Almgren-type monotonicity methods for the classification of behavior at corners of solutions to semilinear elliptic equations
讨论了研究具有圆锥形边界点的区域中半线性椭圆型方程解在角点附近的渐进行为的单调性方法。对于足够接近直锥面的边界轮廓，排除了在渐近展开的首项中存在的边界。
2011-07-22 math.AP
Monotonicity-based inversion of fractional semilinear elliptic equations with power type nonlinearities
研究具有幂型非线性项的分数阶半线性椭圆型方程的单调性方法。证明了Dirichlet-to-Neumann映射的系数与导数之间的单调性关系成立。基于强单调性关系，研究了分数阶Calderón型反问题系数的构造性全局唯一性和包含检测问题.同时，我们也可以推导出具有多个测量的Lipschitz稳定性。结果适用于任何$n\geq 1$。
2020-12-06 math.AP
On fractional elliptic equations in Lipschitz sets and epigraphs: regularity, monotonicity and rigidity results
考虑无界区域上具有上图性质的非局部方程组。我们证明了对称性，单调性和刚性的结果。特别是，我们处理半空间，强制epigraphs和epigraphs是平坦的无穷大。
2016-10-25 math.AP
Monotonicity and rigidity of solutions to some elliptic systems with uniform limits
本文证明了Gibbons猜想对一类耦合竞争Gross-Pitaevskii系统的有效性。我们还提供了尖锐的先验界，正则性结果和额外的刘维尔型定理。
2017-04-21 math.AP
Interior continuity, continuity up to the boundary and Harnack's inequality for double-phase elliptic equations with non-logarithmic conditions
在精确选择$μ$的条件下，证明了$$ \begin{aligned} {\rm div}\big(|\nabla u|^{p-2}\,\nabla u+a(x)|\nabla u|^{q-2}\,\nabla u\big)=0,& \quad a(x)\geqslant0, \\ |a(x)-a(y)|\leqslant A|x-y|^αμ(|x-y|),& \quad x\neq y, \\ {\rm div}\Big(|\nabla u|^{p-2}\,\nabla u \big[1+\ln(1+b(x)\, |\nabla u|) \big] \Big)=0,& \quad b(x)\geqslant0, \\ |b(x)-b(y)|\leqslant B|x-y|\,μ(|x-y|),& \quad x\neq y, \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} {\rm div}\Big(|\nabla u|^{p-2}\,\nabla u+ c(x)|\nabla u|^{q-2}\,\nabla u \big[1+\ln(1+|\nabla u|) \big]^β \Big)=0,& \quad c(x)\geqslant0, \, β\geqslant0,\phantom{=0=0} \\ |c(x)-c(y)|\leqslant C|x-…
2020-12-20 math.AP
A new discrete monotonicity formula with application to a two-phase free boundary problem in dimension two
我们继续分析了\cite{DK}中提出的两相自由边界问题，研究了Bernoulli型自由边界问题中极小解在非平坦点处的线性增长性以及自由边界的正则性.在这里，我们还定义了泛函$$ϕ_p(r,u,x_0)=\frac1{r^4}\int_{B_r(x_0)}\frac{|\nabla u^+(x)|^p}{|x-x_0|^{N-2}}dx\int_{B_r(x_0)}\frac{|\nabla u^-(x)|^p}{|x-x_0|^{N-2}}dx$$，其中$x_0$是自由边界点，即$x_0\in\partial\{u>0\}$和$u$是泛函$$J(u):=\int_Ω|\nabla u|^p +λ_+^p\,χ_{\{u>0\}} +λ_-^p\,χ_{\{u\le 0\}}, $$的最小化器，对于某些有界光滑域$Ω\subset {\mathbb R}^N$和正常数$λ_\pm$，其中$Λ:=λ_+^p-λ^p_->0$。在这里，我们显示了离散的单调性的$ϕ_p(r,u,x_0)$在两个空间维度上的非平坦点，当$p$是足够接近2，然后建立线性增长。我们的方法的一个新特征是第4节中讨论的各向异性标度参数。
2015-09-01 math.AP
Symmetry and Monotonicity Property of a Solution of (p,q) Laplace Equation with Singular Term
本文利用移动平面法研究带奇异项和零 Dirichlet 边界条件的 (p,q) Laplace 方程正解，证明其对称性与单调性，并在径向情形下建立强比较原理。
2023-04-21 math.AP
