Numerical solutions of boundary value problems for variable coefficient generalized KdV equations using Lie symmetries
Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine（乌克兰国家科学院数学研究所）；Department of Mathematics, University of Nicosia（尼科西亚大学数学系）；Department of Mathematics and Statistics, University of Cyprus（塞浦路斯大学数学与统计系）
本文通过李对称性将变系数广义KdV方程的初值与边界值问题转化为非线性三阶常微分方程的初值问题，并利用有限差分法进行数值求解。
2013-09-04 cs.NA math-ph math.MP
The generalized periodic ultradiscrete KdV equation and its background solutions
研究了具有周期边界条件的超离散KdV方程，其中两个参数（盒子的容量和载体的容量）是任意整数。当初始状态取任意整数值时，我们给出了允许周期边界条件的准则。构造了周期系统的守恒量。构造的背景解的周期超离散KdV方程的Jacobi θ函数。
2011-12-23 math-ph math.MP nlin.CG
Nearly linear dynamics of nonlinear dispersive waves
利用色散平均效应证明了具有周期边界条件的KdV方程具有近似线性的高频解。数值模拟表明这种近似的高精度。此外，这一结果适用于浅水波动力学的KdV近似的限制，这是通过渐近分析结合数值模拟KdV。
2010-09-29 math-ph math.MP
High frequency perturbation of cnoidal waves in KdV
研究了具有周期边界条件的KdV方程。研究了周期性孤波（椭圆余弦波）与有限能量（$L^2$ -范数）高频辐射的相互作用。证明了在有限时间内低频分量（椭圆余弦波）与高频辐射的相互作用是弱的，即辐射近似满足Airy方程。
2011-03-21 math-ph math.AP math.MP
Numerical Implementation of the Multisymplectic Preissman Scheme and Its Equivalent Schemes
我们分析了KdV方程周期边界条件下的多辛Preissman格式，并指出Preissman格式的非线性代数系统的迭代求解的不收敛性是由于引入了势函数。在周期性边界条件的基础上，增加了一个人工数值条件。增加的边界条件使多辛Preissman格式的数值实现变得实用，并被证明不会改变KdV方程的数值解。在此基础上，我们导出了一些新的格式，这些格式不受人工边界条件的限制，而且由于计算量小，所需计算机内存少，比Preissman格式更有效。通过去掉辅助变量，我们还得到了KdV方程的两个格式，一个是12点格式，另一个是8点格式。作为副产品，我们提出了两个新的显式格式，它们不是多辛的，但仍然具有显着的数值稳定性。
2003-03-11 math-ph math.MP
Interactions of soliton and mean field in KdV equation with well type initial data
本文研究KdV方程井型初始数据下孤子与平均场的相互作用，利用Whitham调制理论描述并给出孤子轨迹，数值验证了振幅和相位变化。
2024-11-05 math-ph math.MP
Open intersection numbers and the wave function of the KdV hierarchy
最近R。Pandharipande，J. Solomon和R. Tessler开始了研究的交集理论的模空间的黎曼曲面的边界。他们证明了交叉数的生成序列是偏微分方程系统的特定解，他们称之为开放KdV方程。本文证明了开KdV方程与KdV族的波函数方程密切相关。这使我们能够给出一个明确的公式，为特定的解决方案，在威滕的生成系列的交叉数的模空间的稳定曲线。
2020-02-21 math-ph math.AG math.MP
Rational KdV Potentials and Differential Galois Theory
本文利用微分伽罗瓦理论研究了一维有理含时KdV势薛定谔方程的谱问题。特别地，我们计算与薛定谔方程相关的线性系统的基本矩阵。此外，我们证明了伽罗瓦群的不变性关于时间，一般值的谱参数和达布变换。
