On split products of quaternion algebras with involution in characteristic two
M. G. Mahmoudi, A. -H. Nokhodkar
对特征为2的域上带对合的分裂四元数代数的张量积能否表示为带对合的分裂四元数代数的张量积的问题，给出了肯定的答案.
The question of whether a split tensor product of quaternion algebras with involution over a field of characteristic two can be expressed as a tensor product of split quaternion algebras with involution, is shown to have an affirmative answer.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Quaternion Involutions
对合通常被定义为是其自身逆的映射。本文研究了四元数对合在加法和乘法上具有分布的附加性质。我们审查这样的对合的形式公理，我们表明，四元数有无限数量的对合。我们表明，共轭的四元数可以表示使用三个相互垂直的对合。我们还表明，任何一组三个相互垂直的四元数对合是封闭的组合。最后，我们证明了向量或四元数的投影可以用对合简明地表示。
Maximal prepositive cones on quaternion algebras with involution
本文研究了四元数代数中带反交换的预正锥，证明了对于广泛类别的四元数代数，每个预正锥都是最大的。
Involutions on tensor products of quaternion algebras
研究了具有对合的全可分解代数的可能分解，即具有对合的四元数代数的张量积。特别是，我们感兴趣的分解，其中一个或几个因素是分裂四元数代数$M_2(F)$，赋予一个正交对合。使用规范的理论，开发的蒂格诺尔，沃兹沃斯，我们构造的例子代数同构的张量积的四元数代数$k$分裂因子，赋予一个对合，这是完全可分解的，但不承认任何分解与$k$因子$M_2(F)$与对合。这推广了Sivatski的一个较早的结果，其中所考虑的代数是度为$8$，指数为$4$的代数，并赋予了某些正交对合.
Orders of Quaternion Algebras with Involution
在具有正交对合的四元数代数上引入了极大序模的概念，给出了局部域上的分类和代数数域上的部分分类。
Algebras with involution that become hyperbolic over the fonction field of a conic
本文研究了在四元数代数$Q$的二次曲线的函数域上具有第一类对合的中心单代数的双曲性。我们对这些代数进行了4次分类，并给出了这样一个例子：一个具有8次正交对合的除代数不包含具有其标准对合的$Q$，即使它包含$Q$，并且可完全分解为具有对合的四元数代数的一个张量积.
Symmetric square-central elements in products of orthogonal involutions in characteristic two
得到了特征为2的正交对合的完全可分解代数的对称平方中心元包含在不变四元数子代数中的一些判据。
On the decomposition of metabolic involutions
研究了具有对合的中心单代数的代谢幂等元是否包含在不变四元数子代数中的问题。作为应用，研究了平方位于基础场平方内的斜对称元素的类似问题。
Witt invariants of quaternionic forms
本文刻画了四元数代数上反对称埃尔米特形式及指数为2的正交群的所有Witt不变量，证明其为λ-幂组合但模非自由，方法涉及标量扩展与留数控制。
On totally decomposable algebras with involution in characteristic two
给出了特征2域上具有对合的中心单代数可分解为具有对合的四元数代数的张量积的一个充要条件.本文还证明了最近由A. Dolphin，能分类正交型的全可分解中心单代数.
Pfister involutions in characteristic two
在特征二中，证明了一个具有各向异性正交对合的二次幂的中心单代数是完全可分解的，如果它在基域的所有扩张上都是各向异性的或新陈代谢的.一个类似的结果得到的情况下，这个代数与对合是Brauer等价的四元数代数，它成为伴随的双线性Pfister形式在所有分裂领域的代数。
Pfister involutions
在对合的中心单代数的框架内，提出了Pfister形式的概念的类似物的存在性问题。特别地，研究了作为带对合的四元数代数的张量积分裂的带正交对合的代数。它被证明，直到度16，在任何扩展，代数分裂，对合是伴随的一个菲斯特形式。此外，还讨论了具有对合的代数的上同调不变量。
Subnormal subgroups of almost locally simple artinian algebras with involutions
本文研究带对合的几乎局部单阿廷代数乘法群的次正规子群，证明若其迹集或范数集中心，则代数必为四元数除环或二阶矩阵环。
Quadratic formulas for split quaternions
与Hamilton四元数代数不同，分裂四元数包含非平凡的零因子。一般来说，在含有零因子的代数中，方程的解是很难找到的。本文给出了分裂四元数代数中计算$x^{2}+bx+c=0$根的显式公式。
The column and row immanants of matrices over a split quaternion algebra
本文研究了非分裂四元数代数上矩阵的行列行列式理论。本文将列-行行列式的概念推广到分裂四元数代数。引入了非分裂四元数代数上矩阵的行和列固有子（积和式）的新定义，并研究了它们的基本性质。证明了分裂四元数代数上埃尔米特矩阵的行、列固有量的一个关键定理。在此基础上，引入了分裂四元数代数上的埃尔米特矩阵的一个内在式.
