Compactness in singular cardinals revisited
Saharon Shelah
这是自1977年以来关于奇异紧性定理的第二个组合证明。事实上，它给出了一个更强的定理。
This is the second combinatorial proof of the compactness theorem for singular from 1977. In fact it gives a somewhat stronger theorem.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Large cardinal characterizations via compactness for list colourings
该研究引入含知名大基数概念的紧性基数分层，通过其刻画弱紧等大基数，并得到新紧性基数大小的下界。
Woodin for strong compactness cardinals
我们给强紧基数的Woodin的定义，强紧的Woodinised版本，我们证明了一个类似的Magidor的身份危机定理的第一强紧基数。
Model Theoretic Characterizations of Large Cardinals Revisited
文[Bon 20]给出了几个已建立的大基数概念的模型论刻画。我们继续这项工作，通过建立这样的刻画的Woodin枢机（和变种），各种虚拟的大基数，和微妙的枢机。
Weakly extendible cardinals and compactness of extended logics
引入了弱可扩基数的概念，并证明了这类基数是用二阶逻辑的弱紧性刻画的。弱可扩张的基数的一致性强度和规模严格地位于强不可折叠（即精明）的基数和强提升的基数之间。许多其他逻辑的弱紧性可以与弱可扩基数概念的某些变体相联系。在V=L下，基数$κ$是${\cal L}^{\aleph_0,II}_{stat,κ,ω}$的弱紧数当且仅当它是${\cal L}^{II}_{κ,ω}$的弱紧数.后一个条件等价于$κ$通过上述特征弱可扩展的条件（该等价在没有V=L的假设的情况下成立）。
Weak compactness cardinals for strong logics and subtlety properties of the class of ordinals
该研究通过序数类组合性质刻画抽象逻辑弱紧基数存在性，证明其不蕴含强不可达基数存在，并给出其与真类微妙基数的一致性等价条件及HOD内模型中的相关推论。
Two cardinals models with gap one revisited
当mu>theta>cf（mu），mu强极限theta-紧时，我们成功地说明了（mu^+，mu）的恒等式.这将有助于证明“某对（mu^+，mu）不是紧的”的相容性，然而，这一点尚未得到证明。
Model-theoretic Characterizations of Large Cardinals
我们考虑了大基数的紧性特征。本文在Benda \cite{b-sccomp}的基础上，研究了各种逻辑中省略型的紧性.在$\bL_{κ, κ}$，这使我们能够描述任何大基数定义的正常超滤子，我们还分析了二阶和排序逻辑。特别地，我们给出了一个紧致性，它可以省略具有超过Vopnka原理的相容性强度的巨型基数的类型刻画。
Compactness versus hugeness at successor cardinals
如果$κ$是正则的且是$2^{<κ}\leqκ^+$，则$κ^+$上弱预饱和理想的存在性蕴涵$\square^*_κ$。这部分回答了Foreman和Magidor关于$ω_2$上的可接近性理想的问题。作为推论，我们证明了如果存在一个预饱和理想$I$，使得$\mathcal{P}(ω_2)/I$是半真的，则CH成立.我们还展示了一些障碍，从传统的力迫法的后继基数上同时得到树的属性和饱和理想。
Outward compactness
本文提出外向紧致性原理，用于刻画大基数概念，并推广Magidor和Makowsky的结果，连接第二阶逻辑紧致性与可扩展基数及Vopěnka原理。
Compactness and Comparison
利用内模型论中的比较原理，推广了正规超滤子上的Mitchell阶是线性的这一命题，提出了一个抽象的比较原理--超幂公理，并利用超紧性刻画了强紧基数：强紧基数是超紧的或者是超紧基数的极限.假设超幂公理和GCH，我们还证明了一个局部的结果，粗略地说，每一个可数完全超滤子的因素作为超紧超滤子的有限迭代。
How far is almost strong compactness from strong compactness
Bagaria和Magidor引入了几乎强紧性的概念，它非常接近于强紧性的概念。Boney和Brooke-Taylor问最小几乎强紧基数是否是强紧的。Goldberg在$\mathrm{SCH}$自下而上成立且最小几乎强紧基数具有不可数共尾性的情况下给出了肯定的回答.本文对一般情况给出了否定的回答。我们的结果也对Bagaria和Magidor的一个问题给出了肯定的回答。
The Ultrapower Axiom and the equivalence between strong compactness and supercompactness
强紧性和超紧性的大基数概念之间的关系不能在集合论的标准ZFC公理下确定。根据一个假设称为超幂公理，我们证明了这些概念是等价的，除了一类反例确定的Menas。这是强紧和超紧基数是等相容的证据。
Complicated colorings, revisited
在1997年的一篇论文中，Shelah询问$Pr_1(λ^+,λ^+,λ^+,λ)$是否对每个不可达基数$λ$都成立。在这里，我们证明了一个肯定的答案从$\square(λ^+)$。进一步证明了对于每对正则不可数基数$χ<κ$，$\square(κ)$蕴涵$Pr_1(κ,κ,κ,χ)$ .
