An explicit formula for Bernoulli numbers in terms of Stirling numbers of the second kind
Feng Qi
该研究发现了一个以第二类Stirling数表示Bernoulli数的显式计算公式，为数论相关计算提供了新的显式表达工具。
在这篇札记中，作者发现了一个用第二类Stirling数来计算Bernoulli数的显式公式。
In the note, the author discovers an explicit formula for computing Bernoulli numbers in terms of Stirling numbers of the second kind.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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An explicit formula for Bernoulli polynomials in terms of $r$-Stirling numbers of the second kind
本文建立了用第二类$r$ -Stirling数计算在非负整数点的伯努利多项式的显式公式。
Alternative proofs of a formula for Bernoulli numbers in terms of Stirling numbers
本文给出了用第二类Stirling数计算Bernoulli数的一个显式公式的四种不同的证明。
An explicit formula for computing Bernoulli numbers of the second kind in terms of Stirling numbers of the first kind
本文给出了由第一类Stirling数计算第二类Bernoulli数的显式公式。
Explicit formulas for computing Bernoulli numbers of the second kind and Stirling numbers of the first kind
本文通过建立计算对数函数倒数的$n$阶导数的新的显式公式，给出了计算第二类Bernoulli数和第一类Stirling数的新的显式公式。作为这些公式的结果，导出了第一类Stirling数的一个递推公式和阶乘$n!$的倒数的一个新表示.最后，作者找到了与第一类Stirling数有关的几个恒等式和整表示.
New formulas involving Bernoulli and Stirling numbers of both kinds
本文提出了几个涉及两类Bernoulli数和Stirling数的新公式。
Bernoulli, poly-Bernoulli, and Cauchy polynomials in terms of Stirling and r-Stirling numbers
我们回顾并讨论了Bernoulli，poly-Bernoulli数，Bernoulli多项式和Cauchy多项式用第一类或第二类Stirling数，或用r-Stirling数表示的一些结果.
A new explicit formula for Bernoulli and Genocchi numbers in terms of Stirling numbers
本文对已有的一些显式公式进行了评述，并利用第二类Stirling数建立了Bernoulli数和Genocchi数的一个新的显式公式。
Stirling numbers with level $2$ and poly-Bernoulli numbers with level $2$
本文引入了水平$2$的多Bernoulli数，并将其与水平$2$的第二类Stirling数联系起来，从多Bernoulli数的表达式、多Bernoulli数与水平$2$的关系、多Bernoulli数的同余式等方面研究了多Bernoulli数的若干性质.具有$2$水平的多伯努利数与具有$2$水平的多柯西数有很强的联系。在特殊情况下，我们可以通过证明von Staudt-Clausen式定理来确定具有水平$2$的伯努利数的分母。
Exotic series with Bernoulli, harmonic, Catalan, and Stirling numbers
在本文中，我们提出了一个公式，产生各种异国情调的系列的精神Ovidiu Furdui和Alina Sintamarian。我们的新系列（封闭形式评估）涉及伯努利，调和和加泰罗尼亚数。还有第二类斯特林数、其他特殊数和指数多项式。所得结果包括拉盖尔多项式和错位多项式的级数恒等式。
Fibonacci polynomials, generalized Stirling numbers, and Bernoulli, Genocchi and tangent numbers
我们研究矩阵的斐波那契或卢卡斯多项式序列的偶数指数，那些奇数指数，反之亦然。他们原来是密切相关的广义斯特林数和伯努利，Genocchi和正切数，并产生各种身份之间的这些数字。它与Akiyama-Tanigawa算法也有密切的联系。
q-Bernoulli numbers and Stirling numbers(2)
本文研究了q-Bernoulli数和与q-Stirling数相关的多项式。通过这些研究，我们得到了一些与q-Bernoulli数有关的有趣的q-stirling数的恒等式。
Carlitz q-Bernoulli numbers and q-Stirling numbers
本文考虑第一类和第二类Carlitz q-Bernoulli数和q-Stirling数。从这些数字，我们得到许多有趣的公式与q-Bernoulli数。
Extended Bernoulli and Stirling matrices and related combinatorial identities
本文建立了大量涉及广义Bernoulli数和广义Stirling数的数论恒等式和组合恒等式。这些公式是由Bernoulli数和Stirling数的Pascal型矩阵表示导出的。为此，我们定义和因式分解相应的伯努利和斯特林的情况下修改的帕斯卡矩阵。
q-Bernstein polynomials, q-Stirling numbers and q-Bernoulli polynomials
本文给出了涉及Phillips q-伯恩斯坦多项式的新恒等式，并得到了与q-Stirling数和q-伯努利多项式有关的q-Bernstein多项式的一些有趣的性质.