On left spectrum of a split quaternionic matrix
在非交换不可除代数中，矩阵的左矩阵的谱是一个比较少见的问题。分裂四元数代数是一个非交换不可除代数。本文利用分裂四元数上方程$ax=b$和$ax^2+bx+c=0$的求解公式，试图理解二阶分裂四元数矩阵的左谱。
Splitting of differential quaternion algebras
本文研究带导子的四元数代数的微分分裂域问题，指出其未必在代数扩张上分裂，并利用 Riccati 方程的解给出分裂域超越次数的界。
The Rota-Baxter algebra structures on split semi-quaternion algebra
本文研究分裂半四元数代数上的Rota-Baxter算子，给出其矩阵刻画与所有权重下所有算子的矩阵表示，并证明Ma等人关于Sweedler代数的相关结果是本文结论的特例。
Transposition anti-involution in Clifford algebras and invariance groups of scalar products on spinor spaces
在非退化二次空间（V，Q）的实Clifford代数\cl_{p,q}中，在抽象层次上引入了一个转置反对合\tp，其中Q具有特征标ε=（p，q）.在旋量表示中，当旋量空间\check{S}被看作是\cl_{p,q} -左和\check{K} -右模，其中\check{K}同构于R或R^2、C或H或H^2时，反对合\tp给出转置、复厄米共轭或四元厄米共轭。\tp是依赖于Q的签名的正交对合\tve：V \rightarrow V到\cl_{p,q}的提升。对合是一个对称相关\tve：V \rightarrow V^{*} \cong V，它允许定义对偶空间（V^{*}，Q）的互逆基。抗退化\tp对\cl_{p,0}起回复作用，对\cl_{0,q}起缀合作用。利用线性映射的转置概念，可以证明：如果[L_u]是算子L_u的左正则表示中的矩阵：\cl_{p,q} \rightarrow \cl_{p,q}相对于\cl_{p,q}中的格拉斯曼基B，则矩阵[ L_{\tp(u)} ]是[L_u]的矩阵转置.特别重要的是行动的\tp的代数旋量空间S，产生的一个原始的幂等f，或总和f+ \hat{f}在简单或半简单代数。\tp允许我们定义一个新的旋量标量积S \times S \rightarrow \check{K}，其中K=f \cl_{p,q} f和\check{K} =K或K \oplus \…
Generalised quadratic forms and the u-invariant
域的u-不变量是域上各向异性二次型维数的上确界。定义了特征为2的对合除代数上的埃尔米特型和广义二次型的u-不变量，并研究了它们之间的关系。我们还调查了这些不变量的情况下，一个四元数代数，特别是当这个四元数代数是唯一的四元数师代数在一个领域。
Splitting quaternion algebras defined over a finite field extension
该研究通过分析域上二次型系统的2-扩张迷向性，得到有限域扩张上四元数代数的特定分裂域，并证明次数16的中心单代数可被次数至多2^16的2-扩张分裂。
Totally decomposable quadratic pairs
本文证明了一个二次对的分裂中心单代数分解为一个对合四元数代数和一个二次对的四元数代数的张量积，它伴随于一个二次Pfister型.这个结果在特征2上是新的，否则等价于[3]中证明的Pfister因子猜想。
An elementary proof of the Artin--Springer theorem for generalized quadratic forms over quaternion algebras
本文为四元数除代数上各向异性广义二次型在奇数次域扩张下保持各向异性提供了初等证明。
Quadratic descent of hermitian forms (with an erratum)
研究了具有任意特征的第一类对合的除代数上埃尔米特形式和斜埃尔米特形式的二次下降，并得到了一个关于二次型系统的准则。一个精细的结果也得到了埃尔米特（resp。斜埃尔米特）形式上的一个四元数代数与辛（分别.正交）对合。
Quadratic Split Quaternion Polynomials: Factorization and Geometry
