Classification of scaling limits of uniform quadrangulations with a boundary
研究了具有边界的均匀随机平面四边形在其尺度趋于无穷大时的非紧尺度极限。根据边界大小的渐近行为和比例因子的选择，我们观察到不同的极限度量空间。在著名的对象，如布朗平面或无限连续随机树，我们构造了两个新的单参数家庭的度量空间，出现的标度限制：布朗半平面与偏度参数$θ$和无限体积布朗圆盘的周长$σ$。我们还获得了各种耦合和极限结果澄清这些对象之间的关系。
2016-08-03 math.PR
Scaling Limits for Random Quadrangulations of Positive Genus
讨论了正亏格的大二部四边形的标度极限。对于给定的$g$，我们考虑，对于每个$n \ge 1$，一个随机四边形$\q_n$均匀分布在所有根的二部四边形的集的亏格$g$与$n$面。通过赋予它的顶点集图距离，我们把它看作是一个度量空间。我们发现，$n$趋于无穷大，这个度量空间，与重新缩放的因子$n^{-1/4}$的距离，收敛分布，至少沿着一些子序列，朝着一个有限的随机度量空间。这种收敛在紧度量空间上的Gromov-Hausdorff拓扑意义下成立。我们表明，无论选择的子序列，豪斯多夫维数的限制空间几乎肯定等于4。我们的主要工具是由Chapuy，Marcus和Schaeffer在我们考虑的四边形和他们称之为标记良好的$g$树的对象之间引入的双射。我们研究的一个重要部分是确定后者的缩放限制。
2010-12-17 math.PR
The topology of scaling limits of positive genus random quadrangulations
讨论了正亏格的大二部四边形的标度极限。对于给定的g，我们认为，对于每个$n\ge1$，一个随机四边形$\mathfrak{q}_n$均匀分布在一组的所有根的二部四边形g与n面。通过赋予它的顶点集以图度量，我们把它看作是一个度量空间。当n趋于无穷大时，这个度量空间（其距离被因子$n^{-1/4}$重新缩放）至少沿着某个子序列在分布上收敛到一个极限随机度量空间。这种收敛在紧度量空间上的Gromov-Hausdorff拓扑意义下成立。我们表明，无论子序列的选择，极限空间几乎肯定同胚的属g-环面。
2012-10-10 math.PR
Joint convergence of random quadrangulations and their cores
证明了对于Gromov-Hausdorff-Prokhorov拓扑，一个均匀四边形，它的最大2-连通块和它的最大简单块在分布上联合收敛到同一个布朗映射。首先，我们推导出一个局部极限定理的渐近最大块大小，扩展的结果在\cite{BFSS}。随机四边形剖分的悬垂子映射的直径界直接导致格罗莫夫-豪斯多夫收敛。为了将收敛扩展到Gromov-Hausdorff-Prokhorov拓扑，我们证明了可交换的“一致渐近可忽略”的质量附件在极限下只会产生确定性的质量度量。
2016-04-28 math.CO math.PR
Convergence of percolation on uniform quadrangulations with boundary to SLE$_{6}$ on $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity
设$Q$是一个自由Boltzmann四边形，其边界由临界（$p=3/4$）面渗流构形修饰.证明了$Q$上的弦渗流探索路径在两个有标记的边界边之间收敛于一个独立的$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力圆盘（等价于一个布朗圆盘）上的弦$_6$的标度极限.收敛拓扑是Gromov-Hausdorff-Prokhorov一致拓扑，曲线修饰度量测度空间的Gromov-Hausdorff拓扑的自然模拟。我们还获得了类似的比例极限结果的面渗流的均匀无限半平面四边形与简单边界，并为网站渗流的均匀三角形与简单边界。我们的证明方法是强大的，并在一定的技术步骤，扩展到任何渗流模型的随机平面地图，可以通过剥离探索。
2021-02-10 math-ph math.CO math.CV
The Brownian map is the scaling limit of uniform random plane quadrangulations
我们证明了具有$n$面的球的均匀随机四边形化，赋予通常的图距离并由$n^{-1/4}$重正化，对于Gromov-Hausdorff拓扑，收敛为$n\to\infty$分布到一个极限度量空间。我们验证了Le Gall的一个猜想，证明该极限是（在尺度常数以内）所谓的{ \em Brownian map}，它是由Marckert & Mokkadem和Le Gall引入的，作为许多随机平面映射模型的尺度极限的最自然候选者。证明强烈依赖于地图中{ \em测地星}的概念，测地星是由几个测地线组成的配置，这些测地线只共享一个公共端点，在其他地方不相交。
2011-05-09 math.PR
Distance statistics in quadrangulations with no multiple edges and the geometry of minbus
我们提出了一个详细的计算距离相关的两点函数的四边形没有多个边缘。在大地图的限制下，计算和分析了测量这两点函数的各种离散观测量。对于大的距离和在缩放制度，我们恢复相同的通用缩放功能一般四边形。然后，我们探讨的几何形状的“最小的脖子婴儿宇宙”（minbus），这是副产品被删除从一般四边形，将其转换成四边形，没有多个边缘，“母亲宇宙”。我们给出了minbus的一些依赖于距离的特征，例如minbus内部的两点函数或从随机点到母宇宙的距离定律。
