Sumsets and the convex hull
Mate Matolcsi, Imre Z. Ruzsa
本文推广了Freiman不等式关于$d$维集的和集的基数的性质。我们考虑不同的集合相关的一个包含其凸包，其中之一可能增加了几次。
We extend Freiman's inequality on the cardinality of the sumset of a $d$ dimensional set. We consider different sets related by an inclusion of their convex hull, and one of them added possibly several times.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On sumsets and convex hull
Freimann的一个经典结果给出了当A是欧氏d-空间中的d-维有限集时A+A的基数的最优下界. Matolcsi和Ruzsa最近将这个下界推广到|A+kB|如果B是d维的，且A包含在B的凸包中。我们刻画了Matolcsi-Ruzsa界的相等情形。该论点部分基于对多面体三角剖分的理解。
Geometric structure of sumsets
给定一个有限格点集，比较了它的和集与扩张凸包中的格点。这两个都是已知的多项式增长。一般来说，前者是后者的子集。在本文中，我们将看到和集占据了凸包中的所有中心格点，从而给出了多面体中格点的一种近似。
On sumsets of convex sets
一组实数A={a_1，.，a_2}称为凸的，如果对所有i，a_{i+1} - a_i > a_i - a_{i-1}.我们特别证明，|A-A| \gg |A| ^{8/5} \log{-2/5} |A|。
On a theorem of Schoen and Shkredov on sumsets of convex sets
一个实数集$A=\{a_1,...,a_n\}$称为凸的，如果存在一个连续的严格凸函数$f$使得对每个$i$有$f(i)=a_i$.给出了凸集$A$，证明了不同和数的和集的\[|A+A|\gg\frac{|A|^{14/9}}{(\log|A|)^{2/9}}.\]，并将其应用于和积型问题，作为定理或注释进行了研究.
A result on the size of iterated sumsets in $\mathbb{Z}^d$
本文给出了当$A\subset \mathbb{Z}^d$有$d+2$元素时，确定$h$ -折叠和集$hA$的基数的另一种方法.这使我们能够用更短更简单的证明提供更一般的结果。当$A\subset \mathbb{Z}^d$是一组具有单纯壳的$d+3$元素时，我们还得到了$|hA|$值的上界.
Convex hulls of face-vertex incident vectors of 3-colorable polytopes
计算了三面可着色凸多胞体的面顶点入射向量的凸包。我们发现每个这样的凸包都是一个具有$d+2$或$d+3$顶点的$d$ -多面体.利用Gale变换和Gale图，计算了它的组合结构.最后，给出了两个这样的凸包组合等价的一个充分必要条件。
Convex hulls of polyominoes
本文证明了Bezdek，Brass和Harborth关于d维欧几里得空间中n个单位超立方体的任意面到面连通系统的凸包的最大体积的一个猜想.对于d=2，我们列举了极值多项式，并确定了每个n的凸包的可能区域的集合。
Convex Hull of Face Vectors of Colored Complexes
本文证明了Kozlov的一个猜想（Discrete Comput Geom 18（1997）421- 431），它描述了$r$ -可着色复形在$n$顶点上的面向量集的凸包.作为证明的一部分，我们得到了图兰图定理的推广。
Sums of sets of lattice points and unimodular coverings of polytopes
如果$P$是一个格多面体（即，$\mathbf{R}^n$中格点的有限集的凸包），则$P$中$h$格点的每个和都是$h$ -fold和集$hP$中的格点.然而，$h$折叠和集$hP$中的格点不一定是$P$中的$h$格点之和.证明了：若多胞形$P$是幺模单形的并，则$h$ -fold和集$hP$中的每个格点都是$P$中$h$格点的和.
