Analytical homoclinic solution of a two dimensional nonlinear system of differential equations
Jamal- Odysseas Maaita, Efthymia Meletlidou
二维微分方程系统的同宿轨道的解析解，该方程描述了具有基本非线性附件的三自由度线性耦合耗散系统的慢流的哈密顿部分。
Analytical solution of the homoclinic orbit of a two dimensional system of differential equations that describes the hamiltonian part of the slow flow of a three degree of freedom dissipative system of linear coupled oscillators with an essentially nonlinear attachment.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Homoclinic and Heteroclinic Trajectories of Differential Equations with Piecewise Constant Arguments of Generalized Type
本文研究广义型分段常数变元拟线性系统的渐近行为，利用离散时间映射和Banach不动点定理严格证明同宿与异宿解的存在性，并讨论解的双曲集合。
Numerical computation of transverse homoclinic orbits for periodic solutions of delay differential equations
本文提出一种几何计算方法，通过投影边值问题和参数化方法，数值计算延迟微分方程周期解的横向同宿轨道，并在Ikeda和Mackey-Glass系统中验证。
Pulse-adding of Temporal Dissipative Solitons: Resonant Homoclinic Points and the Orbit Flip of Case B with Delay
数值研究了大时滞时滞微分方程（DDE）中具有非振荡尾的单脉冲周期行波分支为时间局域的双脉冲周期行波的问题.这种类型的解在应用中通常被称为时间耗散孤子（TDS），我们在这里采用这个术语。我们通过一个典型的例子表明-类似于反应扩散偏微分方程（PDE）中的行波脉冲-从具有非振荡尾部的单脉冲TDS中的两脉冲TDS的分支由对应行波帧中的真实鞍平衡的余维2同宿歧点组织。我们考虑推广的Sandstede的模型（一个原型模型，用于研究余维2同宿歧点在常微分方程）与一个额外的时移参数，并使用Auto 07 p和DDE-BIFTOOL数值计算这些歧点在所产生的DDE的展开。然后，我们解释这个模型作为行波方程的TDS在DDE与大延迟利用再现的DDE周期解。在这样做，我们确定的非定向共振同宿分支和轨道翻转分支的情况下$\mathbf{B}$作为组织中心的存在的两个脉冲TDS的DDE与大延迟。此外，我们还讨论了辅助系统中同宿分支的折叠如何限制大时滞DDE中TDS的存在区域。
Analytic and algebraic conditions for bifurcations of homoclinic orbits I: Saddle equilibria
研究了一类四维系统的同宿轨到双曲鞍点平衡点的分支，这些系统可以是Hamilton系统，也可以是非Hamilton系统。在哈密顿系统中，只需要一个参数就足以处理这些类型的分叉，而在一般系统中需要两个参数。我们应用一个版本的Melnikov的方法，由于Gruendler获得鞍结和干草叉类型的同宿轨道的分歧结果。进一步证明了如果这些分支发生，那么在同宿轨道位于解析不变流形上的假设下，围绕同宿轨道的变分方程在微分伽罗瓦论意义下是可积的.我们用一个耦合实Ginzburg-Landau偏微分方程定态的例子来说明我们的理论，并通过数值计算来证明理论结果。
Nonreversible Homoclinic Snaking
同宿蛇行是指同宿轨道在连接平衡点E和周期轨道P的异宿环附近的正弦蛇行延拓曲线。这种行为通常出现在可逆的哈密顿系统中。在这里，我们讨论没有任何特定结构的系统中的这种现象。我们给出了一个严格的分析验证同宿蛇形在一定的假设下的行为的稳定和非稳定流形的E和P.我们展示了如何蛇形行为取决于的标志的Floquet乘数的P.此外，我们提出了一个nonsnaking的情况。最后，我们数值表明，这些假设都满足模型方程。
