On Dyson's crank conjecture and the uniform asymptotic behavior of certain inverse theta functions
Kathrin Bringmann, Jehanne Dousse
本文证明了Freeman Dyson关于曲柄母函数极限形状的一个长期猜想。我们适合这个函数在一个更一般的家庭的反θ函数，在物理学中发挥了关键作用。
In this paper we prove a longstanding conjecture by Freeman Dyson concerning the limiting shape of the crank generating function. We fit this function in a more general family of inverse theta functions which play a key role in physics.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Dyson's crank and unimodal compositions
曲柄是一个分区统计要求戴森在1944年为了combinatorially证明拉马努金同余欧拉的分拆函数$p(n)$。在本文中，我们提供戴森曲柄和单峰组成之间的连接。不相关的，我们给出了一个新的截断欧拉五边形数定理由于夏和赵的组合证明。
Weighted Rogers-Ramanujan Partitions and Dyson Crank
本文改进了Alladi的一个加权分拆恒等式。我们写的生成函数的显式公式的分区分组的数量相对于分区统计以外的规范。我们将加权结果和不同的统计数据与分区的曲柄联系起来。特别地，我们证明了奇数指标部分之和为n的不同部分的划分为偶数部分的数目等于n的具有非负曲柄的划分的数目。
Dyson's Crank and the Mex of Integer Partitions
Andrews和Newman最近引入了划分的mex的概念，即不是部分的最小正整数。这个概念至少从2011年开始使用，与Frobenius符号有关。最近，mex的奇偶性与Dyson在1944年命名的crank统计有关。在这份说明中，我们扩展和加强曲柄和墨西哥（随着一个新的广义的墨西哥）之间的连接，通过证明一些性质，自然涉及这些分区统计。
k-Marked Dyson Symbols and Congruences for Moments of Cranks
通过引入$k$标记的Durfee符号，Andrews找到了$n$的划分秩的$2k$次对称化矩$η_{2k}(n)$的组合解释.最近，Garvan在研究高阶spt函数$spt_k(n)$时，引入了$n$分块曲柄的$2k$次对称矩$μ_{2k}(n)$.本文给出了$μ_{2k}(n)$的组合解释。本文在Dyson给出的普通划分表示的基础上引入了$k$标记的Dyson符号，并证明了$μ_{2k}(n)$等于$n$的$(k+1)$标记的Dyson符号的个数.然后，我们引入了一个$k$标记的Dyson符号的满曲柄，并证明了对于$k$标记的Dyson符号的满曲柄函数，存在一个无穷族的同余，这意味着对于固定素数$p\geq 5$和正整数$r$和$k\leq (p-1)/2$，存在无穷多个非嵌套算术级数$An+B$，使得$μ_{2k}(An+B)\equiv 0\pmod{p^r}$ .
Proof of the Andrews-Dyson-Rhoades Conjecture on the spt-Crank
向量划分的spt-crank或$S$ -划分的概念是由Andrews，Garvan和Liang提出的。令$N_S(m,n)$表示具有spt-crank $m$的$n$的$S$ -分区的数目。Andrews，Dyson和Rhoades证明了$\{N_S(m,n)\}_m$对任何$n$都是单峰的，并且证明了这个猜想等价于普通划分的秩和曲柄之间的不等式。他们得到了一个渐近公式之间的差异秩和曲柄的普通分区，这意味着$N_S(m,n)\geq N_S(m+1,n)$充分大的$n$和固定的$m$。在本文中，我们介绍了一个表示的普通划分，称为$m$ -Durfee矩形符号，这是一个矩形推广的Durfee符号由安德鲁斯介绍。通过考虑两种情况，证明了Andrews、Dyson和Rhoades的猜想。对于$m\geq 1$，我们构造了一个注入从$n$的普通分区的集合，使得$m$出现在秩集合中的$n$的普通分区的集合，秩不小于$-m$。$m=0$的病例需要再注射5次。我们还表明，这一猜想意味着一个不等式之间的正秩和曲柄时刻得到的安德鲁斯，陈和金。
Congruences for modular forms and applications to crank functions
本文受Mahlburg工作的启发，找到了一类模形式的同余。此外，我们推广了Andrews-Garvan-Dyson曲柄在剖分上的生成函数，并建立了几个新的无穷同余族。在此框架下，我们证明了Hammond和Lewis引入的有序划分对的birank和Fu和Tang引入的$k$ -着色划分的$k$ -crank与分拆函数和crank的过程相同.
