Approximate Tree Decompositions of Planar Graphs in Linear Time
对于小树宽$k$图的NP难问题，已有许多算法被提出。例如，所有可以用线性扩展一元二阶表示的问题都可以在有界树宽的图上用线性时间求解。事实证明，许多NP难问题算法的瓶颈是计算宽度为$O(k)$的树分解。特别地，利用二维理论，在树宽为$k$的$n$ -顶点平面图上，如果在$n$中是线性的，在$k$中是次指数的，并且在这样的时间内可以找到树宽为$O(k)$的分解，那么在这样的时间内，有许多线性扩展的一元二阶问题可以被解决.我们提出的第一个算法，$n$ -顶点平面图与树宽$k$，发现树分解的宽度$O(k)$在这样的时间。更详细地说，我们的算法的运行时间为$O(n k^2 \log k)$。我们显示的结果作为一个特殊情况下的结果，所谓的加权树宽的加权图。
2016-05-14 cs.DS
Plane Decompositions as Tools for Approximation
树分解是由Robertson和Seymour提出的。从那时起，算法已经开发出有效地解决棘手的问题，有界树宽的图。在本文中，我们扩展树分解，允许循环存在于分解图中，我们称这些新的分解平面分解，因为我们要求分解图是平面的。首先，我们给出了一些关于树分解的背景材料，并概述了平面图的分解和近似算法。然后，我们给出了平面分解的定义和一个算法，利用这个分解在多项式时间内近似底层图的最大独立集的大小。
2006-02-15 cs.DS
A Solution Merging Heuristic for the Steiner Problem in Graphs Using Tree Decompositions
已知有界树宽的固定参数易处理算法存在于广泛的一类图优化问题中。虽然这一领域的大多数研究都集中在精确算法上，但很难找到足够小的树宽分解，以使这些算法足够快地用于实际应用。因此，基于树分解的算法对大规模优化的适用性有限。然而，通过首先减少输入图，以便可以找到小宽度的树分解，我们可以在启发式算法中利用基于树分解的技术的能力，可用于比易于精确求解的树宽度大得多的图。我们提出了一个解决方案合并启发式的斯坦纳树问题，适用于这个想法。标准的局部搜索算法提供了一种自然的方法来生成比原始实例树宽更低的子图，随后我们通过求解由该子图诱导的实例来提取改进的解。因此，固定参数的易处理算法是我们进行解合并启发式的有效工具.对于大类稀疏基准实例，该算法能够在生成的解的并集上找到小宽度的树分解。随后，它通常可以快速改进生成的解决方案。
2015-04-29 cs.DS
Saving Space by Dynamic Algebraization Based on Tree Decomposition: Minimum Dominating Set
提出了一种基于树分解的动态规划的多项式空间精确求解最小支配集问题的算法。基于树分解的动态规划的直接应用将导致指数空间算法，但是我们使用zeta变换来获得多项式空间算法，以换取适度的时间增加。该框架由Lokshtanov和Nederlof 2010开创，并由Fürer和Yu 2017适应动态环境。我们的空间效率算法是一个参数化的算法的基础上，树的深度和树的宽度。最小支配集的朴素算法在$\mathcal{O}^*(2^n)$时间内运行。以前的大部分工作都集中在时间复杂度上。但是空间优化是算法设计的一个关键方面，因为在一些情况下，空间是比时间更有价值的资源。我们的参数化算法运行在$\mathcal{O}^*(3^{d})$中，其空间复杂度为$\mathcal{O}(nk)$，其中$d$是给定树分解的深度，$k$是给定树分解的宽度。我们观察到Reed在1992年提出的构造图的树分解的算法只使用多项式空间。因此，即使不给出树分解，我们仍然得到一个有效的多项式空间算法。有一些其他的算法，使用多项式空间的这个问题，但他们是不是有效的小树深度的图。
2017-11-28 cs.DS
Dynamic subtrees queries revisited: the Depth First Tour Tree
在动态树问题中，目标是维护任意n顶点森林，其中树分别通过添加和删除边进行连接和分裂。根据应用程序，信息可以与节点或边（或两者）相关联，查询可能需要组合路径或（子）树中的值。在本文中，我们提出了一种新的数据结构，称为深度优先旅游树，基于线性化的DFS访问的树。尽管这种方法很简单，类似于ET树（基于欧拉图），我们的数据结构能够回答与路径和（子）树相关的查询。特别是，专注于子树的计算，我们展示了如何自定义的数据结构，以回答查询三个不同的应用程序：从图中删除一个关节点的影响，介数中心和紧密中心的动态树。
2015-09-22 cs.DS
Faster Computation of Path-Width
