Sumsets and the convex hull
本文推广了Freiman不等式关于$d$维集的和集的基数的性质。我们考虑不同的集合相关的一个包含其凸包，其中之一可能增加了几次。
2008-10-08 math.CO
Upper Bounds on the Cardinality of Higher Sumsets
设A和B是交换群中的有限集合。所束缚|A+hB|就|A|而言，|A+B|和h.我们提供了一个次乘法的上界，通过插入一个随h减小的因子来改进Imre Ruzsa的现有界。
2012-12-29 math.CO math.NT
On the cardinality of sumsets in torsion-free groups
设$A, B$是无挠的群$G$的有限子集。证明了对每一个正整数$k$都存在一个$c(k)$，使得如果$|B|\ge c(k)$，则不等式$|AB|\ge |A|+|B|+k$成立，除非$A$的左平移包含在循环子群中.我们得到了任意无挠的群的$c(k)<c_0k^{6}$，和具有唯一乘积性质的群的$c(k)<c_0k^{3}$，其中$c_0$是一个绝对常数.我们举例说明$c(k)$在$k$中至少是二次的.
2010-09-30 math.CO math.GR
Sets with few differences in abelian groups
设$(G, +)$是一个阿贝尔群.在2004年，Eliahou和Kervaire发现了和集$A+A$的最小可能基数的显式公式，其中$A \subseteq G$具有固定的基数$r$。相反，我们考虑差集$A-A$的最小可能基数，它总是大于或等于$A+A$的最小可能基数，并且可以严格大于。我们猜想这个量的一个公式，并证明了猜想的情况下，$G$是一个循环群或有限域上的向量空间。这解决了Bajnok和Matzke关于符号和集的一个猜想。
2017-03-29 math.CO
Squares in sumsets
一个整数的有限集$A$是无平方和的，如果没有子集的$A$和为平方。1986年，Erd \H os提出了确定$\{1, ..., n \}$的无平方和子集的最大基数的问题。讨论了这个问题，我们证明了这个最大基数是$n^{1/3+o(1)}$阶的。
2009-10-29 math.CO math.NT
Small asymmetric sumsets in elementary abelian 2-groups
设A和B是初等交换2-群G的子集，它们都不包含在真子群的陪集中.将Hennecart和Plagne的结果推广到可能不同的和项上，我们证明了，如果|A+B| < |A| + |B|，则A+B=G，或者G中A+B的补数包含在指数至少为8的子群的陪集中，由此|A+B|至少为7/8 |G|。我们表明条件的遏制是严格的，并建立一个完善的情况下，A和B的大小有显着不同。
2011-11-10 math.CO
On the cardinality of general $h$-fold sumsets
令$A=\{a_0,a_1,\ldots,a_{k-1}\}$是$k$整数的集合。对于任意整数$h\ge 1$和任意正整数有序$k$ -元组$\mathbf{r}=(r_0,r_1,\ldots,r_{k-1})$，我们定义了一个一般的$h$ -折叠和集，记为$h^{(\mathbf{r})}A$，它是$A$的$h$元素的所有和的集合，其中出现在和中的$a_i$对于$i=0,1,\ldots,k-1$最多可以重复$r_i$次.本文利用$\mathbf{r}$和$h$给出了$|h^{(\mathbf{r})}A|$的最佳下界，并确定了当$|h^{(\mathbf{r})}A|$最小时集合$A$的结构.这推广了Nathanson的结果，以及Mistri和Pandey最近的结果，并解决了Mistri和Pandey的一个问题.
