A note regarding permutation binomials over finite fields
Stephen Lappano
设$f=ax+x^{r(q-1)+1}\in \mathbb{F}_{q^2}^*[x], r\in \{5,7\}.$，我们给出了$(q,a)$是$f$的置换多项式的显式条件
Let $f=ax+x^{r(q-1)+1}\in \mathbb{F}_{q^2}^*[x], r\in \{5,7\}.$ We give explicit conditions on the values $(q,a)$ for which $f$ is a permutation polynomials of $\mathbb{F}_{q^2}.$
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Permutation Binomials over Finite Fields
令$\mathbb F_q$表示具有$q$元素的有限域。本文利用多项式与代数曲线上有理点的关系，给出了在$r = 2$和$r = 3$情形下，二项式$x^n(x^{(q-1)/r} + a)$为置换多项式的$a\in \mathbb F_q$元素的确切个数.
A Note on Permutation Binomials and Trinomials over Finite Fields
设$p$为奇素数，$e$为正整数.本文完全解释了当$n=p^l+2$，其中$l\in \mathbb{N}$，在$\mathbb{F}_{p^e}$上的$D_{n,k}(1,x)$的逆Dickson多项式所产生的置换二项式和三项式.
The compositional inverses of linearized permutation binomials over finite fields
设$q$是素数幂，$n$和$r$是正整数.众所周知，线性化二项式$L_r(x)=x^{q^r}+ax\in\mathbb{F}_{q^n}[x]$是置换多项式当且仅当$(-1)^{n/d}a^{{(q^n-1)}/{(q^{d}-1)}}\neq 1$，其中$d=(n,r)$。在本文中，$L_r(x)$的组成逆显式确定时，这个条件成立。
On Permutation Binomials over Finite Fields
设$\mathbb{F}_{q}$是特征$p$的包含$q = p^{r}$元的有限域，$f(x)=ax^{n} + x^{m}$是系数在这个域上的二项式.如果满足$n-m$和$q-1$的gcd上的某些条件，则该多项式不会置换字段的元素。我们特别证明，如果$f(x) = ax^{n} + x^{m}$置换$\mathbb{F}_{p}$，其中$n>m>0$和$a \in {\mathbb{F}_{p}}^{*}$，则$p -1 \leq (d -1)d$，其中$d = {gcd}(n-m,p-1)$，并且仅就$d$而言，$p$的这个界限是尖锐的。我们以及如何获得在某些情况下，置换二项式的一个子域的$\mathbb{F}_{q}$从置换二项式的$\mathbb{F}_{q}$。
Nonexistence of permutation binomials of certain shapes
设x^m + c*x^n是GF（p）上的置换多项式，其中p>5是素数，m>n>0，c在GF（p）^* 中。我们证明了gcd（m-n，p-1）不是2或4。在（p-1）/2或（p-1）/4是素数的特殊情况下，这在Masuda，Panario和Wang最近的一篇论文中得到了证明。
Permutation binomials over finite fields
证明了若x^m + c*x^n置换素域GF（p），其中m>n>0且c在GF（p）^* 中，则gcd（m-n，p-1）> sqrt{p} - 1.反之，若q>=4且m>n>0是固定的，且满足gcd（m-n，q-1）> 2 q *（log log q）/（log q），则GF（q）上存在形式为x^m + c*x^n的置换二项式当且仅当gcd（m，n，q-1）= 1.
