Ordered intricacy of Shilnikov saddle-focus homoclinics in symmetric systems
利用Poincaré返回映射的技术，我们揭示了反射对称系统中Shilnikov鞍焦点的主同宿分支附近的后续同宿的复杂顺序。我们还揭示了这类系统的参数平面上相应分支曲线的容许形状。几何和组织的可伸缩性比率被证明是普遍的高阶同宿分支。两个应用程序具有类似的动力学，由于Shilnikov鞍焦点，一个光滑的适应蔡氏电路和一个3D规范形式，被用来说明理论
2021-04-22 math.DS nlin.CD
Saddle-Node Bifurcation and Homoclinic Persistence in AFM with Periodic Forcing
研究了原子力显微镜（AFM）模型在非线性阻尼Lennard-Jones力和简谐力作用下的动力学行为。建立了保守系统平衡点的分歧图。特别是，我们提出的条件，保证局部存在的鞍结分岔。利用Melnikov方法，确定了非保守系统中同宿轨持续存在的空间参数区域。
2019-08-15 math.DS
Limit cycle bifurcations near a double homoclinic loop with a nilpotent saddle of order 2
本文通过研究具有二阶幂零鞍点的双同宿环附近的一阶Melnikov函数的展开式及展开式中的系数，讨论了该环附近的极限环分支.更确切地说，我们证明了在一定条件下，扰动系统在环的邻域内可以有11，13，14或16个极限环。最后，我们给出一个例子来说明我们的主要结果的有效性。
2016-09-29 math.DS
Homoclinic saddle to saddle-focus transitions in 4D systems
分析了当稳定的前导特征空间为三维时的鞍点到鞍焦点的同宿跃迁（称为3DL分岔）。这里一对复特征值和一个实特征值交换了它们相对于虚轴的位置，产生了一个三维稳定的前导特征空间。这种过渡不同于标准的Belyakov分叉，在标准的Belyakov分叉中，双实特征值分裂成一对复共轭特征值或两个不同的实特征值。在野生的情况下，我们得到的余维1和2分歧曲线和点，渐近接近3DL歧点，并具有不同于标准Belyakov情况下的结构。我们还给出了一个例子，这种分歧的野生情况下发生在扰动Lorenz-Stenflo四维常微分方程模型。
2017-12-08 math.DS
Bifurcation structure of interval maps with orbits homoclinic to a saddle-focus
研究 $\mathbb{Z}_2$-对称系统中与 (2, 1)-型鞍焦相关的区间映射同宿分岔，通过符号编码高效定位分岔集，揭示了由 Belyakov 分岔引导的分岔结构，促进了对低维混沌系统的理解。
2023-07-26 math.DS nlin.CD
On homoclinic orbits to center manifolds of elliptic-hyperbolic equilibria in Hamiltonian systems
考虑一个具有椭圆-双曲平衡点和同宿环的哈密顿系统。我们确定的一组轨道是同宿的中心流形的平衡，通过李雅普诺夫-施密特约化过程。这导致研究的奇点继承一定的结构从哈密顿性质的系统。在非退化的假设下，我们对这个奇点的可能的Morse指数进行分类，允许对同宿轨道的集合进行局部描述。我们还考虑了时间可逆的哈密顿系统的情况。
2015-12-07 math.DS
Homoclinic tangencies to resonant saddles and discrete Lorenz attractors
研究了一类二次同宿切线到鞍不动点的三参数一般开折中周期轨道的分支。我们应用重新标度技术的第一次返回（庞加莱）的地图，并表明，重新标度的地图可以带来一个地图渐近接近的三维Henon地图$\bar x=y,\bar y=z,\bar z = M_1 + M_2 y + B x - z^2$，如已知的，表现出野生双曲洛伦兹吸引子在一些开放的参数域。在此基础上，我们证明了类Lorenz吸引子的无穷级联的存在性。
2015-09-01 math.DS
Cech cohomology, homoclinic trajectories and robustness of non-saddle sets
本文研究具有孤立非鞍集的流$φ:M\times\mathbb{R}\longrightarrow M$。我们看到，一个孤立的非鞍集$K$的影响区域的复杂性取决于$K$坐在相空间的方式在上同调水平。我们构建流的表面具有孤立的非鞍集与规定的结构，其影响区域。我们还研究了光滑流的参数化族和非鞍集的延拓。
2020-01-17 math.DS math.GT
Saddle Invariant Objects and their Global Manifolds in a Neighborhood of a Homoclinic Flip Bifurcation of Case B
