Bounds on pressure profile and internal compactness of static perfect fluid spheres with a positive cosmological constant
F. Shojai, A. Shojai, M. Mousavi
本文证明了在宇宙学常数为正的情况下，静态完美流体球（即恒星）的一些定理。这些定理限制了恒星的压力分布和内部紧性。
Some theorems for a static prefect fluid sphere, i.e. a star, in the presence of a positive cosmological constant are proved. These theorems put bounds on the pressure profile and internal compactness of the star.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
In the background of isotropic horizonless spheres, Hod recently provided an analytical proof of a bound on the compactness at the innermost light ring with the dominant energy and non-negative trace conditions. In this work, we extend the discussion of isotropic spheres to anisotropic spheres. With the same dominant energy and non-negative trace conditions, we prove that Hod's bound also holds in the case of anisotropic horizonless spheres.
Incompressible relativistic spheres: Electrically charged stars, compactness bounds, and quasiblack hole configurations
我们调查的性质相对论性恒星球的带电不可压缩流体，推广，因此，史瓦西内部解决方案。通过数值积分流体静力学平衡方程，即，Tolman-Oppenheimer-Schmidoff（TOV）方程，假设电荷分布与能量密度成比例。我们将内部与Reissner-Nordström外部相匹配，并研究了这些恒星球体的一些特征，如总质量$M$，半径$R$和总电荷$Q$。我们还显示了压力曲线。对于由理想流体构成的恒星球，存在布赫达尔界，$R/M\geq 9/4$，这是从一般原理中发现的紧致界。对于史瓦西内部解也有已知的紧性极限，内部史瓦西极限的配置达到无穷大的中心压力，由$R/M=9/4$，产生一个例子，其中布赫达尔界限饱和。我们研究这个极限的无限中心压力的带电恒星，并将其与Buchdahl-Andréasson界，一个极限，如Buchdahl界的不带电的情况下，是通过施加一些通用的物理条件带电配置。我们证明了除了两种配置之外，所有配置的电内部史瓦西极限总是低于Buchdahl-Andréasson极限，即，我们发现，电内部史瓦西极限一般不饱和的Buchdahl-Andréasson界限。我们还发现，准黑洞极限，即，当物质高度带电且恒星的中心压力趋于无穷大时，就达到了带电不可压缩恒星的极端最紧凑极限。这是布赫达尔-安德列森界限饱和的两个例子之一，另一个是不带电的内部史瓦西解。
Generating perfect fluid spheres in general relativity
自从卡尔·史瓦西在1916年发现了描述一个特殊的理想化广义相对论恒星内部的时空几何--一个静态的球对称流体滴，其密度与位置无关--广义相对论团体就一直在投入大量的时间和精力来理解广义相对论静态的完美流体球。在过去的90年里，人们发现了一系列特定的完美流体球，其中大多数特定的例子似乎彼此独立。为了给这些集合带来一些秩序，在这篇文章中，我们开发了几个新的变换定理，将完美流体球映射到完美流体球。这些变换定理有时会导致先前已知的完美流体球之间的意外联系，有时会导致新的先前未知的完美流体球，并且通常可以用来开发一种系统的方法来分类所有完美流体球的集合。
Solution generating theorems: perfect fluid spheres and the TOV equation
我们报告了几个新的转换定理，完美的流体球映射到完美的流体球。此外，我们报告新的“解决方案生成”定理的TOV，从而任何给定的解决方案可以“变形”到一个新的解决方案。
Solution generating theorems for perfect fluid spheres
1918年，史瓦西发现了第一个具有恒定密度的静态球对称理想流体解。一般来说，完美流体球是有趣的，因为它们是任何试图建立广义相对论恒星的现实模型的第一近似。在过去的90年里，人们发现了一系列令人困惑的完美流体球，其中大多数例子似乎彼此独立。为了给这个集合带来一些秩序，我们开发了几个新的变换定理，将完美的流体球体映射到完美的流体球体。这些变换定理有时会导致先前已知的完美流体球之间的意外联系，有时会导致新的先前未知的完美流体球，并且通常可以用来开发一种系统的方法来分类所有完美流体球的集合。此外，我们开发新的“解决方案生成”定理的TOV，从而任何给定的解决方案可以“变形”到一个新的解决方案。因为这些基于TOV的定理直接在压力分布和密度分布方面起作用，所以在流体球的中心处施加规则性条件相对容易。
We study the static stellar equilibrium configurations ofuncharged and charged spheres composed by a relativistic polytropic fluid, and compare with those of spheres composed by a non-relativistic polytropic fluid, the later case already being studied in a previous work [J. D. Arbañil, P. S. Lemos, V. T. Zanchin, Phys. Rev. D \textbf{88}, 084023 (2013)]. In the relativistic fluid case, a relativistic polytropic equation of state, $p=ωδ^γ$, is assumedd. Here, $δ=ρ-p/(γ-1)$, with $δ$ and $ρ$ being the rest mass density and the energy density, respectively, and $ω$ and $γ$ are respectively the po…