Augmented Phase Reduction for Periodic Orbits Near a Homoclinic Bifurcation and for Relaxation Oscillators
振子--具有稳定周期轨道的动力系统--出现在许多物理、技术和生物系统中。标准的相位缩减，一种基于等时线的模型缩减技术，可能不适用于具有小幅度负非平凡Floquet指数的振荡器。这就需要使用的增广相还原，最近设计的二维还原技术的基础上等时线和等稳线。在这篇文章中，我们计算两个动态不同的平面系统的增广相位减少的解析表达式：周期轨道诞生的同宿分岔，和弛豫振荡器。为了验证我们的计算，我们模拟模型在这些动态制度，并比较其数值计算的增广相位减少与推导出的解析表达式。这些分析和数值计算帮助我们理解在标准相位缩减上使用增广相位缩减可能是有利的条件。
Analytic and algebraic conditions for bifurcations of homoclinic orbits II: Reversible systems
在第一部分中，我们考虑一类可逆系统，研究了同宿轨到双曲鞍点平衡点的分支。在这里，我们集中在同宿轨道是对称的情况下，只有一个控制参数是足够的治疗他们的分歧，如在哈密顿系统。首先，我们对第一部分的论点作了修改和扩展，以一种适用于一般系统的形式证明了：如果这种分支发生在四维系统中，那么围绕同宿轨道的变分方程在微分伽罗瓦论意义下是可积的。其次，我们将第一部分的Melnikov方法推广到可逆系统，得到了对称同宿轨道的鞍结分岔、跨临界分岔和叉状分岔定理。我们阐述了我们的理论为四维系统，并证明了理论结果的数值。
Heteroclinic and homoclinic solutions for nonlinear second-order coupled systems with phi-Laplacians
本文给出了实直线上二阶耦合系统的微分方程存在异宿或同宿解的充分条件。我们指出，它只需要条件同胚和不增长或渐近条件假设的非线性。这些论证利用了不动点理论、L^1-Carathéodory函数和Schauder的不动点定理。通过对一类二自由度二阶非线性耦合系统的分析，证明了主要定理的适用性。
Homoclinic Orbits in Reversible Hamiltonian Systems
以微分方程u^4+au^2-u+f（u，b）=0为模型，研究了可逆哈密顿系统同调解的存在性.这里f是一个解析函数，a，b是实参数。这些方程在几种物理情况下是重要的，如孤子和偏微分方程的“有限能量”定态的存在。我们减少了计算这些轨道的问题，找到一个合适的集合的非稳定流形的交集，然后将其应用到具体的情况。没有任何形式的离散对称性的假设，这里开发的分析可以成功地采用标准方法失败的情况下。
Analytical invariant manifolds near unstable points and the structure of chaos
已知保守系统中围绕不稳定周期轨道的渐近不变流形可以用收敛级数表示（Cherry 1926，Moser 1956，1958，Giorgilli 2001）。不稳定流形和稳定流形相交于无穷多个同宿点，产生复杂的同宿缠结。在简单映射的情况下，人们发现（Da Silva Ritter et al. 1987）形式级数的收敛域沿着不变流形延伸到无穷远。这使得在实践中研究同宿缠结只使用系列。然而，在哈密尔顿系统的情况下，或映射与一个有限的解析域，收敛的级数沿渐近流形也是有限的。在这里，我们提供的数值表明，收敛不会达到任何同宿点。我们详细讨论了在各种情况下的收敛问题，我们发现的解析不变流形的真实（数值）流形的逼近程度，因为i）截断的级数增加的顺序，和ii）我们使用更高的数值精度计算系数的系列。然后，我们介绍了一种新的方法系列组成，通过使用作用角变量，允许计算的渐近流形到一个任意大的程度。这是第一种情况下的分析发展，允许计算的不变流形和它们的交叉点在一个哈密顿系统的程度足够长，以允许研究同宿混沌的分析手段。
Chaos in PDEs and Lax Pairs of Euler Equations
最近，作者和合作者发展了一个证明偏微分方程中同宿轨道存在性的系统程序。由此得到的同宿轨道的两种典型形式是：（1）。横截同宿轨道，（2）. Silnikov同宿轨道在无穷维自治系统的横截同宿轨道附近，通过一个跟踪引理证明了混沌的存在性。围绕Silnikov同宿轨道，作者能够通过马蹄形构造证明混沌的存在。最近，作者在为不可压缩无粘流体的欧拉方程寻找Lax对方面取得了突破。作者和合作者已取得了进一步的结果。
Convergent Analytic Solutions for Homoclinic Orbits in Reversible and Non-reversible Systems