New identities with Stirling, hyperharmonic, and derangement numbers, Bernoulli and Euler polynomials, powers, and factorials
利用Stirling变换证明了一些恒等式。这些身份涉及斯特林数的第一和第二种，超调和和错位数，伯努利和欧拉数和多项式，权力，权力和facetaries。
The values of the high order Bernoulli polynomials at integers and the r-Stirling numbers
本文利用这两类r-Stirling数，给出了这两类高阶Bernoulli数和多项式在整数处的值的显式表达式。给出了r-Stirling数与二项式系数之间的一些恒等式。
Bernoulli-Carlitz and Cauchy-Carlitz numbers with Stirling-Carlitz numbers
最近，Cauchy-Carlitz数被定义为Bernoulli-Carlitz数的对应数。这两个数都可以用所谓的斯特林-卡利茨数来表示。本文研究了Stirling-Carlitz数的第二类模拟，给出了复系数形式幂级数中Bernoulli数和Cauchy数以及函数域中Bernoulli-Carlitz数和Cauchy-Carlitz数的一般公式.给出了Hasse-Teichmüller导数在超几何Bernoulli数和Cauchy数上的一些应用.
Closed formulas and determinantal expressions for higher-order Bernoulli and Euler polynomials in terms of Stirling numbers
本文利用Faà di Bruno公式和Bell多项式的一些性质，给出了高阶Bernoulli多项式和欧拉多项式的几个包含第二类Stirling数的闭公式和行列式表达式.
Some identities on the q-Bernstein polynomials, q-Stirling number and q-Bernoulli numbers
最近，Kim-Jang-Yi等人引进了q-伯恩斯坦多项式。从这些q-Berstein多项式出发，我们得到了与q-Stirling数和q-Bernoulli数有关的一些性质。
Incomplete poly-Bernoulli numbers associated with incomplete Stirling numbers
利用第二类结合的限制性Stirling数，给出了poly-Bernoulli数的一些推广。我们还研究了它们的算术和组合性质。作为应用，在文章的最后，我们给出了一种新的利用Lambert $W$表示黎曼ζ函数的无穷级数表示.
q-Bernstein polynomials associated with q-stirling numbers and Carlitz's q-Bernoulli numbers
最近，Kim提出了C[0，1]上的伯恩斯坦多项式和正线性算子的有趣的q-扩张，它们与Phillips的q-伯恩斯坦多项式不同.从Kim的q-伯恩斯坦多项式出发，研究了与q-Stirling数和Carlitz的q-Bernoulli数有关的q-伯恩斯坦多项式的一些有趣的性质
On Sums of Powers of Arithmetic Progressions, and Generalized Stirling, Eulerian and Bernoulli numbers
对于等差数列的非负幂的有限和，计算了给定幂的母函数（普通母函数和指数母函数）。这导致两个参数的推广斯特林和欧拉数。伯努利数及其多项式的直接推广如下。在用广义伯努利多项式求这些幂和的Faulhaber公式的过程中，得到了伯努利数及其多项式的单参数推广。广义Lah数也被考虑。
Finite, closed-form expressions for the partition function and for Euler, Bernoulli, and Stirling numbers
我们找到了生成函数方程sum c_q^{（X）} z^q = F（z）^X的通解，其中X是复数，F（z）是收敛的幂级数，|F（0）|>0。然后，我们使用这些结果推导出有限的表达式只包含整数或简单的分数的分拆函数和欧拉，伯努利，和斯特林数。
Formulas involving Cauchy polynomials, Bernoulli polynomials, and generalized Stirling numbers
本文建立 Cauchy 数与多项式同多种特殊数和多项式的新恒等式，研究其高阶导数与 poly-Cauchy 推广，并提出统一的多参数框架。
The 2-Adic Analysis of Stirling Numbers of the Second Kind via Higher Order Bernoulli Numbers and polynomials
证明了第二类Stirling数的2-adic赋值的几个新估计。这些估计，连同标准时，他们是尖锐的，导致改进的几个已知的定理及其证明，以及新的定理。这些估计和准则都依赖于我们以前对高阶伯努利多项式系数的分解子中2的幂的分析。证明了第一类Stirling数的相应估计。一些注意渐近的情况下，这将在随后的出版物中进一步探讨。
Some formulas for fully degenerate Bernoulli numbers and polynomials
本文的目的是研究完全退化的伯努利多项式和数，它是伯努利多项式和数的退化形式，自然地产生于Zp上退化的指数函数的Volkenborn积分.本文给出了完全退化的伯努利多项式和完全退化的第二类Stirling数、第二类退化的r-Stirling数和退化的Stirling多项式的显式表达式.我们还考虑了退化的多伯努利多项式，并推导出明确的表示，他们在相同的退化斯特林数和多项式。
The $p$-adic Analysis of Stirling Numbers via Higher Order Bernoulli Numbers
本文利用我们以前对高阶Bernoulli数$B_n^{(l)}$的研究，研究了第二类Stirling数$S(n,k)$的$p$ -adic性质.例如，我们给出了公式$ν_2(S(2^h,k))=d_2(k)-1$的一个新的，大大简化的证明，如果$1\le k \le 2^h$，并推广到任意素数$p$。我们还考虑了第一类Stirling数$s(n,k)$，得到了与第二类Stirling数类似的新结果.给出了这两类Stirling数的模$p$同余式.
