Approximate subgroups
Jean-Cyrille Massicot, Frank Olaf Wagner
给定一个（局部）群在某个一阶结构中的可定义的近似子群$A$，存在一个由$A$规范化的类型可定义子群$H$，它包含在$A^4$中，使得$H$的每个可定义超集都有正测度。
Given a definably amenable approximate subgroup $A$ of a (local) group in some first-order structure, there is a type-definable subgroup $H$ normalised by $A$ and contained in $A^4$ such that every definable superset of $H$ has positive measure.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Lie-like decompositions of groups definable in o-minimal structures
在o-极小结构中可定义的群和实李群之间有很强的类比。然而，与实际情况不同，不是每个可定义群都有极大可定义紧子群。研究了非可定义紧的可定义群G，证明了G有唯一的极大正规可定义无挠子群N;商G/N总有极大可定义紧子群，且对任意的K，都有极大可定义无挠子群H，使得G/N可分解为G/N = KH，且K与H的交是平凡的.因此G是定义同伦等价于K。当G是可解的，则G/N已经是可定义紧的。在任何情况下（即使当G没有最大可定义的紧子群），我们发现一个可定义的李群分解G的最大环面的作用是发挥最大0-子群。
Splitting definably compact groups in o-minimal structures
A.Borel的一个论证表明，每个紧连通李群都同胚于它的导子群与环面的笛卡儿积。我们证明了一个平行的结果，可定义紧可定义连通群定义在一个O-最小扩张的实封闭的领域。相反的李的情况下，但是，我们提供了一个例子表明，派生子群可能没有一个可定义的半直补。
Definably semisimple groups interpretable in $p$-adically closed fields
设$K$是一个$p$ -基本闭域，$G$是一个在$K$中可解释的群.证明了若$G$是可定义半单的（即$G$没有可定义的无穷正规阿贝尔子群），则存在有限正规子群$H$使得$G/H$可定义同构于一个$K$ -线性群.该结果在$\mathrm{Th}(\mathbb{Q}_p^{an})$模型中仍然成立。
G-linear sets and torsion points in definably compact groups
设G是实封闭的域的o-极小扩张中的可定义紧群。证明了：如果对G的某个可定义子集X，dim（GX）< dim G，则X包含G的扭点.在此过程中，我们发展了所谓的G-线性集的一般理论，并研究了包含G的抽象子群的可定义集。
On Definably Compact Semigroups in o-Minimal Structures
本文在 o-极小结构中研究可定义紧半群，证明其含幂等元及唯一极小理想，用消去律刻画可定义群，并通过 Rees 矩阵分解分类完全单情形。
On non-compact $p$-adic definable groups
Peterzil和Steinhorn证明了，如果一个群$G$可定义在一个$o$ -极小结构中是不可定义紧的，那么$G$包含一个可定义的一维无挠子群。我们在这里证明了一个$p$ -adic模拟的Peterzil-Steinhorn定理，在特殊情况下的阿贝尔群。设$G$是可定义在$p$ -自闭域$M$中的阿贝尔群.如果$G$不是可定义紧的，则存在维数为1的可定义子群$H$不是可定义紧的。在未来的论文中，我们将推广到非阿贝尔$G$。
Definably compact groups definable in real closed fields.II
我们继续分析可定义在实封闭的域$\mathcal{R}$中的可定义紧群。在[3]中，我们证明了对$\mathcal{R}$上的每个可定义紧可定义连通半代数群$G$，都有一个连通$R$ -代数群$H$，一个可定义内射$ϕ$从$G$的恒等式的一般可定义邻域到$H$的$R$ -点的群$H\left(R\right)$，使得$ϕ$在其定义域内充当群同态.上述结果与我们对局部可定义群的局部可定义覆盖同态的研究相结合，证明了：如果这类群$G$是加交换群，则它的o-极小泛覆盖群$\widetilde{G}$是可定义同构的，作为局部可定义群，对于某个连通$R$，到群$H\left(R\right)^{0}$的o-极小泛覆盖群$\widetilde{H\left(R\right)^{0}}$的连通开局部可定义子群-代数群$H$。
Definably compact groups definable in real closed fields. I