当三维向量场中的实鞍点平衡点发生同宿分支时，其二维不变流形以可定向或不可定向的方式闭于自身。我们感兴趣的是全局不变流形的鞍平衡和鞍周期轨道之间的相互作用的向量场接近余维2同宿翻转分歧，也就是说，之间的过渡点有一个定向或非定向的二维表面。在这里，我们专注于同宿翻转分支的情况$\textbf{B}$，其特征在于，余维2点引起一个额外的同宿分支，即，一个双同宿轨道。为了解释全局流形如何组织相空间，我们考虑Sandstede的三维向量场模型，它具有倾斜和轨道翻转分叉。我们计算整体不变流形和他们的交集与一个合适的球，通过适当的两点边值问题的延续，了解他们的作用作为吸引周期轨道的盆地的分离面。我们在相空间和球面上展示了有代表性的图像，这样我们就可以确定参数空间的不同区域和所涉及的同宿分支处的流形的拓扑性质。我们发现鞍周期轨道和平衡之间的异宿轨道，从而产生无限多的异宿轨道的区域。在Sandstede模型中存在额外的平衡点，我们将相空间压缩，以捕捉平衡点如何从无穷大出现或逃逸到无穷大。我们提出了这些分歧图的图像，在那里我们概述了不同的配置的平衡接近同宿翻转分叉的情况下$\textbf{B}$，此外，我们刻画了Sandstede的模型在无穷远的动态。
2022-07-28 math.DS
Symplectic blenders near whiskered tori and persistence of saddle-center homoclinics
Shanghai Center for Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学中心）；Imperial College London（帝国理工学院）
研究证明，对于任意 C^s 同胚（s=2,…,∞,ω），若存在一维颤振 torus 与同宿轨道，则可通过任意小的 C^s 干扰产生辛 blender。结果表明，鞍心周期点不变流形的非横截同宿交集在 C^s 意义下持续存在。
2026-03-21 math.DS
Saddle-center and periodic orbit: dynamics near symmetric heteroclinic connection
研究了两自由度解析可逆哈密顿系统在其对称异宿联络邻域内的运动，该联络由一个对称鞍中心、一个与哈密尔顿系统同层的对称可定向鞍周期轨道和两个由对合置换的非对称异宿轨道组成.这是一个余维为1的结构，因此它可以满足一般的单参数族的可逆哈密顿系统。根据对合在平衡点附近的作用，存在两种可能的联系。我们证明了一系列的定理，这些定理表明了系统及其开折中的混沌行为，特别是，在临界水平上存在可数组鞍周期轨道的横截同宿轨道，包含一对鞍周期轨道的横截异宿联络，椭圆周期轨道族，同宿切线，开折中鞍中心的同宿轨道族，作为副产品，我们得到了鞍心同宿轨存在的一个判据。
2020-11-06 math.DS
Homoclinic Bifurcations of the Merging Strange Attractors in the Lorenz-like System
本文构造了一个参数区域，在此区域中，我们将解析地证明在鞍值为非负的情况下，类Lorenz系统到鞍型零平衡态的同宿轨道的存在性。然后，定性地描述了不同类型的同宿分岔，数值分析的检测参数区域进行发现几个新的有趣的分岔方案。
2018-12-05 math.DS
Homoclinic dynamics in a spatial restricted four body problem blue skies into Smale horseshoes for vertical Lyapunov families
在平面等边限制性四体问题的鞍焦点平衡的横向同宿相交的集合允许某些简单的同宿轨道，这些轨道形成完整的同宿相交或同宿网的骨架。在目前的工作中，平面限制性四体问题被视为一个不变的子系统的空间问题，并从数值的角度研究这种平面同宿骨架的空间动力学的影响。从鞍焦点平衡产生的垂直李雅普诺夫家族，我们计算这些空间周期轨道的稳定/非稳定流形，并寻找这些流形之间的基本平面同宿附近的交叉点。通过这种方式，我们能够继续所有的基本平面同宿运动到空间问题作为适当的垂直李雅普诺夫轨道的同宿，由Smale缠结定理，建议在空间问题中的混沌运动的存在。虽然鞍焦点平衡的解决方案在平面问题中只发生在一个离散集的能量水平，在空间问题的循环到循环同宿位是强大的相对于能量的小变化。
2020-01-15 math.DS
Singularly Perturbed Vector and Scalar Nonlinear Schroedinger Equations with Persistent Homoclinic Orbits
研究了奇摄动向量非线性Schroedinger方程（PVNLS）.重点放在与它们的限制的关系：奇摄动标量非线性薛定谔方程（PNLS）的研究较早的李。结果表明PNLS的持久同宿轨道是PVNLS唯一的持久同宿轨道，渐近于同一鞍点。
