q-Bernoulli numbers and Stirling numbers(2)
Taekyun Kim
本文研究了q-Bernoulli数和与q-Stirling数相关的多项式。通过这些研究，我们得到了一些与q-Bernoulli数有关的有趣的q-stirling数的恒等式。
In this paper we study q-Bernoulli numbers and polynomials related to q-Stirling numbers. From thsese studying we investigate some interesting q-stirling numbers' identities related to q-Bernoulli numbers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Bernoulli, poly-Bernoulli, and Cauchy polynomials in terms of Stirling and r-Stirling numbers
我们回顾并讨论了Bernoulli，poly-Bernoulli数，Bernoulli多项式和Cauchy多项式用第一类或第二类Stirling数，或用r-Stirling数表示的一些结果.
Carlitz q-Bernoulli numbers and q-Stirling numbers
本文考虑第一类和第二类Carlitz q-Bernoulli数和q-Stirling数。从这些数字，我们得到许多有趣的公式与q-Bernoulli数。
Extended Bernoulli and Stirling matrices and related combinatorial identities
本文建立了大量涉及广义Bernoulli数和广义Stirling数的数论恒等式和组合恒等式。这些公式是由Bernoulli数和Stirling数的Pascal型矩阵表示导出的。为此，我们定义和因式分解相应的伯努利和斯特林的情况下修改的帕斯卡矩阵。
q-Bernstein polynomials, q-Stirling numbers and q-Bernoulli polynomials
本文给出了涉及Phillips q-伯恩斯坦多项式的新恒等式，并得到了与q-Stirling数和q-伯努利多项式有关的q-Bernstein多项式的一些有趣的性质.
New identities with Stirling, hyperharmonic, and derangement numbers, Bernoulli and Euler polynomials, powers, and factorials
利用Stirling变换证明了一些恒等式。这些身份涉及斯特林数的第一和第二种，超调和和错位数，伯努利和欧拉数和多项式，权力，权力和facetaries。
The values of the high order Bernoulli polynomials at integers and the r-Stirling numbers
本文利用这两类r-Stirling数，给出了这两类高阶Bernoulli数和多项式在整数处的值的显式表达式。给出了r-Stirling数与二项式系数之间的一些恒等式。
Bernoulli-Carlitz and Cauchy-Carlitz numbers with Stirling-Carlitz numbers
最近，Cauchy-Carlitz数被定义为Bernoulli-Carlitz数的对应数。这两个数都可以用所谓的斯特林-卡利茨数来表示。本文研究了Stirling-Carlitz数的第二类模拟，给出了复系数形式幂级数中Bernoulli数和Cauchy数以及函数域中Bernoulli-Carlitz数和Cauchy-Carlitz数的一般公式.给出了Hasse-Teichmüller导数在超几何Bernoulli数和Cauchy数上的一些应用.
Closed formulas and determinantal expressions for higher-order Bernoulli and Euler polynomials in terms of Stirling numbers
本文利用Faà di Bruno公式和Bell多项式的一些性质，给出了高阶Bernoulli多项式和欧拉多项式的几个包含第二类Stirling数的闭公式和行列式表达式.
Some identities on the q-Bernstein polynomials, q-Stirling number and q-Bernoulli numbers
最近，Kim-Jang-Yi等人引进了q-伯恩斯坦多项式。从这些q-Berstein多项式出发，我们得到了与q-Stirling数和q-Bernoulli数有关的一些性质。
Incomplete poly-Bernoulli numbers associated with incomplete Stirling numbers
利用第二类结合的限制性Stirling数，给出了poly-Bernoulli数的一些推广。我们还研究了它们的算术和组合性质。作为应用，在文章的最后，我们给出了一种新的利用Lambert $W$表示黎曼ζ函数的无穷级数表示.