2014-06-28 math.CO math.NT
Improving cardinality estimation of sums of sets with convexity
本文利用谱方法改进了具有负离散三阶导数的凸集集合和的基数估计。
2025-08-06 math.CO
The additive structure of the squares inside rings
当定义集合上的加法结构的数量时，考虑某些和集通常是方便的;计算这些和集的基数可以阐明集合的底层结构。我们开始调查有限集的完满平方和相关的和集。我们揭示了等差数列如何有效地减少和集的基数，并提供估计的最小尺寸，利用添加剂的结构，等差数列提供。然后，我们将问题推广到任意环，并取得满意的估计的情况下，在有限域的素数阶广场。最后，对于足够小的有限域，我们计算所有素数阶的最小值。
2016-11-04 math.CO math.NT
A superadditivity and submultiplicativity property for cardinalities of sumsets
对于有限整数集$A_1, A_2 ... A_n$，我们研究了$n$ -折叠和集$A_1+... +A_n$与$n-1$ -折叠和集$A_1+... +A_{i-1}+A_{i+1}+... A_n$的基数.我们证明了这些量的超可加性和次乘法性质。我们还研究的情况下，除了元素被限制到一个附加图之间的集合。
2007-07-18 math.AC math.CO
Consecutive integers in high-multiplicity sumsets
锐化（一个特殊的情况下）的结果Szemeredi和Vu和扩展早期的结果萨科齐和我们自己，我们发现，受到一些技术限制，一个尖锐的阈值整数集的数量需要其和集包含一个块的连续整数的长度，可比的长度设置和。我们主要结果的一个推论如下。令$k,l\ge 1$和$n\ge 3$是整数，并假设$A_1,...,A_k\subset[0,l]$是大小至少为$n$的整数集合，其中没有一个包含在差大于1的等差数列中。如果为$k\ge 2\lceil(l-1)/(n-2)\rceil$，则和集$A_1+...+A_k$包含长度为$k(n-1)$的连续整数块。
2008-06-27 math.CO math.NT
A strengthening of Freiman's 3k-4 theorem
Freiman的3 k-4定理指出，如果A和B是大小为k的整数的子集，并且具有小的和集（大小接近2k），那么它们非常接近于等差数列。在本文中，我们的目标是加强这一点，只允许一个有限数量的可能的被加数从一个集合。我们表明，如果A和B是大小为k的整数的子集，使得对于B的任何四元子集X，和集A+X的大小不超过2k，那么这已经意味着A和B非常接近等差数列。
2022-04-21 math.CO
Khovanskii's theorem and effective results on sumset structure
一个显着的定理，由于Khovanskii断言，任何有限子集$A$的阿贝尔群，基数的$h$倍和集$hA$增长像一个多项式的所有足够大的$h$。目前，既不了解多项式，也不了解什么是足够大的手段。在本文中，我们得到了一个有效的版本的Khovanskii定理的任何$A \subset \mathbb{Z}^d$的凸包是一个单纯形，以前，这样的结果只适用于$d=1$。我们的方法提供的信息不仅是基数的$hA$，而且它的结构，我们证明了两个有效的定理描述$hA$作为一个集：一个回答最近提出的问题由格兰维尔和沙坎，其他Brion型公式，提供了一个紧凑的描述$hA$的所有大$h$。作为我们的方法的进一步说明，我们推导出一个完全明确的公式$|hA|$时，$A \subset \mathbb{Z}^d$组成的$d+2$点。
2021-12-22 math.CO math.NT
A result on the size of iterated sumsets in $\mathbb{Z}^d$
本文给出了当$A\subset \mathbb{Z}^d$有$d+2$元素时，确定$h$ -折叠和集$hA$的基数的另一种方法.这使我们能够用更短更简单的证明提供更一般的结果。当$A\subset \mathbb{Z}^d$是一组具有单纯壳的$d+3$元素时，我们还得到了$|hA|$值的上界.