Towards the computation of the convex hull of a configuration from its corresponding separating matrix
本文研究了一个构形C的凸包的大小，其中给定的数据是构形C上任意两点之间的分离线的个数（这些线是由构形C上的其它点对生成的）。对凸包的大小为3的情形给出了一个算法，对凸包的大小大于3的情形给出了一个部分算法和一些方向。
A Note on the Sum-Product Problem and the Convex Sumset Problem
该文为实数集上的求和-乘积猜想和凸求和集问题提供了新的指数界。
The Convex Hull of Parking Functions of Length $n$
令$\mathcal{P}_n$为长度为$n$的所有停车函数的$\mathbb{R}^n$中的凸包。Stanley求出了$\mathcal{P}_n$的顶点数和面数。基于这些结果，我们确定了任意维的面的数量，体积，和整数点的数量的$\mathcal{P}_n$。
Khovanskii's theorem and effective results on sumset structure
一个显着的定理，由于Khovanskii断言，任何有限子集$A$的阿贝尔群，基数的$h$倍和集$hA$增长像一个多项式的所有足够大的$h$。目前，既不了解多项式，也不了解什么是足够大的手段。在本文中，我们得到了一个有效的版本的Khovanskii定理的任何$A \subset \mathbb{Z}^d$的凸包是一个单纯形，以前，这样的结果只适用于$d=1$。我们的方法提供的信息不仅是基数的$hA$，而且它的结构，我们证明了两个有效的定理描述$hA$作为一个集：一个回答最近提出的问题由格兰维尔和沙坎，其他Brion型公式，提供了一个紧凑的描述$hA$的所有大$h$。作为我们的方法的进一步说明，我们推导出一个完全明确的公式$|hA|$时，$A \subset \mathbb{Z}^d$组成的$d+2$点。
Convex hull lattices point generated
本文研究了由点集生成的凸包格的有限性条件，通过给出点配置的概念，确定了平面上定义有限凸包格的点集（四个正则族和一个零散配置），并探讨了高维空间中的配置。
Approximate Convex Hulls: sketching the convex hull using curvature
凸包是计算几何中的基本对象。在中等维度或大量顶点中，由于凸包算法的计算复杂性，计算凸包可能是不切实际的。在这篇文章中，我们近似的凸包中使用一个可扩展的算法，发现高曲率顶点与高概率。该算法对于极值点较少的凸包的逼近特别有效。
Growth in Sumsets of Higher Convex Functions
本文的主要结果是关于$k$ -凸函数$f$和的增长性.首先，我们简化了$f(A)$的增长结果的证明，其中$A$具有小的加法加倍，并通过去除对数因子来提高边界。我们还推广了Hanson，Roche-Newton和Senger最近的一个结果，证明了对于任何有限的$A\subset \mathbb{R}$ \[ | 2^k f(sA-sA) - (2^k-1) f(sA-sA)| \gg_s |A|^{2s} \]，其中$s = \frac{k+1}{2}$ .这使我们能够证明，给定任何自然数$s \in \mathbb{N}$，存在$m = m(s)$，使如果$A \subset \mathbb{R}$，那么\begin{equation}\label{conj A-Aus} |(sA-sA)^{(m)}| \gg_s |A|^{s}. \end{equation}这是进展对一个猜想，其中指出，上述不等式可以取代\[|(A-A)^{(m)}| \gg_s |A|^{s}.\]开发方法的Solymosi，布卢姆和琼斯，我们提出了一些新的总和产品类型的结果在复数$\mathbb{C}$和在功能领域$\mathbb{F}_q((t^{-1}))$。
Computing Convex Hulls in the Affine Building of SL_d
本文描述了一种计算SL_d（K）的仿射建筑中有限点集凸包的算法，其中K是一个具有离散赋值的域。这些凸包描述了K上有限个可逆矩阵集合之间的关系。作为结果，我们绑定的热带射影空间的维数需要实现的凸包作为热带多面体。
Homothetic covering of convex hulls of compact convex sets
设$K$是紧凸集，$m$是正整数. $K$关于$m$的覆盖泛函是最小的$λ\in[0,1]$，使得$K$可以被$λK$的$m$平移覆盖。给出了两个或多个紧凸集的凸包的覆盖泛函的估计。证明了：若三维凸体$K$是两个无内点的紧致凸集的凸包，则覆盖$K$所需的$K$的最小位似副本数$c(K)$不大于$8$和$c(K)=8$当且仅当$K$是平行六面体.