2019-06-25 math-ph math.MP
KdV-charged black holes
我们在AdS $_3$中构造了具有非平凡KdV电荷的黑洞几何.黑洞与量子KdV广义Gibbs纠缠在二维CFT中是全息对偶的。它们满足热力学恒等式，因而是欧几里得重力路径积分的鞍点构形。我们讨论了全息计算的KdV广义配分函数，并表明，对于一定值的化学势新的几何形状，而不是传统的BTZ的，是领先的鞍。
2020-02-19 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Decay for the nonlinear KdV equations at critical lengths
本文研究了在有界区间上的非线性KdV方程，方程的右边分别满足Dirichlet边界条件和Neumann边界条件.已知存在一组临界长度，对于这组临界长度，如果线性化系统的初始数据属于有限维子空间$\M$，则线性化系统的解保持$L^2$ -范数。本文证明了当$\dim \M = 1$或$\dim \M$为偶数且满足特定条件时，只要它们的初始数据足够小，非线性KdV系统的所有解至少以$1/ t^{1/2}$的速率衰减到0.我们的分析受到幂级数展开方法的启发，并涉及准周期函数理论。因此，我们重新发现已知的结果，以前建立的$\dim \M = 1$或最小临界长度$L$与$\dim \M = 2$通过不同的方法使用中心流形理论，并获得新的结果。我们还表明，衰减速率是不慢于$\ln (t + 2) / t$的所有临界长度。
2020-12-16 math-ph math.AP math.MP
Numerical solution of the small dispersion limit of Korteweg de Vries and Whitham equations
具有$ε^2$阶小色散的Korteweg de Vries（KdV）方程的Cauchy问题的特征在于出现了$ε$阶波长的快速调制振荡区。这些振荡近似地由KdV的椭圆解描述，其中振幅、波数和频率不是常数，而是根据Whitham方程演化。本文定量分析了KdV方程在小色散极限下的数值解与$ε$值介于$10^{-1}$和$10^{-3}$之间时的近似解之间的差异。数值结果是兼容的差异的顺序$ε$内的“内部”的Whitham振荡区，顺序$ε^{1/3}$在左边界外的Whitham区和顺序$ε^{1/2}$在右边界外的Whitham区。
2005-11-03 math-ph math.MP
Hamiltonian structure of an operator valued extension of Super KdV equations
得到了超Korteweg-de Vries可积系统在算子值函数意义下的一个推广.特别是扩展包含$N=1$超级KdV和耦合系统的辛空间上的功能值。我们引入一个Miura变换的扩展系统，并获得其哈密顿结构。我们还得到了一个扩展的加德纳变换，它允许找到一个无限数量的守恒量的扩展系统。
2014-07-29 hep-th math-ph math.MP
A unified inverse scattering transform and soliton solutions of the nonlocal modified KdV equation with non-zero boundary conditions
我们提出了一个严格的理论，一个统一的和简单的逆散射变换（IST）的聚焦和散焦实非局部（逆时空）修改Korteweg-de Vries（mKdV）方程与非零边界条件（NZBC）在无穷远。具有NZBC的非局部方程的IST问题比具有NZBC的局部方程的IST问题复杂。引入适当的一致化变量，使正、反问题建立在复平面上，而不是建立在两层黎曼曲面上。直接散射问题建立了Jost解和散射矩阵的解析性、对称性和渐近行为，以及离散谱的性质。逆问题通过矩阵值Riemann-Hilbert问题来制定和求解。得到了重构公式、迹公式和θ条件。最后，详细分析了四种不同情况下无反射势下聚焦和散焦非局域mKdV方程中孤子的动力学行为。
2019-03-21 math-ph math.AP math.MP
On a class of compact perturbations of the special pole-free joint solution of KdV and $P_I^2.$
本文研究了KdV流作用下Korteweg-de Vries方程$u_t+uu_x+\frac{1}{12}u_{xxx}=0$和$P_I^2$方程$u_{xxxx}+10u_x^2+20uu_{xx}+40(u^3-6tu+6x)=0$的特殊无极点联合解$U(x,t)$的扰动.我们证明了，如果扰动是紧的和有界变差，那么KdV方程的初值问题有一个经典解。我们的方法是逆散射变换方法的形式的Riemann-Hilbert问题的方法。即构造相应的谱函数$a(λ), r(λ),$，并给出紧扰动的$a(λ), r(λ).$刻画
