Classification of scaling limits of uniform quadrangulations with a boundary
研究了具有边界的均匀随机平面四边形在其尺度趋于无穷大时的非紧尺度极限。根据边界大小的渐近行为和比例因子的选择，我们观察到不同的极限度量空间。在著名的对象，如布朗平面或无限连续随机树，我们构造了两个新的单参数家庭的度量空间，出现的标度限制：布朗半平面与偏度参数$θ$和无限体积布朗圆盘的周长$σ$。我们还获得了各种耦合和极限结果澄清这些对象之间的关系。
2016-08-03 math.PR
The Brownian map is the scaling limit of uniform random plane quadrangulations
我们证明了具有$n$面的球的均匀随机四边形化，赋予通常的图距离并由$n^{-1/4}$重正化，对于Gromov-Hausdorff拓扑，收敛为$n\to\infty$分布到一个极限度量空间。我们验证了Le Gall的一个猜想，证明该极限是（在尺度常数以内）所谓的{ \em Brownian map}，它是由Marckert & Mokkadem和Le Gall引入的，作为许多随机平面映射模型的尺度极限的最自然候选者。证明强烈依赖于地图中{ \em测地星}的概念，测地星是由几个测地线组成的配置，这些测地线只共享一个公共端点，在其他地方不相交。
2011-05-09 math.PR
Scaling Limit of Random Planar Quadrangulations with a Boundary
本文讨论了边界长度为面数平方根数量级的平面四边形剖分的尺度极限。我们考虑整数序列$(σ_n)$使得$σ_n/\sqrt{2n}$趋向于某个$σ\in[0,\infty]$ .对于每个$n \ge 1$，我们称$q_n$为均匀分布在所有有根平面四边形的集合上的随机映射，其边界具有$n$面和边界上的$2σ_n$半边。对于$σ\in (0,\infty)$，我们将$q_n$视为度量空间，通过赋予其顶点集以由$n^{-1/4}$重新缩放的图度量。我们表明，这个度量空间收敛分布，至少沿着一些子序列，向一个有限的随机度量空间，在这个意义上的Gromov-Hausdorff拓扑。我们证明了极限度量空间几乎必然是一个Hausdorff维数为4的空间，其边界Hausdorff维数为2，与二维圆盘同胚。对于$σ=0$，相同的收敛性在没有提取的情况下也成立，极限是所谓的布朗映射。对于$σ=\infty$，适当的缩放成为$σ_n^{-1/2}$，我们得到了一个收敛到奥尔德斯的CRT。
2013-09-15 math.PR
Stable quadrangulations and stable spheres
本文研究由稳定后代尾部 BGW 树经 CVS 双射得到的随机四边形剖分，证明其子序列标度极限的 Hausdorff 维数，并提出 α-稳定球面候选及体积波动性质。
2024-05-09 math.PR
Scaling limit of random plane quadrangulations with a simple boundary, via restriction
本文证明具有简单边界的均匀随机四边形剖分在 $n^{-1/4}$ 缩放下弱收敛于布朗盘，通过将其视为已知极限模型的条件版本并运用去条件化技术实现。
2023-10-12 math.CO math.PR
The scaling limit of random simple triangulations and random simple quadrangulations
设$M_n$是球面$S^2$的一个简单三角剖分，从所有具有n个顶点的三角剖分中随机均匀地画出。赋予$M_n$在其顶点上的均匀概率测度。在用$(3/(4n))^{1/4}$对$V(M_n)$上的图距离进行重新标度后，得到的随机测度度量空间在Gromov-Hausdorff-Prokhorov意义下按分布收敛于布朗映射.在证明上述事实时，我们引入了$M_n$顶点的标号函数。在这种标记下，到一个区别点的距离基本上由顶点标记给出，误差由地图中相关闭合环的卷绕数给出。我们建立简单的四边形类似的结果。
2016-01-19 math.CO math.PR
Distance statistics of block-weighted planar quadrangulations
Sorbonne Université（索邦大学）；Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS, IMJ-PRG（法国国家科学研究中心，数学与交叉科学研究所）；Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；CNRS, CEA, Institut de physique théorique（法国国家科学研究中心，法国原子能和替代能源委员会，理论物理研究所）；CNRS, IRIF（法国国家科学研究中心，信息与随机研究所）
本文研究块加权平面四边形剖分的距离统计，推导两点函数显式表达式，通过鞍点分析计算缩放极限下的距离分布，恢复 $u=9/5$ 处的相变，并讨论块内距离分布。