Computing the hull number in toll convexity
图$G$的顶点$u$和$v$之间的行走$W$称为{ \em tolled walk between $u$ and $v$ }，如果$u$以及$v$在$W$中恰好有一个邻居。一个集合$S \subseteq V(G)$是{ \em toll convex}，如果包含在$S$的两个顶点之间的任何tolled游动中的顶点包含在$S$中。{ \em toll凸包的$S$ }是包含~ $S$的最小toll凸集。{$G$的\em toll外壳数}是一组$S$的最小基数，使得$S$的toll凸包是$V(G)$。本文的主要贡献是提出了一个在多项式时间内计算一般图的toll壳数的算法。
Convex Hull Thrackles
本文研究凸包thrackle这一线性thrackle的推广，证明点处于凸位置时凸包数不超过顶点数，一般情形下最多多一个，并给出凸包数不超过顶点数两倍的上界。
Rectilinear Convex Hull of Points in 3D
设$P$是$\mathbb{R}^3$中一般位置的$n$点的集合，$RCH(P)$是$P$的直线凸包。本文给出了计算$RCH(P)$的最优$O(n\log n)$ -时间和$O(n)$ -空间算法.我们还得到了一个有效的$O(n\log^2 n)$ -时间和$O(n\log n)$ -空间算法来计算和维护$P$的直线凸包的顶点集，因为我们旋转$\mathbb R^3$周围的$z$ -轴。最后研究了$\mathbb{R}^3$中点集的直线凸包的一些性质。
Convex hulls of superincreasing knapsacks and lexicographic orderings
我们考虑有界整数背包的重量和可变的上界一起形成一个超增序列。这个超增背包的元素正好是那些在字典上小于在这个背包上优化的贪婪解的向量。我们用$\mathcal{O}(n)$刻面描述了这个$n$维集的凸包.证明了$\le$ -和$\ge$ -型超增背包的凸包可以通过分别取$\le$ -和$\ge$ -集的凸包求交而得到.我们的证明推广了现有的二进制情况下的结果。
Convex Hulls, Oracles, and Homology
本文提出了一种求解凸包问题的新算法，该算法将凸壳问题归结为一个组合判定问题-多面体-完备性-组合问题，而组合问题又可以通过单纯同调计算来求解。与其他凸包算法一样，我们的算法是多项式（在输入加输出的大小）的单纯或简单的输入。我们表明，“没有”的情况下的多面体完整性组合有一个证书，可以在多项式时间内检查（如果输入的完整性得到保证）。
Convex hulls of spheres and convex hulls of convex polytopes lying on parallel hyperplanes
给定一组$Σ$的领域在$\mathbb{E}^d$，与$d\ge{}3$和$d$奇数，有一个固定数量的$m$不同的半径$ρ_1,ρ_2,...,ρ_m$，我们表明，最坏情况下的组合复杂性的凸包$CH_d(Σ)$的$Σ$是$Θ(\sum_{1\le{}i\ne{}j\le{}m}n_in_j^{\lfloor\frac{d}{2}\rfloor})$，其中$n_i$是在$Σ$与半径$ρ_i$的领域的数量。为了证明下界，我们在$\mathbb{E}^d$中构造了一组$Θ(n_1+n_2)$球，其中$d\ge{}3$为奇数，其中$n_i$球具有半径$ρ_i$，$i=1,2$和$ρ_2\neρ_1$，使得它们的凸包具有组合复杂性$Ω(n_1n_2^{\lfloor\frac{d}{2}\rfloor}+n_2n_1^{\lfloor\frac{d}{2}\rfloor})$。我们的建设，然后推广到的情况下，球体有$m\ge{}3$不同的半径。对于上界，我们减少了球凸包问题的最坏情况下的组合复杂性的计算问题的一组$m$ $d$ -维凸多面体躺在$m$平行超平面在$\mathbb{E}^{d+1}$，其中$d\ge{}3$奇数，这是一个独立的问题。更确切地说，我们表明，最坏情况下的组合复杂性的凸包的一组$\{\mathcal{P}_1,\mathcal{P}_2,...,\mathcal{P}…
Cycle convexity and the tunnel number of links
在这项工作中，我们引入了一个新的图凸性，我们称之为圈凸性，在纽结理论的相关概念的动机。对于图$G=(V,E)$，对于每个$S\subseteq V(G)$，将循环凸性中的区间函数定义为$I_{cc}(S) = S\cup \{v\in V(G)\mid \text{there is a cycle }C\text{ in }G\text{ such that } V(C)\setminus S=\{v\}\}$。我们说$S\subseteq V(G)$是凸的，如果$I_{cc}(S)=S$。$S\subseteq V(G)$的凸包，用$Hull(S)$表示，是包含式最小凸集$S'$，使得$S\subseteq S'$。一个集合$S\subseteq V(G)$称为壳集，如果$Hull(S)=V(G)$。$G$在循环凸性中的壳数，用$hn_{cc}(G)$表示，是$G$的最小壳集的基数。我们首先介绍了引入这种凸性的动机及其相关的壳数的研究。然后，我们证明：4-正则平面图的壳数至多为其顶点数的一半，计算平面图的壳数是一个$NP$ -完全问题，弦图、$P_4$ -稀疏图和网格的壳数的计算可以在多项式时间内完成。