2022-11-09 math.CO math.NT
Sumsets of sequences in abelian groups and flags in field extensions
对于具有子集$A$和$B$的有限阿贝尔群$G$，和集$AB$是$\{ab \mid a\in A, b \in B\}$。加法组合学中的一个基本问题是根据$A$和$B$的基数找到$AB$的基数的下界。这篇文章解决了阿贝尔群中的序列和域扩张中的标志的类似问题。对于正整数$n$，令$[n]$表示集合$\{0,\dots,n-1\}$。对于基数为$n$的有限阿贝尔群$G$和序$G = \{1=v_0,\dots,v_{n-1}\}$，关联由\[ T(i,j) = \min\big\{k \in [n] \mid \{v_0,\dots,v_i\}\{v_0,\dots,v_j\} \subseteq \{v_0,\dots,v_k\}\big\}. \]定义的函数$T \colon [n] \times [n] \rightarrow [n]$在自然偏序下，当$\{1=v_0,\dots,v_{n-1}\}$在基数为$n$的有限阿贝尔群的序上时，什么函数$T$是最小的？我们也对度$n$域扩张提出类似的问题。当$n < 18$，$n$是素数幂，或$n$是$2$不同素数的乘积时，我们明确地对所有极小$T$进行分类.当$n$不为上述分类时，我们显式地构造了其相关函数$T$不包含在上述分类中的阿贝尔群的序。我们还关联到一个多面体编码$T$的数据排序。
2022-07-21 math.CO math.NT
On sumsets and convex hull
Freimann的一个经典结果给出了当A是欧氏d-空间中的d-维有限集时A+A的基数的最优下界. Matolcsi和Ruzsa最近将这个下界推广到|A+kB|如果B是d维的，且A包含在B的凸包中。我们刻画了Matolcsi-Ruzsa界的相等情形。该论点部分基于对多面体三角剖分的理解。
2013-07-24 math.CO math.NT
Polynomial growth of sumsets in abelian semigroups
设S是交换半群，A是S的有限子集.和集hA由A的h个元素的所有和组成，允许重复。令|hA|表示hA的基数。利用初等格点变元证明了任意阿贝尔半群具有多项式增长性，即存在多项式p（t）使得对所有充分大的h，|hA| = p（h）.格点计数也被用来证明形式为h_1A_1 + >... + h_r A_r具有多元多项式增长。
2002-04-03 math.CO math.NT
Restricted Sumsets in Finite Nilpotent Groups
设$A,B$是有限幂零群$G$的两个非空子集.如果$A\not=B$，则限制和集$$A\dotplus B={a+b: a\in A, b\in B, a\neq b} $$的基数至少为$$\min{p(G),|A|+|B|-2},$$，其中$p(G)$表示$|G|$的最小素因子。
2012-08-21 math.CO math.GR math.NT
On restricted sumsets over a field
我们考虑域$F$上的限制和集.设\begin{align*}C=\{a_1+\cdots+a_n:a_1\in A_1,\ldots,a_n\in A_n, a_i-a_j\notin S_{ij}\ \text{if}\ i\not=j\},\end{align*}，其中$S_{ij}(1\leqslant i\not=j\leqslant n)$是$F$的具有基数$m$的有限子集，$A_1,\ldots, A_n$是$F$的具有基数$|A_1|=\cdots=|A_n|=k$的有限非空子集.设$p(F)$是$F$的恒等式的加法阶。证明了$|C|\geqslant \min\{p(F),\ \ n(k-1)-mn(n-1)+1\}$若为$p(F)>mn$ .这一结论改进了侯和孙的结果。
2014-02-14 math.CO math.NT
An additive theorem and restricted sumsets
设G是任意具有循环扭子群的可加阿贝尔群，A，B，C是G的基数n>0的有限子集.我们证明了存在A的元素的编号{a_i}_{i=1}^n，B的元素的编号{b_i}_{i=1}^n和C的元素的编号{c_i}_{i=1}^n，使得所有和a_i+b_i+c_i（i=1，. n）是不同的。因此，由Z/NZ的凯莱加法表形成的拉丁立方体的每个子立方体包含拉丁断面。这个加法定理可以通过域中的限制和集得到进一步的推广。
2008-12-04 math.CO math.NT
The restricted sumsets in finite abelian groups
