A twisted first homology group of the handlebody mapping class group
Tomohiko Ishida, Masatoshi Sato
设$H_{g}$是属$g$的三维实体。利用$g\geq 2$的边界曲面$\partial H_{g}$的首次积分同调群中的系数，确定了$H_{g}$的映射类群的扭曲第一同调群.
Let $H_{g}$ be a 3-dimensional handlebody of genus $g$. We determine the twisted first homology group of the mapping class group of $H_{g}$ with coefficients in the first integral homology group of the boundary surface $\partial H_{g}$ for $g\geq 2$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Twisted homological stability for handlebody mapping class groups
该研究证明了手柄映射类群的扭转同调稳定性，并通过引入系数双系统，扩展了手柄稳定性结果，应用于三维手柄模空间的同调稳定性。
Twisted Virtual Bikeigebras and Twisted Virtual Handlebody-Knots
我们将无定向的二体链环推广到扭曲的虚情形，得到了二体链环在$Σ\times [0,1]$形式的周围空间中的Reidemeister移动，其中$Σ$是紧致闭2-流形，直到稳定等价.我们介绍了一个相关的代数结构被称为扭曲的虚拟bikeigebras的公理是出于扭曲的虚拟bikeibody-link Reidemeister移动。我们使用扭曲的虚拟bikeigebras定义扭曲的虚拟bike-body链路的$X$ -着色性，并定义扭曲的虚拟bike-body链路的整数值不变量$Φ_{X}^{\mathbb{Z}}$。我们提供了新的不变量的示例计算，并使用它们来区分一些扭曲的虚拟双链体链接。
Finiteness properties of asymptotically rigid handlebody groups
本文引入渐近刚性柄体映射类群，研究其有限性性质如何依赖于柄体的端空间，并证明在某些情形下其同调与柄体群的稳定同调一致。
Bordered Floer homology, handlebody detection, and compressing diffeomorphisms
本研究证明带边Floer同调可在整数同调L-空间连通和的等价下检测柄体及映射类在给定柄体/压缩体的延拓性，还结合Casson-Long思路与轨线理论给出检测映射类是否可延拓到任意压缩体的算法。
On calculations of the twisted Alexander ideals for spatial graphs, handlebody-knots and surface-links
关于纽结和链环的扭曲Alexander不变量的研究很多，但空间图、体结和面链环的扭曲Alexander不变量的计算还没有得到很好的证明。本文给出了空间图的扭曲Alexander理想、体-结和面-链的扭曲Alexander理想的计算方法，并观察了它们的性质。对于空间图，我们计算了铃木的θ-曲线的不变量，并表明，不变量是非平凡的铃木的θ-曲线的亚历山大理想是平凡的。对于单体-纽结，我们给出了Abelianization的一个注记，并计算了单体-纽结到六个交叉点的不变量。对于面链接，我们修正了Yoshikawa的表，并计算了表中面链接的不变量。
The handlebody group is a virtual duality group
本文证明了柄体的映射类群是虚拟对偶群，通过描述非简单盘系统的复形的同调来给出有限指数子群的对偶模描述。
Biquandle (co)homology and handlebody-links
本文引入了多重共轭四元数的（余）同调群。它是棱柱形链复形的（co）同调群，与J. S.卡特，模某个子链复形。我们利用$2$ -上循环构造了面向$S^1$的双链体-链的不变量。当使用$n$ -并行操作从双量子$X$获得多共轭双量子$X\times\mathbb{Z}_{\operatorname{type}X_Y}$时，我们从配备有$X$ -集合$Y$的双量子$X$的$2$ -上环（或$3$-上环）提供多共轭双量子$X\times\mathbb{Z}_{\operatorname{type}X_Y}$的$2$ -上环（或$3$-上环）.