This paper aims to explore a class of static stellar equilibrium configuration of relativistic charged spheres made of a charged perfect fluid. Solving the Einstein-Maxwell field equations, we consider a particularized metric potential, Buchdahl ansatz [ Phys. Rev.116, 1027 (1959)] and then by using a simple transformation. The study is developed by matching the interior region with Riessner-Nordstr$\dot{\text{o}}$m metric as an exterior solution. The matter content the charged sphere satisfies all the energy conditions and hydrostatic equilibrium equation, i.e. the modified Tolman-Oppenheimer…
Static charged perfect fluid spheres in general relativity
在一个新的分类方案的基础上研究了Reissner-Nordstrom度规的内部理想流体解。在许多情况下可以找到通用公式。作为例子，给出了显式的新的整体解。简要回顾了已知的解决方案。
We analyze the interpretation of the spherically symmetric perfect fluid solutions that admit a flat synchronization orthogonal to the fluid flow as a thermodynamic perfect fluid in local thermal equilibrium. The ideal gas sonic condition is examined for this family of metrics, and the macroscopic conditions for physical reality are accurately tested for some specific solutions.
We discuss the physical features of two recent classes of analytical solutions of the Einstein equations sourced by an exotic perfect fluid with equation of state $ P=-ρ/5$. These geometries depend on up to four parameters and are static and spherically symmetric. They describe compact spaces with naked central singularities.
Perfect fluid spheres with cosmological constant
我们研究了存在宇宙学常数的静态理想流体球。新的精确物质的解决方案进行了讨论，需要在真空区域的纳里埃度规。我们推广爱因斯坦静态宇宙，使得它的能量密度和压力在整个时空中都不是恒定的。使用分析技术，我们推导出的条件依赖于状态方程来定位消失的压力面。这个表面通常可以位于具有减小的区域群轨道的区域中。我们使用数值方法来整合现实的状态方程的场方程，并找到一致的结果。
Static spherically symmetric solutions of the Einstein's field equations in isotropic coordinates representing perfect fluid matter distributions from Newtonian potential-density pairs are investigated. The approach is illustrated with three simple examples based on the potential-density pairs corresponding to a harmonic oscillator (homogeneous sphere), the well-known Plummer model and a massive spherical dark matter halo model with a logarithmic potential. Moreover, the geodesic circular motion of test particles around such structures is studied. The stability of the orbits against radial per…
Buchdahl-like transformations for perfect fluid spheres
在以前的两篇文章中[Phys. Rev. D 71（2005）124307（gr-qc/0503007）和gr-qc/0607001]，我们已经讨论了几种“算法”技术，允许一个（在一个纯粹的机械方式）产生大类的广义相对论静态完美流体球。工作在史瓦西曲率坐标，我们使用这些算法的想法来证明几个“解决方案生成定理”的不同程度的复杂性。在本文中，我们考虑其他坐标系中的情况：特别地，在一般对角坐标系中，我们将推广我们以前的定理，在各向同性坐标系中，我们将遇到所谓的“Buchdahl变换”的变体，而在其他坐标系中，（如高斯极坐标、Synge等温坐标、和Buchdahl坐标），我们将发现一些更复杂的“Buchdahl样变换”和“解生成定理”，可用于研究和分类广义相对论静态理想流体球。最后，通过回到一般的对角坐标，并对度量分量的函数形式进行适当的分析，我们将Buchdahl变换置于其最一般的可能设置中。