2002-05-10 math-ph math.AP math.DS
Universal bifurcation patterns in the unfolding of a pair of homoclinic tangencies
研究了强耗散系统中二次同宿相切轨道对的通有二参数和三参数开折。我们证明了相应的稳定窗口周期轨道有各种泛值型：所谓的“虾”（十字路口地区），以及弹簧和鞍区，和（在三参数展开）“怀孕的虾”（特定类型的过渡之间的虾和弹簧或鞍区）。
2022-12-07 math.DS
Dynamics near homoclinic orbits to a saddle in four-dimensional systems with a first integral and a discrete symmetry
本文研究四维等变系统中鞍点同宿轨道附近动力学，证明在不同水平集上存在唯一鞍周期轨道或轨道离开邻域，并推广至同宿八字形情形，结合前人工作给出完整描述。
2024-11-04 math-ph math.CA math.DS
Chaotic motions in the restricted four body problem via Devaney's saddle-focus homoclinic tangle theorem
我们证明了在平面限制性四体问题中混沌运动的存在性，建立系统是不可积的。证明的思想是验证拓扑强迫定理的假设。强迫定理适用于两自由度哈密顿系统，其中鞍焦点平衡的稳定流形和非稳定流形在平衡的能级集中横向相交。我们开发了一个数学上严格的计算机辅助参数，验证了强迫定理的假设，我们实现了我们的方法的限制四体问题。该方法是建设性的，工程远离任何微扰制度和不平等的质量。作为建设性的，我们的论点的结果在有用的副产品，如横向连接轨道的位置信息，定量信息的不变流形，上/下界上的运输时间。
2017-11-18 math.DS
SRB measures and homoclinic relation for Endomorphisms
本文利用无同宿关系的周期点集的极大基数给出了无边界流形的局部自同态的鞍型SRB测度个数的一个上界.
2015-05-14 math.DS
Appearance of discrete Lorenz attractors in the transitions from saddle to saddle-focus
本文研究了从鞍点到鞍焦点转变这一此前未被处理的情形，证明了存在一串参数区域包含具有离散洛伦兹吸引子的系统，涵盖Belyakov分岔和3DL分岔，从而补全了同宿与异宿切触最简单分岔的清单。
2023-09-25 math.DS
Analytic and algebraic conditions for bifurcations of homoclinic orbits II: Reversible systems
在第一部分中，我们考虑一类可逆系统，研究了同宿轨到双曲鞍点平衡点的分支。在这里，我们集中在同宿轨道是对称的情况下，只有一个控制参数是足够的治疗他们的分歧，如在哈密顿系统。首先，我们对第一部分的论点作了修改和扩展，以一种适用于一般系统的形式证明了：如果这种分支发生在四维系统中，那么围绕同宿轨道的变分方程在微分伽罗瓦论意义下是可积的。其次，我们将第一部分的Melnikov方法推广到可逆系统，得到了对称同宿轨道的鞍结分岔、跨临界分岔和叉状分岔定理。我们阐述了我们的理论为四维系统，并证明了理论结果的数值。
2021-07-26 math.DS
Heterodimensional cycles derived from homoclinic tangencies via Hopf bifurcations
本研究分析满足$|λγ|=1$的三维$C^r$微分同胚的二次焦鞍同宿切，通过三参数开折证明其上存在Hopf分岔及分岔周期轨道的同宿点，得出原映射可被具余指标一异维环的微分同胚$C^r$逼近的结论。
2025-05-19 math.DS
Non-hyperbolic ergodic measures for non-hyperbolic homoclinic classes
我们证明了对于一般的$C^1$ -同宿同胚存在一个具有不同指数（维数的不稳定丛）的周期鞍的同宿类意味着存在一个不变的遍历非双曲（其中一个李雅普诺夫指数等于零）的$f$的措施。
2008-04-10 math.DS
Cascades of Global Bifurcations and Chaos near a Homoclinic Flip Bifurcation: A Case Study
