The Galois action on Hurwitz curves
Robert A. Kucharczyk
我们做一些观察伽罗瓦行动赫尔维茨曲线和密切相关的，但鲜为人知的赫尔维茨origamis。
We make some observations concerning the Galois actions on Hurwitz curves and on the closely related but lesser-known Hurwitz origamis.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Hurwitz spaces of Galois coverings of P^1 with Galois groups Weyl groups
证明了当P^1的伽罗瓦群是任意外尔群且局部单值映射是反射时，参数化P^1的伽罗瓦覆盖的Hurwitz空间的不可约性.这推广了Clebsch和Hurwitz的一个经典定理。
Hurwitz spaces and Inverse Galois Theory
本文综述了Hurwitz空间在反 Galois 理论中的五十年研究，重点介绍近期进展，包括大域、紧化、降理论和模塔等半现代发展，以及通过研究组件环重塑Hurwitz空间算术的最新成果。
Branch Stabilisation for the Components of Hurwitz Moduli Spaces of Galois Covers
我们考虑了G-Galois覆盖的Hurwitz模空间的分支，并建立了一个强有力的代数框架来研究相应的单值映射等价类的集合.在此范围内，我们研究几何稳定的各种G-覆盖分支的光盘。我们的结果解决了代数上判定等价和稳定等价的问题。我们恢复一个同调不变，我们表明，以区分给定的边界单值和尼尔森型的等价类，如果后者是足够大的适当的意义。
Champs de Hurwitz
本文对伽罗瓦和非伽罗瓦情形下的Hurwitz栈进行了深入的研究。应用该构造方法对一些经典的例子，具有水平结构的稳定曲线堆，以及光滑分歧的循环覆盖堆进行了研究。给出了重言式上同调类，并给出了它们之间的泛关系。应用给出了Cornalba-Harris型关系，和一些Hurwitz-Hodge积分。
Hurwitz moduli varieties parameterizing Galois covers of an algebraic curve
该研究针对代数曲线的伽罗瓦覆盖模问题，利用代数拓扑与复代数几何工具，证明了不同条件下Hurwitz空间的精细/粗模簇性质并构造万有族。
Automorphism groups of smooth plane curves with many Galois points
给出了至少有两个Galois点的光滑平面曲线分类表中曲线的自同构群。其中之一是自同构群超过Hurwitz界的普通曲线。
Reduction of covers and Hurwitz spaces
本文研究了曲线的Galois覆盖从特征0到特征p的约化问题。出发点是Raynaud最近的一个结果，它给出了3点上的射影线分支覆盖的好约化的一个判据。在伽罗瓦群上的某些条件下，我们将这一判据推广到4个分支点的情形。此外，我们描述了这类覆盖的Hurwitz空间的约化，并计算了具有好约化的覆盖的个数。
Some 4-point Hurwitz numbers in positive characteristic
在本文中，我们计算的覆盖曲线的数量与给定的分支行为的特征p为一类的例子，有四个分支点和度p。我们的技术涉及相关的计算的情况下，三个分支点，并允许我们得出结论，在许多情况下，对于一个特定的选择退化，所有的覆盖，我们认为退化到可分离（容许）覆盖。从一个很好的理解复杂的情况下，证明是集中在伽罗瓦覆盖的稳定约化理论。
Construction of p-adic Hurwitz spaces
利用Herrlich的Teichmuller空间、Andre的轨道基本群和Kato的Mumford轨道图的分支数据群图，构造了p进Mumford曲线的Galois覆盖的模空间.
Hurwitz integrality of power series expansion of the sigma function for a plane curve
本文证明了对应于某一平面曲线的σ函数\(σ(u)\)在原点处展开系数的Hurwitz可积性，该曲线应称为平面伸缩曲线。对于素数\(2\)，\(σ(u)\)的展开式不是Hurwitz积分，而\(σ(u)^2\)是.本文阐明了这一现象的确切结构。文中给出了三角亏格三曲线（\((3,4)\) -曲线）\(y^3+(μ_1x+μ_4)y^2+(μ_2x^2+μ_5x+μ_8)y=x^4+μ_3x^3+μ_6x^2+μ_9x+μ_{12}\)（\(μ_j\)为常数）的计算实例.
