There are no socialist primes less than 10^9
Tim Trudgian
不存在具有$5<p<10^{9}$的素数$p$，其中$2!, 3!, \ldots, (p-1)!$都是模$p$不同的;可以证明不存在这样的素数。
There are no primes $p$ with $5<p<10^{9}$ for which $2!, 3!, \ldots, (p-1)!$ are all distinct modulo $p$; it is conjectured that there are no such primes.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Improved algorithms for left factorial residues
我们提出了计算左阶乘残基的改进算法$!p=0!+1!+...+(p-1)! \!\mod p$。我们使用这些算法计算的残留物$!p\!\mod p$，所有素数$p$到$2^{40}$。我们的结果证实了Kurepa的左阶乘猜想仍然是一个未解决的问题，因为它们表明不存在奇素数$p<2^{40}$使得$p$可除$!p$。此外，我们还证明了不存在具有$5<p<2^{40}$的社会主义素数$p$.
All unitary perfect polynomials over $F_2$ with less than five distinct prime factors
我们找到了素域$\F_2$上所有具有小于5个不同素因子的酉完全多项式。
Less Regular Exceptional and Repeating Prime Number Multiplets
新的例外（即非重复）的素数多重，并制定了等差数列，以及法律管理他们。指出了伴随的重复素数多重态。研究了具有较小正则距离的素数多重态。
A poor man's improvement on Zhang's result: there are infinitely many prime gaps less than 60 million
采取简单的选择，我证明了一个可以降低张的总理差距从7000万至6000万。一个穷人的进步！
Conjecture on the value of Pi(10^26), the number of primes less than 10^26
基于Pi（10^n）的前25个已知值，其中素数个数小于10^n，n为1 ~ 25的整数，提出了一个用多项式插值计算的Pi（10^26）的限定值范围，该插值具有两个校正函数，这两个校正函数是根据Pi（10^n）的精确值和插值值的相对差通过Thiele插值得到的.计算得到的射程值与欧拉对数积分和黎曼函数得到的值一致。
Non-splitting bi-unitary perfect polynomials over $\mathbb{F}_4$ with less than five prime factors
本文确定了有限域 $\mathbb{F}_4$ 上所有至多包含四个不可约因子的非分裂双酉完美多项式，并指出此类因子有无限多个。
An elemetary proof of an estimate for a number of primes less than the product of the first $n$ primes
设$α$是一个实数，使得$1< α<2$和$x_0=x_0(α)$是方程$$ x^{α-1} -\fracπ{e^2\sqrt{3}}x +1=0. $$的{ \rm（}唯一{ \rm）}正解.然后证明了对每个正整数$n>x_0$，在第$(n+1)$个素数和第一个$n+1$个素数的乘积之间至少存在$[n^α]$个素数.特别是，我们建立了一个最近库克的结果断言，对于每一个正整数$n$至少有$n$素数之间的$(n+1)$ th素数和产品的第一个$n+1$素数。我们的证明是基于一个基本的计数方法（枚举参数）和斯特林公式的应用，给出一些二项式系数的上限。
Generalising the Hardy-Littlewood Method for Primes
Hardy-Littlewood方法是解析数论中的一个著名技术。在其壮观的应用是维诺格拉多夫的1937年的结果，每一个足够大的奇数是一个总和的三个素数，和一个相关的结果乔拉和范德科尔普特给予渐近的数量3项级数的素数，所有小于N。本文综述了作者和T. Tao，其中Hardy-Littlewood方法已被推广到获得例如小于N的素数的4项等差数列的个数的渐近性。
Irregular primes to 163 million
我们计算所有小于163，577，356的非正则素数。对于所有这些素数，我们验证了库默-范迪弗猜想成立，并证明了不变量等于不规则指数。
On sums of sparse prime subsets
对于任意的$c_0>0$，如果$A$是小于$x$的素数的子集，其基数为$δx (\log x)^{-1}$和$δ\geq (\log x)^{-c_0}$，则存在正的常数$c$，使得$A+A$的基数大于$c\, δx (\log\log x)^{-1}$。
Uniform upper bounds of the distribution of relatively r-prime lattice points
我们估计了相对$r$ -素格点在数域$K$中的分布，其分量的范数小于$x$。在前一篇文章中，我们得到了一致的上界作为$K$贯穿所有数域假设Lindelöf假设。同时我们也给出了度小于或等于$6$的阿贝尔扩张的无条件结果。本文去掉了关于数域的所有假设，改进了一致上界。在本文中，我们考虑整数$\mathcal{O}_K$环的理想分布的估计，并获得一致的上界。当$K$在三次扩域上运行时，我们得到了比Lindel假设下更好的一致上界.
