Euler-like recurrences for smallest parts functions
Scott Ahlgren, Nickolas Andersen
我们得到的最小部分的功能，类似于欧拉的递归的普通分拆函数的递归。证明涉及权重为2的非全纯模形式的全纯投影。
We obtain recurrences for smallest parts functions which resemble Euler's recurrence for the ordinary partition function. The proofs involve the holomorphic projection of non-holomorphic modular forms of weight 2.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Recurrence relations for Apostol-Bernoulli , -Euler and -Genocchi polynomials of higher order
在\cite{luo2006,luosri2005}中，Luo和Srivastava介绍了Apostol -伯努利多项式和Apostol-欧拉多项式的一些推广。本文的主要目的是将\cite{prevost2010}的结果推广到这些广义多项式。更准确地说，使用Padé近似的指数函数，我们得到的递归关系的Apostol-Bernoulli，欧拉和Genocchi多项式的高阶。作为应用，我们证明了某些特殊情况下的缺项关系。
Recurrence formulas with gaps for Bernoulli and Euler polynomials
令$\{B_n\}$、$\{B_n(x)\}$和$\{E_n(x)\}$分别为伯努利数、伯努利多项式和欧拉多项式。本文主要建立了$m=2,3,4$情形下的$\sum_{6\mid k-3}\binom nkB_{n-k}(x)$、$\sum_{6\mid k}\binom nkE_{n-k}(x)$和$\sum_{6\mid k-3}\binom nkm^kB_{n-k}$的计算公式。
A recurrence in logarithmic Möbius sums with coprimality conditions via Euler-Maclaurin
该研究结合默比乌斯反演与欧拉-麦克劳林公式推导对数默比乌斯和的递推关系，得到多项式近似，扩展到带互素条件及除数和函数倒数加权的和，并证明后者非负性。
Euler-type Recurrence Relations for Partition Functions with Congruence Conditions
该研究针对模$\delta$同余于0或$\pm g$的分拆函数$p_{\delta,g}(n)$，利用广义戴德金η函数与Rankin-Cohen括号推导欧拉型递推关系，还得到$\delta=5$的显式递推、拉马努金型同余及拉德马赫型公式。
Euler-type Recurrence Relation for Arbitrary Arithmetical Function
本研究借助Lambert级数与欧拉分拆定理，推导出任意算术函数的欧拉型递推关系，并进一步得到若干知名算术函数、特定分拆函数及除数和函数的对应递推关系。
Values and recurrence relations for integrals of powers of arctan and logarithm and associated Euler-like sums
本文研究了涉及arctan和logarithm函数的幂次积分，给出了其求值与递推关系，并提出了关于奇调和数和Milgram常数的新求和恒等式，这些恒等式可表示为π、Catalan常数等特殊常数的有限和。
Recurrence and congruences for the smallest parts function
本文基于Hecke迹研究最小部分函数的递归公式，并推导出同余表达式，同时证明了该函数的非同余性质。
On the Euler function of linearly recurrence sequences
本文研究整数线性递推序列通项与其 Euler 函数之间的不等式，证明对非退化且非多项式通项的序列，该不等式在密度 1 的整数上成立，并给出失效集合的计数上界。
New recurrences for divisor sum functions and triangular numbers
欧拉发现了递归的除数和函数的结果，五边形数定理。基于类似的思想，并受Ewell在1977年工作的启发，我们证明了某些因子和函数与三角数的新递归性。
