Resonant Hamiltonian systems associated to the one-dimensional nonlinear Schrödinger equation with harmonic trapping
我们研究了相空间$L^2(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C})$上的两个共振哈密顿系统：五次一维连续共振方程，以及文献中出现的作为雪茄形陷阱NLS方程的修正散射极限的三次共振系统.我们证明了这些系统近似的五次和三次一维NLS与谐波捕获在小数据制度在长时间尺度上的动力学。然后，我们追求的共振系统本身的动力学进行彻底的研究。我们的主要发现是，这些共振方程适合于更大类的哈密顿系统，这些系统具有许多引人注目的动力学特征：非平凡的对称性，如傅里叶变换下的不变性和具有谐波捕获的线性薛定谔方程的流动，鲁棒适定性理论，包括$L^2$和所有更高$L^2$索伯列夫空间中的全局适定性，以及正交的无限族，埃尔米特函数形式的显式驻波解。
2018-04-22 math.AP
On scattering asymptotics for the 2D cubic resonant system
本文证明了二维（离散维）三次共振系统的散射渐近性。在Zhao的\cite{Z1}中，利用该散射结果作为假设，得到了$H^1$空间中立方NLS在$\mathbb{R}^2\times \mathbb{T}^2$上的散射.此外，在Yang-Zhao \cite{YZ}中证明了一维相似性。虽然该方案也是基于Dodson \cite{D}的，但二维情况更为复杂，这给方案的设计带来了新的困难。一个障碍是二维三次共振的“$l^2$ -估计”的失败（我们也在本文中讨论它，这可能有自己的兴趣）。为了解决这个问题，我们建立较弱的估计和利用共振系统的对称性修改的证明\cite{YZ}。最后，我们对“波导上非线性光学系统的长时间动力学”这一研究方向作了一些评述。
2022-07-04 math.AP
Long time NLS approximation for the quasilinear Klein-Gordon equation on large domains under periodic boundary conditions
本文对一维大环面$\T_L:=\mathbb{R}/(2πL \mathbb{Z})$，$L\gg 1$上一类具有二次非线性项的拟线性Hamiltonian Klein Gordon方程，在Sobolev正则性下，给出了NLS逼近的严格证明.我们证明了这种近似在\emph{long-time}尺度上的有效性，这意味着它在三次非线性时间尺度之外也成立。为了达到这个结果，我们需要进行二阶分析，并处理更高阶的共振波相互作用。主要的困难是由准线性性质的问题和存在的小因子所产生的准共振。证明是基于准微分学，能量方法，正规形程序和高，低频率分析。
2023-02-15 math.AP
Growth of Sobolev norms for the analytic NLS on $\mathbb T^2$
本文考虑二维环面上具有任意解析规范不变非线性项的完全共振散焦非线性薛定谔方程。修复$s>1$。我们证明了这个方程的解的存在性，实现任意大的增长$H^s$ Sobolev规范。我们还估计了实现这一增长所需的时间。
2017-06-15 math.AP math.DS
KAM for beating solutions of the quintic NLS
考虑圆$\mathbb{S}^1 = \mathbb{R}/2π$上的五次非线性薛定谔方程.我们证明了拟周期解的存在性，这些解是从[14]中所研究的系统的“共振”解分叉出来的，这些解是在Birkhoff标准形的一步之后截断Hamilton而得到的，表现出某些Fourier模式之间的循环能量交换。这些拟周期解的存在性是一个纯粹的非线性效应。
2016-09-06 math.AP math.DS
Sharp local well-posedness of the two-dimensional periodic nonlinear Schrödinger equation with a quadratic nonlinearity $|u|^2$
研究二维环面$\mathbb{T}^2$上具有二次非线性项$|u|^2$的非线性薛定谔方程（NLS）.虽然相关的$L^3$ -Eschhartz估计是已知的，只有一个衍生物的损失，我们证明了局部适定性的二次NLS在$L^2(\mathbb{T}^2)$，从而解决了一个开放的问题，三十年以来Bourgain（1993）。考虑到负索伯列夫空间中的不适定性，这个结果是尖锐的。我们建立了一个重要的双线性估计分别研究非共振和近共振的情况下。作为推论，我们得到了一个三线性版本的$L^3$ -Eschhartz估计没有任何衍生损失。
2022-08-07 math.AP
Scattering and blow up for nonlinear Schrödinger equation with the averaged nonlinearity