2010-09-03 math-ph math.CO math.MP
Scaling Limit of Random Planar Quadrangulations with a Boundary
本文讨论了边界长度为面数平方根数量级的平面四边形剖分的尺度极限。我们考虑整数序列$(σ_n)$使得$σ_n/\sqrt{2n}$趋向于某个$σ\in[0,\infty]$ .对于每个$n \ge 1$，我们称$q_n$为均匀分布在所有有根平面四边形的集合上的随机映射，其边界具有$n$面和边界上的$2σ_n$半边。对于$σ\in (0,\infty)$，我们将$q_n$视为度量空间，通过赋予其顶点集以由$n^{-1/4}$重新缩放的图度量。我们表明，这个度量空间收敛分布，至少沿着一些子序列，向一个有限的随机度量空间，在这个意义上的Gromov-Hausdorff拓扑。我们证明了极限度量空间几乎必然是一个Hausdorff维数为4的空间，其边界Hausdorff维数为2，与二维圆盘同胚。对于$σ=0$，相同的收敛性在没有提取的情况下也成立，极限是所谓的布朗映射。对于$σ=\infty$，适当的缩放成为$σ_n^{-1/2}$，我们得到了一个收敛到奥尔德斯的CRT。
2013-09-15 math.PR
Distance statistics in quadrangulations with a boundary, or with a self-avoiding loop
我们考虑四边形与边界，并推导出显式表达式的生成函数，这些地图与标记的顶点在规定的距离从边界，或两个边界顶点在规定的相互距离的地图。对于大的地图，这会产生明确的公式，在各种遇到的缩放制度：一个小的边界，一个密集的边界和临界边界制度的体积边界和边界-边界边界的缩放。临界边界制度的特点是由一个单参数家庭的尺度函数之间的布朗映射和布朗连续随机树插值。我们讨论的情况下，通用和自我避免的边界，这是共享相同的通用缩放限制。我们最后解决的问题，批量循环距离统计的背景下，配备了一个自我避免循环的平面四边形。在这里，再次发现了一个新的家庭的标度函数描述的关键回路。
2010-09-02 math-ph math.CO math.MP
Some families of increasing planar maps
当人们想通过连续添加面来定义一些三角剖分的增加族时，堆叠三角剖分就像自然对象一样出现。研究了两种不同分布下带$2n$面的有根堆叠三角剖分的渐近性质。我们证明了这组映射上的均匀分布对于局部收敛的拓扑收敛于无穷映射上的分布。另一方面，我们证明了在$n^{1/2}$下，它们对于度量空间上的Gromov-Hausdorff拓扑收敛到Aldous引入的连续随机树.在由自然随机结构诱导的分布下，由$(6/11)\log n$重新标度的随机点之间的距离在概率上收敛于1。我们得到了类似的渐近结果的家庭增加四边形。
2007-12-04 math.CO math.PR
Scaling limit of the uniform infinite half-plane quadrangulation in the Gromov-Hausdorff-Prokhorov-uniform topology
证明了具有一般边界或简单边界的均匀无限半平面四边形剖分（UIHPQ），在其图距离、自然面积测度和边界曲线的作用下，在标度极限内收敛于布朗半平面.收敛拓扑由曲线修饰度量测度空间上的所谓Gromov-Hausdorff-Prokhorov-uniform（GHPU）度量给出，其是Gromov-Hausdorff度量的推广，由此两个这样的空间$(X_1, d_1 , μ_1,η_1)$和$(X_2, d_2 , μ_2,η_2)$是接近的，如果它们可以等距嵌入到公共度量空间中，使得空间$X_1$和$X_2$在Hausdorff距离上是接近的，测量值$μ_1$和$μ_2$在Prokhorov距离中接近，曲线$η_1$和$η_2$在均匀距离中接近。
2017-09-04 math-ph math.CO math.MG
Stable quadrangulations and stable spheres
本文研究由稳定后代尾部 BGW 树经 CVS 双射得到的随机四边形剖分，证明其子序列标度极限的 Hausdorff 维数，并提出 α-稳定球面候选及体积波动性质。
2024-05-09 math.PR
Convergence of the self-avoiding walk on random quadrangulations to SLE$_{8/3}$ on $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity
我们证明了一个统一的无限四边形的半平面装饰的自避免行走（SAW）收敛在缩放限制的度量胶合两个独立的布朗半平面确定沿其正边界射线。结合作者的其他工作，这意味着随机四边形上的SAW收敛到某个$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力曲面上的SLEPDMATHABMM.收敛拓扑是局部Gromov-Hausdorff-Prokhorov一致拓扑，是局部Gromov-Hausdorff拓扑到曲线修饰度量测度空间的自然推广。我们还证明了类似的缩放极限结果均匀的无限四边形的整个平面装饰的单面或双面SAW。我们的证明仅使用随机四边形的剥离过程和布朗半平面的一些基本性质，因此可以在没有任何SLE或LQG知识的情况下阅读。