Two closed forms for the Bernoulli polynomials
本文给出了伯努利多项式与数的第二类Stirling数的两个封闭形式和组合数行列式.
Recurrences for values of the Hurwitz type poly-Bernoulli numbers and polynomials
该研究针对一类新的广义Hurwitz型多重伯努利数与多项式，通过引入新的第二类Stirling数推广形式，推导其计算算法与负上指标组合公式，并建立该推广Stirling数与图论的联系。
Eight interesting identities involving the exponential function, derivatives, and Stirling numbers of the second kind
本文建立了函数$\frac1{(1-e^{\pm t})^k}$及其导数$\bigl(\frac1{e^{\pm t}-1}\bigr)^{(i)}$可以用第二类组合数和Stirling数的系数线性组合表示的恒等式，其中$t\ne0$和$i,k\in\mathbb{N}$ .
Generalized Stirling transform
在本文中，算法开发用于计算斯特林变换和逆斯特林变换，具体地说，我们研究了一类序列满足两项递归。我们导出了一个推广了通常的Stirling变换的一般恒等式，并研究了相应的生成函数。此外，这些结果的一些有趣的后果有关的经典序列，如Fibonacci，Bernoulli和一些乱序已被导出。
Multi-Stirling numbers of the second kind
利用重对数定义了第二类多Stirling数、第一类无符号多Stirling数、多Lah数和多Bernoulli数，并分别推广了第二类Stirling数、第一类无符号Stirling数、无符号Lah数和高阶Bernoulli数.本文的目的是引进第二类重Stirling数，并给出这四个数的几个恒等式，这些恒等式是由重对数和一些特殊数定义的.
Multi-Lah numbers and multi-Stirling numbers of the first kind
本文引入了多重Lah数、多重第一类Stirling数和多重Bernoulli数，并借助于重对数给出了它们的生成函数。本文的目的是研究这三个数字之间的几个关系。更详细地说，我们表示的多伯努利数的第一类的多斯特林数，反之亦然，和多拉数的多斯特林数。此外，我们还导出了多Lah数的一个递推关系
Normal ordering associated with λ-Stirling numbers inλ-Shift algebra
第二类Stirling数与Weyl代数中的正规序有关，而第一类无符号Stirling数与移位代数中的正规序有关。Kim-Kim引入了第一类无符号Stirling数和第一类r-Stirling数的λ-模拟。本文引入了移位代数的λ-模拟（称为λ-移位代数），并研究了λ-移位代数中的正规序.从λ-移位代数的正规序出发，得到了第一类无符号Stirling数的λ-模拟的一些恒等式.
Generalized degenerate Bernoulli numbers and polynomials arising from Gauss hypergeometric function
在以前的论文中，Rahmani通过高斯超几何函数引入了一个新的p-Bernoulli数和多项式族。受本文的启发，利用Gauss超几何函数再次引入了广义退化Bernoulli数和多项式，作为这些数和多项式的退化形式.此外，我们还引入了退化型欧拉数作为欧拉数的退化形式。对于广义退化Bernoulli数，我们用退化第二类Stirling数、退化型Eulerian数、退化第二类$p$ -Stirling数和单位区间上的积分表示.对于广义退化的伯努利多项式，我们用退化的第二类Stirling多项式表示。
$q$-analogues of sums of consecutive powers of natural numbers and extended Carlitz $q$-Bernoulli numbers and polynomials
本文通过构造经典Appell序列的q-模拟框架，扩展了Carlitz q-Bernoulli数与多项式，并利用第二类q-Stirling数给出其显式级数表示和新连接公式。
On q-deformed Stirling numbers
本文的目的是引入q-变形的第一类和第二类Stirling数。给出了这些数与黎曼ζ函数和高阶q-Bernoulli数之间的关系。通过对第二类q-变形Stirling数的母函数作导算子，定义了一个新的函数，它将第二类q-变形Stirling数插值到负整数.给出了第一类和第二类Stirling数的递推关系。此外，还得到了q-变形Stirling数与q-Bell数之间的关系.