2026-09-09 math.CO math.PR
The Brownian plane
引入并研究了随机非紧度量空间-布朗平面，它是作为均匀无限平面四边形的尺度极限而得到的。或者，布朗平面被标识为布朗映射在其根顶点处的Gromov-Hausdorff切锥分布，并且当比例因子趋于0比n^{-1/4}慢时，它也作为具有n个面的均匀分布（有限）平面四边形的比例极限而出现。我们讨论布朗平面的各种性质。特别地，我们证明了布朗平面是同胚的平面，我们得到了详细的信息测地线到无穷大。
2012-04-26 math.PR
Distance statistics in quadrangulations with a boundary, or with a self-avoiding loop
我们考虑四边形与边界，并推导出显式表达式的生成函数，这些地图与标记的顶点在规定的距离从边界，或两个边界顶点在规定的相互距离的地图。对于大的地图，这会产生明确的公式，在各种遇到的缩放制度：一个小的边界，一个密集的边界和临界边界制度的体积边界和边界-边界边界的缩放。临界边界制度的特点是由一个单参数家庭的尺度函数之间的布朗映射和布朗连续随机树插值。我们讨论的情况下，通用和自我避免的边界，这是共享相同的通用缩放限制。我们最后解决的问题，批量循环距离统计的背景下，配备了一个自我避免循环的平面四边形。在这里，再次发现了一个新的家庭的标度函数描述的关键回路。
2010-09-02 math-ph math.CO math.MP
Joint convergence of random quadrangulations and their cores
证明了对于Gromov-Hausdorff-Prokhorov拓扑，一个均匀四边形，它的最大2-连通块和它的最大简单块在分布上联合收敛到同一个布朗映射。首先，我们推导出一个局部极限定理的渐近最大块大小，扩展的结果在\cite{BFSS}。随机四边形剖分的悬垂子映射的直径界直接导致格罗莫夫-豪斯多夫收敛。为了将收敛扩展到Gromov-Hausdorff-Prokhorov拓扑，我们证明了可交换的“一致渐近可忽略”的质量附件在极限下只会产生确定性的质量度量。
2016-04-28 math.CO math.PR
Scaling limit of the uniform infinite half-plane quadrangulation in the Gromov-Hausdorff-Prokhorov-uniform topology
证明了具有一般边界或简单边界的均匀无限半平面四边形剖分（UIHPQ），在其图距离、自然面积测度和边界曲线的作用下，在标度极限内收敛于布朗半平面.收敛拓扑由曲线修饰度量测度空间上的所谓Gromov-Hausdorff-Prokhorov-uniform（GHPU）度量给出，其是Gromov-Hausdorff度量的推广，由此两个这样的空间$(X_1, d_1 , μ_1,η_1)$和$(X_2, d_2 , μ_2,η_2)$是接近的，如果它们可以等距嵌入到公共度量空间中，使得空间$X_1$和$X_2$在Hausdorff距离上是接近的，测量值$μ_1$和$μ_2$在Prokhorov距离中接近，曲线$η_1$和$η_2$在均匀距离中接近。
2017-09-04 math-ph math.CO math.MG
Convergence of the self-avoiding walk on random quadrangulations to SLE$_{8/3}$ on $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity
我们证明了一个统一的无限四边形的半平面装饰的自避免行走（SAW）收敛在缩放限制的度量胶合两个独立的布朗半平面确定沿其正边界射线。结合作者的其他工作，这意味着随机四边形上的SAW收敛到某个$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力曲面上的SLEPDMATHABMM.收敛拓扑是局部Gromov-Hausdorff-Prokhorov一致拓扑，是局部Gromov-Hausdorff拓扑到曲线修饰度量测度空间的自然推广。我们还证明了类似的缩放极限结果均匀的无限四边形的整个平面装饰的单面或双面SAW。我们的证明仅使用随机四边形的剥离过程和布朗半平面的一些基本性质，因此可以在没有任何SLE或LQG知识的情况下阅读。
2019-10-16 math-ph math.CO math.CV
The scaling limit of uniform random plane maps, via the Ambjørn-Budd bijection
本文证明了一个具有n条边的均匀有根平面映射，在适当的正规化后，对于Gromov-Hausdorff拓扑，按分布收敛于布朗映射。由于Ambjørn和Budd最近的双射允许通过与具有n个面的均匀随机四边形的直接耦合来导出这个结果。
2013-12-20 math.PR
Convergence of the free Boltzmann quadrangulation with simple boundary to the Brownian disk