q-Bernstein polynomials associated with q-stirling numbers and Carlitz's q-Bernoulli numbers
最近，Kim提出了C[0，1]上的伯恩斯坦多项式和正线性算子的有趣的q-扩张，它们与Phillips的q-伯恩斯坦多项式不同.从Kim的q-伯恩斯坦多项式出发，研究了与q-Stirling数和Carlitz的q-Bernoulli数有关的q-伯恩斯坦多项式的一些有趣的性质
On Sums of Powers of Arithmetic Progressions, and Generalized Stirling, Eulerian and Bernoulli numbers
对于等差数列的非负幂的有限和，计算了给定幂的母函数（普通母函数和指数母函数）。这导致两个参数的推广斯特林和欧拉数。伯努利数及其多项式的直接推广如下。在用广义伯努利多项式求这些幂和的Faulhaber公式的过程中，得到了伯努利数及其多项式的单参数推广。广义Lah数也被考虑。
Finite, closed-form expressions for the partition function and for Euler, Bernoulli, and Stirling numbers
我们找到了生成函数方程sum c_q^{（X）} z^q = F（z）^X的通解，其中X是复数，F（z）是收敛的幂级数，|F（0）|>0。然后，我们使用这些结果推导出有限的表达式只包含整数或简单的分数的分拆函数和欧拉，伯努利，和斯特林数。
The 2-Adic Analysis of Stirling Numbers of the Second Kind via Higher Order Bernoulli Numbers and polynomials
证明了第二类Stirling数的2-adic赋值的几个新估计。这些估计，连同标准时，他们是尖锐的，导致改进的几个已知的定理及其证明，以及新的定理。这些估计和准则都依赖于我们以前对高阶伯努利多项式系数的分解子中2的幂的分析。证明了第一类Stirling数的相应估计。一些注意渐近的情况下，这将在随后的出版物中进一步探讨。
Some formulas for fully degenerate Bernoulli numbers and polynomials
本文的目的是研究完全退化的伯努利多项式和数，它是伯努利多项式和数的退化形式，自然地产生于Zp上退化的指数函数的Volkenborn积分.本文给出了完全退化的伯努利多项式和完全退化的第二类Stirling数、第二类退化的r-Stirling数和退化的Stirling多项式的显式表达式.我们还考虑了退化的多伯努利多项式，并推导出明确的表示，他们在相同的退化斯特林数和多项式。
The $p$-adic Analysis of Stirling Numbers via Higher Order Bernoulli Numbers
本文利用我们以前对高阶Bernoulli数$B_n^{(l)}$的研究，研究了第二类Stirling数$S(n,k)$的$p$ -adic性质.例如，我们给出了公式$ν_2(S(2^h,k))=d_2(k)-1$的一个新的，大大简化的证明，如果$1\le k \le 2^h$，并推广到任意素数$p$。我们还考虑了第一类Stirling数$s(n,k)$，得到了与第二类Stirling数类似的新结果.给出了这两类Stirling数的模$p$同余式.
New formulas involving Bernoulli and Stirling numbers of both kinds
本文提出了几个涉及两类Bernoulli数和Stirling数的新公式。
A new explicit formula for Bernoulli and Genocchi numbers in terms of Stirling numbers
本文对已有的一些显式公式进行了评述，并利用第二类Stirling数建立了Bernoulli数和Genocchi数的一个新的显式公式。
Multi-Stirling numbers of the second kind
利用重对数定义了第二类多Stirling数、第一类无符号多Stirling数、多Lah数和多Bernoulli数，并分别推广了第二类Stirling数、第一类无符号Stirling数、无符号Lah数和高阶Bernoulli数.本文的目的是引进第二类重Stirling数，并给出这四个数的几个恒等式，这些恒等式是由重对数和一些特殊数定义的.
