Center Lyapunov exponents in partially hyperbolic dynamics
Andrey Gogolev, Ali Tahzibi
本文综述了部分双曲型同态的中心李雅普诺夫指数的一些最新结果。我们在简化的设置中解释了几个想法，并制定了结果的一般版本。我们也提出了一些开放的问题。
We survey a collection of recent results on center Lyapunov exponents of partially hyperbolic diffeomorphisms. We explain several ideas in simplified setups and formulate the general versions of results. We also pose some open questions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Lyapunov exponents of hyperbolic measures and hyperbolic periodic orbits
用周期轨道上双曲原子测度的李雅普诺夫指数来近似双曲遍历测度的李雅普诺夫指数.
Regularity of foliations and Lyapunov exponents of partially hyperbolic dynamics
本文研究了不变叶理的正则性与部分双曲型双同态的李雅普诺夫指数之间的关系。利用勒贝格测度的分解给出了叶理的一个新的正则性条件，该条件可作为李雅普诺夫指数刚性的判据.
Sectional-hyperbolic lyapunov stable sets
在双曲动力系统中，一个著名的结果是：每个双曲李雅普诺夫独立集都是吸引的;人们很自然地想知道这个结果在分段双曲动力系统中是否保持。这个问题仍然是开放的，虽然已经提出了一些部分的结果。证明了紧致流形上向量场X的余维为1的具有唯一边界型类Lorenz奇点的截双曲传递Lyapunov独立集是X的吸引子。
Uniform hyperbolicity for random maps with positive Lyapunov exponents
我们考虑一些一般类的随机动力系统，并表明，先验非常弱的非一致双曲性条件实际上意味着一致双曲性。
Singular Hyperbolicity and sectional Lyapunov exponents of various orders
给出了奇异双曲性和超越经典阶的截李雅普诺夫指数的概念，即奇异双曲集的中心子丛除了2维和全维以外的其它维数.利用李雅普诺夫指数和无穷小李雅普诺夫函数的概念，得到了广义控制分裂、部分双曲和奇异双曲的一个特征.此外，给出了获得奇异双曲性的替代条件。作为应用，我们得到了一些与流的奇异双曲集有关的结果。
The Lyapunov Exponents of Hyperbolic Measures for $C^1$ Vector Fields with Dominated Splitting
本文研究了$C^1$向量场中具有主导分解的超几何测度的Lyapunov指数，证明其可被周期测度近似。
Lyapunov exponents and partial hyperbolicity of chain control sets on flag manifolds
对于实半单李群的旗流形$\mathbb{F}_Θ$上的右不变控制系统，我们将$\mathfrak{a}$ -李雅普诺夫指数与系统在正则点上的李雅普诺夫指数联系起来.此外，我们将光滑动力系统理论中的部分双曲性概念应用到控制仿射系统中，并在$\mathbb{F}_Θ$上完整地刻画了部分双曲链控制集.