An Infinite Family of Apéry-like Recurrences for Euler's Constant
针对欧拉常数无理性未证、类阿佩里近似稀少的问题，研究提出含Meijer G函数的恒等式，经推广后基于Conservative Matrix Field构造生成无穷多个类阿佩里近似。
Euler-type recurrences for $t$-color and $t$-regular partition functions
本文受普通分拆函数近期研究启发，利用$q$-级数恒等式，为$t=2,3$的$t$-色分拆函数及所有$t$-正则分拆函数给出了类Euler递推公式，并导出了$3$-色分拆函数的“三角数”递推族。
The generalized-Euler-constant function $γ(z)$ and a generalization of Somos's quadratic recurrence constant
定义了广义欧拉常数函数$γ(z)=\sum_{n=1}^{\infty} z^{n-1} (\frac{1}{n}-\log \frac{n+1}{n})$，当$|z|\leq 1$。它的值包括欧拉常数$γ=γ(1)$和“交替欧拉常数“$\log\frac{4}π=γ(-1)$。本文将Euler的$γ$的两ζ函数级数推广到$γ(z)$的多对数级数。$γ(z)$的积分是$\C-[1,\infty)$的解析延拓。我们证明了$γ(z)$的其他几个公式，包括两个功能方程，一个是$γ(z)$和$γ(1/z)$之间的反演关系。我们推广索莫斯的二次递归常数和序列的立方和其他程度，给出渐近估计，并显示关系$γ(z)$和一个无限嵌套的自由基由于拉马努金。我们计算$γ(z)$和$γ'(z)$的单位根，特别是，$γ'(-1)$涉及Glaisher-Kinkelin常数$A$。几个相关的系列，无限的产品，和双重积分进行评估。所使用的方法涉及Kinkelin-Bendersky超阶乘$K$函数，Weierstrass产品的伽玛和巴恩斯$G$函数，和Jonquière的关系的多对数。
On a continued fraction expansion for Euler's constant
最近，A. I. Aptekarev和他的合作者发现了一系列有理逼近的近似欧拉常数$γ$定义的三阶齐次线性递归。本文用Meijer $G$ -函数和超几何型级数给出Aptekarev逼近的一个新的解释。这种方法使我们能够描述一个非常一般的建设，给出线性型1和$γ$与合理的系数。使用这种结构，我们发现新的有理逼近$γ$所产生的二阶非齐次线性递归多项式系数。这导致欧拉常数的连分数（虽然不是简单连分数）。这似乎是第一个非平凡的连分数展开收敛到欧拉常数次指数，其中的元素可以表示为一般模式。有趣的是，同样的齐次递归产生一个连分数的欧拉-Gompertz常数发现Stieltjes在1895年。
New Recurrence Relations and Matrix Equations for Arithmetic Functions Generated by Lambert Series
我们认为对序列之间的关系，$(f, g_f)$，产生的朗伯级数展开，$L_f(q) = \sum_{n \geq 1} f(n) q^n / (1-q^n)$，在$q$。特别是，我们证明了新形式的递归关系和矩阵方程定义这些序列的所有$n \in \mathbb{Z}^{+}$。这些结果的证明的关键成分是由欧拉的五边形数定理的陈述给出的，该定理扩展了无限$q$ -Pochhammer乘积$(q; q)_{\infty}$和部分乘积$(q; q)_n$的第一个$n$项的级数，形成了$L_f(q)$的有理$n^{th}$部分和的分解子。文章中给出的新结果的例子包括新的精确公式和应用欧拉phi函数，$ϕ(n)$，莫比乌斯函数，$μ(n)$，和除数函数，$σ_1(n)$和$σ_α(n)$，为$α\geq 0$，并刘维的lambda函数，$λ(n)$。
Extended Zeilberger's Algorithm for Identities on Bernoulli and Euler Polynomials
利用Chen，Hou和Mu给出的推广的Zeilberger算法，给出了一种证明伯努利多项式和欧拉多项式恒等式的计算机代数方法.其核心思想是利用Bernoulli数和欧拉数的围道积分定义建立被积函数的递推关系。这样的递归关系有一定的参数自由属性，导致所需的身份，而无需计算积分。
Recurrence Relations for $S$-Legal Index Difference Sequences