该研究针对有限阿贝尔群的非空子集，给出了由不同元素构成的k元限制和集的基数下界，为相关数论与组合问题提供了定量结果。
2024-03-06 math.CO math.NT
Exact diameter compression for four-point sumset cardinalities
University of Toronto Scarborough（多伦多大学士嘉堡校区）
该论文研究四元素整数集合的$h$重和集基数所需的最小区间直径，统一证明$h\ge17$时的精确公式，并通过有限搜索和构造给出完整刻画。
2026-10-05 math.CO math.NT
Sidon sets with $Δ$-separated sumsets in additive number theory
Lehman College (CUNY)（莱曼学院（市立大学系统））
该研究针对整数区间内最大Δ-分离西顿集的基数，推导了其上下界，属于加法数论中西顿集相关的理论研究。
2026-09-01 math.CO math.NT
Sumset and inverse sumset theorems for Shannon entropy
设$G = (G,+)$为加法群。Plünnecke和Ruzsa的和集理论给出了有限集$A, B$的和集$A+B$的大小与相关对象（如迭代和集$kA$和差集$A-B$）之间的几个关系，而Freiman、Ruzsa和其他人的逆和集理论则刻画了那些$A+A$很小的有限集$A$。本文建立了类似的结果，其中有限集$A \subset G$被替换为离散随机变量$X$，取值于$G$，基数$|A|$被替换为Shannon熵$\mathrm{Ent}(X)$。特别是，我们分类的随机变量$X$有小的加倍的意义上说，$\mathrm{Ent}(X_1+X_2) = \mathrm{Ent}(X)+O(1)$当$X_1,X_2$是独立的$X$的副本，通过显示，它们分解为$X = U+Z$，其中$U$是均匀分布在陪集级数的有界秩，和$\mathrm{Ent}(Z) = O(1)$。当$G$无挠时，我们还建立了急剧的下界$\mathrm{Ent}(X+X) \geq \mathrm{Ent}(X) + {1/2} \log 2 - o(1)$，其中$o(1)$以$\mathrm{Ent}(X) \to \infty$的形式趋于零。
2020-04-06 math.CO math.PR
Multiplicative Subgroups of Prime Fields Are Not Sumsets
University of Bristol（布里斯托大学）
研究素域乘法子群能否写成和集形式的问题，基于汉森 - 佩特里迪斯多项式方法及卡尔米宁的成果，通过统一论证得出结论：要么加项之一为单元素集，要么\(|A| = |B| = 2\)且\(|H| = 4\)，真乘法子群不能写成\(|A|,|B|>2\)的\(A + B\)形式。
2026-08-13 math.CO math.NT
On Snevily's conjecture and restricted sumsets
设G是有限子群全循环的可加阿贝尔群.令A_1，.，A_n（n>1）是G的基数k>0的有限子集，设b_1，…，b_n是G的奇阶两两相异元。我们证明了对每一个正整数m \leq（k-1）/（n-1），有多于（k-1）n-（m+1）n（n-1）/2个集合{a_1，.，a_n}，使得a_1 \in A_1，.，a_n \in A_n，以及对于所有1个\leq i<j \leq n，a_i \not =a_j和ma_i+b_i \not = ma_j+b_j两者（或者ma_i \not =ma_j和a_i+b_i \not =a_j+b_j两者）。这扩展了Dasgupta，Károlyi，Serra和Szegedy关于Snevily猜想的最近结果。本文得到了关于多项式限制和集的更强的结果。
2006-10-29 math.CO math.NT
Infinite prime sumsets in structured and $U^k(Φ)$-uniform sets
该论文通过新的遍历理论技术，确定了$U^k(\Phi)$-一致集合和Nil-Bohr集合中的无限集和配置，解决了相关猜想，并证明了平移素数构成的无限集和及其在多项式下的模1分布性质。
2026-09-18 math.CO math.DS math.NT
An improved bound for sumsets of thick compact sets via the Shapley--Folkman theorem