2019-10-16 math-ph math.CO math.CV
Confluence of geodesic paths and separating loops in large planar quadrangulations
我们考虑具有三个标记顶点的平面四边形，并讨论由三条测地线连接它们的三角形的几何。我们还研究了几何的最小分离回路，即路径的最小长度的所有封闭的路径通过的三个顶点之一，并分离其他两个四边形。我们专注于大四边形，也被称为布朗映射，其中对测地线路径或最小的分离回路有非零宏观长度的共同部分的通用标度极限。这就是汇合现象，它将随机四边形剖分的几何形状与光滑曲面的几何形状区分开来。我们刻画了这些公共部分的长度的普适概率分布。
2010-09-02 math-ph math.CO math.MP
Convergence of the free Boltzmann quadrangulation with simple boundary to the Brownian disk
我们证明了具有简单边界和固定周长的自由Boltzmann四边形，配备了它的图度量，自然面积测度和跟踪其边界的路径在标度极限收敛到自由Boltzmann布朗圆盘。收敛的拓扑是所谓的Gromov-Hausdorff-Prokhorov-uniform（GHPU）拓扑，曲线修饰度量测度空间的Gromov-Hausdorff拓扑的自然模拟。由此，我们推断，一个随机四边形的装饰由一个$2l$步自避免环的球收敛于法律的GHPU拓扑的随机曲线装饰的度量测度空间通过粘合在一起的两个独立的布朗磁盘沿其边界。
2018-02-21 math-ph math.CO math.MP
On the triviality of the shocked map
本文研究了临界状态下树装饰四剖分的极限行为，证明了在适当缩放后其收敛于边界缩为一点的Brownian disk，从而得出受冲击映射的平凡性。
2023-09-11 math.CO math.PR
Scaling limit of triangulations of polygons
我们证明了随机三角形的类型I，II，III下的临界玻尔兹曼重量下的一个简单的边界收敛于布朗磁盘的标度极限。证明使用双射由于Poulalhon和Schaeffer之间的第三类三角形的$p$ -贡和所谓的开花森林。Addario-Berry和第一作者也使用这种双射的一个变体来证明III型三角剖分收敛于布朗映射，但需要新的想法来处理简单的边界。我们的结果是一个成分的程序的第二和第三作者的一致三角形的Cardy嵌入下的收敛。
2020-10-28 math.CO math.PR
Random Planar Lattices and Integrated SuperBrownian Excursion
在本文中，一个令人惊讶的连接之间的一个特定品牌的随机格，即平面四边形，和奥尔德斯的集成超布朗漂移（ISE）。结果表明，n个面的随机四边形的半径r_n收敛于一维ISE的支集的宽度r=R-L.更一般地，在随机四边形中到随机顶点的距离的分布在其缩放极限中由随机测量ISE移位以将其支持的最小值设置为零来描述。第一个组合成分是嵌入在正半线的树的四边形的编码，让人想起科里和Vauquelin的标记良好的树。第二步涉及这些树嵌入（离散）树的意义上的奥尔德斯，通过共轭树的原则，一个类似的树木的韦尔瓦特的建设布朗漂移的桥梁。从概率论，我们需要一个新的结果独立的利益：随机嵌入平面树的编码的两个轮廓行走的ISE的布朗蛇描述的弱收敛。我们的结果表明，存在一个连续随机映射，它用ISE描述了二维纯量子引力中动力学三角剖分的标度极限。
2002-05-22 math-ph math.CO math.MP
Geometry of the Uniform Infinite Half-Planar Quadrangulation
我们给出了一个新的建设统一的无限半平面四边形与一般的边界（或UIHPQ），类似于建设的UIPQ提出的Chassaing和Durhuus，这使我们能够进行详细的研究其几何形状。我们表明，沿边界轮廓的UIHPQ的根顶点读取的距离的过程演变为一个特别简单的马尔可夫链和收敛到一对独立的贝塞尔过程的尺寸$5$的缩放限制。我们研究了从根顶点发出的无限测地线的“束”，如Ménard，Miermont和第二作者对UIPQ所做的，并证明了它导致了UIHPQ分解为三个独立的子映射.我们还能够证明，球的大半径的根周围的平均$7/9$倍大的那些在UIPQ，无论是在UIHPQ和UIHPQ与一个简单的边界，这一事实，我们使用的配套文件，研究自我避免行走大四边形。
2015-08-01 math.PR
The scaling limit of the volume of loop O(n) quadrangulations
研究了循环O(n)四边形体积的缩放极限，揭示了其与临界分支随机游走的关系，并给出了反指数分布的结论。
2025-12-15 math-ph math.MP math.PR
The Brownian plane
引入并研究了随机非紧度量空间-布朗平面，它是作为均匀无限平面四边形的尺度极限而得到的。或者，布朗平面被标识为布朗映射在其根顶点处的Gromov-Hausdorff切锥分布，并且当比例因子趋于0比n^{-1/4}慢时，它也作为具有n个面的均匀分布（有限）平面四边形的比例极限而出现。我们讨论布朗平面的各种性质。特别地，我们证明了布朗平面是同胚的平面，我们得到了详细的信息测地线到无穷大。
2012-04-26 math.PR
The perimeter cascade in critical Boltzmann quadrangulations decorated by an $O(n)$ loop model