Compactness and Guessing Principles in the Radin Extensions
我们研究了Radin力迫扩张中紧性原理和猜测原理之间的相互作用。特别地，我们证明了在$κ$上关于测度序列的任何Radin力迫扩张中，如果$κ$是弱紧的，则$\diamondsuit(κ)$成立.这提供了一个著名的伍丁定理的对比，伍丁证明，在一个适当准备的基础模型上的某一Radin扩张中，相对于大基数的存在，钻石原理在一个强不可达的Mahlo基数上失败。精炼的Radin扩展的分析，我们一贯表现出的情况下，一个紧凑性原则，强于对角固定反射原则，持有钻石原则失败，在一个强不可达基数，改善结果从\cite{BN19}。
Combinatorial and model-theoretical principles related to regularity of ultrafilters and compactness of topological spaces. IV
我们扩展到奇异基数的模型理论关系$λ\stackrelκ{\Rightarrow} μ$中介绍P. Lipparini，抽象逻辑，大基数和组合原理的紧谱，波尔。意大利数学联盟系列VII，{ \bf 4-B} 875--903（1990）。我们扩展了第二部分中的一些结果，找到了涉及超滤子一致性和某些无穷矩阵存在的等价条件。本文的定义为抽象逻辑提供了一个新的紧性性质。
Shelah-Villaveces revisited
研究了抽象初等类中极限模型的唯一性问题。我们证明（假设钻石的情况下），在基数的形式$μ^{+(n + 1)}$的范畴意味着基数$μ^{+}, μ^{++}, \ldots, μ^{+n}$的极限模型的唯一性。这揭示了一份文件的Shelah和Villaveces，谁是第一个考虑独特的极限模型在这方面。我们还证明，（再次假设钻石的情况下）在AEC没有最大的模型，驯服（类型的局部属性）连同范畴在一个适当的类的基数意味着范畴的尾巴上的基数。这是第一个范畴转移定理在该设置和答案的问题鲍德温。
Prikry On Extenders, Revisited
我们对Prikry关于扩展器的力迫概念提出了一个修改，允许炸毁一个大基数的幂集，在不添加有界子集的情况下将其共尾性改变为omega，直接从任意扩展器工作（例如，n-巨大的扩展器）。使用这种强迫，从一个超强的基数，我们构建了一个模型，其中添加的Prikry序列是一个规模的正常Prikry序列。
Compactness beyond choice and HOD
本文用逻辑和拓扑空间的紧致性刻画了多种Berkeley型大基数，表明紧致性假设可违反选择公理和V=HOD，从而提升已知一致性强度。
Square compactness and Lindelöf trees
本文证明弱方紧致基数必为强极限基数，并借助特定拓扑下的林德勒夫性刻画无不可数有限分叉子树的阿龙扎恩树，确定其严格介于苏斯林树与阿龙扎恩树之间。
On the strong equality between supercompactness and strong compactness
我们证明了超紧性和强紧性甚至可以等价为正则基数对的性质。具体地说，我们表明，如果V模型ZFC + GCH是一个给定的模型，（在有趣的情况下，它包含超紧性的实例），则存在一些基数和共尾性保持的泛型扩张V[G]模型ZFC + GCH，其中，（a）（保留）对于kappa <= lambda正则，如果V模型“kappa是lambda超紧的”，则V[G]模型“kappa是lambda超紧的”，因此，（b）（等价）对于kappa <= lambda正则，V[G]模型"kappa是lambda强紧的“当且仅当V[G]模型" kappa是lambda超紧的”，除非可能kappa是lambda超紧的基数的可测极限.
