Decomposition of bounded degree graphs into $C_4$-free subgraphs
Ross J. Kang, Guillem Perarnau
我们证明了每一个图的最大程度$Δ$承认一个分区的$O(\sqrtΔ)$部分（作为$Δ\to\infty$），其中没有包含$C_4$作为一个子图的边缘。这个界限是尖锐的常数因子。我们的证明使用迭代随机着色过程。
We prove that every graph with maximum degree $Δ$ admits a partition of its edges into $O(\sqrtΔ)$ parts (as $Δ\to\infty$) none of which contains $C_4$ as a subgraph. This bound is sharp up to a constant factor. Our proof uses an iterated random colouring procedure.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Decomposition of a graph into two disjoint odd subgraphs
一个奇怪的（resp。重图中的偶）子图是其每个顶点都有奇（或偶）的子图。偶数）度。我们说一个重图可以分解成两个奇子图，如果它的边集可以划分成两个集，使两者都形成奇子图。本文给出了多重图可分解为两个奇子图的一个充要条件。我们还提出了一个多项式时间算法，找到这样的分解或显示其不存在。我们还处理的情况下，分解成一个偶数子图和一个奇数子图。
On star-forest ascending subgraph decomposition
上升子图分解（ASD）猜想断言：每个具有${n+1\choose 2}$边的图$G$都允许一个边分解$G=H_1\oplus\cdots \oplus H_n$，使得$H_i$具有$i$边，并且它同构于$H_{i+1}$的一个子图$i=1,\ldots ,n-1$ .证明了具有${n+1\choose 2}$边的二部图$G$，若其稳定集的度序列$d_1,\ldots ,d_k$满足$ d_{k-i}\ge n-i\; \text{for each}\; 0\le i\le k-1,$，则允许一个带星森林的上升子图分解.我们还给出了度序列的一个必要条件，它与上述充分条件相差不远。
Decomposition of Augmented Cubes into Regular Connected Pancyclic Subgraphs
本文考虑了将增广立方体$AQ_n$分解为两个生成的正则连通泛圈子图的问题。我们证明了对于$ n \geq 4$和$ 2n - 1 = n_1 + n_2 $与$ n_1, n_2 \geq 2,$的增广立方体$ AQ_n$可以分解为两个生成子图$ H_1$和$ H_2$，使得每个$ H_i$是$n_i$ -正则的和$n_i$ -连通的。此外，如果$ n_i \geq 3.$
Induced subgraphs and tree decompositions VIII. Excluding a forest in (theta, prism)-free graphs
本文证明在充分大树宽的无(theta, prism)图中，包含大团或同构于任意给定森林$H$的导出子图，当且仅当$H$为森林。
Enclosings of Decompositions of Complete Multigraphs in 2-Factorizations
令$k$、$λ$和$μ$为正整数。如果$μ> λ$和$G_i$是$H_i$的子图，$1 \leq i \leq k$，则通过将多重图$μH$分解为边不交的子图$H_1, \ldots , H_k$，将多重图$ λG$分解为边不交的子图$G_1, \ldots , G_k$称为\emph{enclosed}。在本文中，我们开始研究的分解时，可以封闭的分解，由生成子图。一个图的分解是2-因子分解，如果每个子图是2-正则的，如果每个子图是哈密尔顿圈，则它是哈密尔顿的。令$n$和$m$为正整数。我们给出了当$μ>λ$和$m \geq n-2$满足时，$λK_n$的分解包含在$μK_{n+m}$的$2$ -因子分解中的充要条件.我们还给出了当$μ> λ$和$m \geq n-1$，或$μ> λ$，$n=3$和$m=1$，或$μ= 2$，$λ=1$和$m=n-2$时，$λK_n$的分解包含在$μK_{n+m}$的Hamilton分解中的充要条件.