我们证明了具有简单边界和固定周长的自由Boltzmann四边形，配备了它的图度量，自然面积测度和跟踪其边界的路径在标度极限收敛到自由Boltzmann布朗圆盘。收敛的拓扑是所谓的Gromov-Hausdorff-Prokhorov-uniform（GHPU）拓扑，曲线修饰度量测度空间的Gromov-Hausdorff拓扑的自然模拟。由此，我们推断，一个随机四边形的装饰由一个$2l$步自避免环的球收敛于法律的GHPU拓扑的随机曲线装饰的度量测度空间通过粘合在一起的两个独立的布朗磁盘沿其边界。
2018-02-21 math-ph math.CO math.MP
The scaling limit of the volume of loop O(n) quadrangulations
Fudan University（复旦大学）；University of Vienna（维也纳大学）
研究了循环O(n)四边形体积的缩放极限，揭示了其与临界分支随机游走的关系，并给出了反指数分布的结论。
2025-12-15 math-ph math.MP math.PR
The structure of unicellular maps, and a connection between maps of positive genus and planar labelled trees
单细胞地图是只有一个面的地图。本文给出了一个固定亏格的单胞有根映射的支配子集与一组具有特殊顶点的有根平面树之间的双射。双射也适用于标记单胞映射的情况，这与Marcus和Schaeffer双射的所有有根映射有关。这给出了给定亏格的单胞映射的渐近数的直接推导，以及Lehman和Walsh关于单顶点三角剖分数的公式的简单双射证明。从标号的情况下，我们推导出的表达式的渐近数的亏格g的n边涉及ISE随机测度，和一个明确的特征的极限轮廓和半径的亏格g的随机二部四边形的ISE。
2009-03-05 math.CO math.PR
The perimeter cascade in critical Boltzmann quadrangulations decorated by an $O(n)$ loop model
研究了随机四边形上临界$O(n)$模型中$n \in (0,2)$的嵌套环周长的分枝树。我们证明了在重整化后它收敛到一个显式的连续乘法级联，其后代分布$(x_i)_{i \ge 1}$与具有$α= \frac{3}{2} \pm \frac{1}π \arccos(n/2)$的谱正$α$稳定Lévy过程的跳跃有关，并且我们对它有令人惊讶的简单和显式的变换$$ \mathbb E\left[\sum_{i \ge 1} (x_i)^θ\right] = \frac{\sin(π(2-α))}{\sin (π(θ- α))} \quad \mbox{for }θ\in (α, α+1).$$。证明中的一个重要成分是一个新的公式，该公式对左-右-左-左-右-右-左-左-连续随机游动在首中时停止。我们还确定了临界$O(n)$ -装饰四边形使用马尔萨斯鞅连续乘法级联的体积的标度极限。
2018-06-18 math-ph math.CO math.MP
On the triviality of the shocked map
本文研究了临界状态下树装饰四剖分的极限行为，证明了在适当缩放后其收敛于边界缩为一点的Brownian disk，从而得出受冲击映射的平凡性。
2023-09-11 math.CO math.PR
A Tauberian approach to metric scaling limits of random discrete structures, with an application to random planar maps
本文提出一种基于Tauberian定理和夹逼定理的方法，在GHP拓扑下证明随机离散结构的度量缩放极限，并应用于随机平面地图，证明Brownian球面是不可约四边形剖分的缩放极限。
2025-10-07 math.CO math.MG math.PR
Scaling limits for the peeling process on random maps
我们研究了在马尔可夫探索中发现的区域的体积和周长的标度极限，称为剥离过程的无限随机平面地图，如均匀无限平面三角剖分（UIPT）或四边形剖分（UIPQ）。特别是，我们的研究结果适用于度量探索或剥离层算法，其中发现的区域是（几乎）完成球，或船体，在根顶点为中心。壳的周长和体积的标度极限可以用我们以前研究的布朗平面的壳过程表示。其他应用包括我们的无限随机格的对偶图的度量探索，以及对偶图上具有指数边权重的首次通过渗流，也称为伊甸园模型或均匀剥离。
2015-07-19 math.PR
A phase transition in block-weighted random maps
本文研究块加权随机地图和四边形剖分的相变，在临界值 $u_C=9/5$ 处，最大块大小和缩放极限从凝聚态（布朗球）过渡到对数态（布朗树），临界点呈现稳定树极限。
2024-02-05 math.CO math.PR