Transferring Compactness
本文利用Radin forcing技术将弱不可达非强极限基数处的紧致性转移到强不可达基数，构造了非弱紧但满足$n$-$d$-stationary的集合论模型，并回答了Sakai关于$n$-stationary的相容性问题。
Indestructibility and the level-by-level agreement between strong compactness and supercompactness
当强紧性和超紧性之间存在逐层一致时，超紧基数Kappa能是Laver不可破坏的吗？在这篇文章中，我们表明，如果有一个足够大的大基数以上卡帕，那么不，它不能。相反，如果一个人通过要求更少的不可摧毁性来削弱这个要求，比如只要求分层偏序集的不可摧毁性，或者通过要求更少的逐层一致性来削弱这个要求，比如只要求它在测度1集上，那么是的，它可以。
A model for global compactness
本文在超可compact基数一致性的假设下，构造了一个集合论模型，其中每个奇异基数λ上存在一个均匀超滤子，满足对于所有比λ的紧致度大的基数θ，该超滤子是θ-不可分解的，并展示了色数紧致性的实例，推翻Hedetniemi猜想的反例在ZFC中的最优性。
Compactness via Consistency Properties
本文利用一致性性质刻画强紧基数，并证明更大片段的模型存在定理。
Proof theory of weak compactness
我们证明了Zermelo-Fraenkel集合论上弱紧基数的存在性可以从理论上证明可归约为Mostowski崩溃和Mahlo运算的迭代。
The weakly compact reflection principle need not imply a high order of weak compactness
弱紧反射原理$\text{Refl}_{\text{wc}}(κ)$指出$κ$是弱紧基数，并且$κ$的每个弱紧子集都有一个弱紧真初始段.在$κ$上的弱紧反射原理意味着$κ$是一个$ω$ -弱紧基数。本文证明了弱紧反射原理并不意味着$κ$是$(ω+1)$ -弱紧的.此外，我们证明了，如果弱紧反射原理在$κ$成立，那么有一个力迫扩张保持这一点，其中$κ$是最小的$ω$ -弱紧基数。一路上，我们推广了著名的结果，其中指出，如果$κ$是一个正则基数，那么在任何力迫扩张$κ$ -c. c。强迫非平稳理想等于由基模型非平稳理想产生的理想;我们的推广指出，如果$κ$是一个弱紧基数，那么在强迫长度为$κ$的“典型”Escort支持迭代之后，弱紧理想等于由基模型弱紧理想产生的理想。
Small u(kappa) at singular kappa with compactness at kappa++
证明了$κ^{++}$的树性质、平稳反射和不可逼近性与$\mathfrak{u}(κ) = κ^+ < 2^κ$一致，其中$κ$是具有可数或不可数共尾性的奇异强极限基数.作为一个副产品，我们表明，如果$λ$是一个正则基数，那么在$λ^+$的静态反射是不可摧毁的所有$λ$ -CC强迫下（出于普遍的兴趣，我们还陈述了一个相关的结果，俱乐部静态反射的保存）。
Compactness for small cardinals in mathematics: principles, consequences, and limitations
本文讨论小正则基数（如ω_n、ℵ_{ω+1}等）的紧致性原理，分为逻辑原理（树性质）和数学原理（图、群、拓扑空间的紧致性），重点研究这些原理在力迫扩张中的不可破坏性，并观察传统问题（如Suslin假设、Whitehead猜想）与ω_2处最强紧致性形式的独立性。
Compactness in abelian group theory
本文将自由阿贝尔群的两个经典紧致性定理推广到循环群直和的一般情形，并探讨其中涉及的大基数问题。
Narrow systems revisited
本文引入并研究广义窄系统性质，证明了其足以蕴含$κ$以上的奇异基数假设，并在所有正则基数$κ\geqω_2$处一致成立，同时揭示了其与强无界次可加着色的联系。
Diamonds, Compactness, and Measure Sequences
我们建立了满足强同时反射性质的基数$κ$上钻石原理失效的相容性。结果基于Radin强迫的分析，并进一步得到了Radin泛型扩张中$κ$弱紧性的一个刻画.