Induced subgraphs and tree decompositions XVIII. Obstructions to bounded pathwidth
本文给出了路径宽度大的图中不可避免的诱导子图的完整分类，解决了该领域的一个关键问题。
Sharper Lower Bounds in the Maximum Degree and Diameter Bounded Subgraph Problem in the Mesh
最大度和直径有界子图问题（MaxDDBS）：给定一个主图G，最大度Δ的界和直径D，度以Δ为界和直径以D为界的主图的最大子图是什么？在本文中，我们研究这个问题时，主机图是k维网格。我们提供了满足MaxDDBS的网格的最大子图的大小的下界，对于所有k和Δ> 3，与已知的上界一致，直到前两项，并表明对于Δ= 3，下界至少与上界相同的增长阶。
Induced subgraphs and tree decompositions XIV. Non-adjacent neighbours in a hole
本文定义了时钟图，并证明大树宽的无时钟图必然包含完全图、墙的剖分或其线图作为大树宽的基本障碍导出子图。
Induced subgraphs and path decompositions
图$H$是图$G$的诱导子图，如果通过删除顶点可以从图$G$得到与图$H$同构的图.最近，人们对理解大树宽图的不可避免的诱导子图产生了极大的兴趣。受这项工作的启发，我们考虑了类似的问题的路径宽度：什么是不可避免的诱导子图的大路径宽度的图？虽然解决这个问题的一般设置看起来具有挑战性，我们证明了稀疏图的各种结果。特别地，我们证明了每个具有有界最大度和足够大的路宽的图包含一个大的完全二叉树的一个剖分或一个大的完全二叉树的一个剖分的线图作为一个诱导子图。同样地，我们证明了每个图除了一个固定的子图，并具有足够大的路径宽度包含一个大的完全二叉树的一个细分或一个大的完全二叉树的一个细分的线图作为一个诱导子图。最后，我们给出了由有限集禁止诱导子图定义的遗传类具有有界路宽的一个刻画。
Ascending Subgraph Decomposition
本文证明了Alavi等人于1987年提出的升序子图分解猜想：对于足够大的m，任何具有C(m+1,2)条边的图可分解为边数递增且相互包含的子图序列。
Induced subgraphs and tree decompositions XVII. Anticomplete sets of large treewidth
本文证明了具有足够大树宽的图中存在两个无边集，其诱导子图具有大树宽，除非图中包含特定结构化的高树宽反例。
Another Proof of the Generalized Tutte--Berge Formula for $f$-Bounded Subgraphs
本文利用Tutte的f-因子定理为f-有界子图的最大规模min-max关系提供了一个新证明，并说明该结果在f(v)=1时退化为经典的Tutte--Berge匹配公式。
Induced subgraphs and tree decompositions XVI. Complete bipartite induced minors
该研究证明了具有足够大完全二分图诱导极小式的图要么包含大墙诱导极小式，要么包含大星座，并进一步将不可避诱导子图分为两种高度结构化的星座。
Characterization of forbidden subgraphs for bounded star chromatic number
图的色数是使图具有正常$k$ -染色的最小$k$.在文献中有许多着色参数是正确的着色，也禁止双色子图。一些例子是$2$ -距离着色、无环着色和星着色，它们分别禁止三个顶点上的双色路、双色圈和四个顶点上的双色路。这个概念最早由Grünbaum在1973年提出，但没有给出具体的名称。通过定义一个$H$ -避免$k$ -染色为一个禁止双色子图$H$的真$k$ -染色，我们恢复了这个概念.当把不含$F$的图类$\mathcal C$作为诱导子图时，不难看出$\mathcal C$中的每个图都有界色数当且仅当$F$是大小不超过2的完全图.我们研究了一类没有$F$作为$H$ -避免着色的子图的图的这种现象。我们完全刻画了所有的图$F$，其中没有$F$作为子图的图类对于一大类图$H$具有有界$H$ -避免色数.作为推论，我们的主要结果暗示了图$F$的一个特征，其中没有$F$作为子图的图类具有有界星色数。我们还得到了无循环色数的完整刻画。
Induced Subgraphs of Bounded Degree and Bounded Treewidth
证明了对所有的$0\leq t\leq k$和$d\geq 2k$，树宽至多为$k$的图$G$都有一个“大”诱导子图$H$，其中$H$的树宽至多为$t$，$H$中的每个顶点的度至多为$G$中的$d$. $H$的顺序取决于$t$、$k$、$d$和$G$的顺序。利用$t=k$，我们得到了大量的有界度顶点。利用$t=0$，我们得到了有界度的大独立集。在这两种情况下，我们对$H$阶的界是紧的。对于树中的有界度独立集，我们给出了极图。最后，我们证明了具有最大团大小$k$的区间图存在一个最大独立集，其中每个顶点的度至多为$2k$。
Decompositions into subgraphs of small diameter