Positivity of the top Lyapunov exponent for cocycles on semisimple Lie groups over hyperbolic bases
维亚纳的一个定理说，几乎所有的双曲系统上的上循环有非零的李雅普诺夫指数。本文将这一结果推广到任何非紧经典半单李群上的上圈。
Stably positive Lyapunov exponents for symplectic linear cocycles over partially hyperbolic diffeomorphisms
我们考虑了两类部分双曲同态上的辛上圈：具有紧中心叶的Anosov流和时间1映射。我们证明了在Hölder拓扑的开稠密集中，李雅普诺夫指数是非零的。
Central Lyapunov exponent of partially hyperbolic diffeomorphisms of $\mathbb{T}^3$
在本文中，我们构造了一些“病态”的体积保持部分双曲同态$\toro{3}$，使他们的行为在小尺度上的中心方向（李雅普诺夫指数）是相反的行为的线性化。这些例子与阿诺索夫是同位素。我们还得到了与Anosov（因此具有非紧中心叶）同位素的部分双曲同构，几乎在每一点上都具有零中心李雅普诺夫指数。
Existence of periodic orbits for singular-hyperbolic Lyapunov stable sets
Bautista和Morales证明了奇异双曲吸引集（*）中周期轨道的存在性。本文将他们的结果推广到奇异双曲型李雅普诺夫稳定集。（（*）“Existence of periodic orbits for singular-bypolar sets”，Moscow Mathematical Journal，6（2006），265-297）
Simplicity of Lyapunov spectrum for linear cocycles over non-uniformly hyperbolic systems
我们证明了具有u-Gibbs测度的非一致双曲系统上的一般纤维束和Hölder连续线性上圈具有简单的Lyapunov谱。这对Viana在纤维束上循环的背景下提出的一个猜想给出了肯定的回答。
The Lyapunov Exponents of Hyperbolic Measures for $C^1$ Star Vector Fields on Three-dimensional Manifolds
该研究针对三维流形上的$C^1$星向量场，证明了非奇点支集的遍历双曲不变测度及其Lyapunov指数均可由周期测度及其Lyapunov指数逼近，推进了动力系统相关理论。
Simple Lyapunov spectrum of partially hyperbolic diffeomorphisms
本文研究部分双曲微分同胚的Lyapunov谱简单性，证明保体积类被简单谱开集累积，并给出基于同宿相关周期点的简单性判据。
The set of fiber-bunched cocycles with nonvanishing Lyapunov exponents over a partially hyperbolic map is open
证明了保体积、可达、中心聚束的部分双曲型单同态上的具有非零李雅普诺夫指数的纤维聚束$SL(2,\mathbb{R})$值Hölder上圈是开的.此外，我们提出了一个例子表明，这不再是真的，如果我们不假设的基础动力学的可访问性。
Lyapunov exponents of partially hyperbolic volume-preserving maps with 2-dimensional center bundle
本文研究了可达的、具有二维中心丛且满足某些拼挤和聚束条件的部分双曲辛同态。证明了非一致双曲映射是$C^r$开的，且存在中心李雅普诺夫指数连续点的$C^r$开稠密子集.我们也将这些结果推广到保体积系统。
Lyapunov exponents of cocycles over non-uniformly hyperbolic systems
考虑非一致双曲动力系统上的线性上循环。基系统是紧致流形$X$的一个保双曲遍历概率测度$μ$的同构$f$. $f$上的上循环$A$是Holder连续的，并且取值于$GL(d,R)$中，或者更一般地，取值于巴拿赫空间上的可逆有界线性算子群中。对于$GL(d,R)$值上圈$A$，证明了$A$关于$μ$的李雅普诺夫指数可以用$A$关于$f$的双曲周期轨道上的测度的李雅普诺夫指数来近似.在无限维的设置可以定义的上和下李雅普诺夫指数的$A$相对于$μ$，但他们不能总是近似的指数$A$的周期轨道。我们证明了它们可以用$A$在$f$的双曲周期轨道上的返回值的范数来近似。
Uniform hyperbolic approximations of measures with non zero Lyapunov exponents
我们证明了对于紧致黎曼流形的任何C^1+ α-同态，每个具有非零李雅普诺夫指数的非原子、遍历、不变概率测度都可用一致双曲集逼近，即存在一个紧致、拓扑传递、局部极大、一致双曲集序列Omega_n，使得对于任何f不变遍历概率测度序列mu_n，supp（mu_n）在Ω_n中，我们在弱-* 拓扑中有mu_n -> mu。
Some non-hyperbolic systems with strictly non-zero Lyapunov exponents for all invariant measures: Horseshoes with internal tangencies
研究了一类具有内相切的马蹄形的双曲性，即一个由周期点构成的同宿相切点。特别是这些系统严格不一致双曲。然而，我们表明，所有的不变测度的所有李雅普诺夫指数一致有界远离0。这是已知的第一个此类例子。
Discontinuity example for the Lyapunov exponents on the boundary of the uniformly hyperbolic set
研究通过构造一个局部常数的协同映射，展示Lyapunov指数在C^0拓扑更细的拓扑下出现不连续点，且该映射位于一致超双曲集边界，通过C_{δ- log}拓扑逼近证明Lyapunov指数可消失。
Horseshoes and Lyapunov exponents for Banach cocycles over nonuniformly hyperbolic systems
设$f$是紧致黎曼流形$M$的一个$C^r$ $(r>1)$同构，它保持正熵的遍历双曲测度$μ$，$\mathcal{A}$是作用在Banach空间$X$上的内射有界线性算子的Hölder连续上圈.证明了$f$存在一个马蹄序列，$\mathcal{A}$存在一个马蹄序列上的支配分裂，使得$f$的测度熵和$\mathcal{A}$关于$μ$的李雅普诺夫指数可以分别用$f$的拓扑熵和$\mathcal{A}$在马蹄序列上的李雅普诺夫指数来近似.
