韦尔马模的扩张
Extensions of Verma modules
摘要：
关于Bernstein-Gelfand-Gelfand范畴O中韦尔马模扩张的注记
英文摘要：
Comments on extensions of Verma modules in the Bernstein-Gelfand-Gelfand Category O.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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E（5，10）-广义韦尔马模的低次态射
Low degree morphisms of E(5,10)-generalized verma modules
本文主要研究例外李超代数E（5，10）的表示.我们回顾了广义韦尔马模的构造，并给出了平凡表示对韦尔马模的sl_5的限制的组合描述.我们使用这种描述来分类的韦尔马模的度一，二，三证明在这些情况下的猜想Rudakov。一个关键的工具是韦尔马模之间的对偶态射的概念。
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二面体群的韦尔马模之间的扩张
Extensions between Verma modules for dihedral groups
计算韦尔马模之间的扩张一般是一个非常困难的问题。利用Soergel双模，可以对任意有限Coxeter群构造范畴$\mathcal{O}$的主块的分次版本。在这种情况下，我们计算了二面体群的韦尔马模之间的扩张。
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关于Kac-Moody代数上抛物型韦尔马模同态的注记
A note on parabolic Verma module homomorphisms over Kac-Moody Algebras
考虑可对称化Kac-Moody代数上的一般抛物范畴$\mathcal{O}_{S}$.引入了不同Kac-Moody代数上抛物Verma模之间的hom-space的一个约化规则，从而得到了抛物韦尔马模同态的一些应用.
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构造韦尔马模之间的同态
Constructing homomorphisms between Verma modules
给出了构造韦尔马模之间的非平凡同态的一种实用方法。
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超椭圆Heisenberg代数的不可约$φ$ -韦尔马模
Irreducible $φ$-Verma modules for hyperelliptic Heisenberg algebras
我们定义超椭圆Heisenberg代数为超椭圆Krichever-Novikov代数的Heisenberg子代数。然后给出了这类代数的$φ$ -韦尔马模的一个显式不可约准则。
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经典李代数标量型广义韦尔马模的Gelfand-Kirillov维数与约化
Gelfand-Kirillov dimensions and Reducibility of scalar type generalized Verma modules for classical Lie algebras
设$\mathfrak{g}$是经典李代数，$\mathfrak{p}$是极大抛物子代数.设$M$是由$\mathfrak{p}$的一维表示导出的广义韦尔马模.这样的$M$称为标量型广义韦尔马模。其简单商$L$是一个最高权模型。本文通过计算$L$的Gelfand-Kirillov维数来确定这类标量型广义韦尔马模的约简.
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由单最高权模诱导的 sl(m+1) 上的广义 Verma 模
Generalized Verma modules over sl(m+1) induced from simple highest weight modules
本文由单最高权 gl(m)-模构造了 sl(m+1) 上的广义 Verma 模，给出了其单性判据，并建立了该广义 Verma 模与张量模之间的等价关系。
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广义韦尔马模的Jantzen系数和radical滤子
Jantzen coefficients and radical filtrations for generalized Verma modules
本文给出了抛物BGG范畴中任意（可能奇异）块中广义韦尔马模的根滤子的一个求和公式，它可以看作是通常BGG范畴$\mathcal{O}$中韦尔马模的Jantzen求和公式的推广.结合Jantzen系数，我们确定了所有基本广义韦尔马模的根滤子.证明利用了抛物BGG范畴的分次形式。给出了抛物BGG范畴中任意（可能奇异）整块上广义韦尔马模的分次分解数和逆分次分解数的显式表达式.
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变形广义Heisenberg-Virasoro代数上的韦尔马模
Verma modules over deformed generalized Heisenberg-Virasoro algebras
设$\mathfrak g(G,λ)$表示与复参数$λ\neq-1$和$\mathbb C$的可加子群$G$相关的变形广义Heisenberg-Virasoro代数.对于$G$上与加法相容的全序，定义了$\mathfrak g(G,λ)$上的韦尔马模。本文完全确定了这些韦尔马模的不可约性。
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单李超代数的韦尔马模的奇异向量公式
Singular vector formulas for Verma modules of simple Lie superalgebras
对于BDFG型单李超代数，给出了最高权为$λ- ρ$的Verma模中奇异向量的显式表达式，其中对于某些正的非迷向根$γ.$，Verma模的权为$s_γλ- ρ$。这意味着相应的韦尔马模之间存在非零同态。
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标量广义韦尔玛模的可约性
Reducibility of Scalar Generalized Verma Modules of Minimal Parabolic Type II
本文研究了例外李代数中最小抛物子代数相关标量广义韦尔玛模的可约性，通过计算盖尔范-基里洛夫维数确定其第一个对角可约点。
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$K'_4$的有限韦尔马模复形的同调计算
Computation of the homology of the complexes of finite Verma modules for $K'_4$
我们计算了湮灭超代数$\mathcal A(K'_{4})$上有限韦尔马模的复形的同调，它与\cite{K4}中的共形超代数$K'_{4}$相关联.利用同调的计算给出了$\mathcal A(K'_{4})$上有限韦尔马模的所有不可约同调的显式实现.