研究了图分解为少量低直径子图的问题。设P（n，ε，d）是最小k，使得每个n阶图G=（V，E）都有一个边划分E=E_0 \cup E_1 \cup.使得\cup \leq ε n ^2且对所有1个\leq i \leq k，E_i所张成的子图的直径至多为d。利用Szemerédi的正则性引理，Polcyn和Rucienski证明了P（n，ε，4）由一个仅依赖于ε的常数上界。这表明，每个稠密图都可以被划分为少量的“小世界”，只要很少的边可以被忽略。改进了他们的结果，在一个绝对常数因子内确定了P（n，ε，d），证明了当ε< 1/4时P（n，ε，2）= Θ（n）是无界的，当ε> n^{-1/2}时P（n，ε，3）= Θ（1/ε^2），当ε> n^{-1}时P（n，ε，4）= Θ（1/ε）.我们还证明了，如果G具有大的最小度，则G的所有边都可以被少量的低直径子图覆盖。最后，我们将其中的一些结果推广到超图，改进了Polcyn，Rödl，Rucienski和Szemerédi的早期工作。
Decompositions of graphs of nonnegative characteristic with some forbidden subgraphs
图$G$的{$(d,h)$ -分解}是序对$(D,H)$，使得$H$是$G$的子图，其中$H$具有至多$h$的最大度，并且$D$是$G-E(H)$的最大出度至多$d$的非循环定向。一个图$G$是{ \em $(d, h)$ -可分解的}，如果$G$有一个$(d,h)$ -分解。设$G$是一个可嵌入非负特征曲面的图.在本文中，我们证明了以下结果。(1)若$G$没有弦$5$ -圈或没有弦$6$-圈或没有弦$7$ -圈且没有相邻的$4$ -圈，则$G$是$(3,1)$ -可分解的，推广了Chen，Zhu和Wang [Comput.应用，56（2008）2073--2078]和Zhang [Comment. Carolin，54（3）（2013）339- 344]。(2)如果$G$对任何子集$\{i,j\}\subseteq \{3,4,6\}$都没有$i$ -圈或$j$ -圈，则$G$是$(2,1)$ -可分解的，这推广了Dong和Xu [Discrete Math. Alg.和Appl.，1（2）（2009），291- 297]。
Minimal forbidden induced subgraphs of graphs of bounded clique-width and bounded linear clique-width
在研究有界簇宽和有界线性簇宽的满泡模型图时，我们确定了满泡模型图类中最小的禁止诱导子图的完备集.在这篇注记中，我们证明了（几乎所有的）这些图是所有图类中的最小图。作为推论，我们可以给出有界圈宽图和有界线性圈宽图的最小禁止诱导子图的集合。
Monochromatic bounded degree subgraph partitions
设${\cal{F}}=\{F_1,F_2,\ldots\}$是一个图序列，使得$F_n$是一个顶点数为$n$且最大度至多为$Δ$的图.我们证明了存在一个绝对常数$C$，使得任意2-边着色完全图的顶点最多可以从${\cal{F}}$划分为$2^{CΔ\logΔ}$顶点不相交的单色图副本.如果每个$F_n$都是二部的，那么我们可以将这个界改进为$2^{C Δ}$ ;这个结果对于常数$C$是最优的。
Induced subgraphs and tree decompositions XIX. Thetas and forests
本文研究了theta-free图类中森林结构与树宽的关系，证明了在特定条件下树宽与团数之间存在多项式关系。
Forbidden Induced Subgraphs for Bounded $p$-Intersection Number
一个图$G$的$p$ -相交数至多为$d$，如果可以给$G$的每个顶点$u$分配一个基集$U$的子集$S(u)$，使得$G$的不同顶点$u$和$v$在$G$中相邻当且仅当$|S(u)\cap S(v)|\geq p$ .证明了$p$ -相交数至多为$d$的图的遗传类${\cal G}(d,p)$的每一个最小禁止导出子图的阶至多为$3\cdot 2^{d+1}+1$，并且在这个上界中对$d$的指数依赖是必要的.对于$p\in \{ d-1,d-2\}$，我们提供了更明确的结果，在${\cal G}(d,p)$没有孤立/通用顶点使用禁用诱导子图的图形特征。
The Critical Independence Number and an Independence Decomposition
一个独立集$I_c$是一个\textit{critical independent set}，如果对于任何独立集$J$，有$|I_c| - |N(I_c)| \geq |J| - |N(J)|$。图的\textit{critical independence number}是图的最大临界独立集的基数。这个数是独立数的下界，可以在多项式时间内计算。任何图都可以分解为两个子图，其中一个子图的独立数等于它的临界独立数，另一个子图的临界独立数为零，子图的独立数之和就是图的独立数。对Gravel.pc的一个猜想的证明给出了König-Egervary图的一个新的刻画：这些图恰好是独立数和临界独立数相等的图。
Counterexamples to Thomassen's conjecture on decomposition of cubic graphs
我们构造了一个无穷族的反例来证明Quarassen的猜想：每个3连通的三次图的顶点至少有8个顶点可以被着色为蓝色和红色，使得蓝色子图的最大度至多为1，红色子图的最小度至少为1，并且在4个顶点上不含路.