An exposition of the compactness of $L(Q^\mathrm{cf})$
对任意正则基数集$C$，我们给出了$L(Q^\mathrm{cf})$的紧性.
Combinatorial and model-theoretical principles related to regularity of ultrafilters and compactness of topological spaces. V
我们将第二部分和第四部分中得到的一些结果推广到关系$(λ, μ) \stackrelκ{\Rightarrow} (λ', μ')$和$\alm (λ, μ) \stackrelκ{\Rightarrow} \alm (λ', μ')$。我们还提出了一个多基数的版本。
Determinacy from strong compactness of $ω_1$
在没有选择公理的情况下，“小”基数$ω_1$可以表现出通常与大基数相关的性质，例如强紧性和超紧性。对于强紧性的局部版本，我们说$ω_1$是$X$ -强紧的（其中$X$是任何集合），如果在$\mathcal{P}_{ω_1}(X)$上存在精细的可数完备测度。在$\mathsf{ZF} + \mathsf{DC}$中，我们证明了$ω_1$的$\mathcal{P}(ω_1)$ -强紧性和$\mathcal{P}(\mathbb{R})$ -强紧性分别与$\mathsf{AD}$和$\mathsf{AD}_\mathbb{R} + \mathsf{DC}$等相容，其中$\mathsf{AD}$表示决定性公理，$\mathsf{AD}_\mathbb{R}$表示实决定性公理.证明了$ω_1$的$\mathcal{P}(\mathbb{R})$ -超紧性比$\mathsf{AD}_\mathbb{R} + \mathsf{DC}$稍强，但其相容性强度没有精确计算.在没有$\mathsf{DC}$的情况下，在$\mathsf{AD}_\mathbb{R}$水平上也得到了等一致的结果.
The pcf-theorem revisited
对约化积prod_{i< kappa} lambda_i/I证明了（可能共尾性理论的）pcf定理，其中kappa < min_{i< kappa} lambda_i.这里我们在较弱的假设下证明了这个定理，例如wsat（I）< min_{i< kappa} lambda_i，其中wsat（I）是最小的theta，使得kappa不能被传递到theta集合noin I（或者甚至稍微弱一点的条件）。我们还研究了相对于<_I（<_I-eub）的精确上界的存在性以及约化积和基数T_D（lambda）的基数。最后我们将其应用于布尔代数的超积（和约化积）的深度问题
Criteria for exact saturation and singular compactness
我们介绍了一类不可分割的理论，其中包括简单的和NIP理论，并证明了这样的理论在奇异基数，满足一定的集合论假设完全饱和模型。我们还给出了一个理论具有奇异紧性的准则。
Indestructible weakly compact cardinals and the necessity of supercompactness for certain proof schemata
我们证明，如果基数的弱紧性通过某种一般类型的预备强迫（包括任何类似于Laver预备的强迫）而变得不可破坏，那么基数原来是超紧的.然后，我们应用这个定理表明，超紧性的假设是必要的某些证明图式。
List chromatic numbers and singular compactness
本文研究了图的可列表着色数在强极限奇异基数上的奇异紧致性性质。
Mitchell's Theorem Revisited
关于可逼近理想的Mitchell定理指出，在可逼近理想$I[ω_2]$中不存在$ω_2 \cap \mathrm{cof}(ω_1)$的稳定子集，这是相对于极大Mahlo基数的一致性。在本文中，我们给出了一个新的证明米切尔定理，它来自一个抽象的框架，侧条件方法。
Accessible images revisited
我们推广和改进了Makkai和Paré的结果，即任何可达函子F的强象都是可达的，假设存在一个足够大的强紧基数.我们将所需的大基数假设降为对足够大的μ存在$L_{μ,ω}$ -紧基数，并证明了在此假设下F的λ-纯幂象是可达的.从这些陈述中的第一个，我们得到每个抽象初等类的驯服性都来自一个比以前已知的更弱的大基数假设。我们提供了两种方法，采用大基数假设来证明每个结果-一个直接的超积建设和一个使用机器的初等嵌入的集合论宇宙。
Representability and Compactness for Pseudopowers
