Let $R$ be a compact surface and let $Γ$ be a Jordan curve which separates $R$ into two connected components $Σ_1$ and $Σ_2$. A harmonic function $h_1$ on $Σ_1$ of bounded Dirichlet norm has boundary values $H$ in a certain conformally invariant non-tangential sense on $Γ$. We show that if $Γ$ is a quasicircle, then there is a unique harmonic function $h_2$ of bounded Dirichlet norm on $Σ_2$ whose boundary values agree with those of $h_1$. Furthermore, the resulting map from the Dirichlet space of $Σ_1$ into $Σ_2$ is bounded with respect to the Dirichlet semi-norm.
Plemelj-Sokhotski isomorphism for quasicircles in Riemann surfaces and the Schiffer operator
设$R$是紧致Riemann曲面，$Γ$是将$R$分成连通分支$Σ_1$和$Σ_2$的Jordan曲线.我们考虑Calderón-Zygmund型算子$T(Σ_1,Σ_k)$将$Σ_1$上的$L^2$反全纯一型空间取为$Σ_k$上的$L^2$全纯一型空间，我们称之为Schiffer算子。推广了Menahem M. Schiffer等人的方法，将其局限于解析Jordan曲线$Γ$，以特征化的方式推广到一般拟圆，并证明了Schiffer算子伴随的新恒等式.进一步证明了如果$V$是关于$Σ_1$上的内积与$R$上的$L^2$形式正交的反全纯一形式空间，则Schiffer算子$T(Σ_1,Σ_2)$是$Σ_2$上的正合一形式集的同构.利用Schiffer算子和涉及格林函数的Cauchy型积分之间的关系，我们还导出了拟圆和初始数据的跳跃分解（在任意Riemann曲面上），这些拟圆和初始数据是Dirichlet有界调和函数的边界值，并满足经典代数约束。特别是，我们证明了跳跃算子是由这些约束所确定的子空间上的同构。
Dynamics of postcritically bounded polynomial semigroups III: classification of semi-hyperbolic semigroups and random Julia sets which are Jordan curves but not quasicircles
设$f$是从黎曼曲面到黎曼$n$ -流形的调和映射.证明了若曲面的开子集之间存在全纯同构$h$，使得$f\circ h = f$，则$f$通过一个全纯映上另一个Riemann曲面上.如果这样的$h$是反全纯的，我们得到一个类似的陈述。对于极小映射，这一结果是众所周知的，并且是由于Gulliver-Osserman-Royden的表面分支浸入理论的结果。我们的证明依赖于各种几何性质的霍普夫微分。