Simple Lyapunov spectrum for certain linear cocycles over partially hyperbolic maps
Furstenberg、Guivarc 'h-Raugi、Gol'dsheid-Margulis以及最近的Bonatti-Viana和Avila-Viana发现了线性上环的李雅普诺夫谱的简单性准则。在所有的情况下，作者考虑双曲系统上的上循环，如移位映射或公理A的同态。在本文中，我们建议扩展这样的标准的情况下，底图只是部分双曲。这提出了几个新的问题，其中包括，再现的holonomy地图和（缺乏）连续性的罗克林衰变的$u$ -国家。我们的主要结果表明，某些部分双曲斜积的迭代有界衍生物沿中心叶。他们让我们，特别是，表现出非平凡的例子，稳定的简单性，在部分双曲设置。
A link between Topological Entropy and Lyapunov Exponents
我们证明了一般的非部分双曲辛同态$C^1-$ $f$的拓扑熵等于其双曲周期点的正李雅普诺夫指数之和的上确界.此外，我们还证明了$f$的拓扑熵近似于$f$的拓扑熵限制在基本双曲集上.特别地，拓扑熵映射在远离部分双曲性的辛同态的$C^1-$脱殊集中是下连续的。
Lyapunov exponents and regularity of invariant foliations for partially hyperbolic diffeomophisms on $\mathbb T^3$
本文简要回顾了三维流形上部分双曲型不变叶理的度量行为的一些最新结果，并提出了一个猜想来刻画$\mathbb T^3$上Anosov（DA）的保守部分双曲同伦的原子行为.另一方面，我们证明了，如果一个不变的叶理（稳定，中心或不稳定）的保守DA $\mathbb T^3$上是$C^1$和横向绝对连续的有界雅可比矩阵的李雅普诺夫指数在这个方向上的定义无处不在和常数。如果中心叶理是这个叶状体，那么DA叶理形态平滑地与线性Anosov共轭，特别是Anosov。主定理的另一个推论是它不存在一个保守的Mañé例子。
Isolated sets, catenary Lyapunov functions and expansive systems
这是一份关于模型的孤立集和建设的特殊双曲李雅普诺夫函数。我们证明，经过适当的手术后，每一个孤立的集合是吸引子和排斥子的交集。我们给出了吸引子和排斥子的线性模型。有了这些工具，我们构建双曲型李雅普诺夫函数和度量的孤立集，其值沿轨道的悬链线曲线。应用扩展流和同胚，获得，除其他事项外，一个双曲度量局部截面的任意扩张流的紧凑度量空间。
Lyapunov exponents for uniformly hyperbolic random matrix products
本文研究了由马尔可夫移位驱动的随机矩阵乘积的最大学李雅普诺夫指数，证明了在项目性均匀超双曲条件下，该指数可表示为无限矩阵的显式表达式，并提出高效的多项式时间近似算法。
On the dominated splitting of Lyapunov stable aperiodic classes
最近与J. Yang，S.克罗格耶，M. Sambarino和D. Yang证明了任何远离同宿分支（或同宿切线）的$C^1$ -一般单同态的非周期类都是部分双曲的。我们在本文中，一般来说，一个非平凡的主导分裂意味着部分双曲的非周期类，如果它是李雅普诺夫稳定的。更精确地说，对于$C^1$ -泛同同态，如果一个李雅普诺夫稳定的非周期类有一个非平凡的支配分裂$E\oplus F$，那么两个丛之一是双曲的（要么$E$是收缩的，要么$F$是扩张的）。