Stirling numbers with level $2$ and poly-Bernoulli numbers with level $2$
本文引入了水平$2$的多Bernoulli数，并将其与水平$2$的第二类Stirling数联系起来，从多Bernoulli数的表达式、多Bernoulli数与水平$2$的关系、多Bernoulli数的同余式等方面研究了多Bernoulli数的若干性质.具有$2$水平的多伯努利数与具有$2$水平的多柯西数有很强的联系。在特殊情况下，我们可以通过证明von Staudt-Clausen式定理来确定具有水平$2$的伯努利数的分母。
Exotic series with Bernoulli, harmonic, Catalan, and Stirling numbers
在本文中，我们提出了一个公式，产生各种异国情调的系列的精神Ovidiu Furdui和Alina Sintamarian。我们的新系列（封闭形式评估）涉及伯努利，调和和加泰罗尼亚数。还有第二类斯特林数、其他特殊数和指数多项式。所得结果包括拉盖尔多项式和错位多项式的级数恒等式。
Fibonacci polynomials, generalized Stirling numbers, and Bernoulli, Genocchi and tangent numbers
我们研究矩阵的斐波那契或卢卡斯多项式序列的偶数指数，那些奇数指数，反之亦然。他们原来是密切相关的广义斯特林数和伯努利，Genocchi和正切数，并产生各种身份之间的这些数字。它与Akiyama-Tanigawa算法也有密切的联系。
Multi-Lah numbers and multi-Stirling numbers of the first kind
本文引入了多重Lah数、多重第一类Stirling数和多重Bernoulli数，并借助于重对数给出了它们的生成函数。本文的目的是研究这三个数字之间的几个关系。更详细地说，我们表示的多伯努利数的第一类的多斯特林数，反之亦然，和多拉数的多斯特林数。此外，我们还导出了多Lah数的一个递推关系
Generalized degenerate Bernoulli numbers and polynomials arising from Gauss hypergeometric function
在以前的论文中，Rahmani通过高斯超几何函数引入了一个新的p-Bernoulli数和多项式族。受本文的启发，利用Gauss超几何函数再次引入了广义退化Bernoulli数和多项式，作为这些数和多项式的退化形式.此外，我们还引入了退化型欧拉数作为欧拉数的退化形式。对于广义退化Bernoulli数，我们用退化第二类Stirling数、退化型Eulerian数、退化第二类$p$ -Stirling数和单位区间上的积分表示.对于广义退化的伯努利多项式，我们用退化的第二类Stirling多项式表示。
An explicit formula for Bernoulli numbers in terms of Stirling numbers of the second kind
该研究发现了一个以第二类Stirling数表示Bernoulli数的显式计算公式，为数论相关计算提供了新的显式表达工具。
An explicit formula for Bernoulli polynomials in terms of $r$-Stirling numbers of the second kind
本文建立了用第二类$r$ -Stirling数计算在非负整数点的伯努利多项式的显式公式。
Alternative proofs of a formula for Bernoulli numbers in terms of Stirling numbers
本文给出了用第二类Stirling数计算Bernoulli数的一个显式公式的四种不同的证明。
An explicit formula for computing Bernoulli numbers of the second kind in terms of Stirling numbers of the first kind
本文给出了由第一类Stirling数计算第二类Bernoulli数的显式公式。
Explicit formulas for computing Bernoulli numbers of the second kind and Stirling numbers of the first kind
本文通过建立计算对数函数倒数的$n$阶导数的新的显式公式，给出了计算第二类Bernoulli数和第一类Stirling数的新的显式公式。作为这些公式的结果，导出了第一类Stirling数的一个递推公式和阶乘$n!$的倒数的一个新表示.最后，作者找到了与第一类Stirling数有关的几个恒等式和整表示.
Multi-indexed poly-Bernoulli numbers
作为poly-Bernoulli数的性质，建立了一些公式，如对偶公式、第二类Stirling数的显式公式和负上指标的周期性.对于Kaneko-Tsumura推广的多指标多Bernoulli数，在这些性质中，仅得到了对偶公式。本文对双指标poly-Bernoulli数进行了限制，并利用第二类Stirling数和负上指标的周期性给出了双指标poly-Bernoulli数的显式表达式。进一步，利用多指标多项式的星型形式定义了多指标poly-Bernoulli数的变体，并得到了这类双指标poly-Bernoulli数和三指标poly-Bernoulli数与多指标poly-Bernoulli数的关系.