Algorithmic construction of static perfect fluid spheres
理想流体球，无论是牛顿的还是相对论的，作为发展真实恒星模型（或流体行星模型）的第一步，已经引起了相当大的关注。虽然已经有一些早期的提示，如何可能找到一般的解决方案，完美的流体约束的情况下，一个特定的状态方程，明确的和完全的一般解决方案的完美的流体约束只是最近才被开发出来。在这篇文章中，我们提出了Lake算法的一个版本[Phys.Rev.D67（2003）104015; gr-qc/0209104]，其中：（1）我们根据具有明确物理意义的变量--平均密度和局部测量的重力加速度--重新设计了算法，（2）给出了质量分布和压力分布的显式和完全通用的公式;（3）给出了中心压力的显式闭式表达式。此外，我们可以使用的形式主义，然后很容易地理解许多以前已知的精确解之间的相互关系的模式，并产生几个新的精确解。
Hydrostatic Equilibrium of a Perfect Fluid Sphere with Exterior Higher-Dimensional Schwarzschild Spacetime
我们讨论的问题是如何的空间和时间的维度的数量可以影响恒星的平衡配置。我们发现，维数确实增加了质量的影响，但不是压力的贡献，这是在任何维度上都是一样的。在存在（正）宇宙学常数的情况下，流体静力平衡的条件对质量和物质密度施加了一个下限。我们展示了这个限制如何取决于维数，并建议$Λ> 0$在4D中比在更高的维度中更有效。我们得到了$D$维理想流体星的紧化程度（边界上的引力势）的一般极限。我们认为，引力的影响在4D中比在任何其他数量的维度中更强。文中还讨论了结果的一般性。
We study exact solutions of the Einstein-Maxwell equations for the interior gravitational field of static spherically symmetric charged compact spheres. The spheres are composed of a perfect fluid with a charge distribution that creates a static radial electric field. The inertial mass density of the fluid has the form $ρ(r) = ρ_o + αr^2$ ($ρ_o$ and $α$ are constants) and the total charge $q(r)$ within a sphere of radius $r$ has the form $q = βr^3$ ($β$ is a constant). We evaluate the critical values of $M/R$ for these spheres as a function of $Q/R$ and compare these values with those given by…
In the framework of Einstein's the theory of general relativity we present a new interior solution with a perfect fluid, this is constructed from the proposal of a gravitational redshift factor. The geometry is regular and its density and pressure are monotonic decrescent functions, furthermore the sound speed is smaller than the light speed and monotonic crescent. The solution depends on a parameter $w \in (0, 2.0375509325]$ related to the compactness of the star $u = GM/c^2 R$, the maximum value $u = 0.2660858316$ which allow to describe compact stars like quark stars or neutron stars. Altho…
Some exact solutions in general relativity
本论文将考虑广义相对论中的四个独立问题，分为两个独立的主题：坐标条件和理想流体球。关于坐标条件，我们提出了一个教学讨论如何适当使用坐标条件可以导致简化的形式的时空曲率-这种技巧往往是有帮助的，当寻求具体的精确解的爱因斯坦方程。关于理想流体球，我们提出了几种方法，将任何给定的理想流体球转化为一个可能的新的理想流体球。第一组解生成定理适用于史瓦西曲率坐标，并以度规分量的形式表述：它们展示了如何将一个静态球形完美流体时空几何转化为另一个。第二组解生成定理将这些思想扩展到其他坐标系（如各向同性坐标系、高斯极坐标系、Buchdahl坐标系、Synge坐标系和指数坐标系），再次直接在度量分量方面工作。最后，根据TOV方程和密度、压力分布重新表述了解的生成定理。大多数相关的计算进行了分析，虽然也进行了一些数值探索。
A foundational theorem due to Buchdahl states that, within General Relativity (GR), the maximum compactness $\mathcal{C}\equiv GM/(Rc^2)$ of a static, spherically symmetric, perfect fluid object of mass $M$ and radius $R$ is $\mathcal{C}=4/9$. As a corollary, there exists a compactness gap between perfect fluid stars and black holes (where $\mathcal{C}=1/2$). Here we generalize Buchdahl's result by introducing the most general equation of state for elastic matter with constant longitudinal wave speeds and apply it to compute the maximum compactness of regular, self-gravitating objects in GR. W…