Determination of a Type of Permutation Binomials over Finite Fields
设$f=a\x+\x^{3q-2}\in\Bbb F_{q^2}[\x]$，其中$a\in\Bbb F_{q^2}^*$ .我们证明了$f$是$\Bbb F_{q^2}$的置换多项式当且仅当下列情况之一发生：（i）$q=2^e$，$e$奇，和$a^{\frac{q+1}3}$是本原$3$ rd单位根. (ii)本文确定了$(q,a)$属于一个有限集合。
New Results on Permutation Binomials of Finite Fields
在简要回顾了有限域上置换二项式的已有结果后，引入置换二项式之间等价的概念，并描述了如何在等价的条件下使置换二项式达到其标准型.然后，我们专注于PBs的$\Bbb F_{q^2}$的形式$X^n(X^{d(q-1)}+a)$，其中$n$和$d$是正整数和$a\in\Bbb F_{q^2}^*$。我们的贡献包括两个不存在性结果：（1）如果$q$是偶数且充分大的，且$a^{q+1}\ne 1$，则$X^n(X^{3(q-1)}+a)$不是$\Bbb F_{q^2}$的PB. (2)如果$2\le d\mid q+1$，$q$足够大，并且$a^{q+1}\ne 1$，那么在某些附加条件下，$X^n(X^{d(q-1)}+a)$不是$\Bbb F_{q^2}$的PB。(1)部分地证实了Tu等人最近的一个猜想。（2）是以前用$n=1$得到的结果的推广。
New Classes of Permutation Binomials and Permutation Trinomials over Finite Fields
有限域上的置换多项式在有限域理论中占有重要地位。排列二项和排列三项在编码理论、密码学、组合设计、通信理论等科学和工程领域有着广泛的应用。排列二项和排列三项因其简单的代数形式和额外的特殊性质而引起人们的兴趣。本文构造了几类新的置换二项式和置换三项式。这些置换多项式中的一些是已知置换多项式的推广。
A Class of Binomial Permutation Polynomials
本文给出了一类二项式是置换多项式的一个判别准则。由此得到了许多类二项置换多项式和单项完全置换多项式。这些单项式中的指数是Niho型的。
Permutation binomials of the form $x^r(x^{q-1}+a)$ over $\mathbb F_{q^e}$
给出了$x^r(x^{q-1}+a)$型置换二项式的存在性和不存在性的几个结果，其中$e\geq 2$和$a\in \mathbb{F}_{q^e}^*$ .因此，我们得到了这样的置换二项式在$\mathbb{F}_{q^2}$，$\mathbb{F}_{q^3}$，$\mathbb{F}_{q^4}$，$\mathbb{F}_{p^5}$，和$\mathbb{F}_{p^6}$，其中$p$是一个奇素数的一个完整的特征。
Sparse Lifts of q-Linearized Permutation Polynomials with Explicit Inverses
该研究构造了保持复合逆的q线性化置换多项式的稀疏提升，得到二维二项式、三维三项式等的显式逆，为有限域上置换多项式的构造提供了新方法。
On Some Permutation Binomials and Trinomials Over $\mathbb{F}_{2^n}$
在这项工作中，我们完全刻画（i）置换二项式的形式$x^{{{2^n -1}\over {2^t-1}}+1}+ ax \in \mathbb{F}_{2^n}[x], n = 2^st, a \in \mathbb{F}_{2^{2t}}^{*}$，和（ii）置换三项式的形式$x^{2^s+1}+x^{2^{s-1}+1}+αx \in \mathbb{F}_{2^t}[x]$，\end{enumerate}其中$s,t$是正整数。第一个结果是我们的主要动机，是第二个结果的结果。第二个结果可能是独立的利益。
Some results about permutation properties of a kind of binomials over finite fields
置换多项式在有限域理论、编码理论、密码学、组合设计、通信理论等方面有着广泛的应用，$x^{r}(x^{q-1}+a)$ over $\mathbb{F}_{q^2}$的置换二项式在此之前已被研究过，K.利湖，加-地Qu和X. Chen证明了它们是置换多项式当且仅当$r=1$和$a^{q+1}\not=1$。在本文中，我们考虑相同的二项式，但在有限域$\mathbb{F}_{q^3}$和$\mathbb{F}_{q^e}$。采用了两种不同的方法，得到了它们的部分结果。
A classification of permutation binomials of the form $x^i+ax$ over $\mathbb{F}_{2^n}$ for dimensions up to 8
本文对$\mathbb{F}_{2^n}$（$n\leq8$）上形如$x^i+ax$的置换二项式进行分类，刻画了三类新的置换二项式，其中一类指标为$\frac{q^2+q+1}{3}$。
A Class of Permutation Binomials over Finite Fields
设$q>2$是素数幂，$f={\tt x}^{q-2}+t{\tt x}^{q^2-q-1}$，其中$t\in\Bbb F_q^*$。最近证明了$f$是$\Bbb F_{q^2}$的置换多项式当且仅当下列之一成立：（i）$t=1$，$q\equiv 1\pmod 4$ ;（ii）$t=-3$，$q\equiv \pm1\pmod{12}$ ;（iii）$t=3$，$q\equiv -1\pmod 6$。我们在本文中证实了这一猜想。