Reduction of the Hurwitz space of metacyclic covers
计算了三点分支射影线的若干Galois覆盖的稳定约化。这些覆盖使用Hurwitz空间参数化亚循环覆盖来构造。通过一个超几何微分方程确定了该约简。这推广了Deligne-Rapoport关于模曲线X（p）约化的结果.
Hurwitz - Bernoulli Numbers, Formal Groups and the L - Functions of Elliptic Curves
经典上，欧拉发展了理论的黎曼ζ函数使用作为他的出发点的指数和部分分式形式的cot（z）。在本文中，我们希望以类似的方式从椭圆函数理论出发，发展椭圆曲线的$L$ -函数理论。
Stable maps and Hurwitz schemes in mixed characteristic
本文给出了混合特征完备Hurwitz方案（和栈）的定义。我们遵循R的一个思想。Pandharipande，定义完备Hurwitz栈为亏格g的结点点曲线到亏格h的稳定点曲线的模栈上的泛曲线的d次稳定映射的子栈.这个子栈只是特征为0的Hurwitz覆盖的轨迹的闭包。我们详细描述了减少模2的完整的Hurwitz堆栈的亏格1双覆盖的射影线。结果比你想象中最狂野的梦想还要狂野。最后，我们推测一个可能的关系与工作的阿布拉莫维奇，维斯托利稳定的地图到德利涅芒福德栈。
The Hurwitz curve over a finite field and its Weierstrass points for the morphism of lines
对于有限域$\mathbb{F}_{p}$上的任意光滑Hurwitz曲线$\mathcal{H}_n: \, XY^n+YZ^n+X^nZ=0$，给出了其Weierstrass点关于直线态射的显式描述.因此，计算了全自同构群${\rm Aut}(\mathcal{H}_n)$，以及$\mathcal{H}_n$的所有伽罗瓦子覆盖的属，其中$n\neq 3, p^r$。最后是F的问题。Torres关于平面非奇异极大曲线的问题。
Tropical Hurwitz Spaces
Hurwitz数是曲线在余域曲线上的标记点处具有指定分支轮廓的d次分支覆盖的加权计数。这些覆盖的同构类可以作为稠密开集包含在称为Hurwitz空间的模空间中。Hurwitz空间与标记稳定曲线的模空间有一个遗忘态射，这个态射的次数编码了Hurwitz数。Mikhalkin构造了一个热带标记的稳定曲线的模空间，这个空间是一个热带变种。在本文中，我构建了一个热带类似的Hurwitz空间的意义上说，它是一个连接，多面体复杂的一个态射的热带模空间的曲线，使度的态射编码的Hurwitz数。
Galois group at Galois point for genus-one curve
给出了椭圆曲线的自同构群的有限子群的所有可能结构。这里的自同构是指双全纯变换。利用这一结果，我们确定了具有奇点的亏格1曲线的外伽罗瓦点处的每个伽罗瓦群G.特别地，如果G是阿贝尔的，那么它的阶最多是9。然而，如果不是这样，则顺序是无限的。在G是交换的情况下，给出了具有伽罗瓦点的曲线的定义方程。
Rational correspondences between moduli spaces of curves defined by Hurwitz spaces
通过将亏格g=2k的曲线C和次数d=k+1的束相关联，可以得到所谓的迹曲线（分别为：简化迹曲线）定义了亏格g=2k，度d=k+1的容许覆盖的Hurwitz空间到稳定曲线的模空间的有理映射.我们研究了曲线的这些模空间的除子类群之间的诱导映射。
Exotic arithmetic structure on the first Hurwitz triplet
我们发现第一个Hurwitz三重态具有两个不同的算术结构。Shimura曲线$X_1$、$X_2$、$X_3$水平均符合常模13。作为非全等模数曲线$Y_1$、$Y_2$、$Y_3$，其水平为7。它们都是在${\Bbb Q}(\cos \frac{2 π}{7})$上定义的。然而，对于第三类非全等模曲线$Y_3$，其相应的非全等模形式与Hilbert模形式之间存在着“奇异”的对偶性，它们都与${\Bbb Q}(e^{\frac{2 πi}{13}})$有关！我们的结果与十四次模方程（包括Jacobian模方程和“奇异”模方程）、$PSL(2, 13)$表示的“triality”、Haagerup子因子、例外李群$G_2$的几何、甚至Monster有限单群${\Bbb M}$都有关系并有应用！
The class of a Hurwitz divisor on the moduli of curves of even genus
在亏格为$g=2k$的稳定曲线的模空间上，计算了具有两个单分歧点的射影线的度$k+1$覆盖所给出的Hurwitz因子$D_2$的循环类.我们还研究了$k+1$和$2k$度容许覆盖的Hurwitz空间到亏格$2k$稳定曲线的模空间的自然映射的几何性质.