Large gaps between primes
我们证明了对于任何固定的$t$，存在小于$x$的连续素数对，它们的差大于$t(1+o(1))(\log{x})(\log\log{x})(\log\log\log\log{x})(\log\log\log{x})^{-2}$.我们的证明工程纳入最近的进展筛法到埃尔多斯-兰金建设的素数之间的小差距。这回答了一个众所周知的鄂尔多斯问题。
No new Goormaghtigh primes up to $10^{700}$
本文针对Goormaghtigh猜想，通过计算验证在$10^{700}$范围内除已知的$31$和$8191$外不存在其他具有两种非平凡repunit表示的素数。
Sums of Powers of Primes in Arithmetic Progression
该研究将Gerard和Washington关于素数幂和近似素数计数的方法推广到算术级数中的素数，证明其渐近等价性，并量化了正负指数下近似值的偏差。
Nonuniform Distributions of Residues of Prime Sequences in Prime Moduli
对于正整数$q$，狄利克雷定理指出，在模$q$的每个约化剩余类中有无穷多个素数。该定理的一个更强的形式指出素数在$φ(q)$约化剩余类中以$q$为模均匀分布。本文研究连续素数序列$(p_n, p_{n+1}, \ldots, p_{n+k})$模$q$的模式.数字证据表明，偏好某些素数模式。例如，模式$(a,a)$模$q$直到$x$的计算频率远小于期望频率$π(x)/φ(q)^2$。我们开始严格地连接Hardy-Littlewood素数$k$元组猜想到素数模式模$q$的频率的一个证明的渐近公式。
Multiplicative decomposition of arithmetic progressions in prime fields
本文证明了存在一个绝对常数$c>0$，使得如果一个等差数列$\cP$模一个素数$p$不含零，且基数小于$cp$，则它不能表示为两个基数大于1的子集的乘积，除非$\cP=-\cP$或$\cP=\{-2r,r,4r\}$对某个剩余数$r$模$p$ .
Irregular primes to two billion
我们计算所有小于2^31 = 2147483648的非正则素数。我们验证了库默-Vandiver猜想为每个这些素数，我们检查的P-部分的类群的Q（zeta_p）具有最简单的可能的结构与指数的不规则性的P。我们的方法计算的不规则指数节省了一个常数因子的时间相对于以前的方法，通过适应雷德的算法评估离散傅里叶变换。
Primes in Tuples I
本文介绍了一种证明存在非常接近的素数的方法。该方法依赖于等差数列中素数分布水平。假设Elliott-Halberten猜想，我们证明了存在无穷多个素数相差16或更小。即使一个弱得多的猜想也意味着存在无穷多个素数相距有界距离。无条件地，我们证明了存在连续的素数比任何任意小的倍数的平均间距，即\[ \liminf_{n\to \infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n} =0 .\]更接近。这最后一个结果将在以后的论文中得到很大的改进。
On the largest prime factors less than $y$ of consecutive shifted primes
本文研究连续整数及连续移位素数的有界最大素因子比较问题，证明了在 $y$ 较小时渐近密度为 $1/2$，并给出 $y=x^\alpha$ 时的正比例下界，改进了 Rivat 和 Wang 的结果。
Prime Number Races
这是一篇关于素数竞赛的调查文章。切比雪夫注意到在上半年的十九世纪，任何给定的价值x，似乎总是有更多的素数的形式4n +3小于x然后有形式4n +1。类似的观察已经在3n +2和3n +1形式的素数，10n +3/10n +7和10n +1/10n +9形式的素数，以及其他许多形式的素数上进行了。更一般地，可以考虑qn + a，qn + b，qn + c，>.我们最喜欢的常数q，a，b，c.并试图找出哪些形式是"首选"的其他。在本文中，我们更详细地描述了这些现象，并解释了在理解它们方面所做的努力。
Two binomial coefficient conjectures
关于素数的二项式系数我们知道得很多，但关于素数幂和复合数的知道得很少。本文在这方面给出了两个定理，一个是关于模16的二项式系数的计数，另一个是关于模n的二项式[n，2 p]的值。