证明了$pp_{Γ(μ,σ)}(μ)$形式的伪幂运算的一个紧性定理，其中$\aleph_0<σ=cf(σ)\leq cf(μ)$ .我们的主要工具是一个结果，有谢拉的cov与pp定理的后果。我们还表明，在其他情况下的紧性的失败有显着的后果PCF理论，特别是，这意味着存在一个渐进的定期基数集$A$的$pcf(A)$有一个不可访问的聚集点。
Generalized cardinal invariants for an inaccessible $κ$ with compactness at $κ^{++}$
本文证明在超紧基数与弱紧基数一致的前提下，存在不可达基数 $κ$ 使得广义塔数与超滤数满足特定不等式关系，并计算了多个基数不变量的值，同时推广到传统不变量并得到不相交平稳序列性质。
Failure of singular compactness for Hom
在$V=L$假设下，构造了一个$χ$-自由阿贝尔群，其在Hom函子下表现出奇异紧致性的失效，为非平凡对偶性提供了相容的反例。
Are $\mathfrak a$ and $\mathfrak d$ your cup of tea? Revisited
这是[Sh：700]的修订版（2020年底），即arXiv：math/0012170。第一点是注意到[Sh：700]中定理4.3的证明，它说给出一致性$ \mathfrak{b} = \mathfrak{d} = \mathfrak{u} < \mathfrak{a} $的证明也给出了$ \mathfrak{s} = \mathfrak{d} $。证明使用可测量基数和c.c.c. c。因此它给出大的$ \mathfrak{d} $并假定一个大的基数。第二点是添加到\S 2，\S 3的结果中，即（在没有大基数的\S 3中）我们可以强制$ {\aleph_1} < \mathfrak{b} = \mathfrak{d} < \mathfrak{a}$。我们喜欢$ {\aleph_1} < \mathfrak{s} \le \mathfrak{b} = \mathfrak{d} < \mathfrak{a} $。为此，我们允许在\S 2、\S 3中$ K_t $的集合是不可数的;这需要不必要的改变。特别地，我们通常用$ σ, \partial $代替$ {\aleph_0}, {\aleph_1} $。自然，我们可以处理$ \mathfrak{i} $和类似的不变量。第三，我们再次校对工作。为了得到$ \mathfrak{s} $，我们可以保留$ I_t$ -s的成员的可数性，但是参数会…
Compactness phenomena in HOD and the Optimality of Magidor's Covering theorem
该研究围绕集合论全域V与HOD的紧性现象，证明了奇异强极限基数的幂集分歧特性，回答了Hayut的问题，并揭示Magidor覆盖定理的最优性。
Combinatorial and model-theoretical principles related to regularity of ultrafilters and compactness of topological spaces. III
我们推广了“P. Lipparini，Productive $[λ,μ]$ -compactness and regular ultrafilters，Topology Proceedings，21（1996），161- 171”中的结果，特别地，本文的结果也适用于奇异基数.
The combinatorial essence of supercompactness
我们引入组合原理，刻画强紧性和超紧性的不可达基数，但也有意义的继任者的基数。它们的一致性是根据假定的最优值建立的。利用失败的一个弱版本的平方，我们表明，目前已知的最好的下界的一致性强度，这些原则可以应用。
Boolean-valued second-order logic revisited
本文继续研究布尔值二阶逻辑与完全二阶逻辑的差异，证明前者紧致性数在真类Woodin基数下为ω₁（与完全二阶逻辑的最小可扩张基数不同），并引入内模型C²ᵇ，证明其为ZFC的最小内模型且具有良好性质。
The super tree property at the successor of a singular
对于不可访问的基数$κ$，当且仅当$κ$是超紧凑的时，$κ$处的超级树属性（ITP）成立。然而，就像树属性一样，它可以在继任者红衣主教。我们证明了ITP在$ω$极限的后继上保持许多超紧基数.然后我们证明了它可以始终保持在$\aleph_{ω+1}$。我们还考虑了一个更强的原则，ISP，和它的某些较弱的变化。我们确定ISP的哪一个水平可以保持在一个奇异的继任者。这些结果适用于测试宇宙中可以存在多少紧致性的广泛程序，并在较小的基数上获得大基数型性质。