Expected mean width of the randomized integer convex hull
设$K \in \R^d$是凸体，并假定$L$是随机旋转和移位的整数格。令$K_L$为（随机）点$K \cap L$的凸包。研究了$K_L$的平均宽度$W(K_L)$。平均宽度差$W(łK)-W((łK)_L)$的渐近阶由多面体的阶最大化，由光滑凸集的阶最小化为$ł\to \infty$。
Linear programs and convex hulls over fields of Puiseux fractions
我们描述了一个子字段的领域的正式Puixix系列polymake的实施。这是用来解决线性规划和计算凸包取决于一个真正的参数。此外，这种方法也适用于热带几何的计算。
Tropical convex hulls of polyhedral sets
本文主要研究凸集的热带凸包和多面体复形。给出了一条线段和一条射线的热带凸包的顶点描述。\RR^{n+1} / \RR \mathbf{1}中的%。其次，我们证明了热带凸包和普通凸包在二维空间中的可交换性，并刻画了任意维的热带凸多面体。% $\mathbb{R}^3/\mathbb {R}\mathbf{1}$。最后，我们表明，一个热带凸风扇的尺寸取决于它的射线的坐标，并给出了一个下界的程度，风扇热带曲线只使用热带技术。
A note on Talagrand's convex hull concentration inequality
本文重新审视Talagrand的一个论点，导致一个显着的指数尾约束的概率集中附近的一组。主要的新颖性是一个神秘的微积分不等式的应用詹森不等式的替代。
The $2nd-$convex hull of every optimal rectilinear drawing of $K_{n}$ is a triangle
图$G$的直线图是最优的，如果它在$G$的所有直线图中具有最小的交叉数。本文证明了对于$n\geq 8$，完全图$K_n$的每一个最优直线图的第二个凸包都是三角形.
On the Geodetic Hull Number of Complementary Prisms
设$G$是一个有限的简单无向图，$S$是$G$的一个顶点集。在测地凸性中，如果图$G$的顶点集$S$中属于$S$的任意两个顶点之间的最短路的所有顶点都在$S$中，则图的顶点集$S$是凸的. $S$的凸包$H(S)$是包含$S$的最小凸集。如果是$H(S) = V(G)$，则$S$是外壳集。$G$的最小外壳集的基数$h(G)$是$G$的外壳号。图$G$的互补棱柱$G\overline{G}$是由图$G$和$\overline{G}$的不交并通过在$G$和$\overline{G}$的对应顶点之间添加完美匹配的边而产生的。受前人工作的启发，我们确定并给出了树、不连通图和余图的互补棱柱壳数的上、下界。我们还表明，壳数互补棱镜不能限制在大地凸，不像$P_3$凸。
Computing convex hulls and counting integer points with polymake
本文的主要目的是报告的艺术状态计算整数壳和他们的小平面，以及计数格点在凸多胞体。使用polymake系统，我们探索各种算法和实现。我们在这方面的经验总结为十条“经验法则”。
The convex hull of a Banach-Saks set
Banach空间的子集$A$称为Banach-Saks，当$A$中的每个序列都有Ces {à} ro收敛的子序列.我们的兴趣集中在以下问题：是凸包的Banach-Saks集再次Banach-Saks？通过一个组合的参数，我们表明，在一般情况下，答案是否定的。然而，为了得到一个积极的结果，给出了充分条件。
How to Find the Convex Hull of All Integer Points in a Polyhedron?
提出了一种基于割的算法，用于求由线性不等式定义的多面体的所有整数点的凸包的所有顶点和所有面。我们的算法DDM割是基于Gomory割和动态版本的双重描述方法。我们描述了计算机实现的算法，并提出了计算实验的结果比较我们的算法与一个天真的。
Shortest Paths and Convex Hulls in 2D Complexes with Non-Positive Curvature
全局非正弯曲（CAT（0））多面体复合体出现在许多应用中，包括进化生物学和机器人学。这些空间具有唯一的最短路径，并且由欧氏多面体组成，但是欧氏空间中的最短路径和凸包的许多算法和性质都不能传递。本文给出了一个用线性规划计算二维单顶点CAT（0）多面体复形中点集的凸包的算法。我们探索使用最短路径映射来回答二维CAT（0）多面体复合体中的单源最短路径查询，并统一了2流形和矩形情况下的有效解决方案。
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