2019-01-22 math-ph math.MP
Quasi-integrability of deformations of the KdV equation
研究了Korteweg-de Vries（KdV）方程的各种变形的拟可积性，这些变形依赖于两个参数$\varepsilon_1$和$\varepsilon_2$，其中包括正则长波（RLW）和修正正则长波（mRLW）方程.我们表明，使用分析和数值方法，收费，构造从变形的零曲率方程的KdV方程，渐近保守的变形参数的各种值。我们的意思是，尽管在孤子散射过程中电荷确实随时间变化，但它们在散射后会恢复到与散射前相同的值。在mRLW理论（$\varepsilon_2=\varepsilon_1=1$）中，对两个和三个孤子的散射进行了数值测试，并对两个孤子的散射进行了解析测试。我们还表明，Hirota方法导致我们的变形方程的解析单孤子解的$\varepsilon_1 = 1$，和任何值的$\varepsilon_2$。我们还提到了在我们的一些模拟中看到的孤子辐射相互作用的一些特性。
2017-10-02 hep-th math-ph math.MP
Quaternion-Valued Breather Soliton, Rational, and Periodic KdV Solutions
本文利用行列式生成了非交换 KdV 方程的四元数值解，涵盖孤子、有理、周期及其混合解，给出了非奇异参数的完整刻画，并基于 Darboux 变换的非线性叠加原理推导出一般 2-孤子相互作用的相移公式。
2019-11-12 math-ph math.MP nlin.SI
Justification of the log-KdV equation in granular chains: the case of precompression
对于非零边界条件的行波，我们证明了对数Korteweg-de Vries方程作为费米-Pasta-Ulam晶格与赫兹非线性势在小的非谐性的限制的领先的近似。我们证明了满足微分超前-延迟方程的旅行解的逼近误差的控制，以及在长但有限的时间间隔上的晶格方程的时间依赖解的逼近误差的控制。我们还显示了非线性稳定性的行波长，但有限的时间间隔。
2014-05-14 math-ph math.AP math.DS
Revisiting the asymptotic dynamics of General Relativity on AdS$_3$
在AdS $_3$上证明了Einstein引力在KdV型边界条件下的对偶动力学。它对应于一个二维的场论在边界上，描述了一个新的作用原理，其场方程是由两个副本的“潜在的修改KdV方程”。渐近对称性转化为对偶作用量的整体Noether对称性，产生了一组无穷的可交换守恒电荷，这意味着系统的可积性。值得注意的是，在边界的理论是非相对论性的，并具有各向异性的Lifshitz型标度。
2018-09-08 gr-qc hep-th math-ph
A numerical dressing method for the nonlinear superposition of solutions of the KdV equation
本文统一了两种现有数值方法，用于计算Korteweg-de Vries方程的解，通过组合方法得到精确的渐近(准)周期有限隙解，属于非线性叠加解。
2013-10-18 cs.NA math-ph math.MP
Dynamics of complex-valued modified KdV solitons with applications to the stability of breathers
本文研究了复值修正Korteweg-de Vries（mKdV）孤子的长时间动力学，这类孤子是由于在有限时间内爆破而被公认的。我们在正则性的H^1水平上建立稳定性，一致地远离每个爆破点。这些新的性质被用来证明mKdV呼吸子是H^1稳定的，改进了我们之前只证明了H^2稳定性的结果。证明的主要新成分是使用Bäcklund变换，该变换将mKdV方程的呼吸子、复值孤子和小实值解的行为联系起来。我们还证明了负能量呼吸子是渐近稳定的。由于我们没有使用任何依赖于逆散射变换的方法，因此我们的证明即使在粗糙扰动下也有效，只要有相应的局部适定性理论即可。
2014-06-05 math-ph math.AP math.MP