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广义韦尔马模的Jantzen系数与简单性
Jantzen coefficients and simplicity of generalized Verma modules
本文的主要目的是为$\mathcal{O}^\mathfrak{p}$的研究建立新的工具。引入了广义韦尔马模的Jantzen系数.它来源于广义韦尔马模的Jantzen简单性准则，与$\mathcal{O}^\mathfrak{p}$的结构有着深刻的联系.我们开发了一个简化过程来计算这些系数。为此我们需要考虑由具有极大非平凡奇点的极大抛物子代数诱导的广义韦尔马模，即基本广义韦尔马模.本文给出了这类模的分类。作为我们的结果的第一个应用，我们给出了Jantzen的简单性准则的一个改进。
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标量广义Verma模的最小抛物型的可约性
Reducibility of scalar generalized Verma modules of minimal parabolic type
本文针对经典复单李代数的最小抛物子代数，通过计算最高权模的Gelfand-Kirillov维数，确定了标量广义Verma模的第一个对角可约点。
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韦尔马模与预投射代数
Verma modules and preprojective algebras
利用预投射代数的有限维幂零模簇上的可构造函数给出了对称Kac-Moody李代数的韦尔马模的尺规作图法.
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关于量子$\mathfrak{sl}_2$的2-韦尔马模
On 2-Verma modules for quantum $\mathfrak{sl}_2$
本文研究了超代数$A_n$，它是作者在量子$\mathfrak{sl}_2$的韦尔马模的分类工作中引入的.超代数$A_n$类似于nilHecke代数，并且具有类似的性质。特别地，我们证明了关于$\Bbbk$ -线性2-范畴上的2-韦尔马模的一个唯一性结果.
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抛物型韦尔马模的Kostant问题
Kostant's problem for parabolic Verma modules
本文给出了一类特殊线性李代数的极小或极大抛物子代数所对应的抛物范畴$\mathcal{O}$的主块中的抛物韦尔马模的完全组合分类，对这些模，Kostant问题的答案是肯定的.
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用于$\mathfrak{q}(n)^{(2)}$的非标准Verma型模块
Non-standard Verma type modules for $\mathfrak{q}(n)^{(2)}$
研究了Kac-Moody奇异李超代数$\mathfrak{q}(n)^{(2)}$上的非标准Verma型模.给出了这类模不可约的一个充分条件。我们还给出了包含在$\mathfrak{q}(n)^{(2)}$中的某些Heisenberg李超代数上的不可约对角$\mathbb{Z}$ -分次模的分类.
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$CK_6$上有限韦尔马模复形的同调
Homology of the complexes of finite Verma modules over $CK_6$
Dipartimento di matematica, Università di Bologna（博洛尼亚大学数学系）
我们计算了湮灭超代数$\mathcal{A}(CK_{6})\cong E(1,6)$上有限韦尔马模的复形的第一和第三象限的同调，它与\cite{ck6}中得到的共形超代数$CK_6$相关联.这种计算使我们能够显式地实现$\mathcal{A}(CK_{6})$上退化有限韦尔马模的不可约逆。
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Verma 模的分次扩张
Graded extensions of Verma modules
本文研究 BGG 范畴 $\mathcal{O}$ 中分次 Verma 模的扩张，阐明 $R$-多项式系数所含信息，给出基于 Kazhdan–Lusztig 组合学的维数上界，并完全确定 $\mathfrak{sl}_4$ 正则块中的扩张及意外高次扩张。
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秩为2的Heisenberg-Virasoro代数的韦尔马模
Verma modules for rank two Heisenberg-Virasoro algebra
设$\preceq$是可加群$\mathbb{Z}^2$上的相容全序，$L$是秩为2的Heisenberg-Virasoro代数.对于任意的$\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3,c_4) \in \mathbb{C}^4$，我们定义了李代数$L$的$\mathbb{Z}^2$分次韦尔马模$M(\mathbf{c}, \preceq)$.给出了韦尔马模$M(\mathbf{c}, \preceq)$不可约的一个充要条件.此外，当$M(\mathbf{c}, \preceq)$是可约的时，刻画了韦尔马模$M(\mathbf{c}, \preceq)$的极大$\mathbb{Z}^2$分次子模.