研究了随机四边形上临界$O(n)$模型中$n \in (0,2)$的嵌套环周长的分枝树。我们证明了在重整化后它收敛到一个显式的连续乘法级联，其后代分布$(x_i)_{i \ge 1}$与具有$α= \frac{3}{2} \pm \frac{1}π \arccos(n/2)$的谱正$α$稳定Lévy过程的跳跃有关，并且我们对它有令人惊讶的简单和显式的变换$$ \mathbb E\left[\sum_{i \ge 1} (x_i)^θ\right] = \frac{\sin(π(2-α))}{\sin (π(θ- α))} \quad \mbox{for }θ\in (α, α+1).$$。证明中的一个重要成分是一个新的公式，该公式对左-右-左-左-右-右-左-左-连续随机游动在首中时停止。我们还确定了临界$O(n)$ -装饰四边形使用马尔萨斯鞅连续乘法级联的体积的标度极限。
2018-06-18 math-ph math.CO math.MP
A Tauberian approach to metric scaling limits of random discrete structures, with an application to random planar maps
本文提出一种基于Tauberian定理和夹逼定理的方法，在GHP拓扑下证明随机离散结构的度量缩放极限，并应用于随机平面地图，证明Brownian球面是不可约四边形剖分的缩放极限。
2025-10-07 math.CO math.MG math.PR
A phase transition in block-weighted random maps
本文研究块加权随机地图和四边形剖分的相变，在临界值 $u_C=9/5$ 处，最大块大小和缩放极限从凝聚态（布朗球）过渡到对数态（布朗树），临界点呈现稳定树极限。
2024-02-05 math.CO math.PR
Scaling limits for random triangulations on the torus
研究了环面上本质简单三角剖分的尺度极限。我们认为，对于每一个$n\geq 1$，一个均匀随机三角剖分$G_n$上的一组（适当的根）本质上是简单的三角剖分的环面上的$n$顶点。我们认为$G_n$作为一个度量空间，通过赋予它的一组顶点的图的距离表示为$d_{G_n}$和显示的随机度量空间$(V(G_n),n^{-1/4}d_{G_n})$在Gromov-Hausdorff意义下的分布收敛时，$n$走向无穷大，至少沿连续性，朝着一个随机度量空间。论证中的关键步骤之一是在映射上构造一个简单的标号，并证明它收敛到一个显式的标度极限。此外，我们还表明，这种标记近似于到根的距离，直到阶数$o(n^{1/4})$的统一校正。
2019-05-06 cs.DM math.CO math.PR
The scaling limit of uniform random plane maps, via the Ambjørn-Budd bijection
本文证明了一个具有n条边的均匀有根平面映射，在适当的正规化后，对于Gromov-Hausdorff拓扑，按分布收敛于布朗映射。由于Ambjørn和Budd最近的双射允许通过与具有n个面的均匀随机四边形的直接耦合来导出这个结果。
2013-12-20 math.PR
Scaling limit of critical percolation clusters on hyperbolic random half-planar triangulations and the associated random walks
本文证明了半平面随机双曲三角剖分上临界渗流簇的Gromov-Hausdorff-Prohorov标度极限为布朗连续随机树，并推得其上的简单随机游走重标度为该树上的布朗运动。
2023-11-20 math.PR
Universal aspects of critical percolation on random half-planar maps
本文研究了半平面随机格点上的一大类Bernoulli渗流模型，这些模型是由均匀平面三角剖分或四边剖分的局部极限得到的。我们首先计算的确切值的网站渗流阈值在四边形的情况下，使用所谓的剥离技术。然后，我们推广了天使的结果的比例限制的交叉概率，这是一个自然的模拟卡迪公式（非随机）平面格。我们的主要结果是，这些概率是普遍的，在这个意义上，他们不依赖于渗流模型，也不对地图的脸的程度。
2015-12-18 math.PR
Critical percolation on mesoscopic triangulations
我们扩展Smirnov的证明的存在性和共形不变性的缩放限制的临界站点渗流的三角形晶格的特定序列的周期图具有更任意的大规模结构，通过拼凑三角形区域的三角形晶格。虽然没有正式地说一个标度极限声明（因为图不是彼此的重新标度版本），但结果是临界渗流的普遍性的弱形式。
2014-10-02 math.PR
Isoperimetric inequalities in the Brownian plane
我们考虑布朗平面的模型，它是一个点的非紧随机度量空间，具有复平面的拓扑。布朗平面可以作为均匀无限平面三角剖分或均匀无限平面四边形剖分的标度极限，并证明它是许多其它随机平面格的普适标度极限。我们建立了明确的边界上的概率，有一个短的周期分离的半径$r$球中心的区别点从无穷大。然后证明了布朗平面的空间马尔可夫性的一个强形式。结合我们的研究短周期与这个强大的空间马尔可夫性，我们得到尖锐的布朗平面的等周界。
2021-05-13 math.PR