Egerváry graphs: Deming decompositions and independence structure
我们利用Deming [R.W. Deming，图的独立数--Koenig-Egervary定理的扩展，离散数学，27（1979），no. 1，23- 33; MR 534950]将可匹配图分解成具有精确结构的子图：它们或者是跨越花对的偶数子部分，跨越完全图$K_4$的偶数子部分，或者是Kennig-Egerváry图。在每种情况下，子图都有完美匹配;在前两种情况下，它们的独立数比它们的匹配数小小于1，而KE子图的独立数等于它的匹配数。这种分解改进了以往关于任意图的独立结构的结果，并得到了关于$α$ -临界图的新结果.
Clustered Coloring of Graphs Excluding a Subgraph and a Minor
本文研究排除子图和/或子式的图的聚类着色问题，证明了多类图的有界聚类着色数最优界，改进了奇子式相关猜想的现有界值。
Graph colorings with restricted bicolored subgraphs: II. The graph coloring game
我们考虑图着色游戏，一个游戏中，两个球员轮流适当的着色图的顶点，一个球员试图完成适当的着色，和其他球员试图阻止适当的着色。证明了如果图$G$有一个适当的染色，且每个双色子图的对策色数是有界的，则$G$的对策色数是有界的.作为这个结果的推论，我们证明了对于两个具有有界对策色数的图$G_1$和$G_2$，笛卡儿积$G_1 \square G_2$具有有界对策色数，回答了X.竹我们还得到了两个图的强积$G_1 \boxtimes G_2$的对策色数的一个上界。
Induced subgraphs and tree decompositions XI. Local structure in even-hole-free graphs of large treewidth
本文证明Sintiari-Trotignon猜想：大树宽无偶环图必含四顶点五边诱导子图，并推广到更一般的弦图与森林情形，且证明选择最优。
Subgraph densities and scaling limits of random graphs with a prescribed modular decomposition
本文研究了具有预设模分解装饰的大型均匀标记随机图，通过组合论证和符号方法计算生成级数，估计了每个图作为导出子图的拷贝数量，并证明了此类随机图在图核空间中向 Brownian 极限对象收敛。
Decomposition of toroidal graphs without some subgraphs
本文提出统一方法，证明不含特定圈（如3、4、6、7圈）的环面图的公共超类均为(2,1)-可分解，推广了Lu和Li的结果。
Decomposing split graphs into locally irregular graphs
该研究针对图的局部分解问题，证明可分解分裂图最多可拆分为3个局部不规则子图，并完整刻画了对应1、2、3个子图分解的分裂图特征。
Induced subgraphs and tree decompositions III. Three-path-configurations and logarithmic treewidth
一个θ是一个图，它由两个不相邻的邻顶点和三条内部不相交的路径组成，每条路径的长度至少为2。对于图族$\mathcal{H}$，如果$G$的诱导子图中没有一个同构于$\mathcal{H}$的成员，则称图$G$是$\mathcal{H}$ -free的.本文证明了Sintiari和Trotignon的一个猜想：存在一个绝对常数$c$，使得每一个（theta，triangle）-free图$G$至多有树宽$c\log (|V(G)|)$ . Sintiari和Trotignon的一个构造表明，这个界是渐近最好的，并且（theta，triangle）-free图包括第一个已知的具有任意大但对数树宽的遗传类图。我们的主要结果实际上是上述猜想的推广，即对于除所谓的三路构型以及固定完全图之外的每个图$G$，树宽在$|V(G)|$中至多是对数的。因此，稳定集、顶点覆盖、控制集和着色等NP难问题都可以在不含三路构型和固定完全图的图中使用多项式时间算法求解。
A More Complicated Hardness Proof for Finding Densest Subgraphs in Bounded Degree Graphs
我们考虑稠密子图问题，其中一个图和一个整数k是给定的，我们搜索一个子图的正好k个顶点，导致最大数量的边缘。我们证明了这个问题是NP-困难的，即使当输入图的最大度为3。
Induced subgraphs and tree decompositions V. One neighbor in a hole
研究具有大树宽的图的不可避免导出子图，证明了在排除基本树宽障碍且每个顶点在每个洞中至多有一个邻居的图中，树宽是有界的。