The spacetime geodesy of perfect fluid spheres
本文提出通过时空测地学方法，利用对称性和几何特征研究完美流体球，无需特定物态方程，探讨各向同性里奇张量和韦伊尔张量的结构及其与复杂性的关系。
Corrigendum to "Thermodynamical instabilities of perfect fluid spheres in General Relativity"
文献[1]研究了静态球对称理想流体在广义相对论中的热平衡。我想详细说明与[1]的结果有关的三点。第一点只是对[1]中的结果的澄清，在下面的定理1中总结。以下两点纠正了[1]中的错误，指出[1]中找到的热力学稳定性条件是指微正则系综，而它是指正则系综。在定理2和3中，指定了动力学稳定性和热力学稳定性等价的具体情况。
Billiard Representation for Multidimensional Cosmology with Multicomponent Perfect Fluid near the Singularity
考虑了描述多组分理想流体存在下$n$ Einstein空间演化的多维宇宙模型。当对模型的参数施加一定的限制时，模型在奇点附近的动力学被简化为$(n-1)$维罗巴切夫斯基空间$H^{n-1}$上的台球。提出了台球体积有限的几何判据及其紧致性。这个标准减少了问题的$(n-2)$ -维球体$S^{n-2}$的照明问题的点状源。考虑所考虑的方案的一些推广（包括标量场和量子推广）。
Thermodynamical instabilities of perfect fluid spheres in General Relativity
对于具有一般状态方程的静态理想流体球，我们得到了作为微正则系综和正则系综的热力学平衡的相对论性流体静力平衡方程，即Tolman-Oppenheimer-Volkov方程。我们发现由熵的第二变分确定的稳定性条件与由动力学爱因斯坦方程的一阶变分导出的动力学稳定性条件相一致。因此，我们证明了广义相对论中静态球对称场的微正则稳定性与线性动力学稳定性的等价性。我们计算了牛顿极限，发现了一个有趣的性质，即广义相对论中的微正则系综转化为非相对论尘埃粒子的正则系综。最后，对于特定的系统，我们研究了宇宙学常数对流体球微正则稳定性的影响。
Bounds on the interior geometry and pressure profile of static fluid spheres
相对论恒星结构的一个著名结果是，（在温和的技术条件下）静态流体球满足布赫达尔-邦迪边界2 M/R <= 8/9;令人惊讶的是，这个边界不是2 M/R <= 1。在这篇文章中，我们提供了进一步的推广，通过放置一些约束的内部几何形状（度量组件），由于重力的局部加速度，对各种组合的内部密度和压力分布，并在静态流体球的内部紧凑性2 m（r）/r。我们这样做，通过调整的标准工具，比较通用的流体球与史瓦西内部几何相同的质量和半径-特别是我们得到几个结果的压力分布（不仅仅是中心压力），这是相当微妙的比可能首先预期。
A critical dimension for the stability of perfect fluid spheres of radiation
本文分析了具有渐近AdS边界条件的辐射理想流体模型。这样的场景包括一个球形的辐射气体（一颗“恒星”），由于AdS势的限制性质，它位于时空中心附近。我们认为恒星的总质量的变化是中心密度的函数，并观察到，对于足够大的维度，质量随密度单调增加。然而，在低维的情况下，振荡出现，表明恒星的完美流体模型变得不切实际。我们发现这两个政权的关键尺寸是11。
Collapsing shear-free perfect fluid spheres with heat flow
本文从整体上研究了无剪切理想流体球在热流作用下的坍缩问题。我们应用一个紧凑的形式主义，简化了各向同性条件和共形平坦的条件。这种形式主义也提出了最简单的版本的主要交界处的条件，明确证明共形平坦和测地线的解决方案。它给出了正确的功能解开这个条件到众所周知的微分方程一样，阿贝尔，里卡蒂，伯努利和线性之一。它产生了一个替代的推导功能依赖度量组件的一般解决方案。我们把静态和时间相关模型的结果结合起来，描述了各向同性方程通解的六个生成函数。阐明了它们的共同特征和相互关系。给出了可分解的一般公式，其中包括坍缩到黑洞或裸奇点。
Modelling anisotropic fluid spheres in general relativity
我们认为，一个任意的广义相对论静态各向异性流体球，（静态和球对称，但横向压力不等于径向压力），仍然可以成功地模仿合适的线性组合理论上有吸引力的和相当简单的经典物质：一个经典的（带电）各向同性完美流体，经典的电磁场，和经典的（最低耦合）标量场。虽然最一般的分解不是唯一的，但可以构造唯一的优选最小分解。我们展示了各向异性流体球的经典能量条件如何与各向同性完美流体、电磁场和模型的标量场分量的能量条件相关。此外，我们展示了这种分解与整个模型的电荷密度和标量电荷密度的分布。广义TOV方程意味着该模型中的理想流体分量自动处于内部平衡，压力、电力和标量力平衡了引力伪力。因此，我们可以建立理论上有吸引力的物质模型，可以用来模拟几乎任何静态球对称时空。
Integrable cases of gravitating static isothermal fluid spheres
它表明，不同的方法对静态球对称理想流体的爱因斯坦方程的溶液与伽玛定律状态方程导致第二类阿贝尔微分方程。目前它的可积情形只有平坦时空、de Sitter解及其Buchdahl变换、Einstein静态宇宙和Klein-Tolman解。
Photon orbits and phase transition for Letelier AdS black holes immersed in perfect fluid dark matter
本文获得了浸没于完美流体暗物质中的Letelier AdS黑洞精确解，在扩展相空间分析其热力学，发现光子球半径与影响参数在相变中可作序参量，临界指数为1/2，提示黑洞热力学临界点附近存在引力普适关系。
Central equation of state in spherical characteristic evolutions
本文研究了一个耦合到标量辐射场的理想流体球的演化。通过保证在中心世界线处作为共形平坦时空的Ricci不变正则性，我们发现耦合到标量场的流体在球心处满足状态方程$ρ_c+3p_c=$常数，其中能量$ρ_c$密度和压力$p_c$不一定包含标量场的贡献。由于标量场的存在，流体可以被解释为各向异性的和辐射的，但是在球体的中心处，流体变得完美和无辐射。这些结果目前正在考虑建立一个数值相对论流体动力学求解器。