Nonvanishing boundary condition for the mKdV hierarchy and the Gardner equation
给出了含Gardner方程的可积族的一个卡茨-穆迪代数构造.解决方案系统地构造采用敷料方法和变形顶点算子，考虑到非零边值问题的mKdV层次。给出了具体的例子，除了常见的KdV类孤子外，我们的解还考虑了大振幅桌面孤子、扭结、暗孤子、呼吸子和摆动。
2011-10-14 math-ph math.MP nlin.SI
Low regularity solutions of two fifth-order KdV type equations
Kawahara方程和修正的Kawahara方程是五阶KdV型方程，并且已经被导出来模拟许多物理现象，例如重力毛细波和等离子体中的磁声传播。利用$s>-\frac74$建立了Kawahara方程在$H^s({\mathbf R})$中初值问题的局部适定性，利用$s\ge-\frac14$建立了修正Kawahara方程在$H^s({\mathbf R})$中初值问题的局部适定性.为了证明这些结果，我们通过陶\cite{Tao2001}的$[k; Z]$乘子范数方法得到了Kawahara方程的并元块的基本估计，并利用它在适当的Bourgain空间中得到了新的双线性和三线性估计。
2009-04-07 math-ph math.AP math.MP
Time-Fractional KdV Equation for the plasma in auroral zone using Variational Methods
本文用约化微扰法导出了小振幅静电波的Korteweg-de Vries（KdV）方程。时间分数阶KdV方程的拉格朗日量以与正则KdV方程的拉格朗日量类似的形式使用。这个拉格朗日函数的变化导致欧拉-拉格朗日方程，导致时间分数KdV方程。利用分数阶导数的Riemann-Liouvulle定义描述分数阶KdV方程中的时间分数阶算子。用He给出的变分迭代法求解了时间分数阶KdV方程。对初始条件为A0*sech（cx）^2的解进行了计算。数值研究已经取得了使用等离子体参数接近这些值对应的昼侧极光区。讨论了时间分数参数对静电孤立子结构的影响。
2010-02-07 math-ph math.MP nlin.AO
Four Symmetries of the KdV equation
本文以KdV方程为例，识别出4个依赖参数的非局部生成对称性，并给出三种可能的对易子代数，从而统一了已知对称性并揭示了由非局部性产生的新结构。
2023-11-29 math-ph math.MP nlin.SI
A numerical study of third-order equation with time-dependent coefficients: KdVB equation
本文对一类具有非周期边界条件和不定常系数的三阶微分方程，即线性Korteweg-de Vries Burgers方程进行了数值分析.这种数值分析的动机是由于色散和耗散现象，政府这类方程。这项工作建立在以前的色散方程的方法与常系数，扩大领域，包括一类新的方程，到目前为止，已经逃避了随时间变化的参数。更确切地说，在整个Legendre-Petrov-Galerkin方法中，我们证明了在适当的加权索伯列夫空间的逼近的稳定性和收敛结果。这些结果可以显示这些时间参数到模型中的作用和权衡。之后，我们数值研究了几个配置文件的色散-耗散关系，进一步提供见解的实现方法，这允许展示我们的数值算法的准确性和效率。
2022-12-12 cs.NA math-ph math.MP
Traveling wave solutions to Kawahara and related equations
本文用比$\mathrm{tanh}$方法更一般的椭圆函数方法求出了Kawahara方程（KE）、传输线（TL）和Korteweg-de Vries方程（KdV）的行波解。该方法的工作原理是假设多项式拟子满足Weierstrass方程，并且具有两个优点：第一，它将拟子中的项数减少了二阶;第二，它使用满足椭圆方程的Weierstrass函数代替仅满足常系数Riccati方程的双曲正切函数作为因变量。当行波变量中的多项式系数为一阶时，方程简化为只含三次色散项的KdV方程，而对于含有五阶色散项的KE，多项式系数必须为二次型。通过求解椭圆方程，其系数取决于边界条件，行波的速度，非线性强度和色散系数，在KdV方程的情况下，我们发现了著名的孤立波（孤子）的零边界条件，以及余弦波的波列的非零边界条件。两种解都是压缩的（亮）或稀疏的（暗），并且以任意速度向左或向右传播。
2017-11-07 math-ph math.MP nlin.PS