树宽度和路径宽度是广泛成功的概念。许多NP难问题在限制于有界树宽的图时有有效的解决方案。许多有效的算法是基于树分解。有时需要进行更严格的路径分解。这种算法的瓶颈通常是宽度和相应的树或路径分解的计算。对于具有$n$顶点和树宽度或路径宽度$k$的图，计算这些分解的标准线性时间算法可以追溯到1996年。它的运行时间在$n$中是线性的，在$k^3$中是指数的，在实际中是不可用的。在这里，我们提出了一个更有效的算法来计算路径宽度，并提供一个路径分解。它的运行时间是$2^{O(k^2)} n$。在Bodlaender和Kloks的经典算法中，路径分解是从树分解计算的。这里，最优路径分解是从大约两倍宽度的路径分解计算的。后者是从一个常数因子较小的图计算。
2016-06-21 cs.DS
Partitioning the Bags of a Tree Decomposition Into Cliques
我们考虑树宽的一个变体，我们称之为团划分树宽，其中每个包被划分为团。这是出于FPT算法的基础上，类似的参数为各种问题的最新发展。在本文中，我们采取了第一步，计算cnc分区树分解。我们的重点在于计算团划分的子问题，即，对于给定树分解的每个包，我们计算导出子图到团的最优划分。这里的目标是最小化团大小的乘积（加1）。我们证明了这个问题是NP-困难的。我们还描述了四种启发式方法以及一个确切的分支定界算法。我们的评估表明，分支定界求解器是足够有效的，作为一个很好的基线。此外，我们的算法产生接近最优的解决方案。作为奖励，我们的算法允许我们计算第一个上限的cnc分区树宽度的现实世界的网络。与传统树宽的比较表明，对于具有高聚类性的图来说，聚类划分树宽是一个很有前途的参数。
2023-02-17 cs.DS
Speeding-up Dynamic Programming with Representative Sets - An Experimental Evaluation of Algorithms for Steiner Tree on Tree Decompositions
树分解上的动态规划是一种常用的方法，用于解决小树宽实例上的其他棘手问题。在Bodlaender等人最近的工作中，已经表明，对于许多连通性问题，存在使用时间的算法、顶点数量的线性算法和所使用的树分解宽度的单指数算法。其中心思想是，它足以计算代表集，这些可以有效地计算与高斯消除的帮助。在本文中，我们给出了一个实验评估这种技术的施泰纳树问题。通过与经典动态规划算法和采用表约简的改进动态规划算法的比较表明，新方法在算法运行时间和动态规划算法计算表的大小上都有明显的改善，因此，Bodlaender等人的基于秩的方法不仅给出了显著的理论改进，而且在的实际设置，并展示了潜力，利用代表集的想法，加快动态规划算法。
2013-05-31 cs.DS
Existence of k-ary Trees: Subtree Sizes, Heights and Depths
有根树是一种重要的数据结构，子树的大小、高度和深度是每个节点的自然定义属性。我们考虑的问题的存在性的一个k-叉树的属性序列的列表。给出了给定深度和/或高度序列的k元树的存在性的多项式时间（O（nlog（n）算法。我们最重要的结果是强NP-完全性的决策问题的存在k-元树给定的子树的大小序列。我们证明了这一点的多阶段减少从数值匹配与目标总和。在这个过程中，我们还证明了一个广义版本的3-划分问题是强NP-完全的。通过研究给定属性序列的组合的问题，我们能够在与给定属性序列的树的存在性相关的容易和困难的问题之间画出界限，并提高我们对这些问题的困难所在的理解。
2016-07-18 cs.DS
Unifying two Graph Decompositions with Modular Decomposition
我们介绍了umodules，一个广义的概念图模块。我们开发的理论捕获了无向图、竞赛图、有向图和$2-$结构。我们证明了，在某些公理下，u模存在唯一的分解树。多项式时间算法提供：非平凡的u模测试，最大u模计算，分解树计算时，树存在。我们的结果统一了许多已知的分解，如图的模分解和双连接分解，以及一个新的竞赛图分解。
2007-06-26 cs.DS
Dynamic programming on bipartite tree decompositions
University of Bergen（卑尔根大学）；University of Montpellier（蒙彼利埃大学）
该研究提出双分树宽参数，并展示其在解决小btw图上的动态规划方法，包括K_t子图覆盖等问题的FPT算法，以及非双分图的XP时间解法。
2025-11-28 cs.DS
Tree decompositions with bounded independence number: beyond independent sets