Wendt's determinant and finiteness of prime characteristics for permutation binomials
本研究针对置换二项式，结合Wendt行列式，证明对固定参数，仅有限个素特征存在满足条件的置换二项式，确定了特定情形下的可允许特征及相关整除条件。
Construction of Permutation Polynomials of Certain Specific Cycle Structure over Finite Fields
本文针对奇数阶有限域，构造了具有特定圈结构的置换二项式和置换三项式族，包括具有一个不动点且其余元素构成等长互斥圈的置换，以及具有特定频率的多长度圈置换多项式。
A complete classification of permutation binomials of the form $X^r(X^{q-1}+a)$ over finite fields
本文完整分类了有限域上形如 $X^r(X^{q-1}+a)$ 的置换二项式，给出充要条件并证明 Masuda 等人的猜想，同时确定置换函数数量并推广到更广族。
Permutation binomials of the form $X^r(X^{q-1}+a)$ over finite fields
本文完整刻画了形如 $X^r(X^{q-1}+a)$ 的二项式在有限域上成为置换的条件，并证明了 Masuda--Rubio--Santiago 猜想。
Exact Divisibility of Exponential Sums Associated to Binomials over finite fields
本文计算了二项式$F(X)=aX^{d_1} +b X^{d_2}$的指数和的精确整除性。特别地，对于$\max\{d_1,d_2\}\leq\sqrt{p-1}$的情况，计算精确的整除度。作为我们的结果的副产品，我们得到家庭的二项式，不置换$\mathbb{F}_p$，和一个下界的二项式的值集的大小超过$\mathbb{F}_p$。此外，我们得到了一个新的标准，以确定一个多项式是否定义或不排列的$\mathbb{F}_p$，取决于整除的指数和相关的多项式。
Permutation polynomials over finite fields from low-degree rational functions
该研究利用$F_q$上低次置换有理函数，构造出偶特征$F_{q^2}$上两类置换二项式与六类置换五项式，且证明其与已有结果拟乘法不等价，丰富了有限域置换多项式的构造结果。
Further Investigation on Cyclotomic Mapping Permutation Polynomials over Finite Fields
本文研究了有限域上分圆映射置换多项式与特定形式置换多项式的关系，提出新的判定条件，并据此构造了若干置换三项式和二项式。
Weil sums of binomials: properties, applications, and open problems
我们提出了一个调查韦尔和一个有限域$F$的添加剂字符被应用到一个二项式的个别条款（单项式）成为排列的$F$时，被视为功能。然后我们指出了这些Weil和在应用中的应用，特别是它们如何刻画幂置换的非线性和有限域上线性递归序列的相关性。在这些应用中，人们感兴趣的是频谱的威和值，获得的二项式中的系数是不同的。我们回顾了这些光谱的基本性质，然后给出了一个调查目前的研究课题：阿基米德和非阿基米德界的总和，在频谱中的值的数量，以及存在或不存在零的频谱。我们指出了一些重要的开放问题，并讨论了对他们已经取得的进展。
A General Construction of Permutation Polynomials of $\Bbb F_{q^2}$
设$r$为正整数，$h(X)\in\Bbb F_{q^2}[X]$，$μ_{q+1}$为$\Bbb F_{q^2}^*$的阶$q+1$的子群.众所周知，当且仅当$\text{gcd}(r,q-1)=1$和$X^rh(X)^{q-1}$置换$μ_{q+1}$时，$X^rh(X^{q-1})$置换$\Bbb F_{q^2}$。有许多这种类型的$\Bbb F_{q^2}$的置换多项式的特别构造，使得$h(X)^{q-1}$在$μ_{q+1}$的子群的陪集上诱导单项函数。我们给出了一个一般的结构，可以生成，通过一个算法，{ \em all}置换多项式的$\Bbb F_{q^2}$与此属性，包括许多以前不知道的。该结构明确说明了排列二项式和三项式。
On A Conjecture Regarding Permutations Which Destroy Arithmetic Progressions
Hegarty为$n\neq 2, 3, 5, 7$证明了$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$有一个置换，它破坏了所有mod $n$的等差数列。对于$n\ge n_0$，Hegarty和Martinsson证明了$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$有一个算术级数破坏置换。然而，$n_0\approx 1.4\times 10^{14}$和因此解决的猜想完全仍然是遥不可及的任何计算技术。然而，本文使用模仿Elkies和Swaminathan所使用的结构，对于$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$，其中$p$是素数的情况，完全建立了猜想。此外，我们的结果不依赖于这样一个事实，即它足以研究时，$n<n_0$，因此我们的结果完全独立的证明Hegarty和Martinsson。
Contour Integration and Cyclotomic Apéry-Like Series Involving Generalized Binomial Coefficients