Random cubic planar graphs converge to the Brownian sphere
本文证明了随机连通三次可平面图（或多重图）的标度极限是布朗球。证明主要包括两个主要步骤。首先，由于三次可平面图到其3-连通分量的已知分解，随机三次可平面图的度量结构被示出为很好地近似于其唯一的3-连通分量的线性大小，与修改的距离。然后，Whitney定理保证了3-连通三次可平面图是简单三角剖分的对偶，已知其标度极限是布朗球。Curien和Le Gall最近开发了一个框架来研究一般三角剖分及其对偶中距离的修改。通过将此框架推广到简单三角剖分，证明了具有修正距离的3连通三次可平面图与其对偶三角剖分联合收敛到布朗球。
2023-03-22 math.CO math.PR
On the scaling of random Tamari intervals and Schnyder woods of random triangulations (with an asymptotic D-finite trick)
本文研究大小为n的均匀随机Tamari区间，证明其上下路径顶点高度按n^{3/4}缩放并具显式极限律，经Bernardi-Bonichon双射描述了随机三角剖分Schnyder树高度，并提出基于D-finiteness的自动矩泵送技巧证明收敛性。
2024-03-27 cs.SC math.CO math.PR
Volumes in the Uniform Infinite Planar Triangulation: from skeletons to generating functions
提出了一种计算均匀无限平面三角剖分（UIPT）中特定区域内顶点数母函数的方法。计算主要是组合的味道和主要工具是分解的UIPT到层，称为骨架分解，介绍了Krikun。特别是，我们得到明确的公式的生成函数的顶点数内壳（或完成度量球）为中心的根，和这些壳的测地线片内的顶点数。我们还恢复已知的结果有关的体积的缩放限制的船体先前获得的Curien和Le Gall通过研究剥离过程的UIPT。
2016-04-04 math.CO math.PR
Scaling limits for the peeling process on random maps
我们研究了在马尔可夫探索中发现的区域的体积和周长的标度极限，称为剥离过程的无限随机平面地图，如均匀无限平面三角剖分（UIPT）或四边形剖分（UIPQ）。特别是，我们的研究结果适用于度量探索或剥离层算法，其中发现的区域是（几乎）完成球，或船体，在根顶点为中心。壳的周长和体积的标度极限可以用我们以前研究的布朗平面的壳过程表示。其他应用包括我们的无限随机格的对偶图的度量探索，以及对偶图上具有指数边权重的首次通过渗流，也称为伊甸园模型或均匀剥离。
2015-07-19 math.PR
Directed distances in bipolar-oriented triangulations: exact exponents and scaling limits
该研究针对均匀无限双极定向三角剖分（UIBOT）及有限双极定向三角剖分，构造Busemann函数研究有向路径距离，得到标度极限下的稳定Lévy过程、距离的幂律阶与标度维数，技术可推广至其他相关模型。
2025-10-30 math-ph math.CO math.MP
Percolation on random triangulations and stable looptrees
研究了Angel & Schramm的均匀无限平面三角剖分上的点渗流问题。我们计算了几个临界和近临界指数，并描述了在所有制度（亚临界，临界和超临界）的大渗流集群的边界的标度限制。我们特别证明了大临界渗流集团边界的标度极限是指数为3/2的随机稳定环树，这是在一个配套文件中介绍的。我们还提出了一个猜想，将（1，2）中任意指标的循环树与O（N）模型装饰的随机三角剖分中簇边界的标度极限联系起来。
2014-12-03 math-ph math.MP math.PR
Convergence of uniform triangulations under the Cardy embedding
本文考虑平面映射到等边三角形$Δ$的一种嵌入，我们称之为Cardy嵌入。嵌入是一个共形映射的离散逼近，基于斯米尔诺夫的卡迪公式证明中使用的渗透观测值。在Cardy嵌入下，平面映射导出了$Δ$上的度量和面积测度以及$\partial Δ$上的边界测度.我们证明了对于均匀采样三角剖分，度量和测度在尺度极限内联合收敛到共形嵌入$Δ$的布朗圆盘（即，到$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力盘）。作为我们的证明的一部分，我们证明了尺度极限结果临界点渗流的均匀三角剖分，在淬火的意义。特别地，我们建立了四个边界标记点的均匀采样三角剖分的逾渗穿越概率的标度极限。
2021-06-02 math-ph math.CV math.MP
Joint scaling limit of site percolation on random triangulations in the metric and peanosphere sense