研究了二次分裂四元数多项式的可分解性。除了存在这种分解的不等式条件，我们提供了清晰的几何解释，在射影空间的分裂四元数。
OPS-QFTs: A new type of quaternion Fourier transforms based on the orthogonal planes split with one or two general pure quaternions
我们解释的正交平面分裂（OPS）的四元数的基础上任意选择一个或两个线性无关的纯单位四元数$f,g$。其次，我们系统地推广了四元数傅里叶变换（QFT）应用于四元数场，以符合由$f,g$或仅由一个纯单位四元数$f$确定的OPS，评论它们的几何意义，并建立逆变换。关键词：Clifford几何代数，四元数几何，四元数傅里叶变换，傅里叶逆变换，正交平面分裂
Orthogonal involutions and totally singular quadratic forms in characteristic two
对特征为2的正交型对合的中心单代数，我们给出了一个全奇异的二次型，它反映了对合的某些各向异性性质。证明了这种二次型可以用来分类具有正交对合的全可分解代数。利用这种形式，得到了分裂代数上的正交对合与转置对合共轭的一个判别准则。
Products of involutions of an infinite-dimensional vector space
我们证明了域上无限维向量空间的每一个自同构都是四个对合的乘积，这一结果在一般情况下是最优的。我们还刻画了三个对合的乘积的自同构。更一般地说，我们研究分解的自同构成三个或四个因素与规定的分裂零化多项式的程度$2$。
Totally decomposable symplectic and unitary involutions
研究了指数为2的中心单代数代数和分裂中心单代数代数上的全可分解辛对合和酉对合。我们证明了，对于每一个域扩张，这些对合或者是各向异性的或双曲的扩展标量后，反之亦然，如果代数是2幂次。这些结果在特征2中是新的，除此之外，分别在[3]和[6]中给出。
The Moore-Penrose inverses of split quaternions
在本文中，我们找到了类光四元数的根。在分裂四元数中引入Moore-Penrose逆的概念，求解线性方程组$axb=d$，$xa=bx$和$xa=b\bar{x}$ .并得到了两个分裂四元数相似或相似的充要条件。
The Orthogonal 2D Planes Split of Quaternions and Steerable Quaternion Fourier Transformations
在\cite{Ell:1993}中引入双边四元数傅里叶变换（QFT），用于分析二维线性定常偏微分系统。在进一步的理论研究中，\cite{10.1007/s00006-007-0037-8, EH:DirUP_QFT}引入了一种特殊的四元数分裂，称为$\pm$分裂。在当前的\change{chapter}中，我们进一步分析了这种分裂，将其几何解释为\change{an} \emph{orthogonal 2D planes split}（OPS），并将其推广到$\H$到两个正交的2D分析平面的可自由操纵分裂。OPS分裂的新的一般形式使我们能够找到QFT对信号作用的新的几何解释。这项工作的第二个主要结果是各种\emph{new steerable forms}的QFT，他们的几何解释，并为每一种形式\change{,} OPS分裂定理，这使得快速和有效的数值实现与标准FFT软件。
An Algorithm for the Factorization of Split Quaternion Polynomials
本文给出了一个计算分裂四元数上一元多项式的线性因子的所有分解的算法，只要存在这样的分解。失败的算法是相当于非factorizability，我们也提出了几何解释的规则不可逆分裂四元数的二次曲面。然而，合适的真正的多项式倍数分裂四元数多项式仍然可以因式分解，我们描述如何找到这些真正的多项式。分裂四元数多项式描述了双曲平面中的有理运动。具有线性因子的因式分解对应于将有理运动分解为双曲旋转。由于与实多项式相乘不会改变运动，因此这种分解总是可能的。我们的一些思想可以转移到运动多项式的因式分解理论。这些是对偶四元数上的多项式，具有实范数多项式，它们描述了欧几里得运动学中的有理运动。我们转让技术开发的分裂四元数计算新的分解某些对偶四元数多项式。