Towards Gallai's path decomposition conjecture
图G的路分解是图G的边不相交路的集合，这些路覆盖图G的边集。Gallai（1968）证明了任意n阶连通图的路分解基数至多为（n+1）/2。关于它的证明的一些结果考虑了G的奇度顶点被去掉后得到的图，称之为G的E-子图。Lovász（1968）证明了Gallai猜想对于E-子图最多由一个顶点组成的图，Pyber（1996）证明了它对于E-子图是森林的图。在2005年，Fan验证了Gallai猜想，其中每个图的E-子图的每个块都是无三角形的，并且最大度不超过3。设calG是满足以下条件的图族：（i）每个块的最大度至多为3;（ii）每个分支的最大度至多为3或至多有一个包含三角形的块。本文推广了Fan的结果，证明了对于E-子图是calG中图的子图的图的Gallai猜想。这允许E-子图的组件包含任何数量的三角形块，只要它们是calG中的图的子图。
Minimal separators in graph classes defined by small forbidden induced subgraphs
图的最小分隔符是算法图论中的一个重要概念。特别是，许多问题是NP-困难的一般图被称为多项式时间可解的一类图与多项式有界的最小分隔符。几个著名的图类都有这个特性，包括弦图、置换图、圆弧图和圆图。本文系统地研究了由小的禁止诱导子图定义的图类中哪些图类具有多项式有界的最小分离子的问题。我们主要研究顶点数不超过四个的禁止诱导子图的集合，得到了几乎完全二分法，只留下两种情形。
On triangle-free graphs that do not contain a subdivision of the complete graph on four vertices as an induced subgraph
本文证明了一类不包含四点完全图的一个剖分作为诱导子图的无三角形图的分解定理。我们证明了这类图中围长至少为~5的图都是3-可着色的。
Tree decompositions whose trees are subgraphs: An application of Simon's factorization
本文利用Simon因子分解定理，证明了每个连通图存在一个树分解，其树是图的子图且宽度由路径宽度决定，解决了关于树分解宽度限制的问题。
Decomposition of cubic graphs related to Wegner's conjecture
Edassen提出了如下猜想：每个$3$ -连通三次图都有一个红-蓝顶点着色，使得蓝色子图的度最大（即它由一个匹配点和一些孤立点组成），红色子图的度最小至少为$1$，并且不含$3$ -边路.我们指出，具有相同性质的染色可能存在的任何次立方图。我们对所有的次立方树证实了这一说法。
Decomposing highly edge-connected graphs into homomorphic copies of a fixed tree
Barát和Barrassen的树分解猜想指出，对于每一棵树$T$，存在一个自然数$k(T)$，使得以下成立：如果$G$是一个$k(T)$ -边连通单图，其大小可被$T$的大小整除，则$G$可以边分解为与$T$同构的子图。到目前为止，这个猜想只在路径、恒星和一个双恒星族中得到了验证。我们证明了一个较弱的版本的树分解猜想，我们需要在分解的子图是同构的图，可以从$T$的顶点标识。我们称这样的子图为$T$的同态拷贝。这意味着在$G$的围长大于$T$的直径的附加约束下的树分解猜想。作为一个应用，我们验证了树分解猜想的直径最多为4。
Induced subgraph density. VI. Bounded VC-dimension
本文证实了关于有界VC维图的Fox-Pach-Suk猜想，证明此类图存在多项式大小的团或稳定集，并推广到锦标赛和超图，解决了多个相关猜想。
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. VII. Gyárfás' complementation conjecture
一类图是$χ$ -有界的，如果存在函数$f$，使得对于该类图的每个导出子图$G$，$χ(G)\le f(ω(G))$是有界的，其中$χ,ω$分别表示$G$的色数和团数. 1987年，Gyárfás证明了对每个$c$，如果$\mathcal{C}$是一个图类，使得对于该类中的每个图的每个导出子图$G$都有$χ(G)\le ω(G)+c$，则$\mathcal{C}$的成员的补类是$χ$ -有界的.我们证明了这个猜想。实际上，更一般地说，一类图是$χ$ -有界的，如果它具有这样的性质，即在该类中没有图具有$c+1$奇洞，两两不相交并且它们之间没有边。主要工具是一个引理，如果$C$是图中最短的奇洞，而$X$是$V(C)$中至少有五个邻居的顶点集，则存在一个支配$X$的三顶点集。
Modular Decomposition and the Reconstruction Conjecture
我们证明了一个大的图族，这是可分解的模块分解可以重建从他们的顶点删除子图的集合。