Johnson homomorphisms and the second rational cohomology of handlebody Torelli groups
该研究引入柄体群的两类Torelli子群，借助辛表示与Johnson同态定义其阿贝尔商，并通过特殊线性群表示理论刻画对应第一有理上同调类的上积，推进柄体Torelli群上同调研究。
Lagrangian traces for the Johnson filtration of the handlebody group
本文在自由李代数的导子空间的子空间上定义了迹类算子，该自由李代数由曲面$Σ$的第一同调群$H$生成。这个定义取决于$H$的拉格朗日量的选择，我们称这些算子为\emph{Lagrangian traces}。我们假设$Σ$是一个具有第一同调群$H'$的双曲体的边界，并且我们证明了拉格朗日量$\operatorname{Ker} (H \rightarrow H')$对应的拉格朗日迹在图像上通过Johnson滤子的元素的Johnson同态而消失。
Small symplectic caps and embeddings of homology balls in the complex projective plane
本文提出小辛盖的柄体构造，据此得到有理同调球在$\mathbb{C}\mathrm{P}^2$中辛嵌入的柄体描述，首次给出闭辛4-流形的无穷多辛柄体分解实例，并为$\mathbb{C}\mathrm{P}^2$的几乎环面纤维化提供新拓扑解释。
Problems on handlebody groups
本文探讨了手柄群的构造、开放问题及同调增长，结合几何群论与自由群外自同构群的关系，提出新的研究方向。
Rational homology balls in $2$-handlebodies
我们证明了存在有理同调球$B_p$光滑地嵌入到与某些结相关联的$2$ -同调体中。进一步证明了，如果我们沿着嵌入的有理同调球$B_p$对$2$ -流形体进行有理爆破，那么在一定的温和条件下，不能仅仅通过对$2$ -流形体进行一系列的普通爆破来得到所得到的$4$ -流形.
A Parametrization of Integral Homology 3-Spheres by the Fourth Johnson subgroup
本文通过第四Johnson子群参数化整系数3球面，并引入抗称Lagrangian trace map，计算第三Johnson handlebody子群的像。
A classification of pairs of disjoint nonparallel primitives in the boundary of a genus two handlebody
对不相交不平行的本原简单闭曲线对在亏格两曲面边界上的嵌入进行了分类。简而言之，两个不相交的基元位于乘积$F \boldsymbol{\times} I$的相对端，或者它们位于一种“扭曲”乘积$F \widetilde{\boldsymbol{\times}} I$的相对端，其中$F$是一次穿孔的环面。如果其中一条曲线是基元的真幂，情况就简单多了。曲线要么位于分离盘的对边，要么在分离盘中限定一个不分离的基本环。
Homology for Quandles with Partial Group Operations
Quandle是一个集合，它有一个满足三个条件的二元运算，对应于Reidemeister移动。quandles的同调论以类似于群同调的方式发展，并已应用于纽结和纽结曲面。本文定义了一个同调论，它统一了群同调理论和量子同调论。一个quandle是一个群的并集，它的运算限制在每个群分量上的共轭上，称为多重共轭quandle（MCQ，严格定义在）。在这个定义中，群和quandle操作之间的兼容性被强加，这是出于对实体链接着色的考虑。一个同调论在这里定义的MCQ考虑群和quandle操作，以及它们的兼容性。第一个同调群的特点，并提供的概念扩展的$2$ -上循环。退化的子复形的定义与棱柱复形（单形的乘积）和群逆的单纯分解有关。余循环不变量也被定义为单体链接。
Taut sutured handlebodies as twisted homology products
Friedl和Kim证明了任何拉紧缝合流形都可以实现为扭曲的同调积，但他们的证明没有实际描述实现表示需要多么复杂。我们给出了一些结果，说明了一个绷紧的缝合的bodybody的拓扑结构和复杂性的表示实现它作为一个同源产品之间的关系。
A twisted first homology group of the Goeritz group of 3-sphere
给定一个3-球面的亏格-g-Heegaard分裂，亏格-g-Goeritz群被定义为3-球面的保向同胚的保向同胚的合痕类的群.本文确定了3-球面亏格-2 Goeritz群的扭第一（余）同调群。
A Remark on Roberts' Totally Twisted Khovanov Homology
给出了Roberts全扭曲Khovanov同调的另一种构造，并证明了它与δ-阶化约化特征2 Khovanov同调一致.
Equivariant chain complexes, twisted homology and relative minimality of arrangements
证明了超平面排列A的补M（A）上的极小CW-结构X的等变链复形与X无关。当A是非球面排列的充分一般的线性截面时，我们给出了计算M（A）的扭曲同调的一种新方法。
Taut sutured manifolds and twisted homology
利用缝合流形的扭同调，给出了缝合流形是张紧流形的一个充要条件。
HOMFLYPT homology for links in handlebodies via type A Soergel bimodules
本文利用经典辫群子群与奇异Soergel双模的范畴作用，将3-球中着色HOMFLYPT同调推广为亏格g带柄体中链环的三重分次不变量。
Cork twisting exotic Stein 4-manifolds
从任意无3-和4-柄且b_2>0的四维定向Stein体X，构造任意多个彼此同胚但不同胚的紧Stein 4-流形，使它们的拓扑不变量（基本群、同调群、边界同调群和交形式）与X的拓扑不变量一致.我们还讨论了它们边界上的感应切触结构。进一步，对任意光滑的4-流形对（Z，Y），若补Z-intY是无3-和4-柄且b_2>0的非线性体，我们构造了紧致4-流形Y'到Z的任意多个奇异嵌入，使Y'具有与Y相同的拓扑不变量.