Gradient estimates for singular quasilinear elliptic equations with measure data
本文证明了有界区域$Ω\subset\mathbb{R}^{N}$中具有测度数据$$-\operatorname{div}(A(x,\nabla u))=μ,$$的奇异拟线性椭圆型方程解的梯度的$L^q$ -估计，其中$A(x,\nabla u)\nabla u \asymp |\nabla u|^p$，$p\in (1,2-\frac{1}{n}]$和$μ$是$Ω$中的Radon测度
2017-05-25 math.AP
Monotonicity and 1-dimensional symmetry for solutions of an elliptic system arising in Bose-Einstein condensation
研究了下列椭圆型方程组：\[ \begin{cases} -Δu = -u v^2 & \text{in $\R^N$}\\ -Δv= -u^2 v & \text{in $\R^N$}, \end{cases} \]对每一维$N \ge 2$的正解的单调性和一维对称性.特别地，我们证明了H.贝雷斯蒂茨基，T. C. Lin，J. Wei和C.赵
2013-03-06 math.AP
Uniqueness for Neumann problems for nonlinear elliptic equations
本文证明了一类以-div（（1 +））为原型的Neumann边值问题解的唯一性结果|$\nabla$使用|2）（p-2）/2 $\nabla$ u）- div（c（x）|u| p-2 u）= f in $Ω$，（1 +| $\nabla$使用|2）在$\partial$ $Ω$上的（p-2）/2 $\nabla$ u + c（x）|u| p-2 u $\times$ n = 0，
2017-12-08 math.AP
Green's function for elliptic systems: existence and Delmotte-Deuschel bounds
证明了对具有$d \geq 2 $的开域$D \subset \mathbb{R}^d $，对每个（可测）一致椭圆张量场$a$和几乎每个点$y \in D$，存在唯一的以$ y $为中心的格林函数，该格林函数与D中的向量算子$ -\nabla \cdot a\nabla $有关.特别地，当$d > 2$时，该结果还暗示椭圆系统的基本解的存在性，即$ \mathbb{R}^d $中$ -\nabla \cdot a\nabla $的格林函数。此外，在均匀椭圆张量场集合上引入系综$\langle\cdot \rangle$，在平稳性假设下，我们推导出基本解$G$的$\langle |G(\cdot; x,y)|\rangle$，$\langle|\nabla_x G(\cdot; x,y)|\rangle$和$\langle |\nabla_x\nabla_y G(\cdot; x,y)|\rangle$的点态界.这些估计规模最佳的空间和Delmotte和Deuschel的标量情况下获得的界限系统提供了一个推广。
2016-06-02 math.AP
Monotonicity formula and Liouville-type theorems of stable solution for the weighted elliptic system
本文研究加权椭圆方程组\begin{equation*} \begin{cases} -Δu=|x|^β v^{\vartheta},\\ -Δv=|x|^α |u|^{p-1}u, \end{cases}\quad \mbox{in}\;\ Ω, \end{equation*}，其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$，$N \ge 5$，$α>-4$，$0 \le β\le \dfrac{N-4}{2}$，$p>1$和$\vartheta=1$的子集.首先利用Pohozaev恒等式构造了一个单调性公式，并找到了它们之间的某种等价关系.利用解的{ \it Pohozaev恒等式}、{ \it单调性公式}和{ \it blowdown}序列，证明了高维加权椭圆方程组（正的或变号的）稳定解的Liouville型定理.
2014-08-22 math.AP
Hardy Type Inequalities Related to Degenerate Elliptic Differential Operators
证明了与拟线性二阶退化椭圆型微分算子L_p（u）：=- \nabla_L^*（\abs{\nabla_L u}^{p-2} \nabla_L u）有关的几个Hardy型不等式.如果k是一个正的权值，使得-L_p k>= 0，则Hardy型不等式c \int_Ω \frac{\abs u^p}{ϕ^p} \abs{\nabla_L ϕ}^p d \le \int_Ω \abs{\nabla_L u}^p d成立。我们发现一个明确的价值观的常数，其中，在大多数情况下，结果最佳。作为特例，我们得到了Carnot群上次椭圆算子的Hardy不等式.
2006-03-08 math.AP
Monotonicity of solutions of quasilinear degenerate elliptic equation in half-spaces
证明了当$2<p< 3$和$f(\cdot)$为幂型非线性函数，或当$p>2$和$f(\cdot)$为超线性函数时，$-Δ_p u=f(u)$的解在窄无界域上的弱比较原理.我们利用它证明了半空间中$-Δ_p u=f(u)$正解的单调性（Dirichlet假设为零），从而证明了一些Liouville型定理.