最近的工作表明，随机三角形装饰的临界（$p=1/2$）Bernoulli网站渗流收敛于$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力（LQG）表面（相当于布朗表面）装饰SLE $_6$在两种不同的方式：1。三角剖分，被看作是一个曲线装饰的度量测度空间配备其图的距离，计数措施的顶点，和一个单一的渗透接口收敛到一个版本的Gromov-Hausdorff拓扑。2.通过二维随机游走对定点三角剖分进行双射编码，并且该游走收敛于相关二维布朗运动，该布朗运动通过Duplantier-Miller-Sheffield（2014）的树匹配定理对SLE $_6$修饰的$\sqrt{8/3}$ -LQG进行编码;这有时被称为$\textit{peanosphere convergence}$。我们证明，事实上有$\textit{joint}$收敛在这两个意义上同时。我们还改进了度量收敛的结果，证明了在度量空间意义下，由渗透界面的全部集合（而不仅仅是单个界面）装饰的映射收敛到由CLE $_6$装饰的$\sqrt{8/3}$ -LQG。这是第一个工作，证明同时收敛的任何随机平面地图模型在度量和peanosphere意义上。此外，这项工作是一个正在进行的程序中的重要一步，以证明随机三角嵌入$\mathbb C$通过所谓的$\textit{Cardy embedding}$收敛到$\sqrt{8/3}$…
2021-06-08 math-ph math.MP math.PR
Distance statistics in large toroidal maps
我们计算了一些距离依赖的通用尺度函数，其特征在于亏格1的大型地图的距离统计。特别地，我们得到明确的概率分布的最短的不可收缩回路通过一个随机点的地图，并为两个随机点之间的距离的长度。我们的研究结果是在二分环形四边形的背景下，使用他们的编码以及标记的1-树，这是一个单一的脸和适当的整数顶点标签的属一地图。在这个框架内，上面的分布可以简单地作为良好标记的1-树的适当生成函数的缩放极限来获得，所有这些都可以用少量良好标记的平面树的基本缩放函数来表示。
2010-06-30 math-ph math.CO math.MP
Infinite geodesics in hyperbolic random triangulations
我们研究了平面随机双曲三角剖分$\mathbb{T}_λ$中无限测地线的结构，$\mathbb{T}_λ$是UIPT的双曲类似物。我们证明了这些测地线形成一个超临界Galton-Watson树的几何后代分布。$\mathbb{T}_λ$中的无限测地线树提供了一种新的边界概念，它是泊松边界的一种实现。通过标度极限的讨论，我们还得到了双曲布朗平面上无限测地线树的一个描述。最后，将我们的主要结果与即将发表的一篇论文相结合，得到了$\mathbb{T}_λ$的新的双曲性：它满足Gromov双曲性的一个较弱形式，并且允许双无限测地线。
2019-04-29 math.PR
The skeleton of the UIPT, seen from infinity
利用Krikun发现的随机三角剖分的骨架分解，证明了均匀无限平面三角剖分（UIPT）中的测地线在强意义上是聚结的。这意味着在UIPT中存在唯一的测量距离无穷远的时函数。然后，我们使用这个horofunction定义的骨架“从无穷远看到”的UIPT，并将其与一个简单的高尔顿-沃森树条件生存，给出了一个新的和特别简单的建设的UIPT。在这个新的分解的周长和体积的标度限制的horohulls也被导出，以及一个新的证明的$2$ -点函数公式的随机三角形的标度限制由于Ambjørn和Watabiki。
2018-03-14 math-ph math.CO math.MP
Interfaces in the vertex-decorated Ising model on random triangulations of the disk
我们提供了一个框架来研究由Dobrushin边界条件施加在半平面版本的伊辛模型上的随机三角形顶点上的自旋的接口。利用Albenque，Ménard和Schaeffer（[2]）的组合解和Chen和Turunen（[8]，[9]）介绍的生成函数方法，我们证明了当周长趋于无穷大时圆盘三角剖分的局部弱收敛性，并研究了Dobrushin边界条件所施加的界面.作为分析的结果，我们验证了物理文献中的离散界面在高温区类似于临界点渗流界面，以及提供了一个明确的界面长度在临界温度的标度极限，这与连续Liouville量子引力表面上的结果相一致。总的来说，该模型的结构比在面上旋转的模型更简单，并且证明了[8]，[9]中开发的方法的鲁棒性。
2020-06-01 math-ph math.CO math.MP
Joint scaling limit of a bipolar-oriented triangulation and its dual in the peanosphere sense
本文证明了无限体积随机双极定向三角剖分及其对偶地图的 height 函数对在缩放极限下联合收敛到两个平面布朗运动，它们编码同一个同时装饰有 SLE$_{12}$ 曲线及其对偶曲线的 $\sqrt{4/3}$-LQG 曲面，从而证实了 Kenyon 等人的猜想。
2025-11-06 math-ph math.CV math.MP
Random geometry on the sphere
介绍并研究了二维随机几何的一个万有模型。为此，我们开始从一个离散的图形绘制的领域，这是随机选择均匀在某一类图具有给定的大小$n$，例如类的所有三角形的领域与$n$的面孔。我们配备的顶点集的图与通常的图的距离重新缩放的因素$n^{-1/4}$。然后，我们证明了由此产生的随机度量空间收敛的分布为$n\to\infty$，在Gromov-Hausdorff意义上，向一个有限的随机紧度量空间称为布朗映射，这是普遍的意义上说，它不依赖于最初选择的类图。布朗映射与球面同胚，但其豪斯多夫维数等于$4$。我们得到了布朗映射中测地线结构的详细信息。我们还提出了称为布朗平面的布朗映射的无限体积变体，它作为均匀无限平面四边形的标度极限而出现。最后，我们讨论了一些开放的问题。这项研究的部分动机是在二维量子引力的物理理论中使用随机几何。