Asymptotic Distribution of the Partition Crank
划分曲柄（英语：Partition crank）是弗里曼·戴森（英语：Freeman Dyson）为解释拉马努金同余而引入的一个统计。本文证明了对任意奇数Q，曲柄是模Q渐近等分布的。为了证明这一点，我们得到有效的界限的误差项Zapata Rolon的渐近估计曲柄功能。然后，我们使用这些界限来证明满射性和严格的对数次可加性的曲柄函数。
Cranks for Ramanujan-type congruences of $k$-colored partitions
本文为分拆函数同余族的不变量提供研究框架，利用θ块理论找到一族曲柄函数，可解释多数已知k着色分拆函数同余，具理论价值。
On spt-crank type functions
在最近的一篇论文中，Andrews，Dianjin和Yee引入了一个新的spt型函数$\operatorname{spt}_ω(n)$，它与Ramanujan的三阶模拟θ函数$ω(q)$密切相关。Garvan和Jennings-Shaffer引入了一个曲柄函数来解释$\operatorname{spt}_ω(n)$的同余关系。本文研究了这类曲柄函数的渐近性质，并渐近地证实了曲柄函数的一个正性猜想。我们还研究了$\operatorname{spt}_ω(n)$的曲柄和同余的符号模式。
Some Observations on Dyson's New Symmetries of Partitions
我们利用戴森的概念的伴随的分区，以获得一个无限的家庭新的多项式类似的欧拉的五边形数定理。我们简化了Dyson的双射与crank <= k的分区和那些k在分区的秩集。此外，我们扩展戴森的伴随分区的麦克马洪的“模块”分区模2。这样我们就找到了高斯著名恒等式的一个新的组合证明。我们给出了一个直接的组合证明，当n>1时，n的曲柄k分拆与n的曲柄-k分拆是等距的。
Congruences modulo powers of $5$ and $7$ for the crank and rank parity functions and related mock theta functions
本文拓展了秩奇偶函数模5的幂的同余式至模7的幂的情形，推导了相关三阶仿theta函数ω(q)系数的同余式，并证明了曲柄奇偶函数的一族模7的幂的同余式。
Transformation and symmetries for the Andrews-Garvan crank function
本文推导了双变量曲柄生成函数$C(z,q)$基于广义η乘积的变换结果，通过群$Γ_0(p)$对其$p$-分拆元素的作用得到新对称性，给出了曲柄定理的新证明并针对特定素数给出相关恒等式。
The spt-crank for overpartitions
Bringmann，Lovejoy和Osburn证明了spt-超配分函数spt（n），spt1（n），spt2（n）和M2spt（n）的母函数是拟拟θ函数，并且满足一些简单的Ramanujan-like同余。Andrews，Garvan，and Liang定义了一个spt曲柄在加权向量分区的组合解释简单的同余模5和7的spt（n）。Chen、Ji和Zang能够根据普通分区来定义这个spt-crank。在本文中，我们定义了SPT曲柄的向量分区，组合解释所有的SPT-overpartition函数，以及新的简单的同余已知的简单的同余。对于除M2spt（n）之外的所有过划分函数，我们能够纯粹根据标记的过划分来定义spt-crank。同余式的证明依赖于Bailey引理和关于超划分的Dyson秩和无重奇部分划分的M2-秩的差分公式。
Mahlburg's work on Crank Functions returns to Ramanujan's work and inspiration
Mahlburg（2005）出色地展示了曲柄函数在划分同余中的重要性，这些划分同余最初是由Dyson（1944）猜测的。拉马努金的分拆函数是这些作品的中心。不仅对理论曲柄，但许多其他研究人员在印度拉马努金的工作启发了他们的职业生涯中的数学。这是一篇本科毕业论文。
Unimodality of the Andrews-Garvan-Dyson cranks of partitions