本文导出了正则四阶常微分方程组的同宿轨道在可逆和不可逆两种情形下的收敛的多无穷级数解。这个常微分方程包括许多重要的非线性偏微分方程或偏微分方程系统的行波约化，这些解析解对应于偏微分方程的规则或局部脉冲。因此，这里推导出的同宿解显然是局部的，并且它们与同宿数值射击获得的早期结果密切匹配。此外，不可逆情况下的结果超出了通常在分叉理论设置内进行的分析中考虑的结果。我们还评论这里的治疗推广到参数制度的解决方案同宿指数小周期轨道是已知存在的，以及另一种可能的扩展放置在这里导出的解决方案的框架内的所有可能的行波解的全面分类，光滑和非光滑，为我们的管理常微分方程。
Global bifurcation of homoclinic solutions
本文结合Fredholm算子分岔理论与动力系统工具，利用奇偶性、全局Evans函数和适当拓扑，对Carathéodory微分方程有界整体解的全局分岔分支形状给出分类判据。
Bifurcation analysis of Bogdanov-Takens bifurcations in delay differential equations
本文研究了经典时滞微分方程在一般和跨临界余维2 Bogdanov-Takens分支附近的参数依赖中心流形约化问题。使用推广的Lindstedt-Poincaré方法来近似同宿解，使我们能够初始化从这些点发出的同宿分叉曲线的延续。正规形变换是在对偶半群（太阳-恒星演算）的泛函解析扰动框架下，基于Fredholm替代的正规化技术导出的。得到的表达式给出了明确的公式，已实现在免费提供的分叉软件包DDE-BifTool。在各种模型上证明了其有效性。
Generalized and multi-oscillation solitons in the Nonlinear Schrödinger Equation with quartic dispersion
本文研究具有二次和四次色散的广义非线性薛定谔方程中的孤子，通过将PDE化为四阶哈密顿ODE并利用同宿轨道数值方法，发现PtoP连接及其与EtoP连接组装的异宿循环可产生广义振荡孤子和多振荡孤子，并证明它们是截断同宿蛇形现象的重要组成部分。
Showcase of Blue Sky Catastrophes
设一个微分方程系统具有一个鞍结周期轨道，使得它的非稳定流形中的每个轨道都是同宿的，即非稳定流形是（整体）稳定流形的一个子集.我们研究了几个分歧的情况下，这样的同宿连接的分裂导致的蓝天灾难，包括发病的复杂动力学。一个不变环面或一个克莱因瓶的诞生也被描述。
Homoclinic points of 2-D and 4-D maps via the Parametrization Method
计算$\mathcal{N}$耦合的一维哈密顿粒子链的离散呼吸子解并研究它们之间相互作用的丰富性是固体物理中一个有趣的问题。一种方法是计算一类$2\mathcal{N}$ -维可逆映射的鞍点的不变流形的同宿交。在本文中，我们应用参数化方法来表示这些流形解析级数展开和计算它们的交集数值高精度。我们首先进行这一程序的2-维（2-D）家庭的广义Henon映射（$\mathcal{N}$ =1），证明了存在的双曲集在非耗散的情况下，并表明，它是直接连接到存在的同宿轨道在原点。引入耗散，我们证明了一个同宿切线发生，超过该同宿相交消失。继续到$\mathcal{N}=2$，我们用同样的方法来确定由两个耦合的2-D三次Hénon映射组成的4-D映射的原点处的鞍点的不变流形的同宿交点。依赖于耦合的同宿相交被确定，一旦存在一定量的耗散，它就不再存在。我们讨论了我们的结果的应用程序中的两个线性耦合的1-维粒子链的最近邻相互作用和Klein-Gordon在现场潜力的研究离散呼吸子。
Hidden and unstable periodic orbits as a result of homoclinic bifurcations in the Suarez-Schopf delayed oscillator and the irregularity of ENSO
该研究通过惯性流形理论分析Suarez-Schopf延迟振子，揭示线性稳定区内的隐藏与自激周期轨道及同宿分岔，关联ENSO不规则性，并发现耦合传输线中的异步周期态。
Codimension-two homoclinic bifurcations underlying spike adding in the Hindmarsh-Rose burster
