发表机构
School of Mathematical Sciences, South China Normal University（华南师范大学数学科学学院）
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本文完整刻画了形如 $X^r(X^{q-1}+a)$ 的二项式在有限域上成为置换的条件，并证明了 Masuda--Rubio--Santiago 猜想。
AI 中文摘要
本文致力于研究置换二项式 $F_{r,a}(X)=X^r(X^{q-1}+a)\in\mathbb F_{q^e}[X]$，其中 $a\in\mathbb F_{q^e}^*$。我们给出了 $F_{r,a}$ 成为 $\mathbb{F}_{q^e}$ 上置换的完整刻画。这为 Masuda--Rubio--Santiago 提出的猜想（见文献 \cite{masuda2022permutation}）提供了完整证明。更精确地，我们证明 $F_{r,a}$ 置换 $\mathbb F_{q^e}$ 当且仅当 $(-a)^{(q^e-1)/(q-1)}\ne1$，$\gcd(r,q-1)=1$，且存在 $1\le h<e$ 满足 $\gcd(h,e)=1$ 使得 $r(q^h-1)\equiv q-1\pmod{q^e-1}$。
英文摘要
This paper is devoted to studying permutation binomial $F_{r,a}(X)=X^r(X^{q-1}+a)\in\mathbb F_{q^e}[X]$ with $a\in\mathbb F_{q^e}^*$. We present a complete characterization for $F_{r,a}$ to be a permutation of $\mathbb{F}_{q^e}$. This yields a complete proof of the conjecture proposed by Masuda--Rubio--Santiago \cite{masuda2022permutation}. More precisely, we show that \(F_{r,a}\) permutes \(\mathbb F_{q^e}\) if and only if $(-a)^{(q^e-1)/(q-1)}\ne1, \gcd(r,q-1)=1$, and there exists \(1\le h<e\) with \(\gcd(h,e)=1\) such that $r(q^h-1)\equiv q-1\pmod{q^e-1}.$
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