Compactness of $ω^λ$ for $λ$ singular
利用正则超滤子、一致超滤子、无穷语言和非标准元，刻画了空间ω的λ副本与离散拓扑乘积的紧性，特别是λ奇异的情形.我们还讨论了不可数正则基数与序拓扑的乘积。
Combinatorial and model-theoretical principles related to regularity of ultrafilters and compactness of topological spaces. VI
讨论了拓扑空间乘积中序列完全聚点的存在性。然后，我们收集和推广的许多结果证明在第一，第二和第四部分。第六部分是对第五部分的补充，其大意是，我们在这里讨论的是一致性、完全聚点和$ κ$ - $(λ)$ -紧性，而不是正则性、$[ λ, μ]$ -紧性和$ κ$ - $ (λ, μ)$ -紧性。当然，如果我们仅限于正则基数，第五部分（对于$ λ= μ$）和第六部分基本上是一致的。
The number of normal measures, revisited
本文提出Friedman-Magidor定理的新版本，通过简单力迫控制可测基数上正规测度的提升数量，不依赖内模型精细结构，并推广至extender情形。
Generic Absoluteness Revisited
本文研究递归公理与拉弗泛型大基数公理的关系，证明从特定递归公理片段和紧拉弗泛型巨大基数存在性可推出更一般的泛型绝对性结论，且相关假设在多数常见偏序集类下蕴含地基公理的否定，区分了两类公理的对应片段。
Infinite Combinatorics revisited in the absence of Axiom of Choice
该研究在ZF公理系统下考察无穷组合定理的可证性，通过组合论证与绝对性方法得到多个基数相关的组合结论，证明了若干陈述的等价性与不可证性，并明确了一致可数枚举存在性相关命题的等一致性强度。
Some combinatorial properties of Ultimate L and V
本文在强紧性假设下对大基数的结构建立了若干约束。这些约束与超能力公理所施加的约束相吻合，这一原则有望在伍丁的终极\(L\)假设中成立，为终极\(L\)猜想提供了一些证据。我们表明，每一个经常基数以上的第一个强紧，进行不可分解的超滤是可测量的，回答了一个问题银足够大的红衣主教。我们表明，任何继任者几乎强紧基数的不可数共尾性是强紧的，取得进展的问题Boney，昂格尔和布鲁克-泰勒。我们表明，如果有一个适当的类强紧的基数，那么就没有非平凡的基数保持初等嵌入从宇宙集到一个内部模型，回答问题的Caicedo授予大基数。最后，我们表明，如果\(κ\)是强紧的，那么\(V\)是一个集力迫扩张的内部模型\(κ\text{-HOD}\)组成的集合是遗传序数定义从一个\(κ\) -完全超滤在一个序数; \(κ\text{-HOD}\)似乎是第一个非平凡的例子地面的\(V\)的定义不涉及强迫。
Strong Tree Properties Along Many Segments of Successors of Singulars
该研究从大基数出发，通过力迫构造证明了ITP可在奇异基数的可数初始段后继处同时成立，并推广得到奇异基数多共尾度长段后继处的强树性质的一致性。
High dimensional sequential compactness
该研究在多种集合论假设下构造出是n-序列紧但非(n+1)-序列紧的空间实例，改进了已有结果，还引入新的类分裂基数不变量并证明相关结论在$\frak{s=b}$假设下成立。
The Gluing Property
本文引入了称为粘合性质的新紧致性原理，证明了每个κ-紧致的基数具有2^κ-粘合性质，但不一定具有(2^κ)^+-粘合性质，并计算了κ具有ω-粘合性质的精确一致性强度为o(κ)=ω_1。
The Strong and Super Tree Property at Successors of Singular Cardinals
该研究聚焦奇异基数后继的强树性质与ITP（超树性质），构造通用力迫类，推广Neeman的结果，证明多种基数组合下两类性质同时成立的一致性，推进了同时在多个相继基数上获得两类树性质的问题研究。
Good Scales and Non-Compactness of Squares
本文研究了正方形原理在奇异基数上的紧性问题，证明了在特定条件下，ℵω上的所有尺度都是良好的，但正方形原理*在ℵω上不成立，同时某些内部可接近性失败。
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