2014-03-31 math.PR
Critical Ising model on random triangulations of the disk: enumeration and local limits
我们考虑Boltzmann随机三角形耦合到伊辛模型在他们的脸上，Dobrushin边界条件下，在临界点的模型。本文的第一部分通过求解Tutte方程，显式地计算了该模型的分拆函数，将Bernardi和Bousquet-Mélou的结果推广到具有Dobrushin边界条件的模型。我们表明，该模型的周长指数为7/3，而均匀三角剖分的指数为5/2。在第二部分中，我们证明了当Dobrushin边界的两个分量相继趋于无穷大时，模型具有局部分布极限。局部极限构造明确使用剥离过程沿伊辛接口。此外，我们表明，在局部极限的主界面接触（无限）边界几乎肯定只有1000次，一个行为相反的伯努利渗流均匀映射。还得到了一些与有限团簇周长密切相关的标度极限。
2019-11-08 math-ph math.CO math.MP
Ising model on random triangulations of the disk: phase transition
在文献[arXiv：1806.06668]中，我们研究了在临界温度下耦合到伊辛模型的圆盘的Boltzmann随机三角剖分.在本文中，我们研究的相变的模型，通过扩展我们以前的结果，以任意温度：我们计算的配分函数的模型在所有温度下，并推导出几个临界指数与无限的周长极限。我们证明了该模型在任何温度下都有一个局部极限，其性质与温度密切相关。在高温下，局部极限是让人想起的均匀无限半平面三角形（UIHPT）装饰亚临界渗流。在低温下，由于Dobrushin边界条件所施加的两个自旋团簇之间的主要伊辛界面的能量消耗，局部极限发展出有限宽度的瓶颈。这种变化可以用一个新的具有良好几何意义的序参量来概括。除了相变，我们还将我们的局部极限的构造从[arXiv：1806.06668]中使用的两步渐近制度推广到更自然的对角渐近制度。在这个区域中，我们得到了与主伊辛界面长度相关的标度极限，这与量子表面连续理论的预测一致（也称为\刘维量子引力）。
2022-12-20 math-ph math.CO math.MP
Conformal growth rates and spectral geometry on distributional limits of graphs
对于一个单模随机图$(G,ρ)$，我们考虑其固有路径度量的变形（随机）加权的顶点。这导致了$(G,ρ)$的共形增长指数的概念，这是通过这种重新加权可以实现的球的体积增长的最佳渐近程度。在根的度的矩条件下，我们证明了么模随机图的共形增长指数限制了它的几乎必然谱维数。这对许多低维模型有着有趣的影响。第二个维度的后果尤其严重。它建立了像均匀无限平面三角剖分（UIPT）和四边形剖分（UIPQ）的模型几乎肯定具有最多为2的谱维数。通过将Benjamini和Schramm（2001）的递归定理从可平面图推广到任意族的$H$ -子自由图，建立了Benjamini和Schramm的一个猜想.更一般地说，它加强了Gurel-Gurevich和Nachelor（2013）的工作，他们建立了根的度具有指数尾时可平面图的分布极限的递归性。我们进一步提出了一个一般的方法来证明subdiffusivity的随机游动的一大类模型，包括UIPT和UIPQ，只使用球的体积增长曲线的内在度量。
2020-06-01 math.MG math.PR
Scaling of Percolation on Infinite Planar Maps, I
我们考虑几个方面的随机平面三角剖分，有限和无限的渗流的标度极限。本文给出了Cardy极限公式在不同交叉概率标度下的随机映射的等价形式。极限概率用简单事件表示。一些显式公式的极限概率遵循这个关系，通过应用已知的结果稳定的过程。相反，随机映射的自然对称性意味着关于Airy-Levy过程的恒等式。
2005-01-01 math-ph math.MP math.PR
Limits of the boundary of random planar maps
在典型面的度的分布在一个参数为$α\in (1,2)$的稳定分布的吸引区域中的假设下，讨论了临界Boltzmann平面映射边界的渐近性.首先，在对应于$α\in(1,3/2)$的稠密相中，我们证明了边界的标度极限是带参数$(α-1/2)^{-1}$的随机稳定循环树。其次，我们通过边界的局部极限证明了相变的存在：在稠密相，边界是树状的，而在对应于$α\in(3/2,2)$的稀相，它有一个同胚的半平面的组件。作为应用，我们确定的限制条件是大的刚性$O(n)$循环模型四边形，从而证明了Curien和Kortchemski的猜想。
2017-11-29 math.PR
Scaling and local limits of Baxter permutations through coalescent-walk processes
众所周知，巴克斯特排列、平面双极取向和非负象限中的一个特定的行走族通过几个双射相互关联。我们引入了一个新的家庭离散对象，称为聚结行走过程，这是我们的结果的基础。我们将这些新的对象与其他先前提到的家庭引入一些新的双射。我们证明联合Benjamini-Schramm收敛（无论是在退火和淬火的意义上）的四个家庭中的统一对象。此外，我们明确地构建了一个新的分形随机测度的单位平方，称为合并巴克斯特置换，我们表明，它是标度极限（在置换意义上）的均匀巴克斯特置换。为了证明后一个结果，我们研究了相关的随机合并行走过程的标度极限。我们表明，他们收敛于法律的连续随机聚结行走过程编码的扰动版本的田中随机微分方程。这一结果与Gwynne，Holden，Sun（2016）关于平面双极三角剖分的缩放限制（在Peanosphere拓扑中）的结果有联系（将在未来的项目中探索）。我们进一步证明了一些结果，涉及的限制对象的四个家庭彼此，无论是在本地和缩放限制的情况下。