本研究推广Fibonacci Quilt序列的构造，提出$S$-合法索引差（$S$-LID）序列，证明其增长规律及多类集合$S$对应的序列满足简单递推关系。
Degenerate Euler-Seidel Matrix Method and Their Applications
本文提出了一种退化欧拉-西德尔矩阵方法，通过引入参数lambda，推导出指数生成函数的退化西德尔公式，并应用于研究新的组合恒等式。
An integration of Euler's pentagonal partition
给出了一个递归公式，用于将正整数的组成作为多组正整数的和来计数，它与基于五边形数的欧拉递归公式非常相似，但是其中的系数是由欧拉系数的离散积分得到的.一个双射证明和一个基于生成函数的证明都表明了主题递归的等价性。
Degenerate Algorithms for degenerate Bernoulli and Euler numbers
本文提出退化A和B算法，通过引入参数lambda推导出退化伯努利和欧拉数的显式公式，并建立生成函数之间的关系。
Recurrence relations for the Lerch Phi function and applications
本文提出了一种推导递推关系的简单方法，并应用它得到了两个涉及Lerch Phi函数和Bernoulli多项式与欧拉多项式之和的方程。这些结果与H.M. M.L.斯里瓦斯塔瓦Glasser和V.Adamchik指出，强调这种方法的有用性，一些有意义的例子。
Jacobsthal's function and a generalisation of Euler's totient
Jacobsthal函数h（k）表示最小的数m，使得每一个m个连续整数的序列都包含一个与P_k互质的整数，即前k个素数的乘积。对于未知常数C，h（k）上最著名的界是h（k）< C（k ln k）^2，这是Iwaniec的结果。我们使用一个推广的欧拉totient函数给一个更强的限制h（k）。
On Partition Classes Arising from Parity, Differences, and Repeated Smallest Parts
本文研究了与奇偶性、差值和重复最小部分相关的划分类，推导了相关身份并扩展了欧拉划分定理，同时给出了组合和q-级数的证明。
Bell Transforms of Arithmetic Functions: Euler Products, Congruences, and Polynomial Sequences
本文提出一个统一的代数框架，利用形式贝尔变换将算术函数的狄利克雷卷积与无限欧拉型乘积的组合结构联系起来，通过分析指数生成函数的对数导数，建立了贝尔指数与莫比乌斯逆运算之间的显式映射，并应用于推导经典序列的精确消失性质和同余继承性质，包括拉马努金的tau函数和素数着色分区。此外，证明了逆贝尔变换能够无缝恢复经典分区递推关系，并提供了一个离散的组合引擎来生成特殊多项式族，包括经典的Appell和Sheffer序列。
Binary recurrences for which powers of two are discriminating moduli
给定一个不同正整数序列$w_0 , w_1, w_2, \ldots$和任意正整数$n$，我们定义一个正整数函数$\mathcal{D}_{\bf w}(n)$为最小正整数$m$使得$w_0,\ldots, w_{n-1}$是模$m$的两两不相合.在本文中，我们对由不同整数项组成的所有二进制递归序列$\{w_n\}_{n\geq 0}$进行分类，使得对于每个$e\geq 1.$，$\mathcal{D}_{\bf w}(2^e)=2^e$对于所有这些序列，人们可以对每个$n\ge 1.$，实际上给出$\mathcal{D}_{\bf w}(n)$的相当简单的描述对于这样的序列的两个无限族，这已经由Faye，Luca和Moree分别在2019年完成。
On Quotients of Values of Euler's Function on Factorials
近年来，人们对特殊序列成员上的数论函数的值，如因子上的欧拉函数$ϕ$，线性递归函数等，产生了一些兴趣.本文研究了给定正整数$a$和$b$，使商$ϕ(c!)/ϕ(a!)ϕ(b!)$为整数的最小正整数$c=c(a,b)$.当$a$和$b$趋于无穷大时，我们得到了关于比值$c(a,b)/(a+b)$极限的结果。此外，我们表明，$c(a,b)>a+b$的所有对正整数$(a,b)$的密度为零的集合除外。
PED and POD partitions: combinatorial proofs of recurrence relations