On the Whitham Equations for the Defocusing Complex Modified KdV Equation
研究了离焦复修正KdV（mKdV）方程的Whitham方程.这些Whitham方程是准线性双曲型方程，它们描述了色散参数很小时mKdV方程解中出现的快速振荡的平均动力学。这种振荡被称为色散激波。mKdV方程的Whitham方程既不是严格的双曲方程，也不是真正的非线性方程。我们感兴趣的是Whitham方程的解时，初始值由一个阶梯函数。我们还将所得结果与离焦非线性薛定谔方程的结果进行了比较。对于NLS方程，Whitham方程是严格双曲的，是真正非线性的.我们表明，弱双曲性的mKdV-Whitham方程是负责的色散冲击，尚未发现在NLS的情况下，一个额外的结构。
2007-10-15 math-ph math.MP nlin.SI
Classification of KdV vessels with constant parameters and two dimensional outer space
在这篇文章中，我们对一些完全可积的偏微分方程的解的产生容器进行了分类，并给出了一个\textit{unified}方法。这一分类包括Korteweg-de Vries（KdV）方程和演化非线性Schr”odingier（ENLS）方程等重要例子。事实上，采用基本的矩阵代数技术，它表明，正好有两个规范形式的这种船只，使每个规范形式推广KdV或ENLS方程。特别是，狄拉克正则系统，其演变最近被插入到容器理论，被证明是等价的ENLS方程的意义上的船只。这项工作是重要的第一步，分类完全可积偏微分方程，这是可解的理论的船只。我们注意到，作者最近发表在《数学物理杂志》上的一篇论文表明，KdV方程具有解析初势的初值问题至少有一个“窄化”的时间解。所提出的分类，继承了这一思想和一个类似的定理可以很容易地证明所提出的偏微分方程。最后，本文的研究结果为以下问题的研究奠定了基础：1。广义KdV、ENLS方程的层次（通过推广血管方程），2.新的完全可积的偏微分方程（通过改变外层空间的维度），3。解决了给定任意偏微分方程的可积性问题（未来的分类将创建一个可由血管方程求解的列表，最终可能包括许多现有的偏微分方程类）。
2014-07-06 math-ph math.AP math.MP
Quasi-integrable KdV models, towers of infinite number of anomalous charges and soliton collisions
我们发现，通过分析和数值方法，新的塔的无限数量的渐近保守的收费变形的Korteweg-de Vries方程（KdV）。解析地表明，标准KdV也存在无穷多个反常电荷塔，而对于$N-$孤子解，这些反常电荷塔的反常电荷消失.通过Riccati型赝势方法对KdV模型进行了一些变形，并使用变形模型的线性公式提供了无穷多个精确的非局部守恒律。为了检验孤子相互作用区周围电荷的变化程度，我们数值计算了一些与最低阶准守恒律相关的代表性反常，这些反常依赖于形变参数$\{ε_1, ε_2\}$，其中包括标准KdV（$ε_1=ε_2=0$），正则化长波（RLW）（$ε_1=1,ε_2=0$）、修正的正则化长波（mRLW）（$ε_1=ε_2=1$）和KdV-RLW（KdV-BBM）型（$ε_2=0,\,ε\neq \{0,1\}$）方程。我们的数值模拟显示了两个和三个孤子的弹性散射的范围广泛的值的集合$\{ε_1, ε_2\}$，为各种振幅和相对速度。KdV型方程在非线性科学的几个领域中相当普遍，并且它们在$AdS_{3}$上的广义相对论、玻色-爱因斯坦凝聚体、超导性和孤子气体以及流体动力学中的湍流的研究中找到相关的应用。
2020-02-09 hep-th math-ph math.MP
On the singularity structure of a discrete modified-Korteweg-deVries equation
我们研究了一个修改的晶格Korteweg-deVries（KdV）方程的奇点，并表明它承认三个家庭的奇点，与那些发现在晶格KdV方程类似的性质。第一个家庭由本地化的奇点，可以占据一个任意大的域，但这是，尽管如此，总是受到限制。第二族由平面上从西南向东北延伸的一条或多条直线组成，涉及一个依赖于方程中出现的参数的有限值。我们认为，这个奇异性的无限程度是不相容的禁闭性质或与方程的可积性。第三族由水平条带组成，其中垂直相邻晶格位点上的值的乘积等于1。在格点KdV方程的情况下，这种类型的奇点被称为“taishi”。修正的格点KdV方程的泰什可以与其他两族的奇点相互作用，产生非常丰富的{和相当复杂的}奇点结构。尽管如此，这些相互作用可以通过制定一个类似于，但在某种意义上，比KdV的情况下，简单的动力学的符号表示，在一个紧凑的方式来描述。我们给出了一个解释，这个符号表示在一个盒子和球系统相关的超离散mKdV方程。这些结果表明，太史型奇异性不仅限于格点KdV方程，但很可能是一个普遍的特点，可积格点方程与其可积性的其他方面有很深的联系。