针对具有平均非线性项的三维非线性薛定谔方程，提出新的动能守恒证明，构造聚焦、超五次和次九次情形的基态解，并给出散射与爆破的尖锐阈值。
2024-01-24 math.AP
Long time strong Sobolev instability for quasilinear NLS
University of Vienna（维也纳大学）；Politecnico di Milano（米兰理工大学）；Università della Calabria（卡拉布里亚大学）；Università degli Studi di Napoli Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）
针对环面上拟线性薛定谔方程，利用弱Birkhoff正规形与仿微分工具，证明长时间强Sobolev不稳定性，揭示毛细流体中的共振能量转移机制。
2026-09-30 math.AP
Energy transfer for solutions to the nonlinear Schrödinger equation on irrational tori
本文研究二维无理环面上散焦三次非线性薛定谔方程解的能量转移，结合解析分析与数值实验，并证明聚焦与散焦情形下准共振部分对有限质量初值全局适定。
2024-02-22 math.AP
Strong ill-posedness for fractional Hartree and cubic NLS Equations
该研究针对欧氏空间与环面上的分数阶Hartree和三次NLS方程，通过Fourier分析和新共振集证明了负正则Fourier amalgam空间中普遍存在范数膨胀的强不适定性，且方法可统一处理两类方程并可推广。
2023-08-24 math.AP
Invariant Gibbs measure and global strong solutions for the Hartree NLS equation in dimension three
本文研究了具有实值偶势$V$和类似$|k|^{-β}$衰减的$\mathbb T^3$上的散焦Hartree非线性薛定谔方程.利用arXiv：1910.08492中的随机平均算子方法，证明了存在$\frac{1}{2} \ll β_0 <1 $，使得对于$ β> β_0 $，我们在其统计系综中具有相关Gibbs测度的不变性和整体强解的存在性.用这种方法我们推广了Bourgain的开创性结果[7]，在这种情况下需要$β>2$。
2021-01-26 math.AP
Scattering, random phase and wave turbulence
本文针对实平面上三次二维薛定谔方程，利用色散效应和高斯截断周期函数，在不同时间尺度下研究时间演化算子向动力学算子的两种不同收敛机制，从而揭示共振流形正则性与散射现象的联系。
2023-07-04 math.AP
Exponential mixing for the randomly forced NLS equation
Peking University（北京大学）；Shenzhen University（深圳大学）
本文研究空间局域阻尼和随机噪声作用下受随机外力的非线性薛定谔方程不变测度的指数混合，利用指数渐近紧性与控制性质建立其遍历性，拓展了相关色散方程统计行为的系列研究。
2026-08-04 math.AP math.DS math.OC
Long time dynamics near the symmetry breaking bifurcation for nonlinear Schrödinger/Gross-Pitaevskii Equations
考虑了一类具有聚焦（吸引）非线性势和对称双阱线性势的非线性Schrödinger / Gross-Pitaevskii方程（NLS/GP）. NLS/GP在非线性光学和平均场量子多体现象的建模中起着核心作用。已知存在临界$L^2$范数（光功率/粒子数），在该临界处存在基态的对称性破缺分叉。我们研究了对称性破缺点附近丰富的动力学行为。这种行为的源在全哈密顿偏微分方程是有关的动力学的有限维哈密顿约化。我们推导出这种减少，分析其相空间的一部分，并证明了{ \it阴影定理}的持久性的解决方案，与振荡质量运输井之间，在很长的时间，但有限的，时间尺度内的完整NLS/GP。由于离散和连续/辐射模式的共振耦合，NLS/GP的无限时间动力学预计将脱离有限维降维。
2009-12-10 math-ph math.AP math.MP
Effective dynamics of the nonlinear Schrödinger equation on large domains
本文研究了盒体$[0,L]^d$上具有周期边界条件的非线性薛定谔方程。其目的是通过推导有效的方程来描述长时间的动态时，$L$是大的，数据的特征尺寸$ε$是小的。当研究大域上的色散方程（如海洋中的水波）时，以及在色散波的统计物理理论中，这些问题自然会出现，称为“波湍流”。我们的主要结果是推导出一个新的方程，连续共振（CR）方程，它描述了大$L$和小$ε$在非常大的时间尺度上的有效动力学。这样的时间尺度远远超出了（a）方程的非线性时间尺度，以及（b）由$\mathbb R^d$上的（NLS）给出有效动力学的欧几里得时间尺度。这个证明在很大程度上依赖于解析数论的工具，比如一个相对现代的哈代-利特尔伍德圆方法，它被修改和扩展到适用于PDE设置。