A class of twisted partial Hopf actions
提出利用分裂四元数、分裂半四元数及 1/4-四元数构造扭曲偏 Hopf 作用的新方法，并由 Sweedler Hopf 代数的扭曲偏作用得到一类新实例。
Mixed Witt rings of algebras with involution
本文通过将双线性形式与厄米特形式结合，为第一类带对合代数定义了混合Witt环，并推导了其基于对合迹形式的乘积公式与互反公式等基本性质。
Involutions of sl(2,k) and non-split, three-dimensional simple Lie algebras
本文提出一种从 sl(2,k) 的对合构造非分裂三维单李代数的方法，证明其由 Brauer 群子群参数化且 Killing 型表示 -2，并在局部和全局域上用 Hilbert 和 Legendre 符号重新表述该条件及给出有理数域上的实例。
Splitting quaternion algebras over quadratic number fields
本文提出了一个求二次数域上四元数代数中零因子的算法，或者等价地，求解$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$上的三元齐次二次方程，其中$d$是无平方数的整数.该算法是随机化的，如果允许调用神谕来分解整数，则在多项式时间内运行。
Degree $3$ relative invariant for unitary involutions
利用非分裂单连通群的Rost不变量，定义了具有同构Clifford代数或判别代数的正交对合或酉对合对的相对度$3$上同调不变量.本文的主要目的是在酉情形下，即在${\sf A}$的外型群下，研究这个不变量的一般性质。如果基础代数是分裂的，它可以用二次型的Araason不变量来重新解释，使用埃尔米特型的迹形式。当具有酉对合的代数具有辛或正交下降，或具有辛或正交二次扩张时，我们给出了相应的酉型和正交型或辛型不变量之间的比较定理.我们还证明了相对不变式是分类的程度$4$，至少到共轭的非平凡的自同构的基础二次扩张。一般来说，选择一个特定的基点，相对不变式也产生绝对的阿拉森不变量，在一些额外的条件下，对基础代数。值得注意的是，如果代数有偶余指标，使得它允许一个双曲对合，这是唯一的同构，我们得到一个所谓的{ \em双曲} Arason不变量。另外假设代数具有次数$8$，我们也可以定义一个{ \em可分解}的Arason不变量。它通常不符合双曲Arason不变量，因为双曲对合不需要完全可分解。
Splitting of quaternions and octonions over purely inseparable extensions in characteristic 2
我们给出了特征$2$的域$F$上的四元数和八元数除代数的例子，这些除代数在$\geq 4$度的$F$的纯不可分扩张$E$上分裂，但在低指数的$E$内部的$F$的任何子扩张上不分裂，或者在八元数的情况下，在$E$内部的$F$的任何简单子扩张上不分裂。因此，我们对Bernhard Mühlherr和Richard Weiss提出的一个问题得到了否定的回答。我们研究这个问题的相关规范形式的各向同性行为。
Formally real involutions on central simple algebras
结合环$R$上的对合$#$是\textit{formally real}，如果形式为$r^# r$的非零元素之和，其中$r \in R$非零。假设$R$是一个中心单代数（即$R=M_n(D)$是某个整数$n$和中心除代数$D$），$#$是$R$上的一个形式为$r^# = a^{-1} r^\ast a$的对合，其中$\ast$是$R$上的某个转置对合，$a$是一个可逆矩阵，使得$a^\ast=\pm a$。在第1节中，我们描述了$#$的形式实在的$a$和$\ast|_D$。在后面的章节中，我们将这个结果应用于交叉积除代数上对合的形式实在的研究。我们可以刻画$D=(K/F,Φ)$上的对合扩展到分裂代数$D \otimes_F K \cong M_n(K)$上的形式实对合。每一个这样的对合是正式真正的，但我们表明，存在正式真正的对合$D$不是这种形式。特别地，存在形式上实的对合$#$，其厄米迹形式$x \mapsto \tr(x^#x)$不是半正定的。
Some remarks regarding Quaternions and Octonions