研究了可定义在充分饱和实封闭的域$R$中的可定义紧可定义连通群.引入$\bigvee$可定义群的群类属点的概念，证明了可定义在实封闭的域的充分饱和o-极小扩张中的可定义紧群的群类属点的存在性.我们利用这个概念和类属集的一些性质证明了：对于每一个在$R$中可定义的可定义紧可定义连通群$G$，存在一个连通$R$ -代数群$H$，从$G$的恒等式的一般可定义邻域到$H$的$R$ -点的群$H\left(R\right)$的可定义内射映射$ϕ$，使得$ϕ$在其域内充当群同态。这个结果在[2]中被用来证明可定义在充分饱和的实封闭的域$R$中的交换连通可定义紧群的o-极小泛覆叠群，直到局部可定义同构，是某个$R$ -代数群的$R$ -点的o-极小泛覆叠群的开连通局部可定义子群。
Cohomology of groups in o-minimal structures: acyclicity of the infinitesimal subgroup
通过最近对Pillay的一些性质的研究，证明了饱和o-极小结构的可定义紧群是紧李群通过一个无挠的无挠的正规可除子群（称为无穷小子群）的扩张.我们证明了无穷小子群是上同调非循环的。这意味着可定义紧群和李群之间的函子对应保持上同调。
One-dimensional subgroups and connected components in non-abelian $p$-adic definable groups
本文在非阿贝尔 $p$-adic 可定义群中推广了两个先前结果：不可定义紧群含有一维不可定义紧子群（类比 Peterzil-Steinhorn 定理），并证明标准模型及线性代数群子群情形下 $G^0=G^{00}$，进而刻画可定义 amenable 群结构。
Approximation and zero set of definable functions in a definably complete locally o-minimal structure
本文研究了局部o-最小结构中可定义函数的近似与零集，提出了可定义流形的嵌入定理及微分同胚性结论。
Discrete subgroups of locally definable groups
我们的工作在一个领域的O-最小扩展的局部可定义的群体的范畴。Eleftheriou和Peterzil证明了在这一范畴中的每一个可定义生成的交换连通群G都是可定义群的覆盖。我们证明，这是一个自然的凸性假设下的情况下，灵感来自同一作者，这实际上给出了一个充要条件。证明是基于对G的零维相容子群的研究。给定一个局部可定义的连通群G（不一定是可定义生成的），证明了G的n-扭子群是有限的，并且G的每个零维相容子群都有有限秩.在一个凸性假设下，我们证明了G的每一个零维相容子群都是非线性生成的。
Higher homotopy of groups definable in o-minimal structures
已知可定义紧群G是紧李群L通过可分挠自由正规子群的扩张。证明了G的o-极小高同伦群同构于L的相应高同伦群。因此，我们得到了所有给定维数的阿贝尔可定义紧群是可定义同伦等价的，并且它们的泛覆盖是可收缩的。
Extensions of definable local homomorphisms in o-minimal structures and semialgebraic groups
当$\mathcal{G}$是单连通的时，给出了两个局部可定义群$\mathcal{G}$，$\mathcal{G^{\prime}}$之间的可定义局部同态唯一扩张的条件（定理2.1）.作为这个结果的一个应用，我们得到了[3，Thm. 9.1]（见推论2.2）。本文还证明了[3]中的定理10.2对于充分饱和实闭域$R$上的任意可定义连通可定义紧半代数群$G$不一定是阿贝尔群也成立，即对于某个$R$ -代数群$H$（Thm. 3.3）。最后，对于$R$上的交换可定义连通半代数群$G$，我们把$\widetilde{G}$描述为交换$R$ -代数群的o-极小泛覆叠群的子群的局部可定义扩张（定理3.4）
On the o-minimal Hilbert's fifth problem
设${\mathbb M}$是任意的o-极小结构。设$G$是维数为$n$的可定义紧可定义连通阿贝尔可定义群.这里我们对每个$k>0$计算了$G;$的新的内禀o-极小基本群，$G;$的$k$-扭子群，$G.$的${\mathbb Q}$上的o-极小上同调代数。作为推论，我们得到了Pillay猜想的一个新的统一证明，它是Hilbert第五问题的一个o-极小模拟，将可定义紧群与紧实李群联系起来，在序域的O-极小展开中推广了已知的证明。
Definability in the group of infinitesimals of a compact Lie group
本文证明了对于紧致李群$G$，其无穷小子群$G^{00}$与一个实封闭的值域是双可解的.我们推出的$G$一个无限的可定义的紧群定义在一个域的O-最小的扩展，$G^{00}$是双向可解释的（可能平凡的）$\mathbb{Q}$ -向量空间和许多（可能为零）的实封闭的值域的不交并。我们还描述了这样的无穷小子群之间的同构，并证明了实封闭的凸值域$R$中的每个{ \em definable}域与$R$ definable同构.