Jumping champions and gaps between consecutive primes
小于或等于$x$的连续素数之间最常见的差异称为跳跃冠军。偶尔也会有联系。因此，对于给定的$x$，可以有多个跳跃冠军。1999年A.奥德利兹科湾Rubinstein和M.沃尔夫提供了启发式和经验证据来支持这样一个猜想，即大于大于1的跳跃冠军是4，素数是2、6、30、210、2310.作为证明这一猜想的一步，他们引入了第二个较弱的猜想，即任何固定的素数$p$都可以整除所有足够大的跳跃冠军。本文推广了P.Erdens和E. G. Straus于1980年提出了第二个猜想，证明了第二个猜想是由G. H. Hardy和J.E.利特尔伍德
Close to Uniform Prime Number Generation With Fewer Random Bits
在本文中，我们分析了几个变种的一个简单的方法产生素数与更少的随机位。为了生成小于$x$的素数$p$，基本思想是固定一个常数$q\propto x^{1-\varepsilon}$，选择一个与$q$互质的均匀随机$a<q$，并选择形式为$a+t\cdot q$的$p$，其中如果素数测试失败，则仅更新$t$。我们证明，这种方法的变体提供素数生成算法，需要很少的随机位，其输出分布是接近均匀的，在越来越便宜的假设：首先是一个相对较强的猜想由H. L。Montgomery，由Friedlander和Granville精确化;然后是扩展的黎曼假设;最后完全无条件地使用Barban-Davenport-Halberten定理。我们认为，这种方法有一些可取的性能相比，以前的算法。
On distinct residues of factorials
本文研究了素数$p > 5$的存在性，其中$2!$，$3!$，\dots，$(p-1)!$模$p$的残基都是不同的.我们描述了这个问题和Kurepa的左阶乘函数之间的连接，并报告说，没有这样的素数小于$10^{11}$。
On improving a Schur-type theorem in shifted primes
我们表明，如果$N \geq \exp(\exp(\exp (k^{O(1)})))$，那么任何$k$着色的素数，小于$N$包含一个单色的解决方案，以$p_1 - p_2 = p_3 -1$。
SanD primes and numbers
我们定义S（um）和D（ifference）数为有序对$(m,\, m+Δ)$，使得数字和$DS(m(m+Δ))=Δ.$我们考虑十进制和二进制的情况。如果$m$和$m+Δ$都是素数，我们称之为SandD { \em素数}。我们发现，（十进制）的Sands数小于$x$增长$c1\cdot x,$，$c1 = 2/3,$，而Sands素数小于$x$增长的数量为$c2\cdot x/\log^2{x},$，其中$c2 = 3/4.$由于准分形性质的数字和函数，收敛速度慢，不稳定相比，孪生素数，除了常数，有相同的领先渐近。
On the order of magnitude of certain integer sequences
本文研究由不小于给定素数p的所有素数生成的数值半群，比较其最大原子等不变量的数量级，并借助三素数定理的数值证据推测最大原子小于6p。
A remark on weighted average multiplicities in prime factorisation
本文推广ABC三元组的质量定义，引入加权平均重数（WAM），证明其实部小于1时无界、大于1时全纯有界，并揭示其与最大素因子重数及ABC猜想的联系。
Representing integers as linear combinations of power products
设P是至少两个素数的有限集，A是P的素数的幂的乘积的正整数的集合，F（k）表示不能表示为A的小于k项之和的最小正整数.在最近的一份文件内桑森要求确定属性的功能F（k），特别是估计其增长率。本文给出了关于F（k）及表示A与-A的并中不能表示为小于k项之和的最小正整数的相关函数的几个结果。
The Sums of the $k-$powers of the Euler set and their connection with Artin's conjecture for primitive roots
研究了小于并与$n$（欧拉集）互素的$ϕ(n)$整数$α_1<α_2<\cdots<α_{ϕ(n)}$的$k-$次幂和$S(k,\,n)$，并证明了一个新的计算公式$S(3,\,n)$ .如果$n$等于一个素数$p$，我们证明了一个定理，表明$S(3,\,p)$与原根的Artin代数常数以及与其它涉及素数的函数的联系.