本文介绍了四元数和八元数的一些应用。本文给出了复八元数的实矩阵表示及其一些性质，这些性质可用于涉及这些元素的计算中。此外，我们还给出了分裂四元数代数和分裂八元数代数的可逆元集。
A Mnemonic Matrix Rule for (Split) Octonionic Multiplication and its Extension to the Cayley--Dickson Tower
本文提出了一种基于记忆矩阵的八元数乘法规则，并将其扩展到凯莱-迪科森塔中的所有代数，为非结合代数提供了高效的计算方法。
Corestrictions of algebras and splitting fields
给定一个域$F$，一个代数扩张$L/F$和一个Azumaya代数$A/L$，我们知道存在扩张$E/F$使得$A \otimes_F E$是$L \otimes_F E$上的分裂代数。在本文中，我们绑定的程度，这种类型的最小分裂领域从上面，并表明，我们的界是尖锐的，在某些情况下，即使在情况下，$L/F$是一个分裂扩展。这给特别是一些推广的经典事实，即当张量积的两个四元数代数是不是一个司代数，这两个四元数代数必须共享一个共同的二次分裂领域。在另一个方向上，我们的构造结合Karpenko的结果还表明，对于任何奇素数$p$，如果$n < p^2$，则指数为$p^n$和指数为$p$的泛代数不能非平凡地表示为任何扩域上的代数的余限制.
Some extensions of quaternions and symmetries of simply connected space forms
已知三维欧几里德旋转群（$S^2$的等距）、四维广义洛伦兹变换（三维双曲等距）和三维螺旋运动可以分别用实四元数、双四元数（复四元数）和对偶四元数代数中的单位范数元素群表示。在这项工作中，我们提出了一个统一的框架，允许更广泛的范围内的主题，包括所有的经典结果有关的行动在3和4维的单位-范数元素的代数上述和代数分裂双四元数作为特殊情况。我们建立了一个分解的单位-范数元素在所有情况下，并获得作为副产品的一个新的分解的组旋转在4维。
The Geometry of Quadratic Quaternion Polynomials in Euclidean and Non-Euclidean Planes
我们提出了一个几何解释的观察，一般的二次多项式分裂四元数可能有多达六个不同的因式分解，而一般的多项式在哈密顿四元数只有两个。二次分裂四元数多项式与普适双曲几何中具有相等对边的“四杆机构”的连杆运动有关。因式分解对应于四杆机构的一条腿，并且在运动期间，腿相交于圆锥曲线的点，圆锥曲线的焦点是固定的旋转关节。因子分解的数目与实焦点的数目有关，在泛双曲几何中，实焦点的数目确实可以是6。
Azumaya Algebras Without Involution
推广一个定理的阿尔伯特，索特曼表明，一个Azumaya代数$A$在一个环表示$2$ -扭转类的布劳尔组当且仅当有一个代数$A'$在布劳尔类的$A$承认对合的第一类。Knus、Parimala和Srinivas后来证明，可以选择$A'$，使得$\mathrm{deg}\, A'=2\mathrm{deg}\, A$。我们表明，$2\mathrm{deg}\, A$是一般情况下可以预期的最低程度。具体地说，我们构造了一个次数为$4$，周期为$2$的Azumaya代数$A$，使得在允许对合的$A$的Brauer类中的任何代数$A'$的次数都能被$8$整除.另外，我们提供了分裂和非分裂Azumaya代数的程度$2$承认辛对合，但没有正交对合的例子。这些站在相反的情况下，中央单代数代数的偶数度以上的领域，其中存在的辛对合意味着存在的正交对合，反之亦然。
Algebraic foundations of split hypercomplex nonlinear adaptive filtering
提出了一种用于训练非线性有限冲激响应自适应滤波器的分裂超复数学习算法，该滤波器可处理任意维数的超复数信号。推导严格考虑了超复数代数和超复数微积分的定律，其中一些在现有的学习方法中被忽略了（例如四元数）。在四元数的情况下，我们已经可以预测超复杂过程的性能改进。所提出的算法的收敛性进行了严格的分析。保留字：四元数自适应滤波，超复数自适应滤波，非线性自适应滤波，超复数多层感知器，Clifford几何代数
Isotropy of orthogonal involutions