2012-10-05 math.AP
Decomposition and pointwise estimates of periodic Green functions of some elliptic equations with periodic oscillatory coefficients
本文研究多尺度椭圆算子$Lu=-{\rm div}\left( A(n\cdot) \cdot \nabla u \right)$的$\mathbb{Z}^d$ -周期格林函数$G_n(x,y)$，其中$A(x)$是$\mathbb{Z}^d$ -周期、强制、Hölder连续矩阵，$n$是大整数.我们证明了在这里逐点估计$G_n(x,y)$，$\nabla_x G_n(x,y)$，$\nabla_y G_n(x,y)$和$\nabla_x \nabla_y G_n(x,y)$尺寸$d \geq 2$。此外，我们推导出这个格林函数的一个明确的分解，这是独立的利益。这些结果也适用于系统。
2018-07-24 math.AP
Monotonicity of positive solutions to quasilinear elliptic equations in half-spaces with a changing-sign nonlinearity
本文证明了半空间中$ -Δ_p u = f(u) $在零Dirichlet边界条件下，对于$(2N+2)/(N+2) < p < 2$和一般的正则变号非线性项$f$，正解的单调性.主要结果的证明中所使用的技术是基于比较和最大值原理的精细使用，以及在无界域中拟线性椭圆型方程的著名移动平面方法的适应。
2021-12-16 math.AP
Geometric inequalities and symmetry results for elliptic systems
我们得到了一些Poincaré型公式，我们使用这些公式，结合水平集分析，来检测形式为{eqnarray *}{{array}{ll} div（a）的可能退化椭圆型方程组的单调稳定解的一维对称性。|\nabla使用|）\nabla u）= F_1（u，v），div（b（|\nabla v|）\nabla v）= F_2（u，v），{array}. {eqnarray *}其中$F\in C^{1,1}_{loc}(\R^2)$。我们的设置是非常普遍的，它包括，作为一个特殊的情况下，德乔治的猜想相分离$\R^2$。
2013-02-27 math.AP
Symmetry and monotonicity of solutions to elliptic and parabolic fractional $p$-equations
该研究建立了抛物型分数阶$p$-方程的反对称函数最大值原理，以此给出含梯度项的椭圆型分数阶$p$-方程解对称性与单调性的新证法，并得到全空间与有界域上非线性抛物型分数阶$p$-方程正解在有限时刻的对称性与单调性，相关结果可推广至含非线性非局部算子的椭圆、抛物问题。
2025-02-22 math.AP
On the homogenization of random stationary elliptic operators in divergence form
在本说明中，我们评论均匀化的随机椭圆算子的散度型$-\nabla \cdot a\nabla$，其中的系数字段$a$分布根据一个平稳的，但不一定遍历，概率测度$P$。我们推广了著名的$P$平稳和遍历的情况下，运营商$-\nabla \cdot a(\frac{\cdot}{\varepsilon})\nabla$几乎必然均匀的常数系数，随机运营商$-\nabla \cdot A_h\nabla$。此外，我们使用一个分解公式$P$关于一个家庭的遍历和平稳的概率测度表明，法律的$A_h$可以得到通过使用标准的均匀化结果对每个概率测度的前一个家庭。最后，我们提供了一个更明确的公式$A_h$的情况下，系数场是一个函数的平稳高斯场。
2018-09-17 math.AP
Monotonicity and Liouville-type theorems for semilinear elliptic problems in the half space
该研究探讨半空间中带齐次Dirichlet边界条件的半线性椭圆方程正解的性质，证明有限条带方向有界的正解沿边界法向严格单调递增，并推导出Lane-Emden方程的新刘维尔型定理。
2025-10-02 math.AP
Monotonicity results in half spaces for quasilinear elliptic equations involving a singular term
本文研究半空间中带奇异非线性项的 p-Laplace 椭圆方程正解，结合先验估计与移动平面法证明解在边界法向上单调递增。
2025-05-14 math.AP
Elliptic systems with measurable coefficients of the type of Lamé system in three dimensions
本文研究了$3 \times 3$椭圆方程组$\nabla \times (a(x) \nabla\times u)-\nabla (b(x) \nabla \cdot u)=f$，其中系数$a(x)$和$b(x)$是可测的正标量函数，且远离零和无穷大.我们证明了在非齐次项$f$上的某些极小条件下，上述方程组的弱解是Hölder连续的.我们也提出了一些应用，并讨论了几个相关的主题，包括估计的格林函数和上述系统的热核。
2014-01-17 math.AP
On maximum principles for radial solutions to nonlinear elliptic PDE's via Opial-type inequalities
考虑椭圆型退化非线性偏微分方程：$$ - \mathrm{div}(a(|x|)|\nabla w(x)|^{p-2} \nabla w(x)) + h(|x|,w(x),\langle\nabla w(x),\frac{x}{|x|}\rangle)=ϕ(w(x)), $$其中$$ - \mathrm{div}(a(|x|)|\nabla w(x)|^{p-2} \nabla w(x)) + h(|x|,w(x),\langle\nabla w(x),\frac{x}{|x|}\rangle)=ϕ(w(x)), $$属于$\bf{R}^n$中的球.利用基于Opial型不等式的论证，我们研究了其径向解的定性性质，如最大值原理、单调性以及非平凡解的不存在性.
2019-08-23 math.AP
A viscosity equation for minimizers of a class of very degenerate elliptic functionals
考虑泛函$$J(v) = \int_Ω[f(|\nabla v|) - v] dx,$$，其中$Ω$是有界域，$f:[0,+\infty)\to \mathbb{R}$是对$s\in [0,σ]$为零的凸函数，且有$σ>0$ .证明了$J$的极小元$u$在粘性意义下满足形式为$$\min(F(\nabla u, D^2 u), |\nabla u|-σ)=0$$的方程.