从全局分叉分析的角度重新审视了神经动作电位的Hindmarsh-Rose模型。这个慢-快系统的三个parameterised微分方程可以说是最简单的减少霍奇金-赫胥黎模型能够表现出所有定性重要的不同种类的尖峰和爆裂行为。首先，在保持奇异扰动参数不变的情况下，用蛮力法计算了系统的两参数分岔图。特别值得关注的是参数制度的不规则爆裂的瓣形区域进行过渡到周期性爆裂的条形区域。每个条纹的边界表示折叠分叉，其导致平滑的尖峰添加过渡，其中每个突发中的尖峰数量增加1。接下来，数值延拓研究表明，全球结构是由各种曲线的同宿分支。特别是叶到条纹过渡是由一系列的余维2轨道和倾角翻转点，发生沿{ \em每个}同宿分支。每个分支都经历一个尖锐的转折点，因此在参数空间中近似具有相同曲线的双重覆盖。本文用二维非稳定流形和一维慢流形在奇异极限下的相互作用来解释这种急转弯。最后，一个新的本地分析进行使用近似庞加莱映射，以显示每个同宿分支上的转折点，反过来又引起倾斜翻转，产生的折叠曲线，组织的尖峰添加过渡。这种机制的影响，在其他可兴奋的系统解释穗添加行为进行了讨论。
Homoclinic Orbits of the FitzHugh-Nagumo Equation: The Singular-Limit
在过去的三十年里，人们用各种不同的方法研究了FitzHugh-Nagumo方程。最近，Champneys、Kirk、Knobloch、Oldeman和Sneyd使用数值延拓方法分析了一个施加电流的方程。他们在参数空间中得到了一个复杂的分叉图，其特征是同宿分叉的C形曲线和Hopf分叉的U形曲线。我们使用的技术，从多个时间尺度动力学的几何奇异扰动分析的FitzHugh-Nagumo方程的基础上，了解这个分岔图的结构。数值和分析技术表明，如果在FitzHugh-Nagumo方程的时间尺度的比率趋于零，那么我们的奇异极限分析正确地表示所观察到的CU结构。从分析的几何洞察力，甚至可以用来计算分叉曲线，这是无法通过连续的方法。我们的分析结果总结在一个奇异分岔图。
The inverse integrating factor and the Poincaré map
研究了具有定义在正则轨道邻域内的解析逆积分因子的平面实解析微分系统。我们发现，逆积分因子定义了一个常微分方程的过渡映射沿轨道。当正则轨道为极限环时，我们可以用逆积分因子确定其对应的Poincaré返回映射。特别地，我们证明了极限环的重数与其上的逆积分因子的重数为零是一致的，并将这一结果应用于同宿环分支的研究。我们只考虑临界点是双曲鞍点且Poincaré返回映射不是恒等式的同宿环。通过对鞍点邻域内逆积分因子的局部分析，我们可以用逆积分因子在其上的消失重数来确定多圈的循环性，我们的结果也适用于同宿圈的鞍点可线性化的特殊情况，即，在这种情况下，该图形的循环性的界限不能通过代数方法确定。
Breakdown of homoclinic orbits to $L_1$ of the hydrogen atom in a circularly polarized microwave field
研究圆偏振微波场中Rydberg电子的2自由度Hamilton系统，通过结合正规形式、Melnikov和数值方法的半解析技术计算$L_1$稳定与不稳定流形的距离，发现该距离在扰动参数下呈指数级减小。
Limit cycles for classes of piecewise smooth differential equations separated by the unit circle
本文研究以单位圆为间断区域的分段光滑微分方程族极限环的存在性。我们认为家庭提出的中心或鞍型，可见或不可见的奇点，以及没有奇点的情况。我们建立了一个极限环个数的上界，并给出了例子，表明可以达到最大的极限环个数。在鞍中心情形下，我们还讨论了这类微分方程的同宿环的存在性。
Rolls and Snaking in a Swift-Hohenberg Equation with Non-smooth Nonlinearity
本研究通过将Swift-Hohenberg方程的非线性替换为非光滑项，发现非光滑性改变分岔临界性，导致roll分岔亚临界，并在$\alpha=1$时破坏同宿snaking，其随$\alpha$增加非光滑地出现。
On small breathers of nonlinear Klein-Gordon equations via exponentially small homoclinic splitting
本文针对非可积半线性Klein-Gordon方程，通过空间动力学与奇异摄动方法，严格证明小振幅呼吸子仅在频率接近共振时可能存在，并用Stokes常数表征其存在性的指数小阻碍，验证了经典形式渐近论证。
Effective Reduced Models from Delay Differential Equations: Bifurcations, Tipping Solution Paths, and ENSO variability
本研究通过结合Galerkin-Koornwinder近似和中心不稳定流形约化，从时滞微分方程导出有效约化模型，分析了ENSO模型中的分岔，并揭示随机扰动与不变集相互作用产生的年际和年代际变率机制。