Harvard Business School（哈佛商学院）；Department of Economics and Center of Mathematical Sciences and Applications, Harvard University（哈佛大学经济系与数学科学及应用中心）；a16z crypto（a16z加密）
本文改进了厚紧集和集的界，通过Shapley-Folkman定理的凸化步骤，将指数从c^{-1}的3次方改进到2次方，并引入了显式的√d因子。
2026-04-06 math.CA math.CO math.MG
Iterated sumsets and Hilbert functions
设A是阿贝尔群（G，+）的有限子集.设h $\ge$ 2为整数。如果|A| $\ge$ 2和h重迭代和集hA = A + $\times$ $\times$ $\times$ + A的基数|hA|已知，那么关于|（h -- 1）A|和|（h + 1）A|?已知的是|（h -- 1）A| $\ge$ |hA|（h--1）/h，Pl{ü} nnnecke不等式的一个结果。在这里，我们用一种新的方法改进了这个界限。也就是说，我们用标准分次代数的Hilbert函数对序列|hA| h $\ge$ 0进行建模。然后，我们应用麦考利1927年关于希尔伯特函数增长的定理，更具体地说，是它的一个最近的浓缩版本。|（h -- 1）A| $\ge$ $θ$（x，h）|hA|（h--1）/h对于某个因子$θ$（x，h）> 1，其中x是与|hA|紧密相连的实数。此外，我们表明，$θ$（x，h）渐近地趋向于e $\approx$ 2.718作为|A|的增长和h位于一个适当的范围内变化与|A|。
2020-09-07 math.AC math.CO math.NT
Entropy and set cardinality inequalities for partition-determined functions
引入了划分决定函数的新概念，并给出了独立随机变量的划分决定函数的熵以及由划分决定函数得到的复合集的基数的几个基本不等式。这里的复合集合是指通过在与该参数相关联的集合上改变多个变量的函数的每个参数而获得的集合，其中所有集合都是适当代数结构的子集，使得函数被很好地定义。一方面，为划分确定函数发展的熵不等式意味着Plünnecke-Ruzsa型一般不等式的熵类似物。另一方面，复合集的基数不等式隐含了几个和集的不等式，包括Gyarmati，Matolcsi和Ruzsa（2010）证明的不等式的推广。我们还提供了部分进展的猜想Ruzsa（2007）的和集在nonabel群。所有的证明都是基本的，并且依赖于适当地发展某些信息论不等式。
2011-08-10 cs.IT math.CO math.IT
Brunn-Minkowski type estimates for certain discrete sumsets
本文研究线性像离散和集的基数下界，在非相称条件下证明 Brunn–Minkowski 型估计，加强偶数情形结果并解决 Bukh 猜想的若干情况，同时给出 Freiman 引理的 $k$ 重推广。
2024-09-09 math.CO
Sumset and Inverse Sumset Inequalities for Differential Entropy and Mutual Information
Freiman、Plünnecke和Ruzsa的和集和逆和集理论给出了两个离散集合$A,B$的和集$A+B=\{a+b\;;\;a\in A,\,b\in B\}$的基数与原始集合$A,B$的基数（或更精细的结构）之间的界限。例如，Ruzsa的和差界表明，$|A+B|\,|A|\,|B|\leq|A-B|^3$，其中差集$A-B= \{a-b\;;\;a\in A,\,b\in B\}$。将连续随机变量$X$的微分熵$h(X)$解释为$X$的有效支撑的大小（的对数），本文的主要贡献是这些结果的一系列自然信息论类似物。例如，对于任意一对独立的连续随机变量$X$和$Y$，Ruzsa和差界就变成了新的不等式$h(X+Y)+h(X)+h(Y)\leq 3h(X-Y)$。我们的结果包括微分熵版本的Ruzsa的三角形不等式，Plünnecke-Ruzsa不等式，和Balog-Szemerédi-Gowers引理。同时，我们给出了Freiman-Green-Ruzsa逆和集定理的微分熵形式，它可以看作是熵幂不等式的定量逆.这些结果的大多数版本的离散熵$H(X)$最近证明了陶，严重依赖于一个强大的，功能形式的子模块属性的$H(X)$。由于微分熵是{ \em not}函数次模的，在连续的情况下，许多相应的离散证明失败，在许多情况下，需要大量新的证明策略。我们发现，自然取代离散功能子模块的基本属性，是…
2012-06-03 cs.IT math.CO math.IT
When Do Restricted Sumsets Cover a Finite Abelian Group?