$q$-poly-Bernoulli numbers and $q$-poly-Cauchy numbers with a parameter by Jackson's integrals
本文利用Jackson积分定义了带参数$ρ$的$q$ -多伯努利多项式$B_{n,ρ,q}^{(k)}(z)$、带参数$ρ$的第一类多柯西多项式$c_{n,ρ,q}^{(k)}(z)$和第二类多柯西多项式$\widehat c_{n,ρ,q}^{(k)}(z)$，推广了以往已知的数和多项式，包括多伯努利数$B_n^{(k)}$、第一类多柯西数$c_n^{(k)}$和第二类多柯西数$\widehat c_n^{(k)}$ .我们研究了它们与通常的Stirling数和加权Stirling数有关的性质。给出了广义多伯努利多项式与两类广义多柯西多项式之间的关系。
Recurrence relations of poly-Cauchy numbers by the $r$-Stirling transform
利用$r$ -Stirling变换给出了多柯西数的计算公式.在经典或poly-Bernoulli数的情况下，公式是第一类Stirling数。在我们的经典或多柯西数的情况下，公式是第二类斯特林数。我们还讨论了负指数的poly-Cauchy数的湮灭公式。
A note on degenerate poly-Bernoulli numbers and polynomials
本文考虑退化多伯努利多项式，给出了利用退化伯努利多项式和第二类Stirling数计算退化多伯努利多项式的新的显式公式.
Some identities of type 2 Degenerate Bernoulli polynomials of the second kind
近年来，许多数学家研究了一些特殊多项式的各种退化形式，并发现了许多有趣的结果。本文引入了第二类2型退化伯努利多项式及其高阶类似多项式，并研究了这类多项式的一些恒等式和表达式.特别地，我们得到了第二类退化伯努利多项式与第二类退化伯努利多项式之间的一个关系，以及这些多项式的高阶模拟与第二类退化stirling数之间的一个恒等式，和表达式的高阶类似物的那些多项式在较高的-二阶二型退化伯努利多项式和第一类退化Stirling数。
Hermite and poly-Bernoulli mixed-type polynomials
本文考虑Hermite和poly-Bernoulli混合型多项式，并研究了这类多项式的性质。最后，给出了高阶Stirling数、Bernoulli数和Frobenius-欧拉多项式的各种恒等式.
Truncated Bernoulli-Carlitz and truncated Cauchy-Carlitz numbers
本文定义了截断Bernoulli-Carlitz数和截断Cauchy-Carlitz数作为超几何Bernoulli数和超几何Cauchy数的类似数，以及Bernoulli-Carlitz数和Cauchy-Carlitz数的推广.这些数可以用不完全Stirling-Carlitz数来表示。
Formulas involving Cauchy polynomials, Bernoulli polynomials, and generalized Stirling numbers
本文建立 Cauchy 数与多项式同多种特殊数和多项式的新恒等式，研究其高阶导数与 poly-Cauchy 推广，并提出统一的多参数框架。
A note on poly-Bernoulli numbers and polynomials of the second kind
本文研究了第二类多伯努利数和多项式，给出了计算第二类多伯努利数和第二类Stirling数的新的显式公式.
On multi-poly-Bernoulli-Carlitz numbers
我们引入了多重多Bernoulli-Carlitz数，Imatomi-Kaneko-Takeda多重多Bernoulli数的函数域模拟.我们明确地描述了多聚伯努利Carlitz数的Carlitz阶乘和第二类的Stirling-Carlitz数，也显示了它们与有限多个zeta值的函数场类似物的关系。
A closed formula for the generating function of p-Bernoulli numbers
本文利用几何多项式得到了p-Bernoulli数的一个生成函数。作为这个生成函数的结果，我们导出了包含第二类Stirling数的Bernoulli数和调和数的有限和的闭公式。
On q-deformed Stirling numbers
本文的目的是引入q-变形的第一类和第二类Stirling数。给出了这些数与黎曼ζ函数和高阶q-Bernoulli数之间的关系。通过对第二类q-变形Stirling数的母函数作导算子，定义了一个新的函数，它将第二类q-变形Stirling数插值到负整数.给出了第一类和第二类Stirling数的递推关系。此外，还得到了q-变形Stirling数与q-Bell数之间的关系.