Strange Attractors in Fractional Differential Equations: A Topological Approach to Chaos and Stability
本文采用拓扑方法分析含 Caputo 导数的分数阶微分方程，提出分数阶 Conley 指数与 Lyapunov 指数计算方法，以识别混沌吸引子并揭示其分形、谱性质及稳定性。
Shilnikov-type Dynamics in Three-Dimensional Piecewise Smooth Maps
本文证明了一般离散三维分段光滑映射的Shilnikov型动力学和分支行为的存在性，并给出了这种动力学行为发生的解析结果。我们的主要例子实际上显示了一个“双侧”Shilnikov动力学，即边界两侧不动点的一维本征流形的同时循环和同宿相交。我们还提出了两种互补的方法来分析返回时间的轨道的边界：一个基于递归和另一个基于复杂的插值。
Dynamics of a state-dependent delay-differential equation
本文详细研究了一个源自基因调控模型简化的标量状态依赖时滞微分方程，分析了递增和递减非线性组合下的分岔模式，发现了多种分岔类型及其在开关型极限下的表现，并揭示了单调递增非线性与时滞递减时仍存在Hopf分岔的惊人现象。
Breather solutions of the discrete p-Schrödinger equation
我们考虑离散的p-Schr dinger（DpS）方程，它近似于具有α = p-1 >1阶完全非线性最近邻相互作用的振子链中的小振幅振荡。利用映射的方法，我们证明了具有偶宇称或奇宇称反射对称的DpS方程呼吸子解的存在性。此外，我们推导出解析近似的呼吸配置文件和相应的交叉稳定和不稳定的流形，有效的整个范围内的非线性订单α。在弱非线性极限下（α--> 1^+），我们引入了一个连接定常DpS和对数非线性薛定谔方程的连续极限.在这个极限下，呼吸子渐近对应于高斯同宿解。我们数值分析呼吸解决方案的稳定性取决于他们的奇偶对称性。当α接近于1时，不稳定呼吸子的扰动通常导致平移运动（行进呼吸子），而对于较大的α值，钉扎成为主导。
The method of numerical and analytical solution of linear differential equations with non-integer derivatives in Caputo order and with variable coefficients
讨论了近似运算法在求解分数阶变系数线性微分方程中的应用。结果表明，该方法也可用于求解分数阶和混合阶的微分方程。在Mathematica（TM）软件环境中进行的计算实验
Bifurcations of Periodic Orbits in the Generalised Nonlinear Schrödinger Equation
本文用数值延拓研究四次色散 GNLSE 对应四维哈密顿可逆 ODE 中鞍点周期轨道曲面，识别对称破缺、周期-k 倍增和鞍结分岔及其退化情形，并揭示其对同宿轨道与孤子组织的作用。
An Index Theorem in Relative K-Theory for First-Order Systems
本文基于动力系统同宿轨道分支问题，提出一种新的索引定理，放宽了渐近超双曲性假设，并引入一般紧参数空间，得到简洁的相对K-理论索引公式。
Analytic normalization of analytically integrable differential systems near a periodic orbit
对于具有周期轨道的$\mathbb R^n$中的解析微分系统，证明了如果系统在周期轨道附近解析可积，即在周期轨道的邻域内定义了$n-1$函数独立的解析首次积分，则系统解析等价于其Poincaré-Dulac型规范形.这一结果是奇异点周围解析可积微分系统到周期轨道周围解析可积微分系统的推广。
Rigorous Construction of Stop-and-Go Waves in the Optimal Velocity Model via a Difference-Differential Equation
本文通过差分微分方程研究最优速度模型中的非线性波结构，严格证明了停止-启动波的存在性，并建立了非线性拥堵波的理论基础。
Orthogonal Polynomials in Analytical Method of Solving Differential Equations Describing Dynamics of Multilevel Systems