Goldbach Conjecture: Violation Probability and Generalization to Prime-like Distributions
该研究利用素数分布性质，为哥德巴赫猜想失败概率建立上界，并推广至类素数分布子集，通过随机平移构造验证了广义猜想。
Variations of Lucas' Theorem Modulo Prime Powers
令$p$为素数，且令$k,n,m,n_0$和$m_0$为非负整数，使得$k\ge 1$，且$_0$和$m_0$均小于$p$。K. Davis和W.韦伯建立了一个总理$p\ge 5$以下变化卢卡斯定理模素数权力持有$$ {np^k +n_0 \choose mp^k+m_0}\equiv{np^{\lfloor(k-1)/3\rfloor} \choose mp^{\lfloor(k-1)/3\rfloor}} {n_0 \choose m_0} \pmod{p^k}. $$在证明中，作者使用他们的早期结果，提出了一个广义版本的卢卡斯定理。本文给出了上述同余式的一个简单的归纳证明.我们的证明是基于一个经典的同余由于Jacobsthal，我们还使用了一些众所周知的身份二项式系数。此外，我们证明，断言也是正确的$p=2$和$p=3$，如果在上述同余之一取代$\lfloor(k-1)/3\rfloor$由$\lfloor k/2\rfloor$，和由$\lfloor (k-1)/2\rfloor$，分别。作为应用，利用Lucas型同余，我们得到了Wolstenholme素数的一个新刻画.
Powers in prime bases and a problem on central binomial coefficients
研究素数底数下幂的表示特性，证明关于中心二项式系数的整除性问题的渐近密度为零。
The Fibonacci sequence modulo $p^2$ -- An investigation by computer for $p < 10^{14}$
我们证明了素数$p < 10^{14}$的周期长度$κ(p^2)$的Fibonacci序列模$p^2$是从来没有等于它的周期长度模$p$。这项调查包括用计算机进行广泛的搜索。作为应用，我们对所有小于$10^{14}$的素数建立了一般公式$κ(p^n) = κ(p) \cdot p^{n-1}$.
Joint distributions of error terms for primes in arithmetic progressions modulo 11
本文给出了素数计数函数误差项联合分布的对数密度公式，并应用于模11情形，确定了残差对的相关性，深化了对Bays和Hudson现象的数学理解。
On a theorem of Sárközy for difference sets and shifted primes
我们证明了如果集合$A \subseteq [N]$的两个元素之差不小于素数，则对于某个绝对常数$c>0$，有$|A| = O (N \exp (-c (\log N)^{1/3}))$.
Integers divisible by a shifted prime in a given interval
本文研究了区间$(y,z]$内形如$p-1$的素数移位除数相关的整数计数函数$H^*(x,y,z)$，发现其相变规律并推广了Ford2017年的成果。
On a conjecture of Deaconescu
Deaconescu在2000年提出了一个问题，是否存在一个复合$n$，其中$S_2(n)|ϕ(n)-1$，其中$ϕ(n)$是欧拉函数，$S_2(n)$是Schemel的totient函数。在本文中，我们证明了任何这样的$n$是奇数，无平方和至少有七个不同的素因子。我们还证明了任何这样的$n$与$K$不同的素除子是必然小于$2^{2^{K+1}}$。
On the distribution of prime numbers (II)
最近，我定义了所谓的PDF（素数分布因子），它支配$p,p+a_i$类型的素数的分布，这些素数是直到某个数$n$的所有素数。结果表明，PDF的是表示的基本PDF的定义为$a_i-a_j$或$a_i$是由素数是小于或等于素数的数目。例如，$p,p+2$（孪生素数）或$p,p+2,p+6$都是素数（基本三联体）。本文用Hardy-Littlewood数给出了基本素数概率密度函数个数的一个猜想，从而完成了概率密度函数的判定。这些假设得到了广泛计算的支持。
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