Isoperimetric inequalities in the Brownian plane
我们考虑布朗平面的模型，它是一个点的非紧随机度量空间，具有复平面的拓扑。布朗平面可以作为均匀无限平面三角剖分或均匀无限平面四边形剖分的标度极限，并证明它是许多其它随机平面格的普适标度极限。我们建立了明确的边界上的概率，有一个短的周期分离的半径$r$球中心的区别点从无穷大。然后证明了布朗平面的空间马尔可夫性的一个强形式。结合我们的研究短周期与这个强大的空间马尔可夫性，我们得到尖锐的布朗平面的等周界。
2021-05-13 math.PR
Invariance principles for random bipartite planar maps
随机平面映射在物理学文献中被认为是随机曲面的离散对应物。它是正确的重新缩放随机平面地图，当有条件有大量的面孔，应该收敛到一个极限表面，其法律不依赖于，比例因子，对采样的地图类的细节。从Chassaing和Schaeffer开始，以前关于该主题的工作已经表明，具有$n$面的随机四边形的半径，即这种四边形到固定参考点的最大图形距离，一旦被$n^{1/4}$重新缩放，分布就会收敛到布朗蛇的直径，直到缩放常数。利用Bouttier、Di Francesco和Guitter在二分平面映射和一族标记树之间的双射，我们证明了一类遵循玻尔兹曼分布的随机映射在度为$2k$的面上赋予权重$q_k$的相应不变原理：这些贴图的半径，条件为具有$n$面（或$n$顶点），并且在临界性假设下，一旦由$n^{1/4}$重新缩放到布朗蛇直径的缩放版本，则在分布中收敛。收敛结果的所谓的配置文件的地图也提供。本文还证明了Marckert和Mokkadem引入的重标度二分映射到布朗映射的收敛性。这些结果的证明依赖于两类空间Galton-Watson树的一个新的不变原理。
2007-10-18 math.PR
Universal aspects of critical percolation on random half-planar maps
本文研究了半平面随机格点上的一大类Bernoulli渗流模型，这些模型是由均匀平面三角剖分或四边剖分的局部极限得到的。我们首先计算的确切值的网站渗流阈值在四边形的情况下，使用所谓的剥离技术。然后，我们推广了天使的结果的比例限制的交叉概率，这是一个自然的模拟卡迪公式（非随机）平面格。我们的主要结果是，这些概率是普遍的，在这个意义上，他们不依赖于渗流模型，也不对地图的脸的程度。
2015-12-18 math.PR
Distance statistics in large toroidal maps
我们计算了一些距离依赖的通用尺度函数，其特征在于亏格1的大型地图的距离统计。特别地，我们得到明确的概率分布的最短的不可收缩回路通过一个随机点的地图，并为两个随机点之间的距离的长度。我们的研究结果是在二分环形四边形的背景下，使用他们的编码以及标记的1-树，这是一个单一的脸和适当的整数顶点标签的属一地图。在这个框架内，上面的分布可以简单地作为良好标记的1-树的适当生成函数的缩放极限来获得，所有这些都可以用少量良好标记的平面树的基本缩放函数来表示。
2010-06-30 math-ph math.CO math.MP
Random Planar Lattices and Integrated SuperBrownian Excursion
在本文中，一个令人惊讶的连接之间的一个特定品牌的随机格，即平面四边形，和奥尔德斯的集成超布朗漂移（ISE）。结果表明，n个面的随机四边形的半径r_n收敛于一维ISE的支集的宽度r=R-L.更一般地，在随机四边形中到随机顶点的距离的分布在其缩放极限中由随机测量ISE移位以将其支持的最小值设置为零来描述。第一个组合成分是嵌入在正半线的树的四边形的编码，让人想起科里和Vauquelin的标记良好的树。第二步涉及这些树嵌入（离散）树的意义上的奥尔德斯，通过共轭树的原则，一个类似的树木的韦尔瓦特的建设布朗漂移的桥梁。从概率论，我们需要一个新的结果独立的利益：随机嵌入平面树的编码的两个轮廓行走的ISE的布朗蛇描述的弱收敛。我们的结果表明，存在一个连续随机映射，它用ISE描述了二维纯量子引力中动力学三角剖分的标度极限。
2002-05-22 math-ph math.CO math.MP
Random generation and scaling limits of fixed genus factorizations into transpositions
研究了$n$ -圈到固定亏格$g>0$的转置的随机分解的渐近性态.他们有一个几何解释为分支覆盖的领域和他们的枚举作为赫维茨数被广泛研究代数组合学和枚举几何。在概率方面，在以前的工作中研究了置换因子分解的几个模型和性质，特别是循环到置换的最小因子分解（对应于本工作的情况$g=0$）。利用单胞映射的分解表示，我们首先给出了一个算法，该算法在线性时间内对亏格$g$的渐近均匀分解进行采样。在第二次，我们编码的分解作为一个过程中的和弦出现一个接一个的单位磁盘，我们证明了收敛（作为$n\to\infty$）的过程与一致的属$g$分解的$n$ -循环。极限过程可以从布朗游程中显式地构造出来。最后，我们建立了自然亏格过程的收敛性，并对分解中连续亏格的出现进行了编码。