2012-06-15 math.AP
Regularity and symmetry results for nonlinear degenerate elliptic equations
本文证明了一类$\displaystyle -\operatorname{div}(A(|\nabla u|)\nabla u)+B\left( |\nabla u|\right) =f(u)$形式的非线性退化椭圆型方程解的正则性结果，特别地，我们研究了解的二阶正则性.作为这些结果的结果，我们得到了这类退化问题的正解的对称性和单调性通过适当的调整著名的Alexandrov-Serrin的移动平面方法在凸对称区域。
2021-02-15 math.AP
Symmetry for a general class of overdetermined elliptic problems
设$Ω$是$\mathbb{R} ^N $中的有界区域，$u\in C^1 (\overline{Ω}) $是以下超定边值问题的弱解：$-\nabla (g(|\nabla u|)|\nabla u|^{-1} \nabla u )=f(|x|,u)$，$Ω$中的$ u>0 $和$\partial Ω$中的$u(x)=0, \ |\nabla u (x)| =λ(|x|)$，其中$g\in C([0,+\infty ))\cap C^1 ((0,+\infty ) ) $与$g(0)=0$，$t>0$中的$g'(t)>0$，$f\in C([0,+\infty )) \times [0, +\infty ) )$，$f$在$|x|$中不增，$λ\in C([0, +\infty )) $和$λ$为正且不减。我们发现，$Ω$是一个球和$u$满足一些“本地”的对称性。证明是基于连续Steiner对称化的方法。
2015-12-16 math.AP
Local gradient estimates for degenerate elliptic equations
本文重点研究了形式为$\text{div}[\mathbf{a}(x,u, \nabla u)] +b(x, u, \nabla u) =0$的退化椭圆型方程弱解的局部内部$W^{1,\infty}$ -正则性，其中包括$p$ -Laplacian型方程的弱解。我们得到了一个明确的估计的局部$L^\infty$-范数的解决方案的梯度方面的局部$L^p$ -范数。具体而言，我们证明\begin{equation*} \|\nabla u\|_{L^\infty(B_{\frac{R}{2}}(x_0))}^p \leq \frac{C}{|B_R(x_0)|}\int_{B_R(x_0)}|\nabla u(x)|^p dx. \end{equation*}这一估计铺平了道路，我们即将开展的工作，建立$W^{1,q}$ -估计（$q>p$）弱解的一个更大的类的拟线性椭圆型方程。
2015-05-05 math.AP
Geometric properties of solutions to elliptic PDE's in Gauss space and related Brunn-Minkowski type inequalities
Università degli Studi di Firenze（佛罗伦萨大学）；Hunan University（湖南大学）
本文研究了椭圆偏微分方程解的几何性质，证明了相关Brunn-Minkowski型不等式，并探讨了凸领域中特征函数的对数凹性。
2026-02-22 math.AP
Symmetry results for nonlinear elliptic operators with unbounded drift
在适当的能量条件下，证明了$-\dive(e^{G(x)}a(|\nabla u|)\nabla u)=f(u) e^{G(x)}$形式的椭圆型方程解的一维对称性。我们的结果在对周围空间的维数没有任何限制的情况下成立。
2013-06-06 math.AP
Existence results of positive solutions for nonlinear cooperative elliptic systems involving fractional Laplacian
在这篇文章中，我们证明了以下带梯度项的非线性椭圆型方程：\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{l@{\quad }l} (-Δ)^αu=f(x,u,v,\nabla u, \nabla v) &{\rm in}\,\,Ω,\\ (-Δ)^αv=g(x,u,v,\nabla u, \nabla v) &{\rm in}\,\,Ω,\\ u=v=0\,\,&{\rm in}\,\,\R^N\setminusΩ, \end{array} \right. \end{eqnarray*}其中$(-Δ)^α$表示分数拉普拉斯算子，$ Ω$是$ \R^N $中的光滑有界区域.证明了在对$ f $和$ g $的某些假设下，该问题至少有一个正解$(u,v)$ .我们的证明是基于Gidas和Spruck的经典标度方法和拓扑度理论。
2015-11-10 math.AP
Radial Symmetry of Large Solutions of Semilinear Elliptic Equations with Convection
研究了半线性椭圆型问题Δu + \nabla h的大解的径向对称性. \nabla u = f（|x|，u），我们提供了尖锐的条件下，该问题有一个径向的解决方案。这个结果与无穷远处解的增长率无关。
2012-07-18 math.AP
Monotonicity and nonexistence results for some fractional elliptic problems in the half space
本文研究了半空间$\R^N_+:=\{x \in \R^N\::\: x_1>0\}$中的一类具有互补Dirichlet条件$u \equiv 0$ in $\R^N \setminus \R^N_+$形式的分式椭圆问题.在对非线性方程$f$的适当假设下，证明了在$x_1$中有界正解是递增的.对于$f(u)=u^q$的特殊情形，当$q \ge 1$和$q<\frac{N-1+2s}{N-1-2s}$满足$N \ge 1+2s$时，我们得到了正有界解的不存在性.我们不需要可积性假设的解决方案，我们研究。
2013-09-27 math.AP
Infinite time blow-up of many solutions to a general quasilinear parabolic-elliptic Keller-Segel system
本文考虑一类抛物-椭圆趋化系统，它将\[ \begin{cases}\begin{split} & u_t=\nabla\cdot((u+1)^{m-1}\nabla u)-\nabla \cdot(u(u+1)^{σ-1}\nabla v)\\ & 0 = Δv - v + u \end{split}\end{cases} \]推广到有界光滑区域$Ω\subset \mathbb{R}^N$，$N\ge 3$，并具有齐次Neumann边界条件.我们证明了 *）解是整体有界的如果$σ<m-\frac{N-2}N$ *）解是整体的如果$σ\le 0$ *）接近给定的径向对称函数如果$σ>m-\frac{N-2}N$有许多初始数据产生无界解.特别是，如果是$σ\le 0$和$σ> m-\frac{N-2}N$，有许多初始数据会演变成解决方案，这些解决方案在无限长的时间后会崩溃。
2017-10-25 math.AP
Strong Comparison Principles for Some Nonlinear Degenerate Elliptic Equations
本文得到了一类非线性退化椭圆算子$\nabla^2 ψ+ L(x,\nabla ψ)$（包括共形Hessian算子）的局部Lipschitz黏性解的强比较原理和Hopf引理.