本文的主要目的是研究分区的Andrews-Garvan-Dyson曲柄的分布。用$M(m,n)$表示$n$中具有Andrews-Garvan-Dyson曲柄$m$的划分数，证明了序列\break $\{M(m,n)\}_{|m|\leq n-1}$对于$n\geq 44$是单峰的.证明了\break $\{M(m,n)\}_{|m|\leq n-1}$的单峰性与两个\break函数$p_k(n)$和$pp_k(n)$的单调性有关.令$p_k(n)$表示具有最多$k$部分的$n$的分区的数目，使得最大部分出现至少两次，并且令$pp_k(n)$表示$n$的分区的对$(α,β)$的数目，其中$α$是由$p_k(i)$计数的分区，并且$β$是由$p_{k+1}(n-i)$计数的$0\leq i\leq n$的分区。我们表明，$p_k(n)\geq p_k(n-1)$为$k\geq 5$和$n\geq 14$和$pp_k(n)\geq pp_k(n-1)$为$k\geq 3$和$n\geq 2$。借助于$p_k(n)$和$pp_k(n)$上的单调性，我们证明了对于$n\geq 14$和$ 0\leq m \leq n-2$的$M(m,n)\geq M(m,n-1)$和对于$n\geq 44$和$1\leq m\leq n-1$的$M(m-1,n)\geq M(m,n)$.通过对称性$M(m,…
Radial limits of mock theta functions
受Ramanujan最初对模拟θ函数的定义的启发，一些作者考虑了明确确定其在尖点处的行为的问题。此外，这些例子还与量子模形式以及福尔松、小野和罗兹提出的秩和曲柄等重要对象相联系。在这里，我们解决了一般问题的理解拉马努金的定义明确的任何重量$\frac12$模拟θ函数，回答一个问题的罗兹。此外，作为一个副产品，我们的结果给出了一个大的，明确的家庭的模形式。
Eventual log-concavity of $k$-rank statistics for integer partitions
令$N_k(m,n)$表示具有Garvan $k$ -秩$m$的$n$的分区的数目。众所周知，Andrews-Garvan-Dyson的曲柄和Dyson的秩分别是$k=1$和$k=2$的$k$秩。本文证明了序列$\{N_k(m,n)\}_{|m|\le n-k-71}$对所有充分大的$n$和每个整数$k$都是对数凹的.特别地，我们部分地解决了由Bringmann-Jennings-Shaffer-Mahlburg和Ji-Zang独立提出的Andrews-Garvan-Dyson曲柄和Dyson秩的对数-对数猜想。
An Exploration of Crank Generating functions for $t$-core partitions
本文提出一族生成函数，解释$t$-核心分区的模数关系，拓展了crank生成函数的应用范围。
Proof of a Limited Version of Mao's Partition Rank Inequality using a Theta Function Identity
拉马努金的同余$p(5k+4) \equiv 0 \pmod 5$导致戴森\cite{dyson}猜想存在的措施“秩”，使$p(5k+4)$分区的$5k+4$可以分为子类具有相等的基数，以直接证明拉马努金的同余。阿特金和斯温纳顿-戴尔\cite{atkin}将秩的概念扩展到秩差，并证明了戴森的猜想。最近，毛泽东证明了几个等式和不等式，留下一些作为插图，为秩差分区模10 \cite{mao10}和$M_2$秩差分区没有重复奇数部分模$6$和$10$ \cite{maom2}。Alwaise et.等人证明了四个毛泽东的固定不等式\cite{swisher}，而留下三个开放。在这里，我们证明了一个有限版本的不等式毛泽东。
Andrews-Beck Type Congruences Related to the Crank of a Partition
本文讨论了George Beck最近提出的几个与划分的秩和曲柄有关的定理。Andrews利用Atkin和Swinnerton-Dyer关于一个合适的生成函数的结果证明了一个划分的秩，而Shane Chern利用加权划分矩研究了与曲柄相关的秩。通过分解相应的生成函数，我们重新讨论了划分曲柄上的结构，并进一步探讨了它与Apple-Lerch级数和十阶模拟θ函数的关系.