Local subgraph structure can cause localization in continuous-time quantum walk
在本文中，我们考虑由拉普拉斯矩阵确定的有限图上的连续时间量子行走（CTQW）。通过引入给定图的全连通图分解，给出了Laplacian矩阵的一种分解方法。利用分解的方法，给出了CTQW的返回概率趋于1而顶点数趋于无穷大的图结构的几个条件。
Enclosings of Decompositions of Complete Multigraphs in $2$-Edge-Connected $r$-Factorizations
多重图$G$的分解是将其边划分为子图$G(1), \ldots , G(k)$。如果每个$G(i)$都是$r$ -正则的和生成的，则称为$r$ -因子分解。如果$G$是$H$的一个子图，则称$G$的一个分解包含在$H$的一个分解中，如果对于每个$1 \leq i \leq k$，$G(i)$是$H(i)$的一个子图。Feghali和约翰逊给出了必要和充分的条件，一个给定的分解$λK_n$被封闭在一些$2$ -边连接$r$ -分解$μK_{m}$的一些范围内的值为参数$n$，$m$，$λ$，$μ$，$r$：$r=2$，$μ>λ$和任何$m \geq 2n-1$，或$m=2n-2$和$μ= 2$和$λ=1$，或$n=3$和$m=4$。我们将他们的结果推广到所有的$r \geq 2$和$m \geq 2n - 2$。对于每个$r \geq 3$和$m = (2 - C)n$，给出了将$λK_n$的分解包含在$μK_{m}$的$2$ -边连通$r$ -分解中的充分条件，其中$C$是只依赖于$r$，$λ$和~ $μ$的常数.
Defective colouring of graphs excluding a subgraph or minor
Archdeacon（1987）证明了可嵌入到固定曲面上的图可以是$3$ -着色的，使得每一个着色类都导出一个有界最大度的子图。Edwards，Kang，Kim，Oum and Seymour（2015）证明了没有$K_{t+1}$ -子图的图可以是$t$ -着色的，使得每个颜色类都导出一个有界最大度的子图。我们证明了一个共同的概括，这些定理与较弱的假设排除子图。这一结果导致了几类图的新的缺陷着色结果，包括具有线性交叉数的图，具有给定厚度的图（与地球-月球问题相关），具有给定栈数或栈数的图，无链接或knockless可嵌入图，具有给定Colin de Verdière参数的图，以及排除完全二部图作为拓扑子图的图。
Graphs without large bicliques and well-quasi-orderability by the induced subgraph relation
最近，Daligault，Rao和Quarassé在[3]中提出了一个问题，即是否每个由诱导子图关系良拟序的遗传类都有有界簇宽。这个问题之所以有趣有两个原因。首先，它连接了两个看似无关的概念。其次，如果问题得到肯定的回答，这将产生强烈的算法后果。特别地，这将意味着（通过使用Courcelle定理[2]），在一元二阶逻辑中可定义的任何问题都可以在多项式时间内在任何类上通过诱导子图关系良好准序地解决。在本文中，我们肯定地回答这个问题的图没有大bicliques。因此，上述算法的结果是正确的，例如，对于有界度的图类。
Induced subgraphs and tree decompositions X. Towards logarithmic treewidth for even-hole-free graphs
本文证明了无大团且无广义 $t$-棱锥导出子图的偶洞无图树宽至多为 $c(t)\log{n}$，解决了 Sintiari-Trotignon 猜想特例，并使多个 NP-难问题在此类图上有多项式时间算法。
Decomposing graphs into a constant number of locally irregular subgraphs
一个图是局部不规则的，如果没有两个邻顶点具有相同的度。图$G$的不规则色指数$χ_{\rm irr}'(G)$是对图$G$进行边分解所需的局部不规则子图的最小数目。不是所有的图都有这样的分解，但是Baudon、Bensmail、Przybyzio和Woonniak证明了如果$G$可以分解成局部不规则子图，那么$χ_{\rm irr}'(G)\leq 3$。为了支持这一猜想，Przybytello证明了只要$G$的最小度至少为$10^{10}$，则$χ_{\rm irr}'(G)\leq 3$成立。本文证明了非奇长路的二部图$G$满足$χ_{\rm irr}'(G)\leq 10$。这是二部图的非正则色指数的第一个一般常数上界。结合Przybytelo的结果，我们证明了对任何允许分解成局部不规则子图的图$G$，都有$χ_{\rm irr}'(G) \leq 328$.最后，我们证明了对于每一个$16$ -边连通二部图$G$，都有$χ_{\rm irr}'(G)\leq 2$.
