Weighted Rogers-Ramanujan Partitions and Dyson Crank
本文改进了Alladi的一个加权分拆恒等式。我们写的生成函数的显式公式的分区分组的数量相对于分区统计以外的规范。我们将加权结果和不同的统计数据与分区的曲柄联系起来。特别地，我们证明了奇数指标部分之和为n的不同部分的划分为偶数部分的数目等于n的具有非负曲柄的划分的数目。
2016-03-31 math.CO math.NT
Cranks for Ramanujan-type congruences of $k$-colored partitions
University of Tennessee, Knoxville（田纳西大学诺克斯维尔分校）
本文为分拆函数同余族的不变量提供研究框架，利用θ块理论找到一族曲柄函数，可解释多数已知k着色分拆函数同余，具理论价值。
2026-09-04 math.NT
Partitions weighted by the parity of the crank
一个分区统计'曲柄'给出了拉马努金著名的分区同余组合的解释。本文建立了偶曲柄划集数$M_e(n)$减去奇曲柄划集数$M_o(n)$所满足的渐近公式、Ramanujan型同余和q-级数恒等式.例如，我们表明，$M_e(5n+4)-M_o(5n+4)\equiv 0 \pmod 5.$我们还确定了确切的值$M_e(n)-M_o(n)$的情况下，分区成不同的部分，这是最多两个和零无限多$n$。
2007-03-09 math.CO math.NT
A note on congruences for the difference between even cranks and odd cranks
最近Amdeberhan和Merca证明了曲柄奇偶函数$C(n)$的一些算术性质，曲柄奇偶函数定义为具有偶数曲柄的$n$和具有奇数曲柄的$n$的划分数之间的差，序列$a(n)$的生成函数是$C(n)$的生成函数的倒数。函数$C(n)$首先由Choi、Kang和Lovejoy研究。本文对他们的一些主要结果给出了新的初等证明并加以推广。特别地，我们建立了涉及$C(n)$和$a(n)$的某些有限和的模$5$和$25$的Ramanujan型同余。我们的证明采用库珀，Hirschhorn，和刘易斯的结果，和某些身份涉及罗杰斯-Ramanujan连分数$R(q)$由于陈省身和唐。
2025-06-25 math.CO math.NT
On spt-crank type functions
在最近的一篇论文中，Andrews，Dianjin和Yee引入了一个新的spt型函数$\operatorname{spt}_ω(n)$，它与Ramanujan的三阶模拟θ函数$ω(q)$密切相关。Garvan和Jennings-Shaffer引入了一个曲柄函数来解释$\operatorname{spt}_ω(n)$的同余关系。本文研究了这类曲柄函数的渐近性质，并渐近地证实了曲柄函数的一个正性猜想。我们还研究了$\operatorname{spt}_ω(n)$的曲柄和同余的符号模式。
2016-10-19 math.NT
Asymptotic Distribution of the Partition Crank
划分曲柄（英语：Partition crank）是弗里曼·戴森（英语：Freeman Dyson）为解释拉马努金同余而引入的一个统计。本文证明了对任意奇数Q，曲柄是模Q渐近等分布的。为了证明这一点，我们得到有效的界限的误差项Zapata Rolon的渐近估计曲柄功能。然后，我们使用这些界限来证明满射性和严格的对数次可加性的曲柄函数。
2021-08-25 math.NT
Dyson's crank and unimodal compositions
曲柄是一个分区统计要求戴森在1944年为了combinatorially证明拉马努金同余欧拉的分拆函数$p(n)$。在本文中，我们提供戴森曲柄和单峰组成之间的连接。不相关的，我们给出了一个新的截断欧拉五边形数定理由于夏和赵的组合证明。
2022-03-03 math.CO math.NT
Eventual log-concavity of $k$-rank statistics for integer partitions
令$N_k(m,n)$表示具有Garvan $k$ -秩$m$的$n$的分区的数目。众所周知，Andrews-Garvan-Dyson的曲柄和Dyson的秩分别是$k=1$和$k=2$的$k$秩。本文证明了序列$\{N_k(m,n)\}_{|m|\le n-k-71}$对所有充分大的$n$和每个整数$k$都是对数凹的.特别地，我们部分地解决了由Bringmann-Jennings-Shaffer-Mahlburg和Ji-Zang独立提出的Andrews-Garvan-Dyson曲柄和Dyson秩的对数-对数猜想。
2022-06-01 math.CO math.NT
On the Andrews-Stanley Refinement of Ramanujan's Partition Congruence Modulo 5 and Generalizations