我们继续研究的图形类，其中的树宽只能是大的，由于存在一个大的集团，更具体地说，图形类有界树独立数。在[Dallard，Milanière，and Štorgel，Treewidth versus clique number. {II}。树独立数，2022]，它表明，最大重量独立包装问题，这是一个共同的推广独立集和诱导匹配问题，可以解决在多项式时间提供的输入图与有界独立数的树分解。我们提供了进一步的例子，可以解决在多项式时间在这个假设下的算法问题。这包括，对于所有的偶数正整数$d$，包装子图的距离至少$d$（推广的最大重量独立包装问题）和找到一个大的诱导稀疏子图满足一个任意的，但固定的属性表示在计数一元二阶逻辑的问题。作为我们的方法的一部分，我们推广了一些经典的结果的权力弦图的背景下，一般的图形和树的独立数。
2022-09-25 cs.DS
Depth first representations of $k^2$-trees
针对标准$k^2$-树逐层表示无法压缩相同子树、缓存友好性差的问题，提出多种深度优先表示与线性时间同构子树压缩算法，在网页图邻接矩阵上提升了压缩比，部分矩阵乘法速度优于标准结构。
2025-05-16 cs.DS
Efficient parameterized algorithms on graphs with heterogeneous structure: Combining tree-depth and modular-width
许多计算问题允许在特殊输入上的快速算法，然而，所需的属性可能是相当限制的。例如，在一个示例中，许多图问题在区间图或余图上，或在小模宽或小树宽的图上可以比在一般图上快得多地解决。一个挑战是获得这些结果的最大普遍性，即，适用于限制较少的输入类，而不会在运行时间方面损失太多。使用代数表达式的基础上，我们提出了一个干净和强大的方式相结合，这样的同质结构到更复杂的异构结构，我们展示了这种情况下的组合模块宽度，树深度，和一个自然的概念模块树深度。我们给出了一个通用的框架，设计高效的参数化算法上创建的图形类，旨在获得竞争力的运行时间，匹配同质的情况下。为了显示的适用性，我们给出了有效的参数化算法的负循环检测，顶点加权的所有对最短路径，和三角形计数。
2022-09-28 cs.DS
Computing Tree-depth Faster Than $2^{n}$
一个连通图的树深度至多为$k$，如果它是一个根树的闭包的子图，根树的高度至多为$k$ .本文给出了一个算法，对于给定的$n$ -顶点图$G$，在时间上$\mathcal{O}(1.9602^n)$计算$G$的树深度。我们的算法是基于组合的结果，揭示了最小根树的结构，其闭包包含$G$。
2013-06-17 cs.DS math.CO
A Constraint Model for the Tree Decomposition of a Graph
我们提出了一个约束模型的问题产生的树分解的图。模型的输入是一个简单的图G，所需的树分解中的节点数以及该分解中每个节点的最大基数。通过一系列决策问题，该模型允许我们找到图的树宽度，同时提供该宽度的树分解，即见证。
2019-08-07 cs.CC cs.DM cs.DS
On computing tree and path decompositions with metric constraints on the bags
本文研究了计算任意图$G$的\emph{tree-length}和\emph{tree-breadth}的复杂性，它们分别是$G$的树分解中袋的直径和半径的最佳可能上界. \emph{Path-length}和\emph{path-breadth}被类似地定义和研究用于路径分解。到目前为止，已经知道树长是NP难计算的。本文证明了树宽、路长和路宽也是如此。此外，我们提供了一个更详细的分析计算树宽度的复杂性。特别是，我们表明，树宽度1的图在某种意义上是最难的情况下计算树宽度的问题。给出了树宽图的新性质。然后，我们使用这些属性，以识别在多项式时间的所有图与树宽一个是平面或二分图。在此过程中，我们将树宽度与\emph{$k$-good}树分解（用于$k=1$）的概念联系起来，这在以前的路由工作中已经引入。作为上述关系的一个副产品，我们证明，决定存在的$k$ -好树分解是NP-完全的（即使$k=1$）。所有这些都回答了文献中的开放性问题。
2016-01-08 cs.CC cs.DS
Computing bounded-width tree and branch decompositions of k-outerplanar graphs
根据一个著名的结果，k-外平面图的树宽至多为3 k-1。本文给出了这一事实的严格证明，并给出了证明的算法实现，即证明了给定一个k-外平面图G，在O（kn）时间和空间内可以找到G的一个宽度不超过3 k-1的树分解。同样，对于宽度不超过2k+1的k-外平面图，也可以在O（kn）时间内得到分支分解，并分析了其算法.