Congruence classes of 2-adic valuations of Stirling numbers of the second kind
我们分析了$S(n,k)$的同余类，第二类Stirling数，模2的幂。这一分析提供了对Amdeberhan、Manna和Moll提出的猜想的深入了解，这些作者为$k\le5$建立了该猜想。我们提供了一个框架，可以用来证明猜想的计算手段，我们完成$k=5, 6,..., 20$。
Some identities on degenerate r-stirling numbers via boson operators
布罗德介绍了r-斯特林数的第一种和第二种列举限制排列和分别限制分区，限制是，第一个r元素必须在不同的周期和分别在不同的子集。Kim-Kim-Lee-Park构造了这两类退化的r-Stirling数作为它们的退化版本。本文的目的是通过玻色子算子得到第一类和第二类退化r-Stirling数的恒等式和递推关系。特别是，我们得到的正规有序的退化的整数幂的数量运营商乘以积分幂的创造玻色子运营商的玻色子运营商的退化的第二类的r-Stirling数出现的系数。
p-adic Stirling numbers of the second kind
设S（n，k）表示第二类Stirling数.我们证明了当e趋于无穷大时，S（p^ea + c，p^eb + d）的p-adic极限对所有整数a，b，c，d都存在.我们称极限p进整数S（p^ \infty a + c，p^ \infty b + d）。当a equiv b mod（p-1）或d \le 0时，我们用最近文献中引入的p-adic二项式系数表示.
$λ$-analogues of r-Stirling numbers of the first kind
本文研究了与第一类r-Stirling数和$λ$ -第一类Stirling数有密切联系的第一类r-Stirling数的$λ$ -模拟.具体地说，我们给出了这些数字的递归关系，并显示其与$λ$ -Stirling数的第一类和高阶Daehee多项式的连接。
Diagonal recurrence relations, inequalities, and monotonicity related to Stirling numbers
本文导出了几个“对角”递推关系，构造了几个不等式，发现了单调性，并提出了一个与第二类Stirling数有关的猜想。
Combinatorial identities related to degenerate Stirling numbers of the second kind
本文研究退化第二类 Stirling 数的性质、恒等式、递推关系与显式表达式，并结合退化 Euler 公式探讨相关多项式和幂级数。
The $(l,r)$-Stirling numbers: a combinatorial approach
本文利用$l$ -元组的置换和划分，给出了$r$ -Stirling数的一个新的推广，称为$(l,r)$ -Stirling数和$(l,r)$ -Stirling数.我们研究这些数字的各种性质，使用组合解释和对称函数。利用第一类$(l,r)$ -Stirling给出了多重zeta函数的极限表示.
Multi-indexed poly-Bernoulli numbers
作为poly-Bernoulli数的性质，建立了一些公式，如对偶公式、第二类Stirling数的显式公式和负上指标的周期性.对于Kaneko-Tsumura推广的多指标多Bernoulli数，在这些性质中，仅得到了对偶公式。本文对双指标poly-Bernoulli数进行了限制，并利用第二类Stirling数和负上指标的周期性给出了双指标poly-Bernoulli数的显式表达式。进一步，利用多指标多项式的星型形式定义了多指标poly-Bernoulli数的变体，并得到了这类双指标poly-Bernoulli数和三指标poly-Bernoulli数与多指标poly-Bernoulli数的关系.
An explicit formula for Bell numbers in terms of Stirling numbers and hypergeometric functions
本文利用Kummer汇合型超几何函数和第二类Stirling数，给出了计算Bell数的一个显式公式。
A note on degenerate Stirling numbers of the first kind
最近，第一类退化Stirling数被引入。本文利用具有高阶调和数变元的完备Bell多项式给出了第一类退化Stirling数的计算公式。利用概率方法得到了第一类退化Stirling数与退化无序数之间的一个恒等式。
Extended stirling polynomials of the second kind and extended Bell polynomials
近年来，一些作者研究了第二类Stirling数和Bell多项式。本文研究了推广的第二类Stirling多项式和与第二类Stirling数相关的推广的Bell多项式。此外，我们还注意到，推广的Bell多项式可以用带参数的Poisson随机变量的矩来表示
Probabilistic Stirling numbers associated with sequences
针对现有与随机变量Y相关的两类概率斯特林数不满足正交与反演关系的问题，本文重新定义第一类概率斯特林数以满足关键关系，同时研究其退化对应形式并完成显式计算。
Extended degenerate Stirling numbers of the second kind and extended degenerate Bell polynomials
在最近的工作中，T。Kim.本文研究了第二类广义退化Stirling数和与之相关的广义退化Bell多项式。作为结果，我们给出了推广的第二类退化Stirling数和推广的退化Bell多项式的表达式、恒等式和性质。
Study on r-truncated degenerate stirling numbers of the second kind
第二类退化斯特林数和第一类退化斯特林数分别是第二类斯特林数和第一类斯特林数的退化形式，在研究某些特殊数和多项式的各种退化形式时经常出现。本文的目的是考虑r-截断的第二类退化Stirling数，当r = 1时，它退化为第二类退化Stirling数，并结合其他几个退化特殊数和多项式，研究它们的显式表达式、一些性质和相关恒等式.