Stanley在最近对符号平衡的标号偏序集的研究中，引入了一个新的整数划分统计量srank（pi）= O（pi）- O（pi '），其中O（pi）表示划分pi的奇数部分的个数，pi'是pi的共轭。Andrews证明了Ramanujan的分划同余mod 5的以下改进：p[0]（5 n +4）= p[2]（5 n + 4）= 0（mod 5），p（n）= p[0]（n）+ p[2]（n），其中p[i]（n）（i = 0; 2）表示n的srank = i（mod 4）的分划数，p（n）是n的无限制分划数。安德鲁斯要求一个分区统计，将划分分区枚举的p[i]（5 n + 4）（i = 0，2）到五个equinumerous类。本文讨论了三个这样的统计量：St-曲柄统计量、2-秩统计量和5-核-曲柄统计量。第一个，虽然新的，是密切相关的安德鲁斯-加文曲柄。第二个是关于划分的2-商。第三个是由Garvan，Kim和Stanton介绍的。我们使用它在我们的组合证明安德鲁斯细化。值得注意的是，安德鲁斯的结果是一个简单的后果更强的细化拉马努金的同余模5。这种更一般的改进使用了一种新的分区统计，我们称之为BG秩。我们采用BG-秩证明新的划分同余模5。最后，我们讨论了一些新的公式划分是5-核心，并讨论了一个有趣的关系3-核心和Andrews-Garvan曲柄。
2004-02-26 math.CO math.NT
Nearly Equal Distributions of the Rank and the Crank of Partitions
令$N(\leq m,n)$表示具有不大于$m$的秩的$n$的分区的数目，并且令$M(\leq m,n)$表示具有不大于$m$的曲柄的$n$的分区的数目。Bringmann和Mahlburg观察到$N(\leq m,n)\leq M(\leq m,n)\leq N(\leq m+1,n)$用于$m<0$和$1\leq n\leq 100$。他们还指出，这些不等式可以被重述为在$n$的分区集合上存在重排序$τ_n$，使得对于$n$的所有分区$λ$，$|\text{crank}(λ)|-|\text{rank}(τ_n(λ))|=0$或$1$，即秩和曲柄在$n$的分区上几乎相等分布。Andrews，Dyson和Rhoades在研究spt-函数时提出了一个关于spt-曲柄单峰性的猜想，并证明了这个猜想等价于不等式$N(\leq m,n)\leq M(\leq m,n)$（$m<0$）和不等式$n\geq 1$）.我们用组合论证证明了这个猜想。本文证明了关于$m<0$和$n\geq 1$的不等式$N(\leq m,n)\leq M(\leq m,n)$.此外，我们定义了一个重排$τ_n$的$n$的分区$λ$，并表明，这种重排$τ_n$导致几乎相等的分布的秩和曲柄。使用重新排序的$τ_n$，我们给出了Andrews、Chan和Kim定义的函数ospt $(n)$的新组合解释，这立即导致了Ch…
2017-04-04 math.CO math.NT
Non-existence of Ramanujan congruences in modular forms of level four
拉马努金著名的发现同余的分拆函数一样p（5 n +4）= 0模5。本文给出了一种方法，求出在上半平面上非零的Gamma_{1}（4）上模形式的逆的系数中的所有这类单同余.这适用于回答有关过分区、曲柄差和2色F-分区的生成函数中（不）存在全等的开放问题。
2009-10-01 math.NT
An Exploration of Crank Generating functions for $t$-core partitions
University of Tennessee - Knoxville（田纳西大学诺克斯维尔分校）
本文提出一族生成函数，解释$t$-核心分区的模数关系，拓展了crank生成函数的应用范围。
2026-03-19 math.CO math.NT
Exotic Bailey-Slater SPT-Functions I: Group A
我们介绍了几个SPT型函数，产生于贝利对。我们证明了简单的Ramanujan型同余这些功能，可以解释的spt曲柄型功能。spt曲柄型函数是通过在母函数中增加一个额外的变量$z$而构造的。当$z$是某个单位根时，我们发现了解剖，就像对各种分区类型对象的许多秩和曲柄差公式所做的那样。我们的公式需要广义Lambert级数的Chan恒等式。
2014-11-13 math.NT
A proposed crank for $(k+j)$-colored partitions, with $j$ colors having distinct parts
本文推广了着色分拆的crank理论，借鉴已有研究的生成函数技术，定义了j色为互异分拆的(k+j)着色分拆的crank生成函数，给出三类无穷族并猜想通用形式，丰富了分拆同余相关研究。
2024-07-10 math.CO math.NT
Congruences modulo powers of $5$ and $7$ for the crank and rank parity functions and related mock theta functions