研究了情形~ \textbf{C}的同宿翻转分支，其中到具有实特征值的鞍平衡点的同宿轨道从可定向变为不可定向。该分岔的余维为2，它是实鞍点同宿分岔产生（悬浮）Smale马蹄和奇异吸引子形式的混沌行为的最低余维。我们提出了一个详细的数值案例研究如何全球稳定和非稳定流形的鞍平衡和分叉周期轨道相互作用接近这样的分歧。这是理解同宿翻转分叉的一般情况的一个进步，它始于对更简单的情况\textbf{A}和\textbf{B}的研究。在Sandstede三维向量场中，我们计算了中心余维2分岔点附近的双参数分岔图中的相关分岔曲线。我们提出了有代表性的不变流形，计算与边值问题设置，无论是在相空间和相交集与一个合适的领域。通过这种方式，我们能够确定无穷多个级联的同宿分支，积累在特定的余维一异宿分支之间的平衡和各种鞍周期轨道。我们的计算证实了从理论上已知的，但也表明存在的分叉现象，没有考虑过。具体来说，我们确定的Smale-马蹄区域的参数平面，其中之一创建一个奇怪的吸引子，类似于罗斯勒吸引子的边界。一个卷绕数的计算揭示了一个复杂的整体分叉结构，在更广泛的参数平面，涉及无限多的进一步同宿翻转分叉与所谓的同宿泡沫。
2022-07-28 math.DS nlin.CD
Mixed dynamics of 2-dimensional reversible maps with a symmetric couple of quadratic homoclinic tangencies
研究了具有对称鞍点不动点和非对称非横截同宿轨道对的二维可逆映射的动力学和分支（对称非横截同宿图8）.我们考虑一个参数家庭的可逆映射展开的初始同宿切线，并证明存在无穷多个序列（级联）的分支有关的诞生渐近稳定，不稳定和椭圆周期轨道。
2017-11-23 math.DS
Unfolding globally resonant homoclinic tangencies
整体共振是一种机制，通过这种机制，光滑映射的同宿切线可以有无穷多个渐近稳定的单轮周期解。为了理解分岔结构，人们会期望看到这样的切线附近，在本文中，我们研究了典型的全球共振同宿切线的单参数扰动。我们假设切线由二维映射鞍不动点的稳定流形和非稳定流形构成。我们证明了扰动显示两个无穷序列的分歧，一个鞍结，另一个倍周期，在这之间的单轮周期解是渐近稳定的。一般来说，这些缩放像$|λ|^{2 k}$，如$k \to \infty$，其中$-1 < λ< 1$是与不动点相关的稳定特征值。如果微扰与余维1同宿相切的曲面相切，则它们的标度类似于$\frac{|λ|^k}{k}$。我们还表明，慢标度律是可能的，如果微扰承认进一步简并。
2021-08-17 math.DS nlin.CD
Computing connecting orbits to infinity associated with a homoclinic flip bifurcation
我们考虑$\mathbb{R}^3$中二次向量场在适当参数平面上的分岔图，它具有最复杂类型的同宿翻转分岔。这种余维二分支的特征在于相关的二维流形的定向性的变化，并产生无限族的二次分支。我们表明，二级$n$ -同宿分支的曲线上积累的异宿分支涉及无穷大。我们提出了一个适应的技术被称为林的方法，使我们能够计算这样的连接轨道到无穷大。我们首先进行加权方向紧化的$\mathbb{R}^3$与随后的爆破的非双曲鞍在无穷远。然后，我们建立了两个轨道段的边值问题，从和到一个共同的二维部分：第一个是一个有限的鞍在正规坐标系中，第二个是从附近的鞍在无穷远的放大图。然后通过延拓使截面中沿固定一维方向的所谓Lin间隙为零。一旦用这种方法找到了一个连接轨道，它的轨迹就可以在参数平面上画出一条曲线。
2022-06-24 math.DS
Transversality of homoclinic orbits to hyberbolic equilibria in a Hamiltonian system, via the Hamilton--Jacobi equation
我们考虑一个具有2个自由度的哈密顿系统，其双曲平衡点具有一个环或同宿轨道（或者，由异宿轨道连接的两个双曲平衡点），作为理解近可积哈密尔顿算子在双共振附近的行为的一个步骤。我们提供了一个建设性的方法来研究是否不稳定和稳定的不变流形的双曲点沿回路相交，在其共同的能量水平。对于所考虑的系统，我们建立了一个充要条件的横截性，在Riccati方程的解决方案给出的斜率的不变流形在一个方向上的横向循环。我们的方法的关键点是写的不变流形的生成函数，这是汉密尔顿-雅可比方程的解决方案。在一些例子中，我们表明，这是足够的分析的Riccati方程的相图，而不明确地解决它。最后，我们考虑一个类似的问题，在一个扰动的情况。如果未扰动回路的不变流形重合，我们有一个分离线的分裂问题。在这种情况下，Riccati方程被一个定义为积分的Mel'nikov势所取代，提供了一个扰动环存在的条件及其横截性。并以一个具体的例子说明了这一点。
2011-12-30 math.DS
Nonsmooth Homoclinic Bifurcation in a Conceptual Climate Model
平衡点与分裂流形的碰撞已经被局部研究，但也可能是全局分叉的一个促成因素。特别是边界碰撞可以与虚平衡与周期轨道的碰撞相一致，给出了同宿分岔的模拟。这种类型的分歧表现在一个非光滑气候的应用。在这里，我们描述的非光滑分岔结构，以及光滑分岔结构的非光滑同宿分岔是一个极限情况。