Dirichlet series and series with Stirling numbers
给出了狄利克雷级数与第一类Stirling数级数的若干恒等式。作为系数的狄利克雷级数，我们使用柯西数的第一和第二类，超调和数，错位数，二项式系数，中心二项式系数，和卡塔兰数。
Some identities and properties on degenerate Stirling numbers
利用生成函数进一步研究了第二类退化Stirling数、第二类退化$r$ -Stirling数、第一类退化Stirling数和第一类无符号退化Stirling数的一些恒等式和性质.
$q$-poly-Bernoulli numbers and $q$-poly-Cauchy numbers with a parameter by Jackson's integrals
本文利用Jackson积分定义了带参数$ρ$的$q$ -多伯努利多项式$B_{n,ρ,q}^{(k)}(z)$、带参数$ρ$的第一类多柯西多项式$c_{n,ρ,q}^{(k)}(z)$和第二类多柯西多项式$\widehat c_{n,ρ,q}^{(k)}(z)$，推广了以往已知的数和多项式，包括多伯努利数$B_n^{(k)}$、第一类多柯西数$c_n^{(k)}$和第二类多柯西数$\widehat c_n^{(k)}$ .我们研究了它们与通常的Stirling数和加权Stirling数有关的性质。给出了广义多伯努利多项式与两类广义多柯西多项式之间的关系。
A note on degenerate stirling polynomials of the second kind
本文考虑由母函数导出的第二类退化Stirling多项式。此外，我们还给出了这类多项式的一些新恒等式。
Recurrence relations of poly-Cauchy numbers by the $r$-Stirling transform
利用$r$ -Stirling变换给出了多柯西数的计算公式.在经典或poly-Bernoulli数的情况下，公式是第一类Stirling数。在我们的经典或多柯西数的情况下，公式是第二类斯特林数。我们还讨论了负指数的poly-Cauchy数的湮灭公式。
A note on degenerate poly-Bernoulli numbers and polynomials
本文考虑退化多伯努利多项式，给出了利用退化伯努利多项式和第二类Stirling数计算退化多伯努利多项式的新的显式公式.
Some identities on $λ$-analogues of $r$-stirling numbers of the second kind
最近，Kim-Kim研究了第一类$r$ -Stirling数的$λ$ -类似物。本文的目的是引入第二类$r$ -Stirling数的$λ$ -模拟，并研究这类数的一些性质、递推关系和某些恒等式.我们还引入了第二类Whitney型$r$ -Stirling数的$λ$ -模拟，并得到了与第二类r-Stirling数的$λ$ -模拟类似的结果.此外，我们考虑了道林多项式的$λ$ -类似物，并推导出一个Dobinski式。
Degenerate r-associated Stirling numbers
对于任意正整数r，r-相关的第二类Stirling数枚举集合{1，2，3，.，n}分成k个非空的不相交子集，使得每个子集包含至少r个元素。我们引入了第二类和第一类退化r-伴随Stirling数。它们是r-相关的第二类和第一类Stirling数的退化形式，并且当r=1时，它们退化为第二类和第一类退化Stirling数。本文的目的是推导出这两个数字的递归关系。
Some identities of type 2 Degenerate Bernoulli polynomials of the second kind
近年来，许多数学家研究了一些特殊多项式的各种退化形式，并发现了许多有趣的结果。本文引入了第二类2型退化伯努利多项式及其高阶类似多项式，并研究了这类多项式的一些恒等式和表达式.特别地，我们得到了第二类退化伯努利多项式与第二类退化伯努利多项式之间的一个关系，以及这些多项式的高阶模拟与第二类退化stirling数之间的一个恒等式，和表达式的高阶类似物的那些多项式在较高的-二阶二型退化伯努利多项式和第一类退化Stirling数。
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