本文拓展了秩奇偶函数模5的幂的同余式至模7的幂的情形，推导了相关三阶仿theta函数ω(q)系数的同余式，并证明了曲柄奇偶函数的一族模7的幂的同余式。
2024-06-24 math.CO math.NT
The spt-crank for overpartitions
Bringmann，Lovejoy和Osburn证明了spt-超配分函数spt（n），spt1（n），spt2（n）和M2spt（n）的母函数是拟拟θ函数，并且满足一些简单的Ramanujan-like同余。Andrews，Garvan，and Liang定义了一个spt曲柄在加权向量分区的组合解释简单的同余模5和7的spt（n）。Chen、Ji和Zang能够根据普通分区来定义这个spt-crank。在本文中，我们定义了SPT曲柄的向量分区，组合解释所有的SPT-overpartition函数，以及新的简单的同余已知的简单的同余。对于除M2spt（n）之外的所有过划分函数，我们能够纯粹根据标记的过划分来定义spt-crank。同余式的证明依赖于Bailey引理和关于超划分的Dyson秩和无重奇部分划分的M2-秩的差分公式。
2014-12-11 math.NT
Combinatorial Interpretations of Cranks of Overpartitions and Partitions without Repeated Odd Parts
本文为过划分的两个剩余曲柄及无重复奇数部分划分的 $M_2$-曲柄提供组合解释，给出无调整权重的新定义，并揭示其与秩统计量和 Ramanujan 十阶伪 theta 函数的联系。
2024-10-26 math.CO math.NT
On the Andrews-Stanley Refinement of Ramanujan's Partition Congruence Modulo 5
Stanley在最近对符号平衡的标号偏序集的研究中[13]，引入了一个新的整数划分统计量srank（pi）= O（pi）- O（pi '），其中O（pi）表示划分pi的奇数部分的个数，pi'表示pi的共轭。在[1]安德鲁斯证明了以下细化拉马努金的分区同余模5：p[0]（5n +4）= p[2]（5n + 4）= 0（mod 5），p（n）= p[0]（n）+ p[2]（n），其中p[i]（n）（i = 0，2）表示具有srank = i（mod 4）的n的分区的数目，并且p（n）是n的无限制分区的数目。安德鲁斯要求一个分区统计，将划分分区枚举的p[i]（5 n + 4）（i = 0，2）到五个equinumerous类。在本文中，我们讨论两个这样的统计。第一个，而新的，是密切相关的安德鲁斯-加文[2]曲柄。第二个是5芯曲柄，由Garvan，Kim和Stanton介绍[9]。最后，我们讨论了一些新的公式划分是5-核心。
2004-01-03 math.CO math.NT
Crank equidistribution and $(k,j)$-overlined partitions
本文给出$(k,j)$-着色划线分拆数的渐近公式，证明Wagner构造的crank在算术级数上渐近等分布，推进了分拆理论中拉马努金型同余式相关研究。
2023-11-04 math.NT
From crank to congruences
本文研究分拆数 crank 奇偶差值的算术性质，证明 Ramanujan 型同余式并刻画相关序列的模性质，扩展分拆同余式范围。
2025-05-26 math.NT
Exotic Bailey-Slater SPT-Functions III: Bailey Pairs from Groups B, F, G, and J
我们继续调查SPT型功能，产生贝利对。在这第三篇论文的主题，我们着手介绍额外的spt型函数。我们证明了这些函数的简单Ramanujan型同余，这些函数可以用spt-crank型函数来解释。spt曲柄类型函数实际上是首先定义的，其中spt类型函数来自于在spt曲柄类型函数中设置$z=1$。我们发现一些spt曲柄型函数有有趣的表示为单一的系列，其中一些减少到无穷乘积。此外，我们发现解剖的其他spt曲柄型功能时，$z$是一个特定的单位根。这两种方法都用来解释spt型函数的同余式。我们的级数公式需要贝利引理和共轭贝利对。我们的解剖公式遵循贝利引理和解剖已知的行列和曲柄。
2015-12-22 math.NT
Infinite families of crank functions, Stanton-type conjectures, and unimodality
戴森的秩函数和安德鲁斯-加文曲柄函数著名的组合证人拉马努金的分拆函数同余模5，7和11。虽然这些函数可以用来显示对应的分区集合被分成5、7或11个大小相等的集合，但人们可能会问，如何使由秩或曲柄组合显式组织的分区之间的结果双射。斯坦顿最近做了一些尝试，旨在揭示沿着这些路线的更深层次的组合结构，事实证明，需要对秩和曲柄进行微小的修改。在这里，我们证明了其中的两个命题。基于单峰性和对称性，我们还给出了某些分圆多项式的多项式导数具有非负系数的抽象判据。此外，我们将Stanton猜想推广到曲柄的无限族。这表明进一步应用到其他组合对象。我们还讨论了数值证据，我们的结构，连接与其他分析结构，如分配的分区排名。