2018-04-03 math.AP
Solutions in Lebesgue spaces to nonlinear elliptic equations with sub-natural growth terms
研究了拟线性椭圆方程\[ -Δ_{p} u = σu^{q} \quad \text{in} \;\; \mathbb{R}^n \]在次自然增长情形$0<q< p-1$下正解$u \in L^{r}(\mathbb{R}^{n})$，$0<r<\infty$的存在性问题，其中$Δ_{p}u = \text{div}( |\nabla u|^{p-2} \nabla u )$是具有$1<p<\infty$的$p$-Laplacian，$σ$是$\mathbb{R}^n$上的非负可测函数（或测度）.我们的技术依赖于研究一般积分方程，涉及非线性潜力和相关的加权范数不等式。它们适用于更一般的拟线性椭圆算子，如$\mathcal{A}$ -Laplacian算子$\text{div} \mathcal{A}(x,\nabla u)$和$\mathbb{R}^n$上的分数Laplacian算子$(-Δ)^α$，以及格林函数为正的任意域$Ω\subseteq \mathbb{R}^n$上的系数$\text{div}(\mathcal{A} \nabla u)$为有界的线性一致椭圆算子.
2018-11-26 math.AP
Global Lorentz estimates for non-uniformly nonlinear elliptic equations via fractional maximal operators
本文是对非线性椭圆型方程正则性理论研究的一个贡献。本文的目的是建立一些整体估计的非一致椭圆的散度型如下\begin{align*} -\mathrm{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u + a(x)|\nabla u|^{q-2}\nabla u) = - \mathrm{div}(|\mathbf{F}|^{p-2}\mathbf{F} + a(x)|\mathbf{F}|^{q-2}\mathbf{F}), \end{align*}，产生于双相泛函问题。特别地，主要结果给出了分布解关于极大算子和分数极大算子的正则性估计。本文推广了\cite{CoMin2016,Byun2017Cava}在Lorentz空间中的整体估计.这一工作也推广了我们最近在\cite{PNJDE}中的结果，该结果致力于用截断分数极大算子对发散椭圆型方程进行新的估计。对于未来的研究，在本文中开发的方法允许获得全局估计的非一致非线性椭圆型方程在其他空间的框架下的分布解。
2020-02-02 math.AP
A new monotonicity formula for quasilinear elliptic free boundary problems
本文为一类拟线性椭圆自由边界问题构造了新单调性公式，通过分析非线性通量的Helmholtz-Wéyl分解中的鬼函数完成证明，并据此证明了R^3中一类拟线性Bernoulli型自由边界问题的完全正则性。
2025-09-13 math.AP
An application of a theorem of G. Zwirner to a class of non-linear elliptic systems in divergence form
本文应用关于问题$U'(w)=γF(U(w),w),\ U(w_1)=u_2,\ U(w_2)=u_2$解的一个定理，求出了偏微分方程组\begin{equation} \nabla\cdot(a(u,w)\nabla u)=0,\ u=u_1\ on Γ_1,\ u=u_2\ on Γ_2,\ \frac{\partial u}{\partial n}=0\ on\ Γ_3 \end{equation} \begin{equation} \nabla\cdot(b(u,w)\nabla w)=0, \ w=w_1\ on Γ_1,\ w=w_2\ on\ Γ_2,\ \frac{\partial u}{\partial n}=0\ on\ Γ_3. \end{equation}的泛函解，并讨论了解的存在唯一性问题。
2017-11-13 math.AP
Blow-up phenomena in a parabolic-elliptic-elliptic attraction-repulsion chemotaxis system with superlinear logistic degradation
研究了球$Ω\subset \mathbb{R}^n$（$n \ge 3$）中具有超线性Logistic退化的吸引-排斥趋化系统\begin{align*} \begin{cases} u_t = Δu - χ\nabla\cdot(u \nabla v) + ξ\nabla\cdot (u \nabla w) + λu - μu^k, \quad &x \in Ω,\ t>0,\\[1.05mm] 0= Δv + αu - βv, \quad &x \in Ω,\ t>0,\\[1.05mm] 0= Δw + γu - δw, \quad &x \in Ω,\ t>0, \end{cases} \end{align*}在齐次Neumann边界条件下的动力学行为，其中$λ\in \mathbb{R}$，$k>1$，$μ, χ, ξ, α, β, γ, δ>0$为常数.在$λ=μ=0$的情况下，系统中的爆破现象已经得到了很好的研究，而吸引-排斥趋化系统的逻辑退化尚未研究。在$k>1$与$1$接近的条件下，对某些非负的初始数据，得到了解在$L^\infty$ -范数和$L^σ$ -范数下爆破，且满足某些$σ>1$.此外，爆破时间的下界推导。