On Realisability of Twisted Homology
探讨流形\(X\)扭曲整数系数同调或上同调类由子流形实现的问题，引入扭曲配边类和空间，通过构造参数化波斯特尼科夫塔推导障碍，给出非可定向流形中不可实现整数同调类的例子。
A sign assignment in totally twisted Khovanov homology
我们提升的特征-2全扭曲Khovanov同调的Roberts和Jaeger的理论与整数系数。其结果是一个复杂的计算约化奇Khovanov同调的纽结。这个复形等价于生成树复形，其微分是显式模的符号模糊性来自于需要在奇Khovanov同调的定义中选择符号分配。
The twisted Floer homology of torus bundles
给定圆上的环面丛$Y$和在纤维上进行非平凡求值的上同调类$[ω]\in H^2(Y;\mathbb{Z})$，我们计算了泛诺维科夫环中具有扭曲系数的$Y$的Heegaard弗洛尔同调。
Untwisting Heegaard diagrams in 3-space
证明了若$V^3$是$\R^3$中的一个可定向体，其曲线$J_1, ..., J_g \subset \partial V$是同调球面的Heegaard分裂的附着曲线，则存在一个同胚$h\colon V \to V$，使得每一条曲线$h(J_i)$在$\R^3 - int(V)$中限定一个可定向曲面.这导致了同调球的一个新的特征，也与哈肯（1969年）关于庞加莱同调球的一个评论相矛盾。
Non-separating spheres and twisted Heegaard Floer homology
如果一个3-流形$Y$包含一个非分离球面，则$Y$的某个扭曲Heegaard弗洛尔同调为零.这个简单的事实使我们能够证明几个结果Dehn手术结在这样的流形。对于$L$ -空间中的纽结也证明了类似的结果。
Twisted skein homology
我们将完全扭曲Khovanov同调技巧应用于M. Asaeda，J. Przytycki和A.（可定向）曲面上I-丛中链和缠结的Khovanov型同调。因此，我们描述了一个不变的链复形建立的决议，只有不可收缩的圆圈。我们使用这些来理解具有交替投影到表面的链接的δ-分级同调。
Some non-trivial examples of the Baldwin-Ozsváth-Szabó twisted spectral sequence and Heegaard-Floer homology of branched double covers
给出了环链的Baldwin-Ozsváth-Szabó上同调的一些非平凡计算，并应用于分支双覆盖的Heegaard-弗洛尔同调.
The first homology group of the mapping class group of a nonorientable surface with twisted coefficients
确定了系数在H_1（N;Z）中的不可定向曲面N的映射类群M（N）的第一同调群.
Novikov homology, twisted Alexander polynomials and Thurston cones
我们继续研究扭曲的诺维科夫同调，介绍了在我们的联合文件与H.戈达（arXiv：数学。DG/0312374），及其推广。发达的代数技术的主要应用是3流形的拓扑结构。特别地，我们证明了欧拉示性数为零的三维流形M的扭Novikov同调为零的充要条件是M的基本群的扭Alexander多项式为幺半群.讨论了三维流形的1-上同调的Thurston范数与该流形的扭曲Novikov同调之间的关系。
Totally Twisted Khovanov Homology
我们定义了Khovanov同调的一个明确的描述方面的一个链接投影的生成树的变化。我们证明了这个新的理论是一个链接不变量，并描述了它的一些性质。最后，我们给出了一些计算机计算的结果。
Homotopy groups and twisted homology of arrangements
最近的工作M。吉永表明，在某些情况下，某些较高的同伦群的安排映上非共振同源。这与通常的无扭同调的Hurewicz映射相反，无扭同调总是大于1度的零同态。在这项工作中，我们研究这种二分法，推广这两个结果。
Fibered Cohomology Classes in Dimension Three, Twisted Alexander Polynomials and Novikov Homology
证明了对于“大多数”闭三维流形$M$，在给定的上同调类$u\in H^1 (M,\bf R)$中存在闭的非奇异1-形式等价于与有限指标正规子群$H < π_1(M)$相关的扭Alexander多项式$Δ^H(M,u) \in {\bf Z}[G/\ker u]$都有酉$u$ -极小项.
