拟线性NLS的长时间强Sobolev不稳定性

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我们证明了在环面 $\mathbb T^2$ 上的一类拟线性薛定谔方程具有长时间强Sobolev不稳定性，这类方程通过Madelung变换出现在Euler-Korteweg毛细流体的描述中。更精确地说，对于每个 $s\ge 7$，任意小的 $\mu>0$ 和任意大的 $\mathcal K>0$，我们构造一个解使得 $$ \\|u(0)\\|_{H^s}<\mu, \qquad \\|u(T)\\|_{H^s}>\mathcal K $$ 在某个有限时间 $T$ 成立，并给出该时间的显式指数上界。不稳定性机制由与方程三次半线性部分相关的有限维共振Toy Model产生，其思想源于Colliander-Keel-Staffilani-Takaoka-Tao。主要技术难点在于在存在拟线性导数损失的情况下，在能量转移的长时间尺度上证明该动力学的合理性。我们通过将弱Birkhoff正规形与仿微分演算、微局域对称化和修正能量估计相结合来实现这一目标。我们的结果为共振能量转移机制提供了严格的拟线性实现，并暗示了与毛细流体中弱湍流动力学的联系。

英文摘要

We prove long-time strong Sobolev instability for a class of quasilinear Schrödinger equations on $\mathbb T^2$ arising, via the Madelung transform, in the description of Euler-Korteweg capillary fluids. More precisely, for every $s\ge 7$, arbitrarily small $μ>0$, and arbitrarily large $\mathcal K>0$, we construct a solution such that $$ \|u(0)\|_{H^s}<μ, \qquad \|u(T)\|_{H^s}>\mathcal K $$ at some finite time $T$, for which we provide an explicit exponential upper bound. The instability mechanism is generated by a finite-dimensional resonant Toy Model associated with the cubic semilinear part of the equation, in the spirit of Colliander-Keel-Staffilani-Takaoka-Tao. The main technical difficulty is to justify this dynamics over the long time scale of the energy transfer in the presence of quasilinear derivative losses. We achieve this by combining a weak Birkhoff normal form with paradifferential calculus, microlocal symmetrization, and modified energy estimates. Our result provides a rigorous quasilinear realization of a resonant energy-transfer mechanism, and suggests a connection with weakly turbulent dynamics in capillary fluids.

发表机构

• University of Vienna（维也纳大学）
• Politecnico di Milano（米兰理工大学）
• Università della Calabria（卡拉布里亚大学）
• Università degli Studi di Napoli Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）

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