Equilibrium states for partially hyperbolic diffeomorphisms with hyperbolic linear part
研究了一类与Anosov同伦的部分双曲动力系统的遍历平衡态的存在唯一性问题。我们建议研究平衡态沿中心叶理的分解，作为发展部分双曲动力系统平衡态理论的工具。
Dichotomies between uniform hyperbolicity and zero Lyapunov exponents for SL(2,R) cocycles
考虑由保测度动力系统$T:X \to X$和映射$A:X \to \mathit{SL}(2,\mathbb{R})$诱导的线性上循环$(T,A)$.当映射$A$保持固定时，我们讨论了$(T,A)$的上李雅普诺夫指数对动态$T$的依赖性.我们引入明确的条件上的上循环，允许扰动的动态，在弱和一致的拓扑结构，使指数下降任意接近零。在弱拓扑中，如果$X$是紧致连通流形，则对于$C^r$（$r \ge 1$）开稠密映射集$A$，要么对每个$T$，$(T,A)$是一致双曲的，要么对一般可测$T$，$(T,A)$的李雅普诺夫指数为零.对于连续的情形，我们得到：如果$X$的维数大于2，则对于$C^r$（$r \ge 1$）类属映射$A$，存在一个保体积同胚$T$的剩余集，对于该剩余集，要么$(T,A)$是一致双曲的，要么$(T,A)$的李雅普诺夫指数为零.
Dynamical coherence in isotopy classes of fibered lifted partially hyperbolic diffeomorphisms
本文提出了“纤维化提升部分双曲微分同胚”的概念，证明了其同痕类内的部分双曲微分同胚具有动力学连贯性，并得出了同一连通分支内系统叶共轭的全局稳定性结果。
$C^r$-density of (non-uniform) hyperbolicity in partially hyperbolic symplectic diffeomorphisms
利用Avila和Viana的不变原理，证明了具有2维中心丛的部分双曲辛同态，满足一定的拼挤和聚束条件，可以用非一致双曲辛同态$C^r$ -逼近.
New partially hyperbolic dynamical systems I
本文提出了一种构造闭流形上部分双曲同态的新方法。作为该方法的一个证明，我们证明了存在单连通的闭流形，支持部分双曲型同态。
On the ergodicity of partially hyperbolic systems
Pugh和Shub已经证明，对于$C^2$，部分双曲的，保体积的单同态，本质可达性意味着遍历性。我们在一个温和的中心聚束假设下证明了这个猜想，这个假设被所有具有1维中心丛的部分双曲系统所满足。我们还得到了$C^{1+γ}$部分双曲型方程组的遍历性结果。
Saturation of Generalized Partially Hyperbolic Attractors
证明了$C^2$映射的广义部分双曲吸引子的饱和性。因此，我们证明了任何广义部分双曲马蹄形吸引子的$C^1$ -一般的双同态有零体积。通过对几何模型的Poincaré截面的修改，我们建立了一个具有正体积的部分双曲马蹄形吸引子的$C^1$ -双同态.
