，证明了总曲率至多4π的Jordan曲线界定唯一且严格稳定的嵌入极小圆盘。
2026-09-25 math.AP math.DG
A unified approach to conformal and modular invariants
University of Manitoba（曼尼托巴大学）；Uppsala University（乌普萨拉大学）
本文提出一种统一方法，通过边界参数化 bordered Riemann 面或紧致面的共形映射，构造共形不变量，并展示其作为 generalized 模不变量和 Segal-Vafa 级数空间上的函数，同时探讨其在共形不变量中的应用。
2026-05-12 math-ph math.CV math.DG
The Plateau-Douglas problem for singular configurations and in general metric spaces
假设给定$\mathbb{R}^n$中不相交的可求长Jordan曲线的有限配置$Γ$。Plateau-Douglas问题是问在所有至多$p$的紧曲面中是否存在一个面积极小元，该极小元的亏格为$Γ$。虽然这个问题的解决方案是众所周知的，经典的方法打破了，如果一个允许奇异配置$Γ$，其中曲线是潜在的不相交或自相交。我们的主要结果解决了高原道格拉斯问题，这种潜在的奇异配置。此外，我们的证明不仅适用于$\mathbb{R}^n$，而且适用于一般的真度量空间。因此，我们也能够推广以前已知的存在性结果Jürgen Jost以及第二作者与Stefan Wenger一起对正则配置。特别地，在一般完备黎曼流形中Jordan曲线的不相交构型的存在性是新的。即使在最规则的设置中，也不需要总是存在限定给定配置$Γ$的固定亏格$p$的极小曲面。关于这个问题，我们也推广了奇异配置的方法，通过满足凝聚和粘附条件的最小序列的度量空间的设置。
2020-08-20 math.AP math.DG math.MG