Some identities involving special numbers and moments of random variables
本文利用某些随机变量的矩的母函数，导出了涉及随机变量的特殊数和矩的几个恒等式。这里相关的特殊数是第一类和第二类Stirling数、第一类和第二类退化Stirling数、无序数、高阶Bernoulli数和第二类Bernoulli数。
Explicit formula for multi-indexed poly-Bernoulli numbers
本文推导了多索引多项式伯努利数的显式公式，并给出了其对偶性质的另一种证明方法。
Recurrences for values of the Hurwitz type poly-Bernoulli numbers and polynomials
该研究针对一类新的广义Hurwitz型多重伯努利数与多项式，通过引入新的第二类Stirling数推广形式，推导其计算算法与负上指标组合公式，并建立该推广Stirling数与图论的联系。
Stirling polynomials and multiple zeta (star) functions at non-positive integers
本文利用斯特林多项式给出多重 zeta 函数及其星函数在非正整数处取值的显式公式，并揭示二者之间以及反向值与广义格雷戈里系数之间的联系。
Generalized Stirling transform
在本文中，算法开发用于计算斯特林变换和逆斯特林变换，具体地说，我们研究了一类序列满足两项递归。我们导出了一个推广了通常的Stirling变换的一般恒等式，并研究了相应的生成函数。此外，这些结果的一些有趣的后果有关的经典序列，如Fibonacci，Bernoulli和一些乱序已被导出。
Cauchy-Carlitz numbers
在1935年Carlitz介绍了伯努利-Carlitz数类似伯努利数的有理函数域$\mathbb F_r(T)$。在本文中，我们引入柯西-Carlitz数作为柯西数的类似物。利用Stirling-Carlitz数，给出了$\mathbb F_r(T)$的Stirling-Carlitz数的算术和组合性质以及与Bernoulli-Carlitz数的关系.利用Hasse-Teichimüller导数还得到了几个新的恒等式。
Schur type poly-Bernoulli numbers
多伯努利数及其相关数由多对数级数的生成级数定义，我们分别称它们为$B$型和$C$型.作为这些poly-Bernoulli数的推广，我们引入了Schur型poly-Bernoulli数并研究了它们的性质.首先，我们定义了Arakawa-Kaneko多重zeta函数的一个推广，并得到了它们的Schur型Bernoulli数的表达式。其次，在Hook型的限制下，我们定义了Kaneko-Tsumura多重zeta函数的一个推广，并得到了Schur型Bernoulli数的类似表达式。最后，我们还研究了一些性质，如一个递推公式、Bernoulli数之间的关系公式以及用Stirling数描述的一些性质。
$q$-analogues of sums of consecutive powers of natural numbers and extended Carlitz $q$-Bernoulli numbers and polynomials
本文通过构造经典Appell序列的q-模拟框架，扩展了Carlitz q-Bernoulli数与多项式，并利用第二类q-Stirling数给出其显式级数表示和新连接公式。
Degenerate Algorithms for degenerate Bernoulli and Euler numbers
本文提出退化A和B算法，通过引入参数lambda推导出退化伯努利和欧拉数的显式公式，并建立生成函数之间的关系。
Sums of powers of integers and generalized Stirling numbers of the second kind
通过对整数幂和$S_k(n) = 1^k + 2^k + \cdots + n^k$的多项式进行Newton-Gregory展开，得到了关于$S_k(n)$的几个显式公式.其中一个族涉及第二类$\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{k}{j}_r$的$r$ -Stirling数$j=0,1,\ldots,k$，而另一个族涉及它们的第二类$\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{k}{j}_{-r}$，两个族的公式都由非负整数$r$索引。作为一个副产品，我们得到了三个额外的公式$S_k(n)$涉及数$\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{k}{j}_{n+m}$，$\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{k}{j}_{n-m}$（其中$m$是任何给定的非负整数），和$\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{k}{j}_{k-j}$，分别。此外，我们提供了一个公式的伯努利多项式$B_k(x-1)$的$\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{k}{j}_{x}$和调和数。
Two closed forms for the Bernoulli polynomials
本文给出了伯努利多项式与数的第二类Stirling数的两个封闭形式和组合数行列式.