We examine the effects of the Rastall parameter on the behaviour of spherically symmetric static distributions of perfect fluid matter. It was claimed by Visser [Physics Letters B, 782, 83, (2018)] that the Rastall proposition is completely equivalent to the Einstein theory. While many authors have raised contrary arguments, our intention is to analyze the properties of Rastall gravity through variation of the Rastall parameter in the context of perfect fluids spheres that may be used to model neutron stars or cold fluid planets. This analysis also serves to counter the claim that Rastall grav…
In this work, we present a class of relativistic and well-behaved solution to Einstein's field equations for anisotropic matter distribution. We perform our analysis by using the Buchdahl ansatz for the metric function grr. Three different classes of new exact solution are found for anisotropy factor(delta). We have analyzed our model with various physical aspects such as pressure (radial as well as transverse), energy density, anisotropy factor, mass, compactness parameter, adiabatic index(gamma) and surface redshift. A graphical analysis of energy conditions, TOV equation and causality condi…
This manuscript explores the compact geometries by employing Karmarkar condition with the charged anisotropic source of matter distribution. For this purpose, we consider an explicit model by indulging $\mathrm{g}_{rr}$ metric potential obeying the Karmarkar condition. Moreover, we ansatz the time metric co-efficient following the approach by Adler. The crucial aspect of present investigation is the implication of the Bardeen model as an outer spacetime. Implementation of Bardeen approach turns out to be very interesting as this corresponds to the magnetic mono-pole gravitational remnants emer…
Dynamical stability of fluid spheres in spacetimes with a nonzero cosmological constant
在具有非零宇宙学常数的时空中，确定了球对称理想流体位形径向振动本征模的Sturm-Liouville本征方程，并将其应用于能量密度均匀分布的位形和多变球的情况.结果表明，排斥性宇宙学常数使临界绝热指数增大，动力学不稳定性发生的临界半径减小。
Anisotropic geodesic fluid spheres in general relativity
它示出，不同于完美的流体的情况下，各向异性流体（主应力不等）可能是测地线，没有这意味着消失的（空间）压力梯度。然后在非共动坐标系下对四个加速度为零的条件进行积分。由此产生的模型必然是动态的，和质量函数表示的流体速度由一个本地闵可夫斯基观测器测量。给出了一个具体的算例。
We provide an exhaustive analysis of the complete set of solutions of the equations of stellar equilibrium under semiclassical effects. As classical matter we use a perfect fluid of constant density; as the semiclassical source we use the renormalized stress-energy tensor (RSET) of a minimally coupled massless scalar field in the Boulware vacuum (the only vacuum consistent with asymptotic flatness and staticity). For the RSET we use a regularized version of the Polyakov approximation. We present a complete catalogue of the semiclassical self-consistent solutions which incorporates regular as w…
Charged perfect fluids in the presence of a cosmological constant