2016-01-28 math.DS
Periodic orbits and homoclinic loops for surface homeomorphisms
设p是保向曲面自同态f的鞍点不动点，f中有一个同宿点q。设V是一个开2-胞腔，其边界为一个由两条分别位于p点稳定曲线和不稳定曲线上的连接p和q的弧构成的简单回路，证明了f| V具有不动点指数1或2，这仅取决于V在p附近的几何形状。
2005-12-11 math.DS
Globally Resonant Homoclinic Tangencies
一个动力系统的吸引子控制着它典型的长期行为。许多吸引子的存在是重要的，因为它意味着行为严重依赖于初始条件。为了理解大量的吸引子是如何共存的，在这篇论文中，我们研究了二维映射中与同宿连接相关的无穷多个稳定的单轮周期解的出现。我们发现这种现象有一个相对较高的余维需要同宿相切和“全球共振”，如前所述，在面积保持设置。然而，与这种情况不同的是，局部共振项也起着重要作用。为了确定如何现象可能会出现在分歧图，我们还研究了全球共振同宿相切的扰动。我们发现存在鞍结分岔和倍周期分岔序列。有趣的是，在参数空间的不同方向上，分叉值的尺度不同，导致每个周期解的稳定区域形状复杂。在退化方向上，分叉值的缩放基本上较慢，如抽象的分段平滑$C^{1}$映射所示。
2022-06-17 math-ph math.DS math.MP
A Novel Route to Oscillations via non-central SNICeroclinic Bifurcation: Unfolding the Separatrix Loop Between a Saddle-Node and a Saddle
本文研究非中心SNICeroclinic分岔，通过Poincaré映射展开平面情形，揭示其作为通向全局分岔产生振荡的通用途径，并组织多种分界线环转变。
2025-10-17 math.DS
Global continuation of homoclinic solutions
当将动力系统的分歧理论推广到非自治问题时，一个重要的发现是双曲平衡点在小的时变扰动下作为有界整体解持续存在。在本文中，我们放弃了小的假设，并旨在研究的整体结构的实体的所有这类有界整体解的情况下，非自治差分方程。我们的工具是全局隐函数定理的基础上的环境度理论的弗雷德霍姆算子由于Fitzpatrick，Pejsachowicz和Rabier。为此，我们还必须限制到所谓的同宿解，其极限在两个时间方向上都是0。
2017-06-13 math.DS
Symmetric homoclinic tangles in reversible dynamical systems have positive topological entropy
针对可逆向量场中对称周期轨道族的强横截同宿相交，证明了系统拓扑熵为正，揭示了同宿缠结的混沌本质。
2025-01-24 math.DS
On the dynamics of certain homoclinic tangles
本文研究了二阶周期扰动方程中{ \it非共振耗散}同宿鞍点的稳定流形与不非稳定流形的横截相交所形成的同宿缠结.我们证明了这些同宿缠结的动力学是{ \it无限包裹马蹄映射}的动力学。用$μ$作为表示扰动大小的参数，证明了：（a）存在无穷多个$μ$的不相交开区间，在$μ= 0$处累积，使得扰动方程的整个同宿缠结由一个具有无穷多个符号的马蹄形组成，（b）在每个参数区间之间存在参数，使得同宿缠结包含吸引周期解，以及（c）在同宿缠结允许某些耗散双曲周期解的非退化横截同宿相切的参数之间也存在参数.特别地，（c）意味着存在具有SRB测度的奇异吸引子。
2008-03-03 math.CA math.DS
Morse index of saddle equilibria of gradient-like flows on connected sums of $\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^1$
令$M$为$n$ -球形$\mathbb{S}^{n}$或$\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^{1}$的多个拷贝的连通和，$n\geq4$。当$M$上的流$f^t$的非游荡集由100多个双曲平衡点组成且它们的不变流形横截相交时，称其为类梯度流。我们证明了如果$M$上的类梯度流$f^t$的不同鞍点的不变流形不相交（换句话说，$f^t$没有异宿交点），那么对于$f^t$的每个鞍点，其Morse指标（即不稳定流形的维数）要么是$1$，要么是$n-1$，所以没有Morse指标为$i\in\{2,\ldots,n-2\}$的鞍点。
2021-11-06 math.AT math.DS math.GT
Generic transversality of heteroclinic and homoclinic orbits for scalar parabolic equations