The first homology group with twisted coefficients for the mapping class group of a non-orientable surface of genus three with two boundary components
对于亏格为3的具有两个边界分支的可定向曲面$N$的映射类群，确定了$H_1(N;\mathbb{Z})$中系数为的第一同调群.
On the knot Floer homology of twisted torus knots
本文研究了扭曲$(p, q)$环面纽结的一个子类的纽结弗洛尔同调，其中$q \equiv\pm1$（mod $p$）.具体来说，我们分类结在这个亚科承认L空间手术。为了进行计算，我们使用这些结是$(1, 1)$结的事实，因此，承认Heegaard图是亏格1。
The first homology group with twisted coefficients for the mapping class group of a non-orientable surface with boundary
本文计算了带穿孔和/或边界的不可定向曲面各类映射类群在H_1(N;Z)系数下的第一同调群。
Two applications of twisted Floer homology
给定一个不可约的闭3-流形$Y$，证明了它的扭曲Heegaard弗洛尔同调决定了$Y$是否是圆上的环面丛.我们将证明的另一个结果是，如果$K$是$L$ -空间中的亏格1空同源结，并且对$K$的0-外科手术是纤维化的，则$K$本身是纤维化的。这两个结果是由于第二作者的早期结果的缺失情况。
Twisted homology cobordism invariants of knots in aspherical manifolds
利用PTFA基本群固定了三维流形上的一个零同伦的同伦本质纽结$J$，并研究了与$J$同伦的纽结的协调性.我们构造了一个无限族的结，是$J$的特点，然后使用$L^2$ -方法，以显示它们是不一致的$J$。
On the twisted Floer homology of mapping tori of periodic diffeomorphisms
设K \subset Y是三元流形中的一个纽结，它允许一个去框架的外科手术，使得该外科手术流形的第一贝蒂数大于Y的第一Betti数.我们找到了一个公式，它计算的扭曲弗洛尔同调的surgered流形，在扭曲纽结弗洛尔同调。利用这一点，我们计算了映射类为周期的闭黎曼曲面的一个自同态的映射环面的扭曲Heegaard弗洛尔同调\underline{HF}^+，给出了这些群的结构的几乎完整的描述。当映射类是非平凡的时，我们特别发现，在“次高”的Spin^c结构中，这同构于一个自由模（在某个环上），其秩等于非同构的莱夫谢茨数。在与Z/2 Z进行张量积之后，这与高茨基计算的复同态的辛弗洛尔同调完全一致。
Certifying the Thurston norm via SL(2, C)-twisted homology
我们研究了当瑟斯顿范数被扭曲的亚历山大多项式检测到与SL（2，C）的3-流形群的表示。具体而言，我们表明，双曲扭多项式确定的3-球面，其中包括所有特殊的树节和许多结的普通亚历山大多项式是平凡的一个大类的双曲节的属。这一定理的结果表明，某些缝合流形的紧性可以通过检查它们是从SL（2，C）-表示扭曲系数的同调观点的产物来证明。
Twisted Alexander Polynomials, Ribbon Homology Cobordisms, and the Thurston Norm
本文利用扭转亚历山大多项式证明，若存在从Y_-到Y_+的绳索同调柄结构且Y_-不可约，则Y_-的图松规范单位球包含Y_+的。同时证明Y_+的纤维类对应于Y_-的。
Twisted Morse complexes
本文研究闭有限维光滑流形上的扭曲Morse同调与上同调，证明相关定理与多类同调/上同调的同构关系，并通过多个计算实例验证了扭曲Morse复形的有效性。
Connected sums of almost complex manifolds, products of rational homology spheres, and the twisted spin^c Dirac operator
我们给出了“两个闭的殆复流形的连通和在什么维数上必然是殆复流形”的一个答案. ".在这样做的过程中，我们自然会问：“对于l的哪些值，l闭殆复流形的连通和必然是殆复流形？".我们回答这个问题，以及它的非紧模拟，使用障碍理论和杨的结果存在的殆复结构（n-1）-连接2n-流形。最后，利用扭曲自旋^c Dirac算子的指数，将Datta和Subramanian关于两个偶球面乘积上不存在殆复结构的结果部分推广到有理同调球面上.