本文通过轮廓积分方法研究了一类涉及广义二项式系数的 cyclotomic 阿佩里型级数，推导出多重 polylogarithms 等表达式，并恢复了一些已知结果。
A New Method of Construction of Permutation Trinomials with Coefficients 1
有限域上的置换多项式是一个有趣的、多年来一直活跃的研究课题。它们在数学和工程领域有重要的应用。近年来，置换二项式和置换三项式因其简单的代数形式而引起人们的兴趣。本文推广屠维岳关于指数为Niho型的置换多项式的刻划方法，提出了一种构造系数为1的置换三项式的新方法。此外，我们给出了一类特殊情况下置换三项式的显式合成逆。
A Recursive Construction of Permutation Polynomials over $\mathbb{F}_{q^2}$ with Odd Characteristic from Rédei Functions
本文利用有理Rédei函数递归构造了奇特征$\mathbb{F}_{q^2}$上的两类置换多项式，完整刻画了其合成逆，并给出了易于验证的置换条件及若干二项式、三项式实例，发现此类多项式数量庞大。
Determination of Some Types of Permutations over $\mathbb{F}_q^2$ with Low-Degree
本研究针对有限域上置换刻画的经典数论问题，运用Hermite准则与置换有理函数理论，分别完成二元二次、二元3次齐次低次置换多项式系统的完全分类，并明确刻画了$\boldsymbol{\text{F}}_{q^2}$上一类置换二项式，解决了该领域的重要特例。
Permutation Polynomials of $\Bbb F_{q^2}$ of the form $a{\tt X}+{\tt X}^{r(q-1)+1}$
设$q$是素数幂，$2\le r\le q$和$f=a{\tt X}+{\tt X}^{r(q-1)+1}\in\Bbb F_{q^2}[{\tt X}]$，其中$a\ne 0$。$r,q,a$上$f$是${\Bbb F}_{q^2}$的置换多项式（PP）的充分必要条件是未知的。(Such条件是已知的，在一个额外的假设下，$a^{q+1}=1$ .）本文证明了：（i）若$f$是${\Bbb F}_{q^2}$的PP，则$\text{gcd}(r,q+1)>1$和$(-a)^{(q+1)/\text{gcd}(r,q+1)}\ne 1$ . (ii)对于固定的$r>2$，并且在满足$q+1\equiv 0\pmod r$和$a^{q+1}\ne 1$的条件下，只有1000个$(q,a)$，其中$f$是${\Bbb F}_{q^2}$的PP。结合（i）和（ii）证实了最近的猜想关于类型的置换二项式考虑在这里。
A proof of a conjecture on permutation trinomials
该研究运用代数曲线与代数数论方法，证明了已有文献中关于有限域上一类置换三项式的猜想，丰富了置换多项式领域的理论成果。
Not so new congruences for Stirling numbers of the first kind, with an application to Chern classes
在本文中，我们给出了简单的表达式，涉及二项式系数，$c(n,k)$模$p^{v_p(n)}$的值，当$v_p(n) > 0$。这里，$c(n,k)$表示第一种斯特林数，并且$v_p(n)$是$p$除以$n$的最高幂。作为应用，我们计算了循环群的置换表示的Chern类.
On the nonintegrality of certain generalized binomial sums
本研究针对几类广义二项和，运用$p$进方法探讨其在整数参数下的非整性，推导分母性质、参数不等式及例外情形，推广了近期受关注的相关猜想的已有结论。
A bijection for tuples of commuting permutations and a log-concavity conjecture
该研究给出交换置换组计数公式$A(\ell,n,k)$的初等自包含新证明（通过显式双射实现阶数约化），并研究推广自Heim-Neuhauser猜想的对数凹性猜想。
Rationality of Four-Valued Families of Weil Sums of Binomials
本文研究有限域上二项式 Weil 和谱的四值有理性，证明四值情形下各值必为有理整数，仅在五元域且指数满足 $s\equiv3\pmod4$ 时存在例外。
Non-permutation phenomena in trivariate families over $\F_{2^m}$ and resolution of a conjecture
研究三元函数在有限域上的非排列现象，解决关于三元形式的猜想的排列部分。
Truncated versions of Dwork's lemma for exponentials of power series and $p$-divisibility of arithmetic functiens
（Dieudonné and）Dwork引理给出了系数在$Q_p$中的形式幂级数$S(z)$的指数在$Z_p$中的一个充要条件.我们建立了关于$S(z)$的指数系数的$p$ -adic赋值定理，假设$S(z)$的系数条件比Dwork引理中的条件弱.作为应用，我们给出了几个关于有限生成群的置换表示个数的$p$ -adic赋值下界的结果.特别是，我们给相当紧的下界的情况下，任意有限阿贝尔$p$ -组，从而推广了许多结果，在特殊情况下，已经出现在文献中。进一步的应用包括充分条件的最终周期性的子群号码模$p$的自由产品有限阿贝尔$p$ -群，结果$p$ -整除置换数的限制，其循环结构，和一个奇怪的“超同余”为一定的二项式和。
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