本文考虑一类$C^2$的有界区域$Ω\subset\mathbb{R}^d$上的标量反应扩散方程$\partial_t u=Δu + f(x,u,\nabla u)$.我们证明了连接双曲平衡点和双曲周期轨道的异宿和同宿轨道是横截的，一般关于f。证明的主要内容之一是对线性抛物型方程解的奇异节点集的精确研究。我们的主要结果是证明Kupka-Smale性质的通有性的第一步，周期轨道的通有双曲性尚未证明。
2019-06-18 math.AP math.DS
Persistent antimonotonic bifurcations and strange attractors for cubic homoclinic tangencies
本文研究了一类两参数二维单同态族，使得它具有一个与耗散鞍点相关联的三次同宿切开折。我们的第一个定理提出了一个开集在参数平面，使任何参数值的开集，存在一个单参数的子集，通过这个值表现出立方相关的持续接触和接触断开二次切线。此外，第二个定理表明，任何这样的两个参数的家庭满足Wang-Young的条件，保证它表现出一个三次多项式的奇异吸引子与SRB措施。
2008-03-20 math.DS
Sectional Anosov flows: Existence of Venice masks with two singularities
我们证明了威尼斯面具（即非传递的部分Anosov流与密集的周期轨道）的存在性，包含两个平衡在某些紧凑的3-流形。事实上，威尼斯面具的唯一已知的例子有一个或三个奇点，他们的特点是有两个属性：是两个同宿类的并不相交，其交集是奇点的非稳定流形的闭包。因此，我们提出了两种类型的例子，其中包含两个平衡的同宿类组成的最大不变集相交，在一个非常不同的方式。
2015-05-21 math.DS
On a stable torus in a 3D system with a saddle-focus
Georgia State University（佐治亚州立大学）
本文提出了一种模型，用于研究具有鞍-焦点的3D系统中稳定环的形成，并探讨了其在神经科学中的应用及同宿分支。
2026-02-12 math.DS
Persistence of periodic and homoclinic orbits, first integrals and commutative vector fields in dynamical systems
研究了依赖于小参数$\varepsilon>0$的动力系统的周期轨道、同宿轨道、首次积分和交换向量场的持续存在性，给出了它们持续存在的几个必要条件.在这里，我们对待同宿轨道不仅平衡，而且周期轨道。我们还讨论了这些结果与单自由度哈密顿系统时间周期扰动的标准次调和和同宿Melnikov方法以及多自由度哈密顿系统自治扰动的同宿Melnikov方法的一些关系。特别是，我们表明，首次积分收敛到哈密顿量或另一个第首次积分的扰动趋于零不存在附近的未扰动的周期或同宿轨道的扰动系统，如果次调和或同宿Melnikov函数不全为零的连通开集。我们用四个例子来说明我们的理论：周期性强迫Duffing振子，两个相同的摆与谐振子耦合，周期性强迫刚体和屈曲梁的三模式截断。
2021-08-18 math.DS
Hilbert's "monkey saddle" and other curiosities in the equilibrium problem of three point particles on a circle for repulsive power law forces
本文确定了单位圆上三个点粒子在幂律排斥力作用下所有可能的平衡排列（真的和伪的）。这些是三个（标准化）Riesz对相互作用项之和的临界点，当实参数$s \neq 0$和$V_0(r) := \lim_{s\to0}V_s(r) = -\ln r$时，每个项由$V_s(r)= s^{-1}\left(r^{-s}-1 \right)$给出;这里，$r$是粒子对中粒子之间的弦距离。将所有这些平衡安排作为$s$的函数一起展示的分叉图具有三个明显的不依赖于$s$的“通用”平衡和两个不那么明显的连续族的$s$依赖的非通用等腰三角形平衡。这两个连续的非普适平衡族是不连通的，但它们从一个共同的普适极限平衡（等边三角形组态）分叉出来，在$s=-4$，3粒子组态的总Riesz能量的图形具有“猴鞍”的形状。“此外，非普适均衡的一个家族也从另一个普适均衡（对跖排列）分叉，在$s=-2$。虽然$s=-4$的分叉是分析性的，但$s=-2$的分叉不是。本文提出的分歧分析方法可作为处理d维球面上类似的N点平衡问题的模板。
2019-01-12 math-ph math.DS math.MP
The inverse integrating factor and the Poincaré map