2022-03-22 math.CO math.NT
Asymptotics for $k$-crank of $k$-colored partitions
本文利用Hardy-Ramanujan圆法研究k-着色分拆的k-crank，推广了Fu和Tang关于M_k(a,c;n)的不等式结果，并进一步建立了对数凹性与对数次可加性等新不等式关系。
2023-04-13 math.CO math.NT
Radial limits of mock theta functions
受Ramanujan最初对模拟θ函数的定义的启发，一些作者考虑了明确确定其在尖点处的行为的问题。此外，这些例子还与量子模形式以及福尔松、小野和罗兹提出的秩和曲柄等重要对象相联系。在这里，我们解决了一般问题的理解拉马努金的定义明确的任何重量$\frac12$模拟θ函数，回答一个问题的罗兹。此外，作为一个副产品，我们的结果给出了一个大的，明确的家庭的模形式。
2015-07-25 math.NT
Exotic Bailey-Slater SPT-Functions II: Hecke-Rogers-Type Double Sums and Bailey Pairs From Groups A, C, E
我们调查的spt曲柄型函数所产生的贝利对。我们回顾了四个spt型函数对应的贝利对$A1$，$A3$，$A5$，和$A7$的斯莱特，并给出了四个新的spt型函数对应的贝利对$C1$，$C5$，$E2$，和$E4$。这些函数中的每一个都可以被认为是对某些整数分区中最小部分出现的次数的计数。我们证明了简单的Ramanujan型同余这些功能，解释了一个spt曲柄型功能。spt曲柄型函数是由Bailey对确定的两个变量$q$ -级数，当$z=1$约化为spt型函数时.我们发现spt曲柄型函数有有趣的表示，无论是无限的产品或赫克-罗杰斯型双级数。当$z$是一个确定的单位根时，这些级数很好地减少，并允许我们推导出同余。此外，我们发现解剖时$z$是一个特定的根的单位给出另一个证明的同余。我们的双和和积公式需要贝利引理和共轭贝利对。我们的解剖公式遵循贝利引理和解剖已知的行列和曲柄。
2016-07-06 math.NT
Congruences modulo powers of 5 for the rank parity function
众所周知，Ramanujan证明了分拆函数的模5、7和11的幂同余.这一点后来被Watson（1938）和Atkin（1967）证明。在2009年，Choi，Kang和Lovejoy证明了曲柄奇偶函数的模5幂的同余。秩奇偶函数的生成函数是f（q），这是Ramanujan在给Hardy的最后一封信中提到的模拟θ函数的第一个例子。我们证明了同余模幂5的秩奇偶函数。
2021-01-04 math.CO math.NT
Ramanujan-type Congruences for Overpartitions Modulo 5
令$\overline{p}(n)$表示$n$的过分区数。Hirschhorn和Sellers表明，$\overline{p}(4n+3)\equiv 0 \pmod{8}$适用于$n\geq 0$。他们还证实了$n\geq 0$的$\overline{p}(40n+35)\equiv 0 \pmod{40}$。Chen和Xia利用Alaca，Alaca和Williams给出的θ函数的$(p,k)$ -参数化证明了这个猜想.本文利用Treneer发现的$\overline{p}(5n)$模$5$的生成函数之间的关系和Mahlburg给出的$\overline{p}(n)$的生成函数的$2$-adic展开式，证明了$n \geq 0$的$\overline{p}(5n)\equiv (-1)^{n}\overline{p}(4\cdot 5n) \pmod{5}$和$n \geq 0$的$\overline{p}(n)\equiv (-1)^{n}\overline{p}(4n)\pmod{8}$.因此，我们推断，PDMATHAMBMZ的$\overline{p}(4^k(40n+35))\equiv 0 \pmod{40}$。利用$ϕ(q)^3$上的Hecke算子和$ϕ(q)^3$是Hecke本征形的事实，我们得到了一个无穷族的正整数$\overline{p}(4^k \cdot5…
2014-06-15 math.CO math.NT
Congruences for Andrews' Smallest Parts Partition Function and New Congruences for Dyson's Rank