Bounded Degree Spanners of the Hypercube
本文研究了超立方体$Q_n$中具有某些性质的子图的存在性问题。第一个问题，由于Erdens-Hamburger-Pippert-Weakley，问是否存在一个有界度子图的$Q_n$的直径$n$。我们回答这个问题，给出一个明确的结构，这样的子图的最大度最多为120。第二个问题是关于超立方体的$k$ -加法空间的性质，即$Q_n$的子图中任意两个顶点之间的距离至多是$k$大于$Q_n$中的距离.表示由$Δ_{k,\infty}(n)$的最小可能的最大程度的$k$ -添加剂的$Q_n$，Arizumi-汉堡-Kostochka表明，$$\frac{n}{\ln n}e^{-4k}\leq Δ_{2k,\infty}(n)\leq 20\frac{n}{\ln n}\ln \ln n.$$我们提高了他们上界，表明$$Δ_{2k,\infty}(n)\leq 10^{4k} \frac{n}{\ln n}\ln^{(k+1)}n,$$，其中最后一项表示一个$k+1$倍迭代对数。
A decomposition of directed graphs and the Turan problem
本文研究了自动机理论中出现的（di）图的顶点分解，并建立了它们的一些性质。然后，我们将它们应用到禁止子图的问题。
Induced subgraphs and tree decompositions IX. Grid theorem for perforated graphs
本文研究不含$c$个环不相交并导出子图的$c$-perforated图，证明其树宽较大当且仅当包含大完全图、完全二部图或full occultation，建立了首个包含非细分墙障碍的网格型定理。
A rainbow blow-up lemma for almost optimally bounded edge-colourings
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。我们证明了彩虹版本的爆破引理的Komlós，Sárközy和Szemerédi，适用于几乎最优有界着色。这一点的一个推论是，存在一个彩虹副本的任何有界度生成子图$H$在准随机主机图$G$，假设边着色$G$满足有界性条件，是渐近最佳可能的。这有许多应用超出彩虹着色，例如图分解，正交双覆盖和图标号。
The Maximum Degree-and-Diameter-Bounded Subgraph in the Mesh
在\cite{maxddbs}中，作为度-直径问题的推广，引入了在最大度$Δ$和直径$D$的约束下寻找给定无向主图的最大连通子图的问题.特别感兴趣的情况是，当主机图是一个常见的并行架构。在这里，我们讨论的情况下，主机图是一个$k$维网格。本文给出了任意维$k$中最大子图的阶的一般界，并对$k=3, Δ= 4$和$k=2, Δ= 3$的特殊情况给出了更清晰的下界的构造.
Enumerations, Forbidden Subgraph Characterizations, and the Split-Decomposition
禁止刻画有时可能是描述图族的最自然的方式，但这些刻画通常很难用于枚举目的。在Gioan and Paul（2012）和Chauve et al.（2014）的工作基础上，我们展示了一种方法，通过该方法，我们约束分裂分解树以避免某些模式，从而避免原始图中相应的诱导子图。因此，我们提供了一组广泛的图形类：托勒密，块，仙人掌图（2，3-仙人掌，3-仙人掌和4-仙人掌）的变种的语法和完整的枚举。在某些情况下，没有枚举是已知的（托勒密，4-仙人掌）;在其他情况下，虽然枚举是已知的，一个丰富的潜力是解锁的语法，我们提供（在渐近分析，随机生成，参数分析等方面）。我们相信这种方法在这里显示了它的潜力;自然的下一步发展其范围将是研究分裂分解树，其中包含某些素数节点。这将是未来工作的目标。
Forbidden induced subgraphs of double-split graphs
在证明强完美图定理的过程中，Chudnovsky，Robertson，Seymour和Thomas证明了每个完美图要么属于五个基本类之一，要么允许几个分解之一。四个基本类在取诱导子图下是封闭的（并且具有已知的禁止子图特征），而第五个基本类由双分裂图组成，不是封闭的。如果一个图是双分裂图的诱导子图，则称该图是双分裂图。我们找到了加倍图的禁止诱导子图的特征，它包含44个图.