2021-04-01 math.AP
Local second order regularity of solutions to elliptic Orlicz-Laplace equation
本文研究 Orlicz-Laplace 方程弱解的局部二阶正则性，证明当另一个 Orlicz 函数 ψ 在适当意义下接近 φ 时，相应梯度项属于局部 W^{1,2} 空间，为非线性方程定量二阶 Sobolev 正则性提供新结果。
2023-08-08 math.AP
Pointwise estimates of Brezis-Kamin type for solutions of sublinear elliptic equations
本文研究$$-Δ_pu=σ\, u^q \quad \text{in} \, \, \, \mathbb{R}^n,$$型拟线性椭圆型方程，其中$Δ_p u=\nabla \cdot(\nabla u |\nabla u|^{p-2})$是$p$ -Laplace算子（或更一般的$\mathcal{A}$ -Laplace算子$\text{div} \, \mathcal{A}(x, \nabla u)$），$0<q < p-1$，$σ\ge 0$是$\mathbb{R}^n$上的任意局部可积函数或测度.我们得到了正解（不一定有界）存在的充分必要条件，这些正解满足以Wolff势给出的Brezis-Kamin型整体逐点估计.类似的问题与分数拉普拉斯$(-Δ)^α$为$0<α<\frac{n}{2}$处理，以及，包括径向对称$σ$的明确估计。我们的结果是新的，即使在经典的情况下$p=2$和$α=1$。
2016-01-21 math.AP
Green's function for second order elliptic equations with singular lower order coefficients
构造了区域上二阶椭圆算子$Lu=-\nabla \cdot (\mathbf{A} \nabla u + \boldsymbol{b} u)+ \boldsymbol c \cdot \nabla u+ du$的格林函数，得到了点态界和Lorentz空间界.我们假设主系数矩阵$\mathbf A$是一致椭圆有界的，低阶系数$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$和$d$属于某个Lebesgue类并满足条件$d - \nabla \cdot \boldsymbol{b} \ge 0$ .特别地，我们允许低阶系数是奇异的。当系数$\mathbf A$和$\boldsymbol{b}$的平均振动满足Dini条件且区域为$C^{1, \rm{Dini}}$时，我们还得到了格林函数梯度的整体逐点界.
2018-10-30 math.AP
On Multiple Solutions to a Family of Nonlinear Elliptic Systems in Divergence Form Coupled with an Incompressibility Constraint
本文的目的是证明一类带有逐点梯度约束的散度型非线性椭圆方程组：\begin{align*} \left\{ \begin{array}{ll} \dive\{\A(|x|,|u|^2,|\nabla u|^2) \nabla u\} + \B(|x|,|u|^2,|\nabla u|^2) u = \dive \{ \mcP(x) [{\rm cof}\,\nabla u] \} \quad &\text{ in} \ Ω, \\ \text{det}\, \nabla u = 1 \ &\text{ in} \ Ω, \\ u =φ\ &\text{ on} \ \partial Ω, \end{array} \right. \end{align*}的多解存在性，其中$Ω\subset \mathbb{R}^n$（$n \ge 2$）是有界区域，$u=(u_1, \dots, u_n)$是向量映射，$φ$是给定的边界条件.此外，$\mathscr{P}$是与约束$\det \nabla u \equiv 1$和$\A = \A(|x|,|u|^2,|\nabla u|^2)$、$\B = \B(|x|,|u|^2,|\nabla u|^2)$相关联的流体静压，是满足在无穷远处的适当增长的充分正则标量值函数。该系统出现在不同的领域，例如，在连续介质力学、非线性弹性力学以及几何函数理…
2022-06-07 math.AP
Regularity results for a nonlinear elliptic-parabolic system with oscillating coefficients
本文研究$\mbox{div}(σ(u)\nablaφ)=0,\ \ u_t-Δu=σ(u)|\nablaφ|^2$系统的初边值问题。这个问题被称为热敏电阻问题，它模拟了导体的电加热。我们对$σ(u)$的假设留下了这样的可能性，即$\liminf_{u\rightarrow\infty}σ(u)=0$，而$\limsup_{u\rightarrow\infty}σ(u)$很大。这意味着$σ(u)$可以在$0$和大正数$u\rightarrow \infty$之间剧烈振荡。因此，我们的退化是从根本上不同于多孔介质类型的方程。首先对某些小的$\varepsilon$建立了$e^{\varepsilon u}$的一致上界，得到了具有$|\nabla φ|, |\nabla u|\in L^\infty$的弱解$(u, φ)$.这导致$\nablaφ$中的不等式，由此得出正则性结果。这种方法使我们能够避免首先证明$φ$在空间变量中的Hölder连续性，这将要求椭圆系数$σ(u)$是$A_2$权重。众所周知，后者意味着$\lnσ(u)$是“近有界的”。