Maass waveforms arising from sigma and related indefinite theta functions
在本文中，我们考虑一个例子的马斯波形，这是由科恩从一个功能$σ$，安德鲁斯，戴森和希克森研究，它的同伴$σ^*$。我们把这个例子放在一个更一般的框架中。
Transformation properties for Dyson's rank function
在1987年的拉马努金百年纪念会议戴森要求一个连贯的群体理论结构拉马努金的模拟θ函数类似赫克的理论模形式。许多Ramanujan的模拟θ函数可以用$R(ζ,q)$来表示，其中$R(z,q)$是戴森秩函数的双变量生成函数，$ζ$是单位根。基于沃森、茨韦格斯、戈登和麦金托什的早期工作，并受到戴森问题的启发，布林曼、小野和罗兹研究了$R(ζ,q)$的变换性质。本文加强和推广了Bringmann，Rhoades和Ono的结果以及Ahlgren和Treneer的后期工作。作为应用，我们给出了Dyson秩猜想的一个新的证明，并证明了来自Lost Notebook的Ramanujan的Dyson秩恒等式模$5$对于所有大于$3$的素数都有一个类似物.这个类比的证明受到Jennings-Shaffer最近关于超分区秩差mod $7$的工作的启发。
Deviation of the rank and crank modulo 11
本文基于 Garvan、Sarma 和 Berndt 的结果，建立了 rank 与 crank 偏差模 11 的 11-dissection，重新推导了已有结果，并利用 theta 函数商的正性条件证明了新的 rank-crank 不等式及多种同余。
On the distribution of rank and crank statistics for integer partitions
设$k$为正整数，$m$为整数。Garvan的$k$ -秩$N_k(m,n)$是$n$划分成至少$(k-1)$连续Durfee正方形的数量，其中$k$ -秩等于$m$。本文给出了以$|m|\ge \sqrt{n}$为$n\rightarrow \infty$的$N_k(m,n)$的一些渐近性质。作为推论，我们给出了Dyson曲柄分布猜想的一个更完整的答案。我们还建立了$N_k(m,n)$关于$m$与$m\gg \sqrt{n}\log n$的有限差分的渐近公式。
An infinite family of vector-valued mock theta functions
我们展示了一个无限族的向量值模拟θ函数的正整数互质$6$索引。这些都是建立在专业化的戴森的排名生成功能和相关功能的研究沃森，戈登和麦金托什。相关联的完成的谐波马斯形式变换根据附接至秩一晶格的韦尔表示。这加强了Bringmann和Ono的2010年结果以及Garvan的2019年结果。
Universal mock theta functions and two-variable Hecke-Rogers identities
得到了三个泛模拟θ函数的二元Hecke-Rogers恒等式.这意味着许多拉马努金的模拟θ函数，包括所有的三阶函数，有一个赫克-罗杰斯型双和表示。我们发现了Dyson秩函数、过划分秩函数、M2秩函数和相关的spt-crank函数的新的母函数恒等式。利用基本超几何函数理论证明了结果。
Infinite families of crank functions, Stanton-type conjectures, and unimodality
戴森的秩函数和安德鲁斯-加文曲柄函数著名的组合证人拉马努金的分拆函数同余模5，7和11。虽然这些函数可以用来显示对应的分区集合被分成5、7或11个大小相等的集合，但人们可能会问，如何使由秩或曲柄组合显式组织的分区之间的结果双射。斯坦顿最近做了一些尝试，旨在揭示沿着这些路线的更深层次的组合结构，事实证明，需要对秩和曲柄进行微小的修改。在这里，我们证明了其中的两个命题。基于单峰性和对称性，我们还给出了某些分圆多项式的多项式导数具有非负系数的抽象判据。此外，我们将Stanton猜想推广到曲柄的无限族。这表明进一步应用到其他组合对象。我们还讨论了数值证据，我们的结构，连接与其他分析结构，如分配的分区排名。
Renormalization and quantum modular forms, part II: Mock theta functions