Maximizing subgraph density in graphs of bounded degree and clique number
本文渐近确定了在有界度数和团数的图中包含支配顶点的子图的最大密度，通过固定u-团数目的统一推广证明及局部化方法，得出了相关极值与渐近性质。
Decomposition of class II graphs into two class I graphs
Mkrtchyan和Steffen [J. Graph Theory，70（4），473- 482，2012]证明了每个II类简单图都可以分解为最大$Δ$ -边可着色子图和匹配。他们进一步证明了每一个具有色指数$Δ(G)+k$（$k\geq 1$）的图$G$都可以分解为一个最大$Δ(G)$ -边可着色子图（不一定是I类）和一个$k$ -边可着色子图.本文首先将他们的结果推广到多重图，证明了每一个具有重数$μ$的多重图$G$都可以分解为一个最大$Δ(G)$ -边可着色子图和一个最大度至多为$μ$的子图.然后证明了每一个具有色指数$Δ(G)+k$的图$G$都可以分解为两个I类子图$H_1$和$H_2$，使得$Δ(H_1) = Δ(G)$和$Δ(H_2) = k$，这是他们猜想的一个变化.
Degeneracy of $P_t$-free and $C_{\geq t}$-free graphs with no large complete bipartite subgraphs
图的遗传类$\mathcal{G}$称为\emph{$χ$-bounded}，如果存在函数$f$使得每个图$G \in \mathcal{G}$满足$χ(G) \leq f(ω(G))$，其中$χ(G)$和$ω(G)$分别是$G$的色数和团数.作为关于$χ$ -有界类的第一个结果之一，Gyárfás在1985年证明了，如果$G$是$P_t$ -free的，即，不包含$t$ -顶点路径作为导出子图，则$χ(G) \leq (t-1)^{ω(G)-1}$。2017年，Chudnovsky，Scott和Seymour证明了无$C_{\geq t}$图，即，图，排除诱导圈至少$t$顶点，是$χ$有界的，以及，并得到的界再次超多项式的团数。注意，无$P_{t-1}$的图特别是无$C_{\geq t}$的.它仍然是一个主要的开放问题，在该地区是否为$C_{\geq t}$ -自由，或至少$P_t$ -自由图$G$，$χ(G)$的值可以有界从上由一个多项式函数的$ω(G)$。我们考虑这个问题的一个放松，在那里我们比较色数的大小最大的平衡biclique包含在图中作为一个（不一定诱导）子图。我们证明了对每个$t$都存在一个常数$c$，使得对和每个不含$K_{\ell,\ell}$作为子图的$C_{\geq t}$ -free图都成立：$χ(G) \leq \ell^{c}$ .
Finding bipartite subgraphs efficiently
本文给出了以下两个问题的多项式算法：给定一个具有$n$顶点和$m$边的图，其中$m \ge 3 n^{3/2}$，求一个完全平衡二部子图，其部分是关于$\ln n/(\ln (n^2/m))$的;给定一个具有$n$顶点的图，求其边分解为具有全部$O(n^2 / \ln n)$顶点的完全平衡二部图.以前的证明存在这样的对象，由于Kavavári-Sós-Turán，Chung-Erdós-Spencer，Bublitz和Tuza是非建设性的。
A note on the Erdös-Faber-Lovász Conjecture: quasigroups and complete digraphs
简单图$G$的分解是一对$(G,P)$，其中$P$是$G$的一组子图，它划分$G$的边，使得$G$的每条边恰好属于$P$中的一个子图。如果$P$的元素是导出子图，则分解记为$[G,P]$。分解$(G,P)$的$k$-$P$-着色是一个满射函数，它将来自$k$ -颜色集合的颜色分配给$G$的边，使得$H\in P$的所有边具有相同的颜色，并且如果$H_1,H_2\in P$具有$V(H_1)\cap V(H_2)\neq\emptyset$，则$E(H_1)$和$E(H_2)$具有不同的颜色。分解$(G,P)$的\emph{chromatic index} $χ'((G,P))$是存在$(G,P)$的$k$-$P$-着色的最小数$k$.著名的Erdös-Faber-Lovász猜想指出任何分解$[K_n,P]$满足$χ'([K_n,P])\leq n$。我们利用拟群和完全有向图给出了一个新的族的分解，满足猜想。
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