Twisting bordered Khovanov homology
我们描述了一个加边版本的完全扭曲Khovanov同源。我们首先通过添加一个“垂直”型$D$结构来扭曲Roberts的$D$型结构，该结构推广了扭曲缠结同调中的垂直映射。我们的$D$类型结构的一个显著优点是，它是同伦等价于“生成树”生成器上支持的$D$类型结构。我们还描述了如何扭曲罗伯茨的$A$型结构的左缠结，这样的方式，配对我们的$A$型和$D$型结构将导致完全扭曲的Khovanov同源。
Knot primality: knot Floer homology, metacyclic representations and twisted homology
本文开发纯代数方法结合 Heegaard Floer 多项式与经典纽结理论，证明含 15 交叉及以下的素纽结中超 99.67% 为素纽结，单次计算可证无限族纽结素性，还可应用于一般三维流形。
Twisted homology jump loci, twisted Alexander polynomials, and $Σ$-invariants
本文引入扭结同调跳跃点集作为新的不变量族，通过热带几何得到BNSR $\Sigma$-不变量的更优上界，并证明在紧致可定向3-流形和紧致Kähler流形上该上界是紧的，且给出比经典未扭结情形更强的几何可实现性障碍。
Monopoles, twisted integral homology, and Hirsch algebras
本文提出了三维流形单极 Floer 同调 bar 版本的整数显式计算方法，通过引入扩展杯同调这一新不变量，并利用 Hirsch 代数结构发展了扭曲序列乘积与有理示性类理论，从而改进了先前在特征零和特征二域上的计算。
Twisted Novikov homology and circle-valued Morse theory for knots and links
三维球面中光滑链环L的Morse-Novikov数MN（L）定义为链环补上正则圆值Morse函数的临界点的最小可能数目（术语正则意味着Morse函数在L的管状邻域中必须具有良好的行为）。Novikov同调给出了MN（L）的下界.本文引入了扭曲Novikov同调的概念，它使得MN（L）比通常的Novikov同调有更好的下界.我们的扭Novikov同调是Novikov环Z（（t））上的模，但它包含了来自链补的基本群的群环的非交换同调代数的信息.利用这一技巧，我们证明了纽结nC（Conway纽结的n个拷贝的连通和）的Morse-Novikov数对每一个正整数n都不小于2n/5.我们还证明了MN（nC）不大于2n。同样的估计也适用于木下寺坂结的n个副本的连通和的Morse-Novikov数。
Twisted quandle homology theory and cocycle knot invariants
通过在边界算子中引入无限循环群的作用，将quandle同调论推广到系数群具有Alexander quandle结构的情形.亚历山大扩展的quandles在低维上循环的理论是平行开发的群扩展理论群上循环。给出了扩张所对应的上圈的显式公式，并利用它证明了某些Quandle的上同调群的非平凡性。在状态和的定义中，利用区域的Alexander编号，给出了Quandle上循环纽结不变量的相应推广。不变量用于推导扭曲上同调群的信息。
A generalization of Montgomery-Yang correspondence
在本文中，我们想构造一个从自旋$d$ -扭曲同调$\mc P^3$的同胚类集合到从$S^3$到$S^6$的嵌入的合痕类集合的一一对应，它是Montgomery-Yang对应的推广.进一步，我们将应用这个广义对应证明这些$d$ -扭曲同调$\mc P^3$上自由对合的存在性.