School of Mathematics, Southwest Jiaotong University（西南交通大学数学学院）；School of Mathematical Sciences, University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学数学科学学院）
该研究针对有限阿贝尔群的受限和集覆盖问题，证明奇阶群的尖锐大阶阈值，解决相关极限阈值问题，还将结果应用于MDS椭圆码，改进半尺度猜想并得到精确尺度界。
2026-10-14 math.CO
Sidon set systems
如果和集$A+B$，$A,B\in \mathcal{A}$是两两相异的，则$k$的族${\mathcal A}$-$\{1,2,\dots, N\}$的子集是Sidon系统.证明了$k$ -$[N]$子集的Sidon系统的最大基数$F_k(N)$满足$F_k(N)\le {N-1\choose k-1}+N-k$和渐近下界$F_k(N)=Ω_k(N^{k-1})$ .对于$k\le 3$，得到了$F_k(N)$的更精确的界.我们还得到了随机系统对$k\ge 2$为Sidon的阈值概率。
2020-06-17 math.CO
Iterated-sumset spectra: The complete exponent law and its rank geometry
本文解决了固定基数迭代和集谱的指数律问题，确定了完整规律，证明k=4时|ℛ(h,4)|=Θ(h^3)，还解决了Nathanson的相关问题，揭示了其秩几何性质。
2026-09-03 math.CO math.NT
Sharp Lower Bounds for Sumsets in Hypercubes
IMPA - Instituto de Matemática Pura e Aplicada（巴西纯粹与应用数学研究所）；Institut des Hautes Études Scientifiques, CNRS, Laboratoire Alexander Grothendieck（高等科学研究所，法国国家科学研究中心，亚历山大·格罗滕迪克实验室）
通过混合体积表示和单变量函数不等式，证明了超立方体中子集和基数的最优下界，解决了Becker等人提出的猜想。
2026-07-03 math.CA math.CO math.MG
Additive Bases from Primitive Dyck Words: Regular Underapproximations, Motzkin Coding, and Digit Lifting
Growup Learning Academy（Growup学习学院）
研究由规范二进制展开为原始戴克单词的整数构成的加法表示，通过配对连续位揭示关系，证明区间数字提升定理和算法，结合工具对正偶数分类，得出848是最终阈值且界限渐近最优。
2026-07-28 cs.FL math.CO math.NT
On the ubiquity of Sidon sets
一个西顿集是一个整数集合A，使得没有一个整数有两个本质上不同的表示作为A的两个元素之和。更一般地，对于每个正整数g，B_2[g]-集是整数的集合A，使得没有整数具有多于g个本质上不同的表示作为A的两个元素之和。证明了{1，2，…，n}是B_2[g]-集，在这个意义上，如果B_2 [g]（k，n）表示包含在区间{1，2，.，n}，则如果k = 0（n^{g/（2g+2）}），则lim_{n\to\infty} B_2[g]（k，n）/ \binom{n}{k} = 1。
2003-04-30 math.CO math.NT
Additive relations in irrational powers
University of Warwick（华威大学）
本文研究了无理数幂次集合的加法性质，证明了在特定条件下该集合的和集渐近达到上界，并给出了有效计算此类幂次参数的方法。
2026-08-03 math.CO math.NT
Improved Bounds on Sidon Sets via Lattice Packings of Simplices
阿贝尔群$ G $中的$ B_h $集（或$ h $阶的Sidon集）是$ G $的任何子集$ \{b_0, b_1, \ldots,b_{n}\} $，具有所有和$ b_{i_1} + \cdots + b_{i_h} $直到被加数的阶都不同的性质。令$ ϕ(h,n) $表示包含基数为$ n + 1 $的$ B_h $集的最小阿贝尔群的阶。证明了\[ \lim_{h \to \infty} \frac{ ϕ(h,n) }{ h^n } = \frac{1}{n! δ_L(\triangle^n)} , \]，其中$ δ_L(\triangle^n) $是欧氏空间中$ n $ -单形的格填充密度.这确定了渐近的情况下，这个密度是已知的（$ n \leq 3 $），并在其余情况下，$ ϕ(h,n) $的改进的界限。给出了有限阿贝尔群中$ h $阶基的单形格覆盖的相应几何刻画。
2017-09-28 cs.CG cs.IT math.CO