The unirationality of Hurwitz spaces of 6-gonal curves of small genus
本文用$5\leq g\leq 28$或$g=30,31,33,35,36,40,45$证明了亏格为$g$的6维曲线的Hurwitz空间的单合理性.关键成分是$\PP^1 \times \PP^2$中的联络结构。通过连续性，证明这种结构的优势减少到一个有限域上的单一曲线的计算。
Teichmueller curves, Galois actions and GT-relations
Teichmueller曲线是Teichmueller空间中的测地圆盘，其投影到模空间$M_g$中的代数曲线$C$。一些Teichmüller曲线可以被认为是Hurwitz空间的分支。我们证明了绝对伽罗瓦群$G_\QQ$忠实地作用在这些嵌入曲线的集合上。我们还比较了$G_\QQ$对$π_1(C)$和对$π_1(M_g)$的作用，得到了Grothendieck-Teichmueller群中的一个关系，似乎独立于已知的关系。
Riemann-Hurwitz formula for finite morphisms of $p$-adic curves
给定特征为$0$的完备代数闭域$k$上的拟光滑Berkovich曲线的有限态射$φ:Y\to X$，证明了与它们的Euler-Poincaré特征（利用它们的过收敛结构层的De Rham上同调计算）有关的Riemann-Hurwitz公式.主要工具是$p$ -adic龙格定理和解析函数的赋值多边形。利用所得结果，对正特征的代数闭域上曲线的有限态射的Riemann-Hurwitz公式提供了另一种观点.
Inverse Galois problem for ordinary curves
本文研究了特征为p的函数域上的逆Galois问题，例如射影直线上的逆Galois问题。我们描述了一种方法来构造某些伽罗瓦覆盖的射影线和其他曲线，这是普通的意义上，他们的雅可比矩阵有最大的p-挠。我们通过构造普通半稳定曲线的伽罗瓦覆盖，然后将它们变形为光滑的伽罗瓦覆盖来实现这一点。
Galois action on homology of generalized Fermat Curves
计算了Fermat曲线和广义Fermat曲线的基本群。这些曲线是具有交换伽罗瓦群$H$的射影线的Galois分歧覆盖。统一研究了覆盖伽罗瓦群$H$和绝对伽罗瓦群$\mathrm{Gal}(\bar{\Q}/\Q)$对曲线的前$\ell$同调的作用.此外，亲$\ell$ Burau表示的关系进行了研究。
Triply mixed coverings of arbitrary base curves: Quasimodularity, quantum curves and a mysterious topological recursions
简单的Hurwitz数枚举具有固定分歧数据的黎曼曲面之间的分支态射。近年来，在文献中出现了几种关于属$0$基曲线的这一概念的变体。其中有所谓的单调Hurwitz数，它与随机矩阵理论中的HCIZ积分有关，以及严格单调Hurwitz数，它计数某些Grothendieck dessins d 'enfants。我们概括的概念，Hurwitz数简单，单调和严格单调的Hurwitz数之间的插值到任何属和任意数量的任意，但固定的衍生配置文件。这产生了几个已知的赫尔维茨数的结果的概括。当目标曲面的亏格为1时，我们证明了这些插值Hurwitz数的生成序列是拟模形式。在所有分歧是简单的情况下，我们通过将这个序列写为对应于由Gromov-Witten不变量加权的热带覆盖的拟模形式的和来改进这个结果。此外，我们推导出一个量子曲线的单调和Grothendieck dessins d 'enfants Hurwitz数为任意的一般和一个任意的，但固定的衍生物配置文件。因此，我们通过半经典极限得到谱曲线作为CEO拓扑递归的输入数据。令人惊讶的是，我们发现严格单调Hurwitz数的亏格$1$谱曲线的CEO拓扑递归计算亏格$0$中的单调Hurwitz数。从而给出了单调Hurwitz数满足CEO拓扑递归的一个新的证明。这表明这些枚举数之间存在未知的关系。最后，专门针对目标表面$\mathbb{P}^1$，我们发现递…