Sander Zwegers证明了Ramanujan的模拟θ函数是$q$ -超几何级数，其$q$ -展开系数是非全纯模形式的傅里叶系数的一半。George Andrews、Henri Cohen、Freeman Dyson和Dean Hickerson发现了一对$q$ -超几何级数，每一个都包含特征值$1/4$的Maass波形的傅里叶系数的一半。这一系列的文件表明，一个$q$系列建设，所谓的“重正化”，产生的另一半的傅里叶系数从一个系列，其中包含一半。该构造统一了与模拟θ函数相关联的示例和与Maass波形相关联的示例。从而证实了弗里曼·戴森的罪行。这种构造在唐·扎吉尔的量子模形式中是自然的。详细讨论了量子模形式在这一构造中所起的作用。第一部分给出了与马斯波形有关的新例子。第二部分包含与模拟θ函数和经典模形式相关的新例子。第二部分是对“重整”结构的广泛考察。大量的例子和开放的问题，其中有相似之处的主要例子，但仍然神秘，给出。
New symmetries for Dyson's rank function
本文将Dyson秩生成函数$p$-拆分在$Γ_1(p)$下的群作用推广至$Γ_0(p)$，揭示了Dyson秩函数的新对称性。
Uniform asymptotic formulas for the Fourier coefficients of the inverse of theta functions
本文利用基本的渐近分析方法，建立了Jacobi θ函数的逆函数的傅里叶系数的一些一致渐近公式。特别是，我们回答并改进了Bringmann、Manschot和Dousse提出和调查的一些问题。作为应用，我们建立了Dyson，Andrews和Garvan提出和研究的整数划分的秩和曲柄的渐近单调性。
Families of Quasimodular Forms and Jacobi Forms: The Crank Statistic for Partitions
拟模形式的族在许多情况下自然出现，例如阿贝尔曲面上的曲线计数和orbifolds的分歧覆盖计数。在许多情况下，拟模形式族自然地作为雅可比形式的泰勒展开式的系数而出现。在本说明中，我们给出了在分区统计研究中出现的这种扩展的例子。Crank分区统计最近引起了人们的极大兴趣。例如，Atkin和Garvan证明了曲柄统计量的矩的生成函数是拟模形式。曲柄划分统计量的二元母函数是Jacobi形式。利用Jacobi θ函数中固有的结构，我们构造了Atkin和Garvan函数的显式表达式。此外，这种观点打开了大门，进一步调查，包括研究的时刻，等差数列。我们进行了深入的研究曲柄统计限制在一个剩余类模2。
Short proofs of Ramanujan-like identities for the eighth order mock theta function $V_{0}(q)$
该研究利用Appell函数性质给出八阶仿θ函数$V_0(q)$的拉马努金型恒等式的简短证明，并参照相关经典结果提出恒等式的推广形式。
Congruences for Andrews' Smallest Parts Partition Function and New Congruences for Dyson's Rank
设spt（n）表示n的划分中最小部分出现的总数。最近，Andrews证明了spt（n）与二阶矩的关系，并证明了一些令人惊讶的Ramanujan型模5，7和13同余。我们证明了这些同余式的推广使用已知的秩和曲柄矩之间的关系。我们得到了spt（n）mod p（p = 11，17，19，29，31和37）的显式Ramanujan型同余.最近，Bringmann和Ono证明了Dyson秩函数有无穷多个Ramanujan型同余。他们的证明是非构造性的，并利用弱Maass形式理论。我们构造两个显式的非平凡的例子模11使用之间的秩矩和半整数权重Hecke特征形的初等同余。
Copartitions
我们发展了协分区理论，它是分区理论中许多经典主题的推广，包括Rogers-Ramanujan分区，θ函数，模拟θ函数，部分由奇偶性分离的分区和曲柄统计。使用分析和组合的方法，我们给出了两种形式的三参数生成函数，我们研究了几个特殊的情况下，表现出潜在的更广泛的影响的研究copartition可能有。
Beyond Mock Modularity: Elliptic Corrections for Higher Dyson Ranks