2022-05-03 math-ph math.MP nlin.SI
Dressing the Dressing Chain
通过对Korteweg-de Vries（KdV）方程的谱问题进行达布变换，导出了Dressing链。它也是修正KdV方程的自贝克隆变换。我们表明，通过应用达布变换的谱问题的敷料链得到的晶格KdV方程作为敷料链的敷料链，晶格KdV方程也出现作为一个自动贝克隆变换的修改敷料链。在类比的结果得到的敷料链（Veselov和Shabat证明了完全可积的奇维周期约化），我们研究的$(0,n)$ -周期约化的格点KdV方程，这是一个二值对应。我们提供了明确的公式，其分支，并建立完全可积的奇数$n$。
2018-06-15 math-ph math.DS math.MP
Reality conditions for the KdV equation and exact quasi-periodic solutions in finite phase spaces
本文完整确定了KdV方程准周期解的现实条件，证明任意亏格超椭圆曲线雅可比簇上的多周期$\wp_{1,1}$函数即为有限间隙解，并给出有效计算方法。
2024-07-10 math-ph math.AG math.MP
Asymptotically conserved charges and 2-kink collision in quasi-integrable potential KdV models
本文研究势 KdV 模型的一种特定形变，构造准守恒律并数值验证双扭结弹性散射，同时提出反常抵消机制与重整化程序以处理发散荷。
2024-04-29 hep-th math-ph math.MP
Stability of dispersive boundary layers for scalar conservation laws in one space dimension
Gran Sasso Science Institute（格兰萨索科学研究所）；CNR-IMATI “E. Magenes”（意大利国家研究委员会 IMATI “E. 马盖尼斯”）
针对半直线上带有Dirichlet边界条件的KdV型初边值问题，构造由边界条件不匹配和指数衰减唯一确定的边界层剖面，并通过加权能量范数证明其稳定性。
2026-07-07 math-ph math.AP math.MP
A boundary-addition identity for Weil-Petersson volumes and their supersymmetric generalizations
University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）
本文推导出Weil-Petersson体积及其超对称推广的边界加法恒等式，将其与KdV层级关联，统一并推广了已知递推关系，并揭示了N=2和小N=4情形的相交理论描述。
2026-09-24 hep-th math-ph math.AG
On solutions of the Bethe Ansatz for the Quantum KdV model
本研究分类了量子KdV模型Bethe Ansatz方程的解，证明其与整数分拆对应，并验证了怪物势的完备性，从而证实了ODE/IM对应猜想。
2023-04-11 hep-th math-ph math.CA
Bi-infinite solutions for KdV- and Toda-type discrete integrable systems based on path encodings
Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University（京都大学数学科学研究所）；Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo（东京大学数理科学研究科）；Department of Applied Mathematics and Physics, Graduate School of Informatics, Kyoto University（京都大学信息学研究科应用数学物理系）
本文研究了KdV和Toda型离散可积系统的双无穷解，通过路径编码方法证明了初始值问题的唯一解，并揭示了系统行为与经典Pitman变换的关联。
2022-05-17 math-ph math.MP math.PR