Definably Topological Dynamics of $p$-Adic Algebraic Groups
本文从可定义拓扑动力学的角度研究了$p$ -进代数群$G$。考虑$M$是任意$p$ -adic闭域，$G$是${\mathbb Q}_p$上的代数群，允许Iwasawa分解$G=KB$，其中$K$是${\mathbb Q}_p$上的开的可定义紧的，$B$是${\mathbb Q}_p$上$G$的Borel子群.我们的主要结果是显式描述的最小子流和Ellis群的普遍可定义的$G(M)$ -流$S_G(M^{\text{ext}})$。证明了$S_G(M^{\text{ext}})$的Ellis群同构于$S_B(M^{\text{ext}})$的Ellis群，即$B/B^0$ .作为应用，我们得出了对应于$\text{GL}(n,M)$和$\text{SL}(n,M)$的Ellis群分别同构于$(\hat {\mathbb Z} \times {\mathbb Z}_p^*)^n$和$(\hat {\mathbb Z} \times {\mathbb Z}_p^*)^{n-1}$的结论，推广了Penazzi，Pillay和Yao在Some model theory and topological dynamics of $p$-adic代数群，Fundamenta Mathematicae，247（2019），pp. 191--216.
Zero-groups and maximal tori
我们给出了各种结果的零群的o-极小结构连同一些新的观察。特别地，我们证明了：如果G是实封闭的域的o-极小扩张中的可定义连通可定义紧群，则对G的任意极大可定义连通交换子群T，G是T的共轭的并.这可以看作是经典定理的推广，即紧连通李群是它的任何极大环面的共轭的并集。
On groups definable in $p$-adically closed fields
本文研究在 $p$-adic 封闭域中可定义的群的 $dfg$/$fsg$ 分解，并证明了相关结论及 Kneser-Tits 猜想的成立。
Newelski's Conjecture for $o$-Minimal and $p$-Adic Groups
本文研究了 $o$-最小和 $p$-adic 组的 Ellis 组，并证明 Newelski 猜想在特定条件下成立。
Definably amenable NIP groups
我们研究明确顺从的NIP群体。我们开发了一个理论的泛型，表明以前考虑的各种定义相吻合，并研究不变测度。应用包括：正则遍历测度的特征，证明Petrykowski猜想连接存在的有界轨道与可定义的顺从性在NIP的情况下，和埃利斯群猜想的Newelski和Pillay连接的模型理论连通组件的NIP群与理想子群的埃利斯包络半群。
O-minimal spectra, infinitesimal subgroups and cohomology
通过最近对Pillay的一些结构的研究，在一个序域的饱和o-极小展开中，每个可定义紧群$G$都有一个正规的"无穷小子群“$G^{00}$，使得商$G/G^{00}$，配备有"逻辑拓扑”，是一个紧（实）李群。我们的第一个结果是函子$G\mapsto G/G^{00}$将可定义紧群的正合序列转换为李群的正合序列。然后我们研究了李群$G/G^{00}$和$G$的o-极小谱$\widetilde G$之间的联系。证明了$G/G^{00}$是$\widetilde G$的拓扑商.因此，我们得到一个自然同态$Ψ^*$从上同调的$G/G^{00}$的（Čech-）上同调的$\widetilde G$。证明了如果$G^{00}$满足适当的可压缩性猜想，则$\widetilde {G^{00}}$在Čech上同调中是无圈的，并且$Ψ^*$是同构的.最后在一些特殊情况下证明了该猜想。
Rough Approximate subgroups
本文证明一阶结构中 $T$-粗糙可定义顺从的 $T$-粗糙近似子群可生成包含于其四次幂内、由其正规化且指数有界的类型可定义子群。
Upside down and backwards
研究NIP背景下不变类型与有限可满足类型的Ellis子群同构性及自然同构条件