本文用组合方法重新证明了PED与POD分拆的多项递推关系、五边形数定理及Beck型恒等式，弥补了此前仅依赖解析证明的不足。
A closed-form expression for zeta(2n+1) reveals a self-recursive function
欧拉发现了一个公式来表达所有偶数正整数参数的黎曼ζ函数的值。基于Dirichlet β函数的值、欧拉数和π，给出了所有奇整数参数的黎曼ζ函数的封闭表达式，揭示了奇数下黎曼ζ函数自递归性质的新证据.我们首次证明了黎曼ζ函数在奇数总是产生一个递归关系，是自递归的。
Block-Separated Overpartitions: Fibonacci Structure and Euler Factorization
本文研究了块分离的超划分，揭示其与斐波那契数列的关联，并通过生成函数和转移矩阵方法推导了相关递推关系和渐进行为。
An observation on the sums of divisors
从欧拉的“观察summis divisorum”（1752年）的拉丁文翻译。Enestroem指数中的E243。五边形数定理是$\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n x^{n(3n-1)/2}$。本文假定了五角数定理，并利用它证明了因子函数和的一个递推关系。“五边形数”一词来源于多边形数。欧拉求两边的对数导数。然后将两边乘以$-x$后，左边等于$\sum_{n=1}^\infty σ(n) x^n$，其中$σ(n)$是$n$的约数之和，例如$σ(6)=12$。这就产生了$σ(n)$的递归关系。我一直在详细研究所有欧拉的工作五边形数定理，更普遍的无穷乘积。我特别有兴趣看看是否还有其他人在欧拉和雅可比之间研究过类似的产品和系列，我很乐意听到任何对此有所了解的人的声音。
Cropping Euler factors of modular L-functions
根据Birch和Swinnerton-Dyer定理，如果A/Q是一个阿贝尔簇，那么它的L-函数必须捕获A的算术性质的实质部分。最小数域L，其中A定义了它的所有自同态，也必须有一个角色。本文在模阿贝尔簇A_f/Q对应于模群Gamma_1（N）的权为2的新形式的特殊情况下，讨论了这两个对象之间的关系。具体地说，我们的目标是将L（A_f/Q，s）在s = 1时的阶与由在L中完全分裂的素数集裁剪的Euler积联系起来。当f有复乘时，我们得到的结果是完全的，而在没有CM的情况下，我们的结果依赖于Sato-Tate分布的收敛速率。
Simultaneous inequalities among values of the Euler phi-function
本文讨论了在k个等差数列a_1 n + b_1，a_2 n + b_2，.上同时求值的Euler φ函数的值，a_k n + b_k。假设多项式a_ix + b_i中没有两个是彼此的常数倍的必要条件，我们证明了存在无穷多个整数n使得phi（a_1 n + b_1）> phi（a_2 n + b_2）>. > phi（a_kn + b_k）.特别是，存在无穷多个k个连续整数的字符串，其φ值以任何规定的方式从最大到最小排列。同样，在必要条件ad \ne bc下，任何形式为phi（an+b）< phi（cn+d）的不等式无穷常有k个连续解。事实上，我们证明了这些不等式的解集有正的下密度。
Rational approximations for the quotient of gamma values
本文继续研究了最近由A. I. Aptekarev和T. Rivoal。使用多个Jacobi-Laguerre正交多项式，我们提出了有理逼近的Γ函数的值在有理点的商。作为我们结果的一个极限情况，我们得到了欧拉常数的Aptekarev逼近的分子和子的新的显式公式。
Diophantine Equation with Arithmetic functions and Binary recurrent sequences