Khovanov-Rozansky homologies, Bott-Samelson spaces and twisted cohomology
本文比较了 Rasmussen 的 Khovanov-Rozansky 同调表述与 Kitchloo 基于 Bott-Samelson 簇和 Borel 等变上同调扭曲的链环不变量，证明这些几何构造可产生具有特殊化势或万有势的等变整系数 sl(n) 链环同调。
The homomorphism defect of an extended Levine-Tristram signature via twisted homology
取辫子闭包的Levine-Tristram签名定义了从辫群到整数的映射。Gambaudo和Ghys的公式提供了一个评估的同态缺陷的Burau表示和迈耶上循环。在2017年，Cimasoni和Conway将这个公式推广到有色缠结闭合的多变量签名。在本文中，我们进一步推广他们的结果，使用不同的4维解释的签名。我们得到的Maslov指数和各向同性函子$\mathscr{F}_ω$的可加性缺陷的评价。我们还表明，在彩色辫子的情况下，这个缺陷可以重写的迈耶上循环和彩色Gassner表示，使其成为一个直接推广的公式Gambaudo和Ghys。
Heegaard Floer homology of Matsumoto's manifolds
考虑由两个连接数为1的纽结$K_1,K_2$和框架$(0,n)$表示的同调球$M_n(K_1,K_2)$.我们称这个流形为{ \it Matsumoto's manifold}。证明了当$n<2τ(K_2)$成立时，不存在$M_n(T_{2,3},K_2)$的可收缩界.给出了约化滤子的欧拉数之和作为Ozsvath-Szabó $τ$ -不变量的公式。我们计算了环面纽结的扭曲的Whitehead双的$δ$ -不变量和Whitehead双的分支覆盖的校正项。利用Owens和Strle的阻塞证明了$(2,7)$ -torus纽结的$12$ -扭曲的Whitehead二重化和$(3,7)$ -torus纽结的$20$ -扭曲的Whitehead二重化不是切片，而是有界有理同调4-球的双分支覆盖.这是第一个在双分枝复盖的光滑性和有理4球有界性之间存在间隙的例子。
Positive Ricci Curvature on Twisted Suspensions
本文证明正 Ricci 曲率度量可沿扭曲悬架提升，并据此确定 n≥4 维闭单连通正 Ricci 曲率流形的最大对称秩为 n−2，同时构造多类新例。
The Khovanov width of twisted links and closed 3-braids
Khovanov同调是一个二阶Z-模，它是Jones多项式的范畴。Khovanov同调的支集依赖于有限个关于双分次的斜率为2的直线。科瓦诺夫宽度本质上是两条这样的线之间的最大水平距离。我们表明，它是可能的，以产生无限家庭的链接具有相同的Khovanov宽度从链接图满足一定的条件。因此，我们计算所有封闭的3-辫子的Khovanov宽度。
On large orientation-reversing finite group-actions on 3-manifolds and equivariant Heegaard decompositions
我们考虑闭的、可定向的和不可定向的3-流形上的有限群-作用;这样的有限群-作用使得M的某亏格g的Heegaard分裂的两个对称体保持不变。亏格g > 1的可定向或不可定向的群体的有限群-作用的最大可能阶为24（g-1），本文刻画了3-流形M和群G的最大可能阶为|G| = 24（g-1）的情形，并给出了亏格g > 1的G-不变Heegaard分裂的结果.如果M是可约的，则它是通过在亏格g的一个可约体上加倍一个最大可能阶为24（g-1）的作用而得到的。如果M是不可约的，那么它是一个球面流形、欧几里得流形或双曲流形，它是由与一个考克斯特四面体相关联的考克斯特群或这种考克斯特群的扭曲形式的有限指数的正规子群与三种几何之一的商得到的。
Novikov homology, jump loci and Massey products
设X是有限CW-复形，记其基本群为G.设R是G的一个n维复表示。X的第一上同调群的任何元素A都具有复系数，引起表示R的指数变形，这可以被认为是表示空间中的曲线。我们表明，上同调的X与当地的系数对应的泛点，这条曲线是可计算的谱序列从上同调的X与R-扭曲系数。我们用Massey乘积计算谱序列的微分。证明了当X是Kaehler流形且表示R是半单时，谱序列退化.如果A是一个实上同调类，则可以将扭诺维科夫同调（诺维科夫环上的模）与三元组（X，R，A）联系起来。我们证明了在上述局部系统中系数X的扭曲Novikov贝蒂数等于X的贝蒂数.我们研究了这些数对A的依赖性，并证明了它们在第一上同调群中有限个整超平面的补空间中是常数。
Knot Floer homology of Whitehead doubles
本文研究了任意纽结K的有扭和无扭Whitehead对偶的纽结弗洛尔同调不变量。利用K的不变量给出了HFK（D（+，K，t））的滤链同伦型的一个公式，其中D（+，K，t）表示K的t-扭正扣Whitehead二重化.特别地，该公式可以迭代地使用，并且可以用于计算通过对Whitehead double进行手术而获得的流形的弗洛尔同调。一个直接的推论是，如果t<2 tau（K），则tau（D（+，K，t））=1，否则为零，其中tau是Ozsv{á}th-Szab{ó}和谐不变量。由此可见，满足τ（K）>0的纽结的迭代无扭Whitehead double不是光滑切片的。
Symplectic Instanton Homology: twisting, connected sums, and Dehn surgery
我们定义了一个扭曲的版本Manolescu和伍德沃德的辛Instanton同源性，证明了这个不变量适合的框架Wehrheim和伍德沃德的Floer域论，并描述其行为的连接和Dehn手术。
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