2013-01-24 cs.CC cs.DS
On weighted depths in random binary search trees
继模型介绍了Aguech，Lasmar和马哈茂德[Probab。工程通知。Sci. 21（2007）133-141]，标记的有根树中的节点的加权深度是连接节点到根的路径上的所有标记的总和。我们分析了加权深度的节点与给定的标签，最后插入的节点，节点排序访问的深度优先搜索过程中，加权路径长度和加权维纳指数在一个随机二叉搜索树。我们建立三个政权的节点取决于他们的加权深度的二阶行为是否遵循从波动的路径上的键，节点的深度，或两者兼而有之。最后，我们研究了单位区间上的广义过程函数，该函数作为至多有一个子节点的加权深度的标度极限。
2017-07-01 cs.DS math.PR
Compaction for two models of logarithmic-depth trees: Analysis and Experiments
我们感兴趣的是两个经典树族：递归树和平面二元增树的压缩比的定量分析。这些族是具有小深度的树模型的典型代表。一旦大小为$n$的树通过仅保留出现在树中的所有边缘子树的一次出现而被压缩，则所得到的图仅包含$O(n / \ln n)$节点。这一结果必须与简单生成树族中的压缩的经典结果进行比较，其中类似的结果表明，压缩结构的大小为$n / \sqrt{\ln n}$。关于平面二元增树的结果已有证明，但我们提出了一种新的通用方法来得到这一结果。最后，提出了一个实验研究的基础上，原型实现的压缩二叉搜索树，由平面二叉增树建模。
2021-09-13 cs.DS math.CO
A Review on the Tree Edit Distance Problem and Related Path-Decomposition Algorithms
有序标记树是一种树，其中节点被标记，并且兄弟节点之间的从左到右顺序是相关的。两棵有序标记树之间的编辑距离是通过一系列编辑步骤将一棵树更改为另一棵树的最小成本。在文献中，有一类基于不同但密切相关的路径分解方案的算法。本文回顾了这些算法的原理，并研究了与分解方案所导致的算法复杂度相关的概念。
2015-02-09 cs.CC cs.DM cs.DS
The Complexity of Bicriteria Tree-Depth
树深度问题可以看作是为给定的输入图$G$寻找最小高度的消去树。我们引入了一个双准则的推广，其中另外的消除树的宽度需要有界的一些输入整数$b$。我们感兴趣的情况下，$G$是一棵树的线图，证明了该问题是NP-困难的，并获得了多项式时间的添加$2b$ -近似算法。这类特殊的图在过去受到了极大的关注，主要是由于许多潜在的应用，例如模块化产品的并行组装，或关系数据库中的并行查询处理，以及纯粹的组合应用，包括在树状偏序中搜索（这反过来又推广了对排序数据的二分搜索）。
2021-05-28 cs.DM cs.DS
Matrices of optimal tree-depth and a row-invariant parameterized algorithm for integer programming
对整数规划的固定参数易处理性的一系列研究最终表明，具有n个变量和具有对偶树深度d和最大条目D的约束矩阵的整数规划在时间g（d，D）poly（n）中对于某个函数g是可解的。然而，约束矩阵的对偶树深度不被行操作保留，即，给定的整数规划可以等价于具有较小的对偶树深度的另一个整数规划，并且因此不反映其几何结构。我们证明了行等价矩阵的最小对偶树深度等于由矩阵的列定义的拟阵的分支深度。我们设计了一个计算有限域上拟阵分支深度的固定参数算法和一个计算具有最小对偶树深度的行等价矩阵的固定参数算法。最后，我们使用这些结果来获得一个整数规划运行在时间g（d*，D）poly（n）的算法，其中d* 是分支深度的约束矩阵;分支深度不能被更宽容的分支宽度的概念所取代。
2022-01-31 cs.DM cs.DS math.OC
An FPT 2-Approximation for Tree-Cut Decomposition