2020-06-24 math.AP
Monotonicity of non-negative solutions of quasilinear elliptic equations in a cylindrical domain
Department of Mathematics and Computer Science, UNICAL（卡塔尼亚大学数学与计算机科学系）
研究柱形域中p-Laplace方程在混合边界条件下的正解，证明对任意p>1解在x_N方向单调递增，并应用于Allen-Cahn和Lane-Emden型方程。
2026-07-10 math.AP
Existence of minimal solutions to quasilinear elliptic equations with several sub-natural growth terms
研究了\[ -Δ_{p} u = σu^{q} + μ\quad \text{in} \ \mathbb{R}^{n}, \]型拟线性椭圆型方程在次自然增长情形$0 < q < p - 1$下正解的存在性，其中$Δ_{p}u = \nabla \cdot ( |\nabla u|^{p - 2} \nabla u )$是具有$1 < p < n$的$p$ -Laplacian，$σ$和$μ$是$\mathbb{R}^{n}$上的非负Radon测度.在一定的广义能量条件下，构造了$σ$和$μ$上的极小广义解.为了证明这一点，我们给新的估计措施之间的相互作用。我们还构造了几个亚自然增长项方程的解决方案，使用相同的方法。
2020-03-25 math.AP
Monotonicity of positive solutions to semilinear elliptic equations with mixed boundary conditions in triangles
Shenzhen Technology University（深圳理工大学）；South China University of Technology（华南理工大学）
本文通过移动平面方法和最大原理，研究了三角形中混合边界条件下半线性椭圆方程正解的单调性，揭示了特征函数极值的位置特性。
2026-02-24 math.AP
Multiplicity results for nonhomogeneous elliptic equations with singular nonlinearities
本文研究了一类具有奇异非线性项\begin{equation*} \left\{ \begin{alignedat}{2} {} - \mathcal{L}_{p,q} u & {}= λ\frac{f(u)}{u^γ}, \ u>0 && \quad\mbox{ in } \, Ω, u & {}= 0 && \quad\mbox{ on } \partialΩ, \end{alignedat} \right. \end{equation*}的非齐次算子的椭圆型方程的多个正解，其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$中的有界区域，$C^2$是$N \geq 1$，$λ>0$是实参数，$$\mathcal{L}_{p,q} u := div(|\nabla u|^{p-2} \nabla u + |\nabla u|^{q-2} \nabla u),$$ $1<p<q< \infty$，$γ\in (0,1)$，$f$是满足适当条件的连续非减映射。通过构造两对不同的严格上下解，利用Amann的不动点定理，证明了在$C_δ(\overlineΩ)$的正锥上和$λ$的一定范围内存在三个正解.
2021-09-07 math.AP
Gradient estimates for nonlinear elliptic equations with a gradient-dependent nonlinearity
本文得到了一类具有梯度依赖非线性项的加权$p$型方程正解的梯度估计，其形式为\begin{equation} \label{one} {\rm div} (|x|^σ|\nabla u|^{p-2} \nabla u)= |x|^{-τ} u^q |\nabla u|^m \quad \mbox{in } \ Ω^*:= Ω\setminus \{ 0 \}. \end{equation}其中，$Ω\subseteq \mathbb R^N$表示以$N\geq 2$为原点的区域，而$m,q\in [0,\infty)$，$1<p\leq N+σ$和$q>\max\{p-m-1,σ+τ-1\}$表示以$N\geq 2$为原点的区域.主要的困难来自于方程的右手边对$x$、$u$和$|\nabla u|$的依赖性，而对$|\nabla u|$的幂$m$没有任何上限限制。我们的梯度估计的证明是基于一个两步的过程，依赖于一个修改版本的伯恩斯坦的方法。作为一个副产品，我们扩展的适用范围的刘维尔型结果已知我们的问题。
2018-07-17 math.AP
Existence of solutions for a quasilinear elliptic system with local nonlinearity on $\mathbb R^N$