2016-10-12 math.AP
Obstruction to ergodicity in nonlinear Schrödinger equations with resonant potentials
本文识别了一类使立方非线性薛定谔方程不可积但阻碍遍历性出现的等距能谱捕获势，通过解析和数值方法揭示了在弱非线性与强非线性下功率谱呈准离散尖峰的机制，并指出其在Gross-Pitaevskii方程中的物理相关性。
2023-08-11 cond-mat.quant-gas math-ph math.AP
Asymptotically full measure sets of almost-periodic solutions for the NLS equation
该研究构造了圆周上NLS方程渐近满测度的小振幅几乎周期解，证明极大不变环面为Banach流形，并建立了椭圆不动点的Lyapunov统计稳定性，将经典KAM定理推广至无穷维。
2025-01-25 math.AP math.DS
Long time dynamics for the one dimensional non linear Schrödinger equation
本文首先给出了带调和势的非线性薛定谔方程的Gibbs测度的构造。然后，我们证明了相应的柯西问题是全局适定的粗糙初始条件的统计集（支持的措施）。最后，我们证明了吉布斯测度确实是不变的方程的流动。作为我们分析的副产品，我们给出了$L^2$临界和超临界NLS（无调和势）的整体适定性和散射结果。
2010-02-22 math.AP
Scattering of the three-dimensional cubic nonlinear Schrödinger equation with partial harmonic potentials
本文研究具有部分调和势的三维去聚焦三次非线性薛定谔方程，证明任意有限质量和能量的初始数据对应的解可散射；核心方法是用色散连续共振系统近似大尺度情形，借鉴Dodson的工作及Kenig-Merle的集中紧性/刚性论证。
2021-05-06 math-ph math.AP math.MP
Almost global existence for some Hamiltonian PDEs with small Cauchy data on general tori
本文证明了平坦环面上抽象非线性偏微分方程的几乎整体存在性，并将其应用于具体方程，即带卷积势的非线性薛定谔方程，梁方程和量子流体力学方程.我们也将其应用到NLS中平面波的稳定性。主要的一点是，抽象的结果是基于一个非共振条件比通常的弱得多，这依赖于著名的布尔甘引理，它提供了一个分区的“共振网站”的拉普拉斯算子的非理性环面。
2022-07-31 math-ph math.AP math.MP
Full derivation of the wave kinetic equation
本研究在特定标度律下从三次非线性薛定谔方程严格推导出波动动力学方程，解决了波动湍流理论的核心猜想，是首个针对非线性色散系统的此类严格推导成果。
2023-02-17 math-ph math.AP math.MP
Invariant measures and the soliton resolution conjecture
聚焦非线性薛定谔方程（NLS）的孤子分辨猜想是一种措辞含糊的说法，即对于一般的初始数据，NLS的全局解最终将分解成像线性解那样色散的辐射分量，加上表现为孤子或多孤子解的局部分量。这一猜想被认为是非线性色散方程领域中的一个基本的开放问题，迄今为止还没有一个证明，甚至没有一个精确的公式。本文证明了这一猜想的“统计版本”在质量亚临界非线性，在以下意义上。具有给定质量和能量的所有函数的集合上的均匀概率分布（如果存在这种情况）将是NLS流的自然不变测度，并且将反映具有该质量和能量的“通用初始数据”的长期行为。不幸的是，这样的概率测度并不存在。我们通过构建一系列离散测度来规避这个问题，原则上，当网格大小为零时，这些测度近似于这个虚构的概率分布。然后，我们证明了这个序列的概率测度的连续极限在一定意义上确实存在，并在协议的孤子分辨率猜想，极限措施集中在唯一的基态孤子。结合这一结果从遍历论，我们提出了一个尝试性的提法和证明的孤立子分辨率猜想在离散设置。
2013-04-04 math-ph math.AP math.MP
Inhomogeneous turbulence for the Wick nonlinear Schrödinger equation
本文引入Wick NLS模型，推导均匀与非均匀设置下的波动力学方程，揭示波包输运与碰撞的统计行为，并发现新的碰撞方程。
2024-02-06 math-ph math.AP math.MP