图的树割宽度是由Wollan [J. Comb. Theory，Ser. B，110：47-66，2015]借助于树割分解定义的图参数。在某些情况下，树切割宽度似乎比树宽度更适合作为不变量，当有界时，可以加速解决棘手的问题。在设计有界树割宽度问题的算法时，重要的是要有一种参数化的方法来计算这个参数的精确值，或者至少是它的一些常数近似值.本文给出了一个计算树割宽度的参数化2-近似算法;对于输入$n$ -顶点图$G$和整数$w$，我们的算法或者确认$G$的树切割宽度大于$w$，或者返回树-$G$的切割分解，证明其树切割宽度至多为$2w$，时间为$2^{O(w^2\log w)} \cdot n^2$。在此之前的工作，没有建设性的参数化算法，甚至近似的，存在计算的树割宽度的图。作为罗伯逊和西摩的图次项系列的结果，只有决策算法的存在是已知的。
2015-09-16 cs.DM cs.DS
Tree decomposition and parameterized algorithms for RNA structure-sequence alignment including tertiary interactions and pseudoknots
我们提出了一个一般的设置在一个大类的RNA结构的结构序列比较，统一和概括了一些最近的作品对特定的家庭结构。我们的方法是基于树分解的结构，并给出了一个一般的参数化算法，其中指数部分的复杂性取决于家庭的结构。对于以前研究的每个家庭，我们的算法具有相同的复杂性，以前已经给出的具体算法。
2012-06-17 cs.DS q-bio.QM
Computing Tree Decompositions with Small Independence Number
本文提出一种计算树独立数的近似算法，运行时间为2^{O(k^2)} n^{O(k)}，近似比为8，并证明在Gap-ETH下该运行时间最优；同时证明精确计算树独立数是para-NP难的。
2025-09-10 cs.DS math.CO
Optimizing tree decompositions in MSO
本文证明树分解优化问题可在 MSO 转导中解决，并实现线性固定参数时间，推广了 Bodlaender 和 Kloks 的经典算法。
2022-02-02 cs.DM cs.DS cs.LO
On Learning and Testing Decision Tree
Technion（以色列理工学院）；Guangdong Technion Israel Institute of Technology (GTIIT)（广东以色列理工学院）
在本文中，我们研究学习和测试的决策树的大小和深度，显着小于$n$的属性数。我们的主要结果解决问题的聚$(n,1/ε)$时间算法与聚$(s,1/ε)$查询复杂性（独立的$n$），区分功能，是决策树的大小$s$从功能$ε$ -远离任何决策树的大小$ϕ(s,1/ε)$，对于一些功能$ϕ> s$。最著名的结果是最近由Blank，Lange和Tan得出的~ \cite{BlancLT20}，它给出了$ϕ(s,1/ε)=2^{O((\log^3s)/ε^3)}$。本文给出了一种实现$ϕ(s,1/ε)=2^{O(\log^2 (s/ε))}$的新算法。此外，我们还研究了深度$d$决策树的可测试性，并给出了一个{ \it distribution free}测试器，该测试器可以区分深度$d$决策树和$ε$ -far from depth $d^2$决策树.特别地，对于大小为$s$的决策树，当树深度为$O(\log(s/ε))$时，上述结果在无分布模型中成立。我们还给出了其他新的结果，学习和测试的大小- $s$决策树和深度- $d$决策树，遵循文献中的结果和一些结果，我们证明了本文。
2021-08-10 cs.DS cs.LG
Structured Decompositions: Structural and Algorithmic Compositionality
本研究提出范畴论结构“结构化分解”，统一推广图论、几何群论、动力系统领域的多个相关概念，定义宽度函子实现结构复杂性测度的组合性分析，还建立了对象分解与完备化的一般对偶关系。