中心单代数上的正交对合在该代数的任何分裂域上都是迷向的，在基域的有限奇次扩张上也是迷向的（只要基域的特征不为2）。证明利用结构定理周动机有限系数的投影齐次品种，不可压缩性的某些广义塞维-布劳尔品种，和Steenrod操作。
About some split central simple algebras
本文研究了一类可分裂的四元数代数和符号代数。
The Rost invariant has zero kernel for quasi-split trialitarian groups
这本书的对合包括非平凡部分的证明，核心的罗斯特不变是零准分裂trialitarian群体。我们在此记录缺失的（机械）细节。这说明是记录在这里的arxiv只是为了方便读者谁喜欢的风格的书，显然不值得出版。一个证明在哈德的风格可以发现在一份文件由Chernousov（见参考书目）。
Hyperbolic Unit Groups and Quaternion Algebras
本文对有理二次扩张K和有限群G进行了分类，对G的群环R[G]在K的整数环R上具有R[G]的增广1的单位群是双曲的性质。我们还构造了R上的非分裂四元数代数中的单位。
On the Transposition Anti-Involution in Real Clifford Algebras III: The Automorphism Group of the Transposition Scalar Product on Spinor Spaces
在[arXiv.1005.3554v1]中引入了实Clifford代数Cl_{p,q}对非退化二次型的一个依赖于（p，q）的转置反对合T.在[arXiv.1005.3558v1]中，我们证明了，依赖于（p-q）mod 8的值，映射T产生旋量表示中表示矩阵的转置、复厄米特或四元数厄米特共轭。由此产生的标量积一般不同于两个已知的标准标量积[Lounesto，Clifford algebras and Spinors 2001]。我们提供了一个完整的签名（p，q）相关的分类的不变性组Gpq_{p,q}的这个产品的p+q <= 9。映射T被认为是由（扭）群代数理论[Passmann，The Algebraic Structure of Group Rings 1985]所知的“星”映射，其中Clifford代数Cl_{p,q}被看作是扭群环k^t[（Z_2）^n]，n=p+q。讨论并列出了稳定群Gpq（f）_{p，q}的重要子群及其横截与旋量空间生成元的关系.
Galois extensions, positive involutions and an application to unitary space-time coding
证明了在一定条件下，具有正酉对合$(B,τ)$的中心除代数的每个极大对称子域都是$τ$的固定域的Galois扩张，并且是$(B,τ)$的“实分裂”.作为一个应用程序，我们表明，一个充分条件的存在下，某些交叉产品划分代数，认为Berhuy在酉空间的背景下，时间编码的正对合，也是必要的，证明Berhuy的建设是最佳的。
All Hurwitz Algebras from 3D Geometric Algebras
本文受相关研究启发，提出通过研究偶子代数、伪标量生成代数及引入两种乘积的方式，将全部7种Hurwitz代数嵌入3D几何代数，并明确了各类共轭运算的对应关系，丰富了几何代数的应用场景。
Non-commutative frieze patterns over quaternion algebras and other normed division rings
本文研究赋范可除环（如四元数代数）上的非交换花环，证明范数有限子集上任意高度的花环有限，并确定非分裂四元数代数Lipschitz子环的花环子环。
Factorization Results for Left Polynomials in Some Associative Real Algebras: State of the Art, Applications, and Open Questions
讨论了某些结合实对合代数上的（左）多项式的线性因子分解的存在性，特别是Clifford代数。由于它们与运动学和机构学的相关性，我们特别强调四元数，对偶四元数和分裂四元数多项式的因式分解结果。一个通用的算法，确保存在一个因式分解的一般多项式在除环，但我们也考虑因式分解的非除环。我们解释了目前的艺术状态，提出了一些新的结果，并提供了例子和反例。
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