On maximal curves which are not Galois subcovers of the Hermitian curve
我们证明了广义Giulietti-Kommáros曲线不是$\mathbb{F}_{q^{2n}}$上Hermitian曲线的Galois子覆盖.这回答了Garcia、Güneri和Stichtenoth提出的一个问题。
The Hurwitz space of covers of an elliptic curve $E$ and the Severi variety of curves in $E \times \mathbb{P}^1$
我们描述了超平面部分的塞维各种曲线在$E \times \mathbb{P}^1$在类似的方式Caporaso-Harris的开创性工作。从这个描述中，我们几乎得到了塞维里度的递归公式（我们得到了项，但没有系数）。作为应用，我们确定了亏格为1的曲线的单分支覆盖的Hurwitz空间的分支。作为回报，我们使用这个特性来描述的组件的塞维各种曲线在$E \times \mathbb{P}^1$，在有限的范围内的程度。
Galois descent for the gonality of curves
根据曲线的数值不变量，我们确定了基扩展下的一致性不变性的条件。更一般地说，我们研究的伽罗瓦下降态射曲线的布劳尔-塞维里品种，也合理的正常卷轴。
Quantum curves for simple Hurwitz numbers of an arbitrary base curve
已知射影直线的简单Hurwitz数的各种生成函数满足许多性质。它们包括热方程，Eynard-Orantin拓扑递归，称为量子曲线方程的无限阶微分方程，以及类似薛定谔的偏微分方程。本文将这些性质推广到基曲线为任意的简单Hurwitz数。
Galois groups of Mori trinomials and hyperelliptic curves with big monodromy
本文计算了S. S. S引入的有理数域上一类多项式的伽罗瓦群。Mori和研究相应的超椭圆雅可比算子的单值性。
Group representations on Riemann-Roch spaces of some Hurwitz curves
设q>1表示与2，3，7互素的互素整数，G=PSL（2，q）是定义在C上的光滑射影曲线X的Hurwitz群.我们计算了Riemann-Roch空间L（D）的G-模结构，其中D是X上正次数的不变因子.这取决于计算的分歧模块，我们明确给出。特别地，我们得到了H^1（X，C）作为G-模的分解。
$p$-adic Hurwitz numbers
我们引入稳定的热带曲线，并使用这些计数覆盖的$p$ -adic射影线的固定度和分歧类型的Mumford曲线的热带Hurwitz数。我们的计数取决于封面的分支轨迹。
Hurwitz numbers and intersections on moduli spaces of curves
本文是预印本math.AG/9902104的扩展版本。利用带有标记点的亏格g曲线的模空间上的Hodge积分，得到了仅含一个复杂分支点的亏格g曲面对球面的拓扑分歧覆盖个数的显式表达式.