Definable rank, o-minimal groups, and Wiegold's problem
本文研究了极小结构中可定义秩无限的群的条件，证明了极小结构定义有限幂的Q/Z当且仅当定义无限可定义秩的群。同时，证明了极小结构中所有可定义群的可定义秩有限，并讨论了群的扩展性质及Wiegold问题的正解。
Weak regularity and one-parameter subgroups of definable $p$-adic Lie groups
研究\(p\)-进域中可定义群的性质，证明其弱正则性，表明单参数子群等可定义，得出\(G_u\)与\(G_\Omega\)的可定义性及\(G_u\)与\(H\)相关结论，尤其在可定义顺从时\(G_u = H_u\)。
Externally definable fsg groups in NIP theories
本文证明NIP结构中外部可定义的fsg群与可解释群可定义同构，利用诚实定义与群块重构方法，并推广了外部可定义集合与群的相关结果，包括证明Eleftheriou猜想。
A Jordan-Chevalley decomposition beyond algebraic groups
本文在 o-minimal 结构中推广了 Jordan-Chevalley 分解，证明可定义线性群可分解为无挠正规子群与半代数子群的半直积，并建立了 Levi 分解、不连通群分解及 p-群与 0-群的相关结果。
Semisimple groups interpretable in various valued fields
本文研究幂有界 $T$-凸、$V$-极小或 $p$-进闭域中可解释的无限半单群，证明其（在有限指数子群意义下）定义性地同源于一个 $K$-线性群与一个 $\mathbf{k}$-线性群的乘积，通过分析群与四个特殊种类的相互作用完成证明。
On groups and fields definable in 1-h-minimal fields
证明了在$1$ -h-极小域中可定义的无限群$G$具有严格$K$ -可微结构，且$G$对它是（弱）李群，并证明了共享同一李代数的可定义局部子群在单位元上具有相同的芽.我们得出结论：在$K$中可定义的无限域与$K$的有限扩张同构，并且在$K$中可定义的$1$维群是有限乘阿贝尔乘有限的.一路上，我们发展的基本理论，可定义的弱$K$ -流形和它们之间的可定义态射。
Strongly minimal reducts of ACVF
本文研究代数闭赋值域中可定义群的强极小非局部模扩张，证明当群为乘法群或包含与加法群可定义子群同构的有限指数子群时，该结构必解释一个无限域。
Generalized Bohr compactification and model-theoretic connected components
对于结构$M$中一阶可定义的群$G$，我们继续研究了$G$的“可定义拓扑动力学”.当$G$的所有子集在给定的结构$M$中都是可定义的特殊情况仅仅是离散群$G$的通常拓扑动力学;特别地，在这种情况下，词语“外部可定义的”和“可定义的”可以在下面描述的结果中去除。在这里，我们认为相互作用的三个概念或对象：一个特定的模型理论不变$G^{*}/(G^{*})^{000}_{M}$的$G$，这似乎是“新的”在经典的离散情况下，我们给出了一个直接的描述文件;[外部可定义]广义玻尔紧化的$G$ ; [外部可定义]强顺从性。除此之外，我们基本上证明：（i）“新的”不变量$G^{*}/(G^{*})^{000}_{M}$位于外部可定义的广义Bohr紧化和可定义的Bohr紧化之间，并且当$G$可定义为强顺从且$S_G(M)$中的所有类型都可定义时，这些都是一致的，（二）从$G^*/(G^*)^{000}_M$到可定义Bohr紧化的满满同态的核自然具有紧的商的结构（Hausdorff）群的稠密正规子群，以及（iii）当$Th(M)$是NIP时，则$G$是[外部]可定义服从的当且仅当它是外部可定义强服从的.在$S_G(M)$中的所有类型都是可定义的情况下，可以只使用上述结果中的可定义（而不是外部可定义）对象。
On simple groups definable in some valued fields
本文证明在特定赋值域中，可定义的简单群本质上是线性代数群，并探讨了其在正特征代数闭域中的扩展结果。