研究了具有定义在正则轨道邻域内的解析逆积分因子的平面实解析微分系统。我们发现，逆积分因子定义了一个常微分方程的过渡映射沿轨道。当正则轨道为极限环时，我们可以用逆积分因子确定其对应的Poincaré返回映射。特别地，我们证明了极限环的重数与其上的逆积分因子的重数为零是一致的，并将这一结果应用于同宿环分支的研究。我们只考虑临界点是双曲鞍点且Poincaré返回映射不是恒等式的同宿环。通过对鞍点邻域内逆积分因子的局部分析，我们可以用逆积分因子在其上的消失重数来确定多圈的循环性，我们的结果也适用于同宿圈的鞍点可线性化的特殊情况，即，在这种情况下，该图形的循环性的界限不能通过代数方法确定。
2007-10-17 math.DS
Homoclinic orbits in a porous pellet
Institute of Chemical Engineering, Polish Academy of Sciences（波兰科学院化学工程研究所）
研究多孔颗粒中同宿轨道的生成机制及影响因素
2016-04-27 math.DS
The role of the saddle-foci on the structure of a Bykov attracting set
考虑三维球面$\mathbb{S}^3\subset\mathbb{R}^4$上的单参数对称向量场族$(f_λ)_{λ\, \geqslant \, 0}$，其流在全局吸引集内的两个鞍焦点之间呈现异宿网络.更准确地说，当$λ= 0$时，在两个平衡点之间存在吸引异宿环，该吸引异宿环由两个$1$维连接和一个$2$维球面组成，该球面既是一个鞍焦点的稳定流形，又是另一个鞍焦点的非稳定流形。在保持$1$维连接不变的情况下，稍微增加参数后，平衡点的二维不变流形变为横截的，从而产生同宿和异宿缠结。据了解，这些新生的结构是一个可数联盟的拓扑马蹄铁，这促使共存的无穷多个汇和鞍型不变集的$λ$的许多值的来源。我们证明了，对于每个足够小的正参数$λ$，平衡点的稳定和非稳定流形以及无穷多个马蹄形都包含在$f_λ$的全局吸引集中。此外，我们证明了马蹄铁属于异宿类的平衡。此外，我们证明了从任一鞍焦点的链可达点集是链稳定的，并且包含两个平衡点的不变流形的闭包。
2019-11-21 math.DS
Homoclinic tangencies with infinitely many asymptotically stable single-round periodic solutions
考虑了$\mathbb{R}^2$上任意$C^\infty$映射$f$到鞍不动点的同宿轨道，研究了$f$存在无穷族渐近稳定的单轮周期解的现象.根据经典理论，这要求$f$具有同宿相切。我们还表明，$f$，以满足“全球共振”的条件和与不动点，$λ$和$σ$，以满足$|λσ| = 1$的特征值。这种现象在$λσ= -1$的情况下是余维3，但在$λσ= 1$的情况下是余维4，因为在这里与不动点处的$f$相关的首阶谐振项的系数必须加为零。我们还确定的现象发生的充分条件，说明了一个抽象的家庭的地图的结果，并显示数值计算流域的吸引力。
2020-12-08 math.DS
Tangential homoclinic points for Lozi maps
University of Zagreb, Faculty of Electrical Engineering and Computing（萨格勒布大学电气工程和计算学院）；Jagiellonian University, Institute of Mathematics（雅盖隆大学数学研究所）
研究洛兹映射中鞍点X在第一象限的同宿点，分析参数空间中同宿点存在的区域边界，并证明所有参数下同宿点均为特殊点Z和V的迭代或线段上点的迭代。
2026-03-28 math.DS
On the multiplicity of periodic orbits and homoclinics near critical energy levels of Hamiltonian systems in $\mathbb{R}^4$
研究了二自由度哈密顿系统。假设一个实解析哈密顿函数$H:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}$的零能级包含一个鞍心平衡点，该平衡点位于一个严格凸的类球奇异子集$S_0\subset H^{-1}(0)$中.从以前的工作[de Paulo-Salomão，Memoirs of the AMS]我们知道，对于任何小能量的$E>0$，能级$H^{-1}(E)$包含一个封闭的$3$ -球$S_E$在附近的$S_0$承认一个奇异的叶理称为$2-3$叶理。这个奇异叶理的结合轨道之一是包含在鞍心的中心流形中的Lyapunoff轨道$P_{2,E}$。另一个束缚轨道位于$S_E$的内部，并跨越一个横向于哈密顿向量场的单参数圆盘族。在这篇文章中，我们证明了$2-3$叶理迫使$S_E$中的$P_{2,E}$存在无穷多个周期轨道和无穷多个同宿轨。此外，如果$P_{2,E}$的稳定流形和不稳定流形在$S_E$内部的分支不重合，则$S_E$上的Hamilton流具有正拓扑熵.我们也将这些结果应用于一些经典的哈密顿系统。
2017-12-13 math.DS math.SG