Galois lines for space elliptic curve with j=12^3
每个线性正规空间的椭圆曲线的V_4线构成四面体的边，但当椭圆曲线的j=12^3时，还存在Z_4线。我们明确地给出了曲线的V_4和Z_4线的排列。作为推论，我们得到亏格为1的不可约四次曲线至多有两个Galois点。
Classification of all Galois subcovers of the Skabelund maximal curves
2017年，Skabelund构造了两个新的极大曲线的例子，分别作为Suzuki和Ree曲线的覆盖，它们分别是$\tilde{\mathcal{S}}_q$和$\tilde{\mathcal{R}}_q$。由此得到的Skabelund曲线类似于厄米曲线的Giulietti-Kámáros覆盖。本文给出了Skabelund曲线$\tilde{\mathcal{S}}_q$和$\tilde{\mathcal{R}}_q$的所有Galois子覆盖的一个完整刻画.计算相应曲线的属，我们发现新的增加到列表中的已知属的极大曲线在有限域。
Fake Liftings of Galois Covers between Smooth Curves
本文研究了代数曲线之间的Galois覆盖从特征p>0提升到特征0的问题。我们证明了Garuti在[Ga]中关于这个问题的主要结果的一个改进版本。我们提出了关于曲线之间循环伽罗瓦覆盖提升的奥尔特猜想的改进版本。我们引入了曲线之间循环伽罗瓦覆盖的伪提升的概念，它们的存在将与奥尔特猜想相矛盾，我们研究了它们的半稳定模型的几何。最后，我们介绍和调查的一些例子的平滑过程，最终目的是要表明，假提升不存在。这反过来又意味着奥尔特猜想。
The spectral curve and the Schroedinger equation of double Hurwitz numbers and higher spin structures
该研究通过分析不稳定(0,1)几何推导广义Hurwitz数的谱曲线，量子化后得到对应配分函数的薛定谔方程，证实了此类情形下量子曲线存在性的猜想。
Explicit computation of Galois representations occurring in families of curves
本文将计算曲线Jacobian除法多项式的方法扩展至Q(t)上的曲线，以计算曲面étale上同调中的Galois表示，获得了P^1_Q上Galois表示的显式族并研究了其在坏约化处的退化。
Compactifications of Hurwitz spaces
我们构造了亏格为$g$曲线的Hurwitz空间$H^d_{g/h}$的几个模紧化，表示为亏格为$h$曲线的$d$ -单支复盖.这些紧化是通过允许覆盖的分支点碰撞到一个可变的程度。如果是$d = 2, 3$，或者如果允许相对较少的冲突，则它们表现得非常好。作为特殊情况，我们恢复扭曲的可容许覆盖的Abramovich，Corti和Vistoli和空间的超椭圆曲线的Fedorchuk的空间。
Real algebraic curves and twisted Hurwitz numbers
本研究建立了b=1的b-Hurwitz数与扭曲Hurwitz数的直接对应关系，并用单值群刻画了实直线上带分歧的球面实覆叠，为实代数曲线相关计数问题提供了新的联系视角。
Regular homotopy of Hurwitz curves
我们证明了任何两个不可约尖点Hurwitz曲线$C_0$和$C_1$（或更一般地说，具有A型奇点的曲线）在Hirzebruch表面$F_N$重合的同调类和奇点集是正则同伦的;和辛正则同伦的，如果$C_0$和$C_1$是辛关于一个兼容的辛形式。
Unirationality of the Hurwitz space H_{9,8}
本文证明了用亏格为9的曲线参数化P^1的8-片覆盖的Hurwitz空间H_{9,8}是单有理的。我们的建设导致一个显式的Macaulay 2码，这将随机产生一个节点曲线的度8的几何亏格9与12个二重点，并与铅笔的度8。
Hurwitz spaces of triple coverings of elliptic curves and moduli spaces of abelian threefolds
本文证明了极化类型为D=（1，1，2），（1，2，2），（1，1，3）或（1，3，3）的极化三重交换的模空间A_3（D）是单有理的.这个结果是基于对2次或3次椭圆曲线的简单覆盖族的研究和对迹为0的全纯微分所对应的周期映射的研究。特别地，我们证明了Hurwitz空间H_{3,A}（Y）的单有理性，该空间参数化了椭圆曲线Y的单支三重覆盖，其行列式为同构于A^{-1}的Tschirnhausen模.