Degenerate Bernstein Polynomials
本文考虑退化的伯恩斯坦多项式作为伯恩斯坦多项式的退化形式，这是由Simsek最近的工作“多维伯恩斯坦多项式的统一生成函数及其应用”（[15，16]）和Carlitz的退化伯努利多项式所激发的.得到了它们的生成函数、对称恒等式、递推关系以及它们与广义落阶乘多项式、高阶退化伯努利多项式和第二类退化Stirling数的关系.
Probabilistic heterogeneous Stirling numbers and Bell polynomials
本文提出概率异质斯特林数和贝尔多项式，统一了多个经典和概率性的数学家族，并推导了显式公式和递推关系，应用于泊松和伯努利分布。
A note on the hyper-sums of powers of integers, hyperharmonic polynomials and r-Stirling numbers of the first kind
最近，Kargin等人（arXiv：2008.00284 [math.NT]）获得了（除其他外）以下整数幂的超和公式$S_k^{(m)}(n)$ \begin{equation*} S_k^{(m)}(n) = \frac{1}{m!} \sum_{i=0}^{m} (-1)^i \genfrac{[}{]}{0pt}{}{m+n+1}{i+n+1}_{n+1} S_{k+i}(n), \end{equation*}，其中$S_k^{(0)}(n) \equiv S_k(n)$是普通幂和$1^k + 2^k + \cdots + n^k$。在这篇笔记中，我们指出，与前一个公式等价的公式已经以不同的形式建立起来，即$\genfrac{[}{]}{0pt}{}{m+n+1}{i+n+1}_{n+1}$作为$m-i$次的$n$中的多项式明确给出的形式。我们发现这个多项式和所谓的第一类$r$ -Stirling多项式之间的联系。进一步确定了由第一类$r$ -Stirling多项式表示的超调和多项式及其连续导数，并给出了（指数）完全Bell多项式与第一类$r$ -Stirling数之间的关系.最后，我们得到了一些涉及Bernoulli数和多项式，第一类$r$ -Stirling数，两类Stirling数，调和数的恒等式。
Explicit, recurrent, determinantal expressions of the $k$th power of formal power series and applications to the generalized Bernoulli numbers
本文给出形式幂级数第k次幂的闭式与递推行列式表达式，应用于广义伯努利数，推导新公式与递推关系，并推广欧拉恒等式，揭示与第二类斯特林数的联系。
Power Series with Binomial Sums and Asymptotic Expansions
本文研究了系数为二项式（迭代有限差分）的幂级数。我们的结果可用于级数求和、级数变换或涉及第二类Stirling数的渐近展开。在某些情况下，我们得到渐近展开涉及伯努利多项式，多伯努利多项式，或欧拉多项式。我们还讨论了与欧拉级数变换和其他级数变换公式的联系。
A New Expression for the Bernoulli Numbers and its Applications
本文提出伯努利数的新表达式，并通过应用该表达式重新证明了线性递推关系，同时获得了新的递推关系及同余关系。
Some identities and properties on degenerate Stirling numbers
利用生成函数进一步研究了第二类退化Stirling数、第二类退化$r$ -Stirling数、第一类退化Stirling数和第一类无符号退化Stirling数的一些恒等式和性质.
$λ$-analogues of r-Stirling numbers of the first kind
本文研究了与第一类r-Stirling数和$λ$ -第一类Stirling数有密切联系的第一类r-Stirling数的$λ$ -模拟.具体地说，我们给出了这些数字的递归关系，并显示其与$λ$ -Stirling数的第一类和高阶Daehee多项式的连接。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。