Abelian groups definable in $p$-adically closed fields
回想一下，如果在$G$上有一个全局类型$p$和一个小模型$M_0$，使得$p$的每个左平移分别在$M_0$中是可完全满足的或在$M_0$上是可定义的，则组$G$具有可完全满足的泛型（$fsg$）或可定义的$f$泛型（$dfg$）。证明了在$p$ -代数闭域上可定义的任意阿贝尔群都是可定义紧$fsg$可定义群通过$dfg$可定义群的扩张.我们讨论了一种方法，这可能会证明一个类似的声明可解释的阿贝尔群。在的情况下，$G$是一个阿贝尔群定义的标准模型$\mathbb{Q}_p$，我们表明，$G^0 = G^{00}$，和$G$是一个开放的子群的代数群，有限的因素。后一个结果可以看作是$\mathbb{Q}_p$中阿贝尔可定义群的粗略分类。
Hyperdefinability of the Lie model for approximate subgroups
本文研究了近似子群的李模型在第二种证明中的局部紧群像的超可定义性，并证明其与相对超可定义的局部紧群同构。
Orthogonal decomposition of definable groups
本文在模型论中引入内聚性概念以刻画可定义集内部交互，并证明 o-minimal 结构中的可定义群可分解为内聚正交子集的乘积，同时探讨了特定条件下的内聚性及阿贝尔群的结构。
Schlichting's Theorem for Approximate Subgroups
证明了近似子群的Schlichting定理：若$\mathcal{X}$是某个环境群中的一致可分解近似子群族，则存在一个不变近似子群可与$\mathcal{X}$分解.
Elekes-Szabó for groups, and approximate subgroups in weak general position
研究通过弱一般位置条件，证明连通复代数群的群运算Elekes-Szabó条件可刻画群的 nilpotence，同时证明了交换复代数群中有限生成子群的Mordell-Lang定理。
Stable group theory and approximate subgroups
我们注意到稳定模型论的一些思想和有限组合学中与和积现象有关的某些主题之间的平行关系。对于一个简单的线性群G，我们证明了有限子集X，|X X \^{-1} X|/ |X|有界的G接近于有限子群，否则接近于G的真代数子群的子集.我们还发现了与李群的联系，并利用它得到了一些暗示拓扑零的结果。将这些方法与Gromov的证明相结合，证明了具有包含任意给定有限集的近似子群的有限生成群必是有限幂零群.模型理论上，我们证明了独立性定理和稳定器定理在一般的一阶设置。
On metric approximate subgroups
本文将离散近似子群的 Lie 模型定理推广到双不变度量群，在有限覆盖条件下证明度量近似子群可由典范 Lie 群解释，并推出有界指数群中的近子群结论。
Locally definable subgroups of semialgebraic groups
我们证明了arXiv中的一个猜想的以下例子：1103.4770。设$G$是实封闭的域$R$上的交换半代数群，$X$是$G$的半代数子集.然后由$X$生成的群包含一个脱殊集，如果是连通的，则它是可分的。更一般地说，当$X$可以在$R$的任何o-最小展开中定义时，同样的结果也成立，其中$R$基本上等价于$\mathbb R_{an,exp}$。我们观察到，上面的陈述相当于说：存在一个$m$，使得$Σ_{i=1}^m(X-X)$是$G$的近似子群。
Product-free sets in approximate subgroups of distal groups
本文研究远端可定义群中无乘积子集的存在性，利用 Ruzsa 演算和远端正则性引理证明任意有限子集及 k-近似子群都包含密度下界为 δ/k^c 的无乘积子集。
Approximate subgroups with bounded VC-dimension
本文将Breuillard-Green-Tao近似群结构理论与驯服算术正则性方法结合，证明了任意群中具有小三倍增长和有界VC维的有限子集可分解为有界多个有界秩步长的陪集零进步的平移并集，并推广了有限稳定集的相关结果。