Ramifications of Hurwitz theory, KP integrability and quantum curves
本文回顾了最近关于单调和严格单调Hurwitz数的几个结果，并给出了新的证明。特别是，我们使用这些数字的各种版本讨论的量子谱曲线的推导方法，从KP可积性的角度来看，并获得新的例子的量子曲线的家庭的双Hurwitz数。
Hurwitz spaces of quadruple coverings of elliptic curves and the moduli space of abelian threefolds A_3(1,1,4)
证明了具有（1，1，4）型极化的极化三重阿贝尔的模空间A_3（1，1，4）是单有理的.通过Birkenhake和Lange的一个结果，这暗示了同构模空间A_3（1，4，4）的单理性。研究了n点单支椭圆曲线Y的四重覆盖的Hurwitz空间H_{4,n}（Y）.证明了它的余维数为1的子簇H^{0}_{4，A}（Y）的单合理性，它用同构于A^{-1}的Tschirnhausen模参数化四重覆盖π：X --> Y，其中A \in Pic^{n/2}Y，且π^*：J（Y）--> J（X）是单射的.这是Arbarello和Cornalba关于Hurwitz空间H_{4,n}（P^1）是单有理的结果的类似结果。
A short proof of the lambda_g-conjecture without Gromov-Witten theory: Hurwitz theory and the moduli of curves
本文给出了$λ_g$ -猜想的一个简洁而直接的证明。该方法是通过Ekedahl-Lando-Shapiro-Vainshtein定理，该定理建立了Hurwitz数的“多项式”，从中我们挑选出最低阶项。证明是独立的Gromov-Witten理论。我们简要地描述了我们的一般方法背后的哲学相交数，以及它如何可以扩展到其他相交数的代数。
The moduli space of curves, double Hurwitz numbers, and Faber's intersection number conjecture
我们在曲线的模空间上定义了维数为2g-1的Faber-Hurwitz Chow/同调类，参数化曲线可表示为P^1的分支覆盖，在无穷远处有给定的分支，在别处有足够多的固定分支点。退化的目标和明智的本地化表示这样的类在本地化树加权重言式类和属0双Hurwitz数的“顶交点”。这个生成序列的同一性可以被颠倒，产生PSI类的顶部交叉点的“组合化”。由于亏格为0的双Hurwitz数在无穷大上至多有3个部分，我们得到了Faber的至多有3个部分的相交数猜想，并给出了一个一般的猜想（绕过Virasoro猜想）.我们还恢复其他几何结果在一个统一的方式，包括Looijenga定理，柱脚定理曲线的合理的尾巴，和超椭圆轨迹的kappa_{g-2}。
Hurwitz-Brill-Noether theory via K3 surfaces and stability conditions
本文通过椭圆K3曲面上的Bridgeland稳定性条件，发展Hurwitz-Brill-Noether理论的新方法，证明椭圆K3曲面上的曲线是首个普遍的光滑k-gonal曲线例子，并给出主要存在性与不存在性结果的新证明，以及数域上普遍曲线的显式构造。
A note on Hurwitz schemes of covers of a positive genus curve
本文证明了具有$d$次的固定黎曼曲面$B$的空间参数化分支覆盖的不可约性，其中分支点至少为2d，单值群等于$S_d$ .该结果对于$g(B)=0$是经典的。该结果对于$g(B) > 0$是众所周知的，但是我们找不到参考。
Boundary behaviour of Hurwitz schemes
研究了有限群在稳定曲线上的作用。它们自然地出现在具有群作用的光滑曲线的模空间的边界上。这些行动，可以equivariantly平滑的特点。利用商曲线和从一类基本群到给定有限群的映射描述了这些作用的拓扑类型，类似于光滑曲线上作用的情形.
Non-tautological Hurwitz cycles
我们证明了，假设某个模形式的$d$ -th傅里叶系数不为零，正亏格曲线的充分大亏格容许度$d$覆盖的稳定曲线的各个轨迹定义了$\overline{\mathcal{M}}_{g,N}$上的非重言式代数圈.我们的研究结果建立在Graber-Pandharipande和van Zelm的椭圆曲线的2度覆盖的基础上;主要的新成分是一种方法，该方法将所讨论的周期与边界层相交，这是Schmitt-van Zelm和作者最近开发的。
Mirror symmetry for orbifold Hurwitz numbers
我们研究了Orbifold Hurwitz数的镜像对称性。证明了Orbifold Hurwitz数的拉普拉斯变换满足一个微分递推式，并证明了它等价于Eynard和Orantin的积分递推式，其谱曲线由r-Lambert曲线给出.我们认为r-Lambert曲线也出现在轨道Gromov-Witten理论[C3/（Z/rZ）]的无限框架极限中。最后，我们证明了轨道折叠Hurwitz数的镜像模型存在一条量子曲线.