本文主要研究含算术函数的二元递归数列的丢番图方程。研究了各种丢番图问题，得到了一些新的结果。首先，我们研究了两类非退化二元递归序列之间的交的几个问题，并尽可能地给出了这类交的最大成员的有效界。本文主要研究$φ(|au_n |)=|bv_m|,$形式的丢番图方程，其中$φ$是欧拉函数，$\{u_n\}_{n\geq 0}$和$\{v_m\}_{m\geq 0}$是两个非退化的二元递归序列，$a,b$是正整数.更确切地说，我们研究的问题涉及成员的经常性序列是代表数字，莱默数，其欧拉函数保持在同一序列。我们特别研究了当$\{u_n\}_{n\geq 0}$是Fibonacci序列$\{F_n\}_{n\geq 0}$、Lucas序列$\{L_n\}_{n\geq 0}$或Pell序列$\{P_n\}_{n\geq 0}$及其伴随序列$\{Q_n\}_{n\geq 0}$时的情况。其次，我们研究了一些递归序列上的Lehmer猜想.回想一下，如果$φ(N)\mid N-1$，则复合数$N$被称为Lehmer。本文证明了Lucas序列$\{L_n\}_{n\geq 0}$和Pell序列$\{P_n\}_{n\geq 0}$都不存在Lehmer数.本文使用的主要工具是代数数论中线性形式的下界、所谓的Baker-Davenport约化方法、连分式、素数理论的初等估计和筛法。
New families of special numbers for computing negative order Euler numbers
本文的主要目的是构造新的特殊数族及其生成函数。这些数字与许多著名的数字有关，这些数字是伯努利数，斐波那契数，卢卡斯数，第二类斯特林数和中心阶乘数。本文的另一个启发与Golombek问题\cite{golombek} \textquotedblleft Aufgabe 1088，El. 49（1994）126-127 \textquotedblright。我们的第一个数不仅与Golombek问题有关，而且与负阶欧拉数的计算有关。我们计算一些由表给出的数字的值。我们给出了一些在概率和统计中的应用。也就是说，在二项分布和伯恩斯坦多项式中，数学期望的特殊值给我们的数字的值。对生成函数求导，得到了偏微分方程和函数方程。利用这些方程，我们得到了一些递推关系和一些计算公式。此外，我们给出了两个算法计算我们的号码。我们也给出了一些组合应用，进一步说明了我们的数及其生成函数。
Partitions associated with the Ramanujan/Watson mock theta functions $ω(q), ν(q)$ and $ϕ(q)$
本文给出了具有重复（分别为不同的）部分，使得每个奇数部分小于最小部分的两倍被示出为三阶模拟θ函数$ω(q)$（分别为$ν(-q)$）。对每个偶数部分具有相应限制的划分也得到了类似的结果，其中之一涉及三阶模拟θ函数$ϕ(q)$。最小部分的功能，这样的分区的同余得到。欧拉五边形定理的分割理论解释的两个类似物也得到了。
On Some Generalisations of Gauss Sequences
本文提出了欧拉-Gauss序列，扩展了Gauss序列的定义，并研究了其q-类比及循环筛现象的新条件。
Multiple zeta functions at regular integer points
本文给出了描述$r$ -fold函数的Euler-Zagier重zeta-函数的递推关系，该重zeta-函数是$(r-1)$ -fold函数的有理线性组合，推广了Akiyama-Egami-Tanigawa和Matsumoto的结果.作为应用，我们得到了一个计算多重zeta函数在任意整数点的特殊值的显式方法（自变量可以不全为正也可以不全为非正），作为多重zeta值的有理线性和。
On Euler's Theorem
本文在欧拉定理的基础上，证明了互异部分分拆数与奇数部分分拆数还等于两类新定义分拆的计数，从而给出欧拉定理的推广恒等式。
Generating Function Transformations Related to Polylogarithm Functions and the $k$-Order Harmonic Numbers
定义了一类新的与多重对数函数、狄利克雷级数和欧拉和有关的生成函数变换。这些变换由序列生成函数的$j^{th}$导数和满足二元非三角递归关系的广义系数集的无穷和给出。广义变换系数与第二类Stirling数和第一类无符号Stirling数的已知调和数展开式具有许多类似的性质。我们证明了广义系数的一些性质，这些性质导致了$k$阶调和数列的新的递推关系和求和恒等式。我们在文章中定义的生成函数变换的其他应用包括多对数函数的新级数展开、交替zeta函数和周期性伯努利多项式的傅里叶级数。最后，我们讨论了几个具体的新的“几乎”的整数阶调和数和广义变换系数之间的线性递归关系，这提供了新的应用研究zeta函数常数，$ζ(k)$，在整数$k \geq 2$的极限行为的文章。
An effective analytic recurrence for prime numbers
研究将Golomb--Keller非构造性素数递推转化为有效解析递推，证明了最小参数与素数星座的联系，并连接了Hardy--Littlewood猜想。
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