Showcase of Blue Sky Catastrophes
设一个微分方程系统具有一个鞍结周期轨道，使得它的非稳定流形中的每个轨道都是同宿的，即非稳定流形是（整体）稳定流形的一个子集.我们研究了几个分歧的情况下，这样的同宿连接的分裂导致的蓝天灾难，包括发病的复杂动力学。一个不变环面或一个克莱因瓶的诞生也被描述。
2013-10-19 math.DS
Computation of saddle type slow manifolds using iterative methods
本文提出了一种计算鞍型慢流形上轨迹段的方法。这种方法是基于迭代法，而不是搭配型方法。与需要网格细化以确保关于$ε$的一致收敛性的配置法相比，使用本文的方法可以直接获得适当的估计。该方法适用于几个例子，包括：一对神经元耦合的相互抑制与两个慢，两个快的变量和计算的同宿连接的FitzHugh-Nagumo系统。
2015-05-06 math.DS
Breakdown of homoclinic orbits to L3 in the RPC3BP (I). Complex singularities and the inner equation
限制性三体问题模拟了一个质量可以忽略的物体在两个大质量物体的引力影响下的运动。如果主物体做圆周运动，而无质量物体与它们共面，则有限制平面圆三体问题（RPC 3BP）。在会合坐标中，它是具有五个临界点L1，...，L5，称为拉格朗日点。拉格朗日点L3是一个鞍心临界点，它与原色共线，并且位于两者中最大的一个之外。本文及其续篇给出了L3的一维稳定不变流形与不稳定不变流形之间的距离的一个渐近公式，当原色$μ$的质量之比较小时.这意味着L3不可能有单轮同宿轨道。如果质量比$μ$很小，双曲本征值比椭圆本征值弱$\sqrtμ$阶因子。这意味着不变流形之间的距离相对于$μ$是指数小，因此，经典的庞加莱-Melnikov方法不能应用。在这第一篇论文中，我们近似的RPC 3BP的平均可积哈密顿系统，它具有一个鞍中心的同宿轨道，我们分析了其时间参数化的复杂奇异性。我们还推导并研究了与原扰动问题相关的内部方程。内方程的某些解之间的差给出了L3的稳定流形和非稳定流形之间的距离的首项。在第二章中，我们完成了不变流形之间距离的渐近公式的证明。
2021-07-21 math.DS
Dynamics of surface diffeomorphisms relative to homoclinic and heteroclinic orbits
Nielsen-Thurston曲面自同态理论表明，从有限个周期轨道集合中可以得到曲面自同态的有用动力学信息，本文将这些结果推广到鞍点的同宿和异宿轨道.这些轨道是最容易计算和研究的交叉点的不稳定和稳定的流形，包括同宿或异宿缠结的表面。我们展示了如何计算一个地图的一维空间类似于一个火车轨道，它代表了保序稳定的动力学的表面仿射相对于一个纠结。这个一维代表的所有轨道都被曲面同形的轨道全局遮蔽，并且这个一维代表的周期、同宿和异宿轨道都被曲面中的相似轨道遮蔽，通过构造合适的曲面同形我们证明了这些结果是最优的，在这个意义上，拓扑熵的单-维数表示是合痕类中同构熵的下确界。
2003-02-19 math.DS
Existence of Heterodimensional Cycles near Shilnikov Loops in Systems with a $\mathbb{Z}_2$ Symmetry
我们证明了在具有$\mathbb{Z}_2$对称性的体积双曲流中，一对Shilnikov环（到鞍焦点平衡的同宿环）具有一维非稳定流形，在这对Shilnikov环的分叉处可以产生一对异维环.我们还表明，这些异维周期可以属于一个链传递吸引子的系统，以及持久的同宿相切。
2016-10-22 math.DS
Parabolic saddles and Newhouse domains in Celestial Mechanics
本研究将同宿分岔理论推广到McGehee紧化中抛物周期轨道$O$的退化情形，证明存在Newhouse域，其中$O$的同宿类具有最大Hausdorff维数，并导致椭圆岛无界及双曲集维数接近最大。
2024-11-05 math.DS
Persistence of Saddle Behavior in the Nonsmooth Limit of Smooth Dynamical Systems
诸如那些涉及由于冰融化和形成而导致的地球反射率突然变化的模型通常使用非线性项（例如，双曲正切）来模拟两个状态之间的转变。由于各种原因，这些模型往往近似为“简化”的不连续分段线性系，通过让过渡区的长度限制为零。这些模型的平滑版本可能会表现出平衡解，当参数变化将模型从平滑过渡到非平滑时，平衡解会被破坏。使用这样的模型作为动机，我们探索了这些转变下鞍点均衡周围局部行为的持续性。我们找到了具有鞍平衡点的光滑模型成为具有“僵尸鞍”行为的非光滑模型的充分条件，并且稳定流形和非稳定流形的类似物仍然存在。
2015-04-18 math.DS