本文考虑了在宇宙学常数存在下，带电理想流体球的静态和球对称广义相对论场方程。在Florides（1983）的工作之后，我们找到了场方程的新的精确解，并讨论了它们的质量半径比。例如，这些解要求带电纳里埃度规是时空的真空部分。我们还发现了爱因斯坦静态宇宙的带电概括，并推测，如果考虑到电荷，宇宙学常数的小问题可能会变得不那么成问题。
We propose two models for constant density relativistic perfect-fluid spheres supported by thin shell configurations. These models are obtained from the Schwarzschild constant density star solution: the first via the collapse of the external layers of the fluid into a thin shell by performing a matching with the exterior Schwarzschild solution at a matching radius smaller than the star radius; and the second via the creation of a vacuum bubble inside the star by matching it with an interior Minkowski spacetime. Both models are shown to satisfy both the weak and the strong energy conditions (WE…
We study self-gravitating bound states of a complex vector field, known as Proca stars, with a new type of quartic-order self-interaction which does not exist in the case of either a complex scalar field or a real vector field. Depending on the sign of the coupling constant, this quartic self-interaction can yield a distinct feature of Proca stars from the previously investigated self-interaction of the vector field. We find that self-gravitating solutions can be so compact that the photon sphere could form. However, we also show that the self-interaction gives rise to a ghost instability for …
Transforming the Einstein static Universe into physically acceptable static fluid spheres
爱因斯坦方程的精确静态球对称理想流体解这一严肃的课题在过去十年中又重新活跃起来。我们现在有几个解决方案生成技术，产生新的精确解。在这里，爱因斯坦静态宇宙被转换成一个物理上可接受的解决方案，其属性进行了详细的检查。这里的重点是这些生成技术引入的积分常数的重要性。
Shadow, Quasinormal Modes, Sparsity, and Energy Emission Rate of Euler-Heisenberg Black Hole Surrounded by Perfect Fluid Dark Matter
研究欧拉-海森堡黑洞在完美流体暗物质背景下的光学、动力学及辐射特性，分析阴影、标量准正常模式谱、灰体因子、霍金辐射稀疏性及能量辐射率，揭示暗物质环境对黑洞性质的主导影响。
Buchdahl limits in theories with regular black holes
研究Buchdahl压缩极限在D维Einstein引力与高曲率修正耦合的完美流体星体解中的推广，发现规则黑洞的真空解限制了恒星的最大压缩性，且在特定条件下存在新的Buchdahl极限。
Generating Static Fluid Spheres by Conformal Transformations
我们生成一个明确的四倍无穷大的物理上可接受的爱因斯坦方程的精确完美流体解的物理上不可接受的解决方案（一种方式来查看使用各向同性坐标）的保角变换的方式。特殊情况包括史瓦西内部解和爱因斯坦静态宇宙。我们考虑的过程涉及解决两个方程的Riccati型耦合由一个单一的生成函数，而不是规范的两个度量函数之一。
Thermal fluctuations, quasi-normal modes and phase transition of the charged AdS black hole with perfect fluid dark matter
本文研究含完美流体暗物质的带电AdS黑洞，分析热涨落对热力学量及相变稳定性的影响，并利用光子球半径计算Lyapunov指数和角速度，揭示修正参数与暗物质参数对系统稳定性的作用。
Self-gravitating spheres of anisotropic fluid in geodesic flow
对文中所提到的流体模型进行了分类。流体的所有特性都通过一个主势来表示，它满足一个二阶常微分方程。不同的约束施加在这个核心的关系，寻找新的解决方案，并得出经典的结果，完美的流体和灰尘的特殊情况。得到了许多不带电和带电的各向异性解、共形平坦解和一些均匀密度解，并导出了一系列在两种压力之间具有线性方程的解，包括切向压力为零的情况。
A Conformal Mapping and Isothermal Perfect Fluid Model
我们取的度规不是共形于平坦时空，而是共形于一个可以被认为是“最小”弯曲的时空，在这个意义上，自由粒子没有引力，但它有非零曲率。基本时空可以写成球极坐标中的克尔-席德形式。保形度规则允许唯一的三参数族的理想流体解是静态的和不均匀的。对于具有正压状态方程的无界宇宙学模型，密度和压力在曲率径向坐标系中以$R^{-2}, $形式衰减。这就是等温流体的特性。从而得到了等温理想流体模型的一种解释。该解也可以表示有界流体球。
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