本文提出了一种获得描述多级系统相干动力学方程精确解析解的有效方法。该方法基于正交多项式、积分变换及其离散类似物的使用。所得解均用特殊函数或初等函数表示。
Computer assisted proofs for transverse collision and near collision orbits in the restricted three body problem
本文考虑多坐标系中保守系统的两点边值问题，发展了一个灵活的后验框架，用于计算机辅助的存在性证明.将该框架应用于研究圆形限制三体问题中的碰撞和近碰撞轨道。在这种情况下，坐标系是标准的旋转坐标，两个列维-奇维塔坐标系规范了与每一个大质量主星系的碰撞。建议的框架是用来证明存在的一些轨道，长期以来一直在天体力学文献中进行数值研究，但没有现有的分析证明在这里考虑的质量和能量值。这些包括从一个主天体到另一个主天体的横向喷射/碰撞，斯特伦格伦渐近周期轨道（$L_{4,5}$的横向同宿），通过碰撞的周期轨道族，以及将$L_4$连接到喷射或碰撞的轨道。
Solving nonlinear ordinary differential equations using the invariant manifolds and Koopman eigenfunctions
非线性常微分方程很少能用解析法求解。Koopman算子理论提供了一种通过使用特征函数将非线性动力学映射到线性空间来求解非线性系统的方法。不幸的是，找到这样的特征函数是困难的。介绍了一种由非线性常微分方程的不变流形构造特征函数的方法。这种方法，如果成功的话，使我们能够找到常系数非线性系统的解析解。以前的数据驱动的方法已经使用Koopman理论来构建在相空间的不同区域中有效的局部Koopman本征函数近似;我们的方法发现解析Koopman本征函数是精确的和全局有效的。我们证明了我们的Koopman方法解决非线性系统的一维和二维常微分方程。所考虑的非线性的例子有简单的表达式，其不变流形产生易于处理的解析解。因此，我们的方法允许以前未解决的常微分方程的解析解的建设。它还突出了非线性常微分方程中不变流形和本征函数之间的联系，并提出了将这种方法扩展到解决更多非线性系统的途径。
Response of an oscillatory differential delay equation to a single stimulus
在这里，我们分析研究响应的极限环解决方案的一个简单的微分延迟方程的单脉冲扰动的分段线性非线性。我们构建的未扰动的极限环解析，并能够完全表征扰动响应的正振幅和持续时间的脉冲在不同的点在极限环。我们确定扰动的最小值和最大值和周期的极限环，并显示如何修改这些脉冲从未扰动的情况下。
Test Models for Statistical Inference: Two-Dimensional Reaction Systems Displaying Limit Cycle Bifurcations and Bistability
总结了二维常微分方程（ODEs）的极限环、极限环分支和多稳定性的理论结果.然后，将结果用于两个反应系统的建设，这是在确定性的水平所描述的二维三度动力学常微分方程。第一个系统表现出同宿分支，并在相平面上的稳定的临界点和稳定的极限环共存。第二个系统表现出多重极限环分岔，两个稳定极限环共存。确定性的解决方案（通过求解动力学常微分方程）和随机解（由Gillespie算法产生的噪声时间序列，并通过求解化学主方程（CME）获得的潜在概率分布）的构建系统进行了比较，所观察到的差异突出显示。所构建的系统被提出作为统计方法的测试问题，该方法被设计用于检测和分类给定的噪声时间序列的生物应用所产生的属性。
A Semi-Analytical Approach for State-Space Electromagnetic Transient Simulation Using the Differential Transformation
本文提出一种基于微分变换的高阶半解析方法，结合方程不平衡度自适应步长与二分搜索插值，实现高效精确的电力系统状态空间电磁暂态仿真。
Analytical properties of a three-compartmental dynamical demographic model
Korotaeyv-Malkov-Khaltourina提出的三隔间人口模型从动力系统理论的角度考虑，将人口规模、经济盈余和教育水平联系起来。结果表明，存在两个运动积分，这使得系统可以减少到一个非线性常微分方程。它的结构研究为马尔萨斯和克雷默动力学的优势域提供了分析判据。此外，特定的参数范围，使推导出的一般常微分方程，以减少到Gompertz和Mellaris-Wallace的模型。
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