Ergodicity Of Partially Hyperbolic Endomorphisms
本文证明了在保体积、部分双曲、中心丛状且具有常Jacobian的条件下，自同态的本质可达性可推出其遍历性。
Topological structure of (partially) hyperbolic sets with positive volume
我们考虑了黎曼流形中吸引正体积点集的双曲集和部分双曲集。对于可微性大于1的复同态，我们得到了关于这类集合的拓扑结构的几个结果。我们特别表明，有没有部分双曲马蹄正体积这样的双同态。我们还给出了属于具有正体积的双曲集或部分双曲集的几乎所有点的极限集的刻划。
Expansive partially hyperbolic diffeomorphisms with one-dimensional center
本研究针对具有一维中心的扩张部分双曲微分同胚，给出了其成为拓扑Anosov的充分条件，推进了动力系统领域相关理论研究。
On the nonexistence of fat partially hyperbolic horseshoes
证明了对于可微性类大于1的双同态，不存在具有正勒贝格测度的部分双曲马蹄形。这推广了Bowen关于一致双曲马蹄形的一个经典结果。
Dynamical coherence of partially hyperbolic diffeomorphisms of tori isotopic to Anosov
我们证明了部分双曲型超同构的$d$维环面同位素的Anosov超同构，其中的合痕包含在一组部分双曲型超同构，是动态相干的。此外，我们还证明了一个\textit{global stability result}，即每个上述的部分双曲双同态是线性双曲双同态的\textit{leaf-conjugate}。作为结果，我们得到的内在遍历性和测量等价的部分双曲型同构与一维中心方向是同位素Anosov同构通过这样的路径。
Classification of partially hyperbolic surface endomorphisms
我们表明，在没有周期性的中心annuli，部分双曲曲面自同态是动态连贯和叶共轭的线性化。我们继续讨论存在周期性中心环的动力学。这完成了部分双曲曲面自同态的分类。
Partially hyperbolic geodesic flows
我们构造一类的例子部分双曲测地流这不是Anosov，变形度量的紧凑的局部对称空间的非常数负曲率。例如，乘积度量和秩大于1的非正曲率的局部对称空间的候选者不是部分双曲的。证明了如果非正曲率度量有部分双曲测地流，则它的秩为1。本文还分析了其他影响测地流部分双曲性的因素。
A chain transitive accessible partially hyperbolic diffeomorphism
本文在$\mathbb{T}^3$上构造了一个部分双曲斜积同构$f$，使得$f$是可达的，是链传递的，但不是传递的.
$C^r$-Closing lemma for partially hyperbolic diffeomorphisms with 1D-center bundle
对每一个$r\in\mathbb{N}_{\geq2}\cup\{\infty\}$，证明了一维中心丛的一般保守部分双曲同态的$C^r$ -闭引理.特别地，它意味着周期点是稠密的$C^r$ -一般保守部分双曲同态与一维中心丛。
Partially hyperbolic surface endomorphisms
我们证明了$\mathbb{T}^2$上的一类弱部分双曲自同态是动态相干的，并且与线性环面自同态叶共轭.此外，我们给出了一个例子的部分双曲自同态$\mathbb{T}^2$不承认中心叶状。
Physical measures for partially hyperbolic diffeomorphisms with mixed hyperbolicity
本文针对中心方向满足 u-定性质的混合双曲部分双曲微分同胚，证明其仅有有限多个物理测度，且这些测度的吸引盆在环境空间中覆盖满 Lebesgue 测度子集。
Robust transitivity and density of periodic points of partially hyperbolic diffeomorphisms
在可达性和切丛中的一个性质的条件下，证明了部分双曲型同态的鲁棒传递性和周期点的稠密性.
Quantitative statistical properties of two-dimensional partially hyperbolic systems
我们研究一类二维部分双曲系统，不一定是斜积，试图建立一个一般理论的萌芽。为了说明理论的范围，我们将我们的结果的情况下，快慢部分双曲系统。
Chain-transitivity of partially hyperbolic diffeomorphisms on $\mathbb{T}^3$ isotopic to Anosov
证明了若$f$是3-torus $\mathbb{T}^3$上的部分双曲同态且与Anosov同构，则$f$是链传递的.