2025-05-20 cs.DS math.CO math.CT
Split decomposition and graph-labelled trees: characterizations and fully-dynamic algorithms for totally decomposable graphs
在本文中，我们重新审视分裂分解的图，并给出新的组合和算法的结果，一类完全可分解的图，也被称为距离遗传图，并为两个非平凡的子类，即cographs和3叶功率图。准确地说，我们给结构和增量表征，导致最佳的全动态识别算法的顶点和边缘修改，为这些类。这些结果依赖于一个新的框架来表示分裂分解，即图标记树，它也捕获了图的模块化分解，从而统一了这两种分解技术。本文的重点是使用这些图形类和树的节点标记的集团和明星之间的双射。这样做，我们也能够得到一个距离遗传图的交集模型，它回答了一个公开的问题。
2011-04-18 cs.DM cs.DS
Large-Treewidth Graph Decompositions and Applications
树宽是一个图形参数，在一些结构和算法结果中起着重要作用。研究了将给定的图$G$分解为节点不相交的子图的问题，其中每个子图都有足够大的树宽。证明了两个关于期望子图个数$h$与期望子图树宽下界$r$之间的折衷定理。定理断言，给定一个树宽为$k$的图$G$，当$hr^2 \le k/\polylog(k)$或$h^3r \le k/\polylog(k)$成立时，以$h,r$为参数的分解是可行的.然后，我们展示了一个框架，使用这些定理绕过著名的网格小定理的罗伯逊和西摩在某些应用程序。特别是，这将导致大大改善参数在一些Erdos-Posa型的结果，一类固定参数易处理的问题和更快的算法。
2013-04-04 cs.DM cs.DS
Totally $Δ$-Modular Tree Decompositions of Graphic Matrices for Integer Programming
School of Mathematics, Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院数学学院）
本文提出了一种基于树分解的参数，用于解决具有两个非零条目每行的矩阵的整数规划问题，扩展了传统图分解参数的应用范围，并给出了相关定理的类比。
2026-04-23 cs.DM cs.DS math.CO
Practical and Efficient Split Decomposition via Graph-Labelled Trees
图的分裂分解是由坎宁安（Cunningham）引入的（以连接分解的名义），作为模分解的推广。本文对分裂分解的算法性质进行了研究。我们这样做的背景下，图标记树（GLT），一个新的组合对象，旨在简化其考虑。GLT是用来获得一个增量表征分裂分解，与一个简单的组合描述，并探讨其属性相对于词典宽度优先搜索（LBFS）。将增量表征应用于LBFS排序导致在时间上运行的分裂分解算法$O(n+m)α(n+m)$，其中$α$是逆阿克曼函数，其值对于任何实际图都小于4。相比Dahlhaus的线性时间分裂分解算法[Dahlhaus'00]，它不依赖于一个增量的建设，我们的算法是一样快，但本文给出的渐近意义和完整的实现细节。此外，我们的算法扩展到圆图识别，而没有这样的扩展是已知的Dahlhaus算法。配套文件[Gioan等人]使用我们的算法推导出第一个次二次圆图识别算法。
2012-10-31 cs.DM cs.DS
An efficient tree decomposition method for permanents and mixed discriminants
我们提出了一个有效的算法来计算结构矩阵和多维数组（张量）的永久式，混合判别式和超行列式。我们描述的稀疏结构的数组中的一个图形，我们假设它的树宽，表示为$ω$，是小的。我们的算法需要$O(n 2^ω)$算术运算来计算持久式，而$O(n^2 + n 3^ω)$用于混合判别式和超行列式。我们最后表明，混合体积计算仍然是困难的有界树宽假设。
2015-07-10 cs.CC cs.DM cs.DS