2021-05-07 math.CO math.PR
Limits of the boundary of random planar maps
在典型面的度的分布在一个参数为$α\in (1,2)$的稳定分布的吸引区域中的假设下，讨论了临界Boltzmann平面映射边界的渐近性.首先，在对应于$α\in(1,3/2)$的稠密相中，我们证明了边界的标度极限是带参数$(α-1/2)^{-1}$的随机稳定循环树。其次，我们通过边界的局部极限证明了相变的存在：在稠密相，边界是树状的，而在对应于$α\in(3/2,2)$的稀相，它有一个同胚的半平面的组件。作为应用，我们确定的限制条件是大的刚性$O(n)$循环模型四边形，从而证明了Curien和Kortchemski的猜想。
2017-11-29 math.PR
On breadth-first constructions of scaling limits of random graphs and random unicellular maps
我们给出了（i）具有给定固定盈余的均匀连通图的标度极限，以及（ii）给定属的连续随机单胞映射（CRUM）的交替构造，该构造从适当倾斜的布朗连续随机树开始，并在随机高度上使用局部时间测度进行“水平”点标识。因此，这可以看作是有限连通图的宽度优先构造的连续模拟。特别地，这产生了临界Erdens-Rényi随机图的标度极限的宽度优先构造，回答了[2]中提出的一个问题。由于这种宽度优先的建设，我们得到的半径，距离分布，和两个点函数的倾斜布朗行程的泛函方面的这些空间的描述。
2021-11-16 math.CO math.PR
Exact topology of conservative multiplicative cascades: An ultrametric transfer-operator genus
Natural Science Research Institute (NSRI), University of Seoul（首尔大学自然科学研究所）
本研究精确预测保守随机置换级联的拓扑结构，闭式计算二维级联 excursion 集的欧拉特征，关联其与多重分形谱，为强非高斯场形态学提供基准。
2026-08-27 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
On tessellations of random maps and the $t_g$-recurrence
本文研究亏格布朗曲面上 Voronoï 镶嵌胞腔质量的二阶矩，将其与 Painlevé-I 方程及 $t_g$-递推关联，并猜想其服从 Dirichlet 分布。
2018-09-17 math.CO math.PR
The Yang--Mills measure on compact surfaces as a universal scaling limit of lattice gauge models
IRMA, Université de Strasbourg（斯特拉斯堡大学）；Institut Universitaire de France（法国高等研究院）；Sorbonne Université, Université Paris Cité, CNRS, Laboratoire de Probabilités, Statistique et Modélisation, LPSM（索邦大学、巴黎西岱大学、法国国家科学研究中心、概率统计与建模实验室）
本文从连续和离散视角研究二维杨-米尔斯测度，通过伪坐标概念构建了任意亏格表面的随机分布1形式测度，并证明了连续杨-米尔斯测度作为广泛规范理论的标度极限，包括Wilson、Manton和Villain作用。
2026-03-30 math-ph math.MP math.PR
Random punctured hyperbolic surfaces & the Brownian sphere
研究按Weil-Petersson测度采样的n+1个穿孔0类随机双曲面Sₙ，证明度量经n⁻¹/⁴缩放后收敛于布朗球面，未缩放时局部收敛于特定无限体积双曲面，通过平面树编码等技术实现。
2025-08-26 math-ph math.GT math.MP
Two-dimensional gauge theories of the symmetric group S_n in the large-n limit
本文研究了对称群S_n的二维规范理论，它描述了黎曼曲面的分支n-覆盖的统计性质。我们考虑的理论定义在磁盘上和球上的大n极限。一个非平凡的相位结构出现，与不同的相位对应的覆盖表面的不同连接特性。我们证明了亏格为零的二维表面上的任何规范理论都等价于规范群流形上的随机游动：在S_n的情况下，我们发现的其中一个相变可以解释为相应随机游动中的截断现象.与随机图中的相变理论的连接也被指出。最后，我们讨论了我们的结果可能与杨-米尔斯理论中已知的相变。我们发现，截止跃迁也发生在二维Yang-Mills理论中，在大N极限下，耦合常数与N成比例，与标准的t Hooft标度相比增加了一个log N.
2002-11-21 cond-mat hep-lat hep-th