About the Fricke-Macbeath curve
Hurwitz曲线是亏格为$g \geq 2$的闭黎曼曲面，其共形自同构群具有$84(g-1)$阶。在1895年，威曼证明，$g=3$有，直到同构，一个独特的赫维茨曲线，这是克莱因的平面四次曲线。而且，他还证明了不存在亏格$g=2,4,5,6$的Hurwitz曲线。后来，在1965年，Macbeath证明了存在唯一的$g=7$亏格的Hurwitz曲线，直到同构;这被称为Markke-Macbeath曲线。还提供了方程;这是适当的三个椭圆曲线的纤维产品。同年，Edge利用初等射影几何构造了这样一条亏格为7的Hurwitz曲线。这样的构造是通过首先构造一个$4$维的闭黎曼曲面族$S_μ$来提供的，该曲面族允许一组共形自同构$G_μ \cong {\mathbb Z}_{2}^{3}$，使得$S_μ/G_μ$具有亏格零.本文用经典Fermat曲线的纤维积讨论了上述曲线，并给出了Wiman描述中三条椭圆曲线的几何解释。我们还观察到，雅可比品种的表面$S_μ$是同源的产品的七个椭圆曲线（明确给出），并为特定的ESPRIKE-Macbeath曲线，我们得到了众所周知的事实，它的雅可比品种是同源的$E^{7}$的一个合适的椭圆曲线$E$。
A canonical curve of genus 17
我们计算方程的赫维茨曲线的亏格17，我们得出的结论是典型的理想的任何赫维茨曲线的亏格14或17是由二次曲面。
Galois correspondence for Galois coverings on tropical curves
我们定义的伽罗瓦覆盖热带曲线的伽罗瓦对应和泛映射属性举行。
Mirror curve of orbifold Hurwitz numbers
边收缩运算是解决各种图的计数问题的有效工具，如计算Grothendieck's dessins d 'enfants和简单及双重Hurwitz数.这些计数问题可以通过称为拓扑递归的机制来解决，拓扑递归是对应于这些计数问题的镜像B模型。我们表明，对于orbifold Hurwitz数的情况下，镜像对象，即，谱曲线及其上的微分形式仅由亏格$0$中计数问题的边收缩运算和一个标记点构成。这形成了与Gromov-Witten理论的平行，其中亏格0 Gromov-Witten不变量对应于镜像B模型全纯几何。
A note on planarity stratification of Hurwitz spaces
我们可以很容易地证明，复闭黎曼曲面上的任何亚纯函数都可以表示为该曲面到CP ^2的双有理映射和从CP^2中的适当点p开始的像曲线的投影的合成。我们根据平面曲线的最小度引入Hurwitz空间的自然分层，使得给定的亚纯函数可以以上述方式表示并计算这些地层的尺寸。
Tropical Hurwitz Numbers
Hurwitz数计算具有固定分支轨迹的射影直线的亏格g，d次覆盖。这等于在Hurwitz空间上定义的自然分支映射的度数。在热带几何中，代数曲线被某些称为热带曲线的分段线性对象所取代。本文发展了一个热带分支映射，并证明了它的度恢复了经典的Hurwitz数。
Recursion Formulas for Spin Hurwitz Numbers
当曲线具有θ特征时，计算复曲线覆盖数的经典Hurwitz数也有类似之处。Eskin、Okounkov和Pandharipande最近研究的这些“自旋Hurwitz数”本身就很有趣。根据作者以前的工作，它们也与Kahler曲面的Gromov-Witten不变量有关。证明了自旋Hurwitz数的一个递推公式，从而给出了具有正几何亏格的Kahler曲面的零维GW不变量.证明使用退化的自旋曲线，一个不变量定义的频谱流的某些反线性变形的d-酒吧运营商，和一个有趣的本地化现象的特征函数，表明地图甚至分歧点取消对。
Polynomiality of orbifold Hurwitz numbers, spectral curve, and a new proof of the Johnson-Pandharipande-Tseng formula
在本文中，我们提出了一个例子的推导ELSV型公式使用的拓扑递归的方法。也就是说，对于orbifold Hurwitz数，我们给出了一个新的证明的谱曲线拓扑递归，在这个意义上的契诃夫，Eynard和Orantin，其中主要的新步骤相比，现有的证明是一个直接的组合证明他们的准多项式。谱曲线拓扑递归根据曲线的模空间的交理论导出了轨道Hurwitz数的一个公式，在这种情况下，它似乎与Johnson-Pandharipande-Tseng公式的一个特例相吻合。
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