本文研究一类拟线性椭圆型方程组\begin{eqnarray*} \begin{cases}{ccc} -\mbox{div}(ϕ_1(|\nabla u|)\nabla u)+V_1(x)ϕ_1(|u|)u=λF_u(x, u,v), \ \ x\in \mathbb R^N, -\mbox{div}(ϕ_2(|\nabla v|)\nabla v)+V_2(x)ϕ_2(|v|)v=λF_v(x, u,v), \ \ x\in \mathbb R^N, u\in W^{1,Φ_1}(\mathbb R^N), v\in W^{1,Φ_2}(\mathbb R^N), \end{cases} \end{eqnarray*}解的存在性，其中$N\ge 2$，$\inf_{\mathbb R^N}V_i(x)>0,i=1,2$，$λ>0$ .当非线性项$F$仅在以$0$为中心、以$4$为半径的圆上满足一定的增长条件时，对任意大的$λ$，系统存在非平凡解$(u_λ,v_λ)$，且解族$\{(u_λ,v_λ)\}$满足$\|(u_λ,v_λ)\|\to 0$为$λ\to \infty$ .此外，还得到了拟线性椭圆方程的相应结果，该结果优于椭圆方程组的结果。
2020-10-28 math.AP
Stabilization for small mass in a quasilinear parabolic--elliptic--elliptic attraction-repulsion chemotaxis system with density-dependent sensitivity: repulsion-dominant case
本文研究了有界区域$Ω\subset \mathbb{R}^n$ $(n \in \mathbb{N})$中的拟线性吸引-排斥趋化系统\begin{align*} \begin{cases} u_t=\nabla\cdot \big((u+1)^{m-1}\nabla u -χu(u+1)^{p-2}\nabla v +ξu(u+1)^{q-2}\nabla w\big),\\[] 0=Δv+αu-βv,\\[] 0=Δw+γu-δw \end{cases} \end{align*}，其中$\partial Ω$具有光滑边界，其中$m, p, q \in \mathbb{R}$、$χ, ξ, α, β, γ, δ>0$是常数。在$m=1$和$p=q=2$的情况下，当$χα-ξγ<0$和$β=δ$时，Tao-Wang（Math. Models Methods Appl.Sci.;二〇一三年;二十三岁; 1-36）通过使用变换$z:=χv-ξw$（其中$\overline{u_0}$是初始数据$u_0$的空间平均）约化到Keller-Segel系统，证明了朝向空间常数平衡点$(\overline{u_0}, \fracαβ\overline{u_0}, \fracγδ\overline{u_0})$的全局有界经典解。然而，由于上述系统涉及非线性，该方法不再有效。本文的目的是建立整体有界…
2022-03-19 math.AP
Regularity estimates in weighted Morrey spaces for quasilinear elliptic equations
在$\R^n$中研究了有界区域上$÷\A(x,u,\nabla u) = ÷\F $形式的拟线性椭圆型方程解的正则性.假设矢量场$\A$在$u$中是连续的，它在$\nabla u$中的增长就像$p$ -拉普拉斯算子的增长一样。在$x$ for $\A$中的小BMO条件下，我们建立了方程弱解$u$在加权Morrey空间中的内部梯度估计.因此，当$|\F|^{\frac{1}{p-1}}$分别在$\calM^{q,λ}$或$L^q_w$中时，我们得到$\nabla u$在经典Morrey空间$\calM^{q,λ}$或加权空间$L^q_w$中，其中$q$是大于$p$的任意数，$w$是Muckenhoupt类$A_{\frac{q}{p}}$中的任意权.此外，我们的两个权重估计允许在加权Morrey空间中获得$\nabla u$的正则性，该加权Morrey空间不同于数据$|\F|^{\frac{1}{p-1}}$所属的函数空间。
2018-10-30 math.AP
Monotonicity and symmetry of singular solutions to quasilinear problems
研究了拟线性椭圆型方程在零Dirichlet边界条件下的奇异解.在适当的非线性假设下，利用改进的移动平面方法，得到了正解的对称性和单调性。
2018-09-16 math.AP
Local bounds, Harnack inequality and Hölder continuity for divergence type elliptic equations with nonstardard growth
本文对具有非标准$p(x)-$型增长的散度型椭圆型方程的解得到了一个Harnack型不等式.模型方程是非齐次$p(x)-$拉普拉斯算子。即，\[ Δ_{p(x)}u:=\mbox{div}\big(|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u\big)=f(x)\quad\mbox{in}\quadΩ\]，我们证明Harnack不等式时$f\in L^{q_0}(Ω)$如果$\max\{1,\frac N{p_{min}}\}<q_0\le \infty$。Harnack不等式中的常数仅通过$\||u|^{p(x)}\|_{L^1(Ω)}^{p_{max}-p_{min}}$依赖于$u$。已知在变量$p(x)$的情况下，常数对$u$的依赖性是必要的。与以前的论文一样，假设指数$p(x)$上的log-Hölder连续性。我们还证明了当$f\in L^{q_0(x)}(Ω)$与$q_0\in C(Ω)$和$\max\{1,\frac N{p(x)}\}<q_0(x)$在$Ω$中时，弱解是局部有界的和Hölder连续的.然后将这些结果推广到具有$p(x)-$型增长的椭圆型方程\[ \mbox{div}A(x,u,\nabla u)=B(x,u,\nabla u) \].
2013-09-09 math.AP