设spt（n）表示n的划分中最小部分出现的总数。最近，Andrews证明了spt（n）与二阶矩的关系，并证明了一些令人惊讶的Ramanujan型模5，7和13同余。我们证明了这些同余式的推广使用已知的秩和曲柄矩之间的关系。我们得到了spt（n）mod p（p = 11，17，19，29，31和37）的显式Ramanujan型同余.最近，Bringmann和Ono证明了Dyson秩函数有无穷多个Ramanujan型同余。他们的证明是非构造性的，并利用弱Maass形式理论。我们构造两个显式的非平凡的例子模11使用之间的秩矩和半整数权重Hecke特征形的初等同余。
2008-06-11 math.CO math.NT
Ramanujan-type Congruences for Overpartitions Modulo 16
令$\overline{p}(n)$表示$n$的过分区数。最近，Fortin-Jacob-Mathieu和Hirschhorn-Sellers分别得到了$\overline{p}(n)$的生成函数的2-、3-和4-剖分，并导出了$\overline{p}(n)$模$4$、$8$和$64$的一系列同余式，包括$\overline{p}(5n+2)\equiv 0 \pmod{4}$、$\overline{p}(4n+3)\equiv 0 \pmod{8}$和$\overline{p}(8n+7)\equiv 0 \pmod{64}$ . Yao和Xia利用剖分技术得到了$\overline{p}(n)$模$8, 16$和$32$的同余式，如$\overline{p}(48n+26) \equiv 0 \pmod{8}$，$\overline{p}(24n+17)\equiv 0 \pmod{16}$和$\overline{p}(72n+69)\equiv 0 \pmod{32}$ .本文给出了$\overline{p}(n)$模16的生成函数的16-剖分，并证明了$n\ge 0$的生成函数为$\overline{p}(16n+14)\equiv0\pmod{16}$.利用Mahlburg对$\overline{p}(n)$的生成函数的$2$ -adic展开式，得到了$\overlin…
2014-08-07 math.CO math.NT
Untrodden pathways in the theory of the restricted partition function $p(n, N)$
我们得到一个有限的模拟最近推广的身份在拉马努金的笔记本。微分它关于一个参数导致一个结果，其极限情况下给出了一个有限的模拟安德鲁斯著名的身份$\textup{spt}(n)$。后者促使我们扩展理论的限制分拆函数$p(n, N)$，即分区的数量$n$与最大部分小于或等于$N$，通过获得有限的类似物的秩和曲柄向量分区以及秩和曲柄时刻。作为对有限模拟函数$\textup{spt}(n, N)$恒等式的应用，我们证明了有限二阶矩与曲柄矩之间的一个不等式.所获得的其他结果包括有限的类似物最近的身份Garvan，身份有关$d(n, N)$和lpt $(n, N)$，即有限的类似物的除数和最大部分的功能，分别和有限的模拟贝克-陈省身定理。我们还推测之间的不等式有限类似物的$k^{\textup{th}}$秩和曲柄力矩。
2018-12-04 math.CO math.NT
Copartitions
我们发展了协分区理论，它是分区理论中许多经典主题的推广，包括Rogers-Ramanujan分区，θ函数，模拟θ函数，部分由奇偶性分离的分区和曲柄统计。使用分析和组合的方法，我们给出了两种形式的三参数生成函数，我们研究了几个特殊的情况下，表现出潜在的更广泛的影响的研究copartition可能有。
2021-11-07 math.CO math.NT
On three theorems of Folsom, Ono and Rhoades
拉马努金在给哈代的临终信中给出了一个模函数的模糊定义：在每个单位根处，它的渐近性与模形式的渐近性相匹配，尽管模函数的选择取决于单位根。最近，Folsom，Ono和Rhoades证明了一个优雅的结果，关于Dyson秩（模拟θ）函数和Andrews-Garvan曲柄（模块化）函数的一般家庭的匹配-与隐含$O(1)$常数的显式公式的匹配。在这篇文章中，我们给出了Ramanujan的原始主张的另一个初等证明，并概述了一些可能有助于获得一般Folsom-Ono-Rhoades定理的新证明的方法。
2013-09-12 math.CA math.CO math.NT
Equidistribution and partition polynomials
本文利用等分布准则证明了多种分拆多项式被分圆多项式整除，并建立了其根在单位圆上的等分布，为多种 Ramanujan 型同余提供了新证明。
2023-10-22 math.CO math.NT
Partitions with parts separated by parity: conjugation, congruences and the mock theta functions
本文利用共轭映射的组合方法研究奇偶部件分隔的整数分拆，证明推广 Andrews 二元生成函数的参数化恒等式与两族 Andrews–Beck 型同余式，并揭示共轭稳定分拆子集同三个三阶 mock theta 函数的联系。
2023-06-23 math.CO math.NT