Minimality of one invariant lamination for partially hyperbolic attractors
证明了具有一维中心丛的强部分双曲吸引子的两个不变层中至少有一个是极小的。这一结果推广了[7]中关于鲁棒传递非同态的极小叶理的结果。
On the ergodic properties of time changes of partially hyperbolic homogeneous flows
对于任何可访问的部分双曲均匀流，我们表明，所有光滑的时变是K，因此混合的所有订单。我们还建立了稳定的遍历这些时变的时间一地图。
Notes on $s$ and $u$-states for cocycles over partially hyperbolic maps
本文证明了部分双曲映射上的余圈的$s$或$u$ -态在不变测度空间中是闭的.
On m-minimal partially hyperbolic diffeomorphisms
本文讨论了部分双曲同态的强稳定流形和非稳定流形的稠密性。在这个意义上，我们引入了m-极小的概念。更确切地说，我们称一个部分双曲同态是m-极小的，如果M中的m-几乎每一点都有其强稳定流形和非稳定流形在M中稠密。我们表明，这个属性具有动力学后果：拓扑和遍历。此外，我们证明了丰富的m-极小部分双曲同态保体积和辛的情况下。
Partially hyperbolic symplectomorphism with C^1 bundles
本文证明了四维部分双曲辛同胚在稳定丛和不稳定丛为C^1时的动力学相干性。
Nonuniform Center Bunching and the Genericity of Ergodicity among $C^1$ Partially Hyperbolic Symplectomorphisms
本文引入了部分双曲双同态的非均匀中心聚束的概念，推广了Burns-Wilkinson和Avila-Santamaria-Viana的结果。结合这一新技术与其他结构，我们证明了$C^1$ -一般部分双曲辛同胚遍历。我们还构造了新的例子稳定遍历部分双曲型同态。
Homoclinic points of symplectic partially hyperbolic systems with 2D centre
本文研究一类通有辛部分双曲微分同胚，证明其中每个双曲周期点都具有横截同宿点。
Unique equilibrium states for some partially hyperbolic diffeomorphisms with dominated splittings
本文研究带支配分裂的部分双曲微分同胚，在 Hölder 连续势函数振荡较小时证明平衡态的唯一性与鲁棒性。
A few remarks on partially hyperbolic diffeomorphisms of $\mathbb{T}^3$ isotopic to Anosov
证明了与Anosov同构的$\mathbb{T}^3$的强部分双曲同态有唯一的拟吸引子.此外，我们还研究了限制在这个拟吸引子上的自同构的熵。
Hyperbolicity and Ergodicity in Randomly Perturbed Billiard Systems
本文探究小随机扰动下随机台球系统的李雅普诺夫指数与双曲性，发现非圆形椭圆、柠檬台球经扰动后兼具遍历性与双曲性，圆形台球则仅遍历且保持零李雅普诺夫指数，相关结果为受噪动力学系统研究提供新视角。
Porcupine-like horseshoes: Transitivity, Lyapunov spectrum, and phase transitions
本文研究了马蹄映射上的部分双曲拓扑传递局部反同态$F$，它是一个斜积。这个系统是从一个同宿类导出的，包含无穷多个不同指数的双曲周期点，因此不是双曲的。伴随传递不变集$Λ$具有非常丰富的纤维结构，它包含无数个平凡纤维和无数个非平凡纤维。此外，$F|_Λ$的中心李雅普诺夫指数的频谱包含一个间隙，因此引起一级相变。证明的一个主要部分依赖于分析一个相关的迭代函数系统，这是真正的非收缩。
Positive Lyapunov exponents for Hamiltonian linear differential systems
本文对Viana提出的关于Hamilton线性微分系统正李雅普诺夫指数存在性的一些问题给出了肯定的回答。证明了在具有有界顶函数的悬浮流上存在一个Hamilton线性微分系统的开稠密集，该系统至少具有一个正的李雅普诺夫指数.因此，在一致双曲流上的典型上循环是混沌的。最后，我们得到了类似的结果，上循环流保持遍历，双曲测度与当地的产品结构。
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