On definable $f$-generic groups and minimal flows in $p$-adically closed fields
本文研究 p-进闭域上可定义群的 f-泛型类型，刻画了弱泛型类型无界性与强 f-泛型存在性的等价条件，并证明了弱泛型类型的 μ-不变性及其与几乎周期类型重合的判定准则。
Direct limits of large orbits and the Knaster continuum homeomorphism group
本研究证明泛Knaster连续统的一度同胚开子群具有贫集补共轭类，通过Polish群作用中贫集补轨道的直向极限稠密逼近一般性结论，结合区间保向同胚群共轭作用的精细分析得到主定理。
Approximate equivalence relations
本文在可定义测度下研究近似等价关系，基于连续逻辑提出概率逻辑框架，利用Kim-Pillay空间完全分类二元相关性，推广范畴性定理与近似子群的李模型定理，并证明NIP理论中可定义测度自同构群的阿基米德有限维性。
Structure and regularity for subsets of groups with finite VC-dimension
设$G$是一个有限群，且$A\subseteq G$使得$\{gA:g\in G\}$的VC-维数严格小于$k$ .我们发现代数结构良好的$G$集，直到一个选定的$ε>0$，描述的结构$A$和行为定期相对于$A$的翻译。对于具有一致固定有限指数$r$的群的子类，这些代数对象是指数以$k$、$r$和$ε$有界的正规子群。对于任意群，我们在有界指数的正规子群内使用秩和宽度有界的Bohr邻域。我们的证明主要是模型理论，并严重依赖于结构分析的紧化的伪有限群作为李群的逆极限。在非交换环境中引入玻尔邻域使用了与Breuillard、Green、Tao和Hrushovski关于近似群的工作相关的模型论方法，以及Alekseev、Glebskii和Gordon关于近似同态的结果。
Universal minimal flows of homeomorphism groups of continua
通过定义射影Fraïssé范畴的近似Ramsey性质，证明了该性质与群极端可安性等价，并应用于伪螺线管同胚群得到非可度量化泛最小流。
Amenability, connected components, and definable actions
研究了可定义群和拓扑群的顺从性。在我们的主要技术工具是阐述和加强的Massicot-Wagner版本的稳定器定理，以及一些结果周围的措施。作为应用，我们证明了如果$G$是顺从拓扑群，则$G$的Bohr紧化与[24]中引入的某种“弱Bohr紧化”是一致的.正式名称为$G^{00}_{topo} = G^{000}_{topo}$。我们还证明了这一结果的广泛推广，特别是它的延伸到一个“可定义的拓扑”的背景下，确认了主要的programmures从[24]。在给定的$\emptyset$ -可定义群$G$上引入$\bigvee$ -可定义群拓扑（包括由类型可定义子群诱导的群拓扑以及一致可定义群拓扑），并证明了$G$的闭类型可定义子集的格上的平均的存在性意味着（在某些假设下）对任何模型$M$都有$cl(G^{00}_M) = cl(G^{000}_M)$.研究了紧致空间上可定义群作用的可定义性、弱概周期作用和稳定性之间的关系。我们的结论是，对于任何群$G$可定义在一个充分饱和的结构，每个可定义的行动$G$上的一个紧凑的空间支持一个$G$不变的概率测度。这给出了[22]和[24]中一些问题和命题的否定解。我们给出了一个例子的$\emptyset$ -可定义的近似子群$X$的饱和扩展的组$\mathbb{F}_2 \times \mathbb{Z}$在一个合适的语言，其中$\bigvee$ -…
Generalized locally compact models for approximate groups
利用拓扑动力学证明任意近似子群广义可定义局部紧致模型的存在性，构造更简单，还证明了其通用性，给出了可定义群的可定义泛型子集结构信息。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。