2020-06-12 math.CO math.PR
Geometric properties of spin clusters in random triangulations coupled with an Ising Model
我们调查的几何形状的一个典型的自旋集团在随机三角形采样的概率成正比的伊辛配置的能量在他们的顶点，无论是在有限和无限的体积设置。该模型在一个明确的临界温度下经历组合相变，其分拆函数具有与均匀映射不同的渐近行为。这项工作的目的是给这个相变的几何证据。在无限体积的设置，称为无限伊辛平面三角形，我们表现出一个相变的存在一个无限的自旋集群：临界和超临界温度下，根自旋集群几乎肯定是有限的，而它是无限的正概率亚临界温度。值得注意的是，我们能够得到一个明确的参数表达式，这个概率，它允许证明的渗流临界指数是$β=1/4$。我们还推导出临界指数的尾部分布的周长和体积的根自旋集群，无论是在有限和无限的体积设置。最后，我们建立了根自旋团簇作为循环树的界面的标度极限。特别是在整个超临界温度制度，我们证明了临界指数和循环树极限是相同的临界伯努利网站渗流。我们的证明混合组合和概率参数。该方法以垫片分解为出发点，充分利用了模型的空间马尔可夫性。这种分解使我们能够表征根自旋集团作为玻尔兹曼平面映射在有限体积设置。然后，我们结合精确的组合结果，通过分析组合学和玻尔兹曼映射的普遍特征，建立我们的结果。
2022-01-28 math-ph math.CO math.MP
How fast planar maps get swallowed by a peeling process
剥离过程是逐步发现随机平面地图的算法过程。在诸如UIPT或UIPQ的一般情况下，已知[Curien & Le Gall，Scaling limits for the peeling process on random maps，Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 53，1（2017），322-357]，任何剥离过程最终都会发现整个地图。在本文中，我们研究了原点在时间$n$之前不被剥离过程吞噬的概率，并表明它至少衰减为$n^{-2c/3}$，其中\[c \approx 0.12831235141783245423674486573872854933142662048339843...\]通过积分方程定义，该积分方程使用谱负的$3/2$ -稳定的Lévy过程的Lamperti表示导出，条件是保持正[Chaumont，Kyprianou & Pardo，Some explicit identities associated with positive self-similar Markov processes，随机过程。119，3（2009），980-1000]，其表现为周界过程的缩放限制。作为应用，我们锐化了[Benjamini & Curien，Simple随机游动随机游动on the uniform infinite planar qua…
2018-02-28 math.PR
Relations between scaling exponents in unimodular random graphs
我们调查的有效性的“爱因斯坦关系”的一般设置的单模随机网络。这些是与标度指数相关的等式：$d_w = d_f + \tildeζ$和$d_s = 2 d_f/d_w$，其中$d_w$是行走维数，$d_f$是分形维数，$d_s$是谱维数，以及$\tildeζ$是电阻指数。粗略地说，这将随机游走者的平均位移和返回概率与底层介质的密度和电导率联系起来。我们表明，如果$d_f$和$\tildeζ \geq 0$存在，则$d_w$和$d_s$存在，并且上述等式成立。此外，我们主要的新估计是关系$d_w \geq d_f + \tildeζ$，这是建立所有$\tildeζ \in \mathbb{R}$。对于均匀无限平面三角剖分（UIPT），使用$d_f=4$（Angel 2003）和$\tildeζ=0$（根据Gwynne-Miller 2017和Ding-Gwynne 2020建立的刘维尔量子引力理论，在此建立）得出结论$d_w=4$。Gwynne和Hutchcroft（2018）先前使用更精细的方法确定了$d_w=4$的结论。一个新的结果是，$d_w = d_f$的均匀无限Schnyder-wood装饰三角，这意味着简单的随机游动是次扩散，因为$d_f > 2$（丁和Gwynne 2020）。对于$\mathbb{Z}^2$上的随机游走，由指数为$γ> 0$的指数高斯自由场的电导驱动，有…
2021-05-07 math.PR
Random planar maps & growth-fragmentations
我们感兴趣的周期切片在所有高度随机玻尔兹曼三角与一个简单的边界。我们建立了一个功能不变原理的长度，这些周期，适当地重新缩放，作为边界的大小的增长。使用自相似的增长-碎裂过程与明确的参数描述的限制过程。为此，我们介绍了一个分支剥离探索玻尔兹曼三角形，这使我们能够确定一个重要的鞅涉及周长的周期在给定的高度。我们还使用了最近的一个结果关于自相似标度极限的马尔可夫链上的非负整数。这项工作的一个动机是给出一个新的布朗映射的增长-破碎过程的建设。
2017-03-09 math.PR