研究高阶戴森秩，发现其单位根特化有隐藏椭圆结构，通过有限\(q\)差分递推及Appell - Lerch修正项得出修正函数，满足扭曲椭圆律，平移后全纯有限部分有有限\(\theta\)分解，揭示其类似物非模拟模性而是特定有限\(\theta\)分解。
Nearly Equal Distributions of the Rank and the Crank of Partitions
令$N(\leq m,n)$表示具有不大于$m$的秩的$n$的分区的数目，并且令$M(\leq m,n)$表示具有不大于$m$的曲柄的$n$的分区的数目。Bringmann和Mahlburg观察到$N(\leq m,n)\leq M(\leq m,n)\leq N(\leq m+1,n)$用于$m<0$和$1\leq n\leq 100$。他们还指出，这些不等式可以被重述为在$n$的分区集合上存在重排序$τ_n$，使得对于$n$的所有分区$λ$，$|\text{crank}(λ)|-|\text{rank}(τ_n(λ))|=0$或$1$，即秩和曲柄在$n$的分区上几乎相等分布。Andrews，Dyson和Rhoades在研究spt-函数时提出了一个关于spt-曲柄单峰性的猜想，并证明了这个猜想等价于不等式$N(\leq m,n)\leq M(\leq m,n)$（$m<0$）和不等式$n\geq 1$）.我们用组合论证证明了这个猜想。本文证明了关于$m<0$和$n\geq 1$的不等式$N(\leq m,n)\leq M(\leq m,n)$.此外，我们定义了一个重排$τ_n$的$n$的分区$λ$，并表明，这种重排$τ_n$导致几乎相等的分布的秩和曲柄。使用重新排序的$τ_n$，我们给出了Andrews、Chan和Kim定义的函数ospt $(n)$的新组合解释，这立即导致了Ch…
Negative index Jacobi forms and quantum modular forms
本文考虑一类特殊的负指数亚纯Jaocbi型的傅里叶系数。最近的工作已经做了这样的系数的情况下，雅可比形式的正指数，但几乎没有什么是已知的雅可比形式的负指数。在本文中，我们表明，从两个不同的角度来看，他们的傅里叶系数有一个简单的分解部分θ函数。第一个视角使用李超代数的语言，第二个视角应用椭圆函数的理论。特别是，我们发现了一个新的无限家族的秩曲柄型偏微分方程推广著名的例子Atkin和Garvan。然后，我们描述了这些系数的模块化特性，表明它们是“混合部分θ函数“，沿途确定一类新的量子模块化部分θ函数，这是独立的利益。
Partitions with parts separated by parity: conjugation, congruences and the mock theta functions
本文利用共轭映射的组合方法研究奇偶部件分隔的整数分拆，证明推广 Andrews 二元生成函数的参数化恒等式与两族 Andrews–Beck 型同余式，并揭示共轭稳定分拆子集同三个三阶 mock theta 函数的联系。
Precision Asymptotics for Partitions Featuring False-Indefinite Theta Functions
本文利用模性质研究假不定 theta 函数相关划分的傅里叶系数渐近行为，通过具体例子推导出包含所有指数增长项的精确渐近展开式。
Partition statistics and quasiweak Maass forms
Andrews最近引入了k标记的Durfee符号，它是与Dyson的秩统计量的矩相连接的分区的推广。他用这些联系，以找到身份有关其生成功能，以及证明拉马努金型同余这些对象，并找到之间的关系。本文证明了这些对象的超几何生成函数是拟拟θ函数的自然例子，拟θ函数被定义为弱Maass形式及其导数的全纯部分。特别地，这些生成函数可以被视为具有任意高权重的Ramanujan模拟θ函数的类似物。我们利用自守性质证明了Durfee符号的无穷多个同余的存在性。此外，我们表明，随着k的变化，模块化的k-标记Durfee符号的情况下，k=2正是决定。最后，我们利用这一关系证明了秩矩在有界权的一级模形式下的一般同余的存在性。
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