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标量广义韦尔马模之间的同态
On the homomorphisms between scalar generalized Verma modules
研究了标量广义韦尔马模之间的同态.我们猜想任何同态都是初等同态的合成。在无穷小特征标正则的条件下，证明了对于许多抛物子代数，猜想是肯定的。
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交换抛物型预齐次向量空间的b-函数与广义泛韦尔马模
The b-functions for prehomogeneous vector spaces of commutative parabolic type and generalized universal Verma modules
本文给出了交换抛物型准齐次向量空间的b-函数的统一表示和统一计算，这些b-函数以前是通过逐例分析计算出来的。我们的方法是一个推广的Kashiwara的方法使用通用的韦尔马模。本文还对Suga，Gyoja，Wachi等人提出的广义韦尔马模不可约的判别准则给出了一个新的证明。
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关于$E(4,4)$上退化Verma模块的分类
Classification of degenerate Verma modules over $E(4,4)$
Università di Bologna（博洛尼亚大学）；MIT（麻省理工学院）
本文对$E(4,4)$上退化Verma模块进行分类，完善了例外线性紧李超代数上Verma模块的描述，退化模与它们之间的映射产生无限双边复形，可视为de Rham复形的推广。
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$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}(2)})$和类晶体基的虚韦尔马模
Imaginary Verma Modules for $U_q(\widehat{\mathfrak{sl}(2)})$ and Crystal-like bases
考虑量子仿射代数U_q（\widehat{\mathfrak{sl}(2)}）的虚韦尔马模，并利用作者早期工作中构造的Kashiwara代数K_q定义了一个类晶体基，我们称之为虚晶体基.特别地，我们证明了U_q（\widehat{\mathfrak{sl}(2)}）的一类约化虚韦尔马模的类虚基的存在性.
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广义仿射李代数$sl_2(C_q)$的虚韦尔马模
Imaginary Verma modules for the extended Affine Lie algebra $sl_2(C_q)$
我们考虑一个最自然的扩展仿射李代数，代数$sl_2({\mathbb C}_q)$，并开始其表示理论。特别地，我们研究了一类虚韦尔马模，得到了一个不可约的判别准则，并刻画了它们在“一般位置”上的子模结构。
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仿射Kac-Moody代数上限制韦尔马模在临界水平上的Jantzen和公式
Jantzen sum formula for restricted Verma modules over affine Kac-Moody algebras at the critical level
对仿射Kac-Moody代数的限制韦尔马模在临界水平上的Jantzen滤子进行了描述，并给出了与模李代数上的婴儿韦尔马模的Jantzen和公式相对应的交错和公式.这也意味着一个新的证明的联系原则已经推导出的荒川和Fiebig。
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关于韦尔马模之间的扩张
On Extensions Between Verma Modules
N. Abe暗示Gabber-Joseph猜想对具有正则积分最高权的韦尔马模之间的一次扩张成立.
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$\boldsymbol{\frak b_1}$-Verma $\boldsymbol{\frak b_2}$-对偶Verma超模
$\mathfrak b_1$-Verma $\mathfrak b_2$-dual Verma supermodules
本研究针对I型基本经典李超代数上同时为两个不同Borel子代数对应的Verma模与对偶Verma模的模结构，通过分析有限杨格边收缩，证明其必同构于特异或反特异Borel子代数的Verma模，方法可推广至多数基本经典李超代数。
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仿射李超代数上临界水平的一般韦尔马模
On a generic Verma module at the critical level over affine Lie superalgebras
本文描述了非A（2k，2l）^{（4）}型对称化仿射李超代数上在临界水平上具有一般最高权的韦尔马模的结构.我们得到了V.G.在临界水平上具有一般最高权的简单模的特征标公式。Kac和D. A.卡日丹
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极大抛物子代数的标量广义韦尔马模之间的同态
The homomorphisms between scalar generalized Verma modules associated to maximal parabolic subalgebras
设$g$是复数域上的有限维单李代数.对极大抛物子代数的一维模诱导的$g$ -模之间的同态进行了分类。
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广义虚Verma模和Wakimoto模
Generalized Imaginary Verma and Wakimoto modules
当抛物子代数的Levi因子为无穷维且中心荷不为零时，利用抛物归纳法给出了一种构造仿射Kac-Moody代数新的不可约权模的一般方法.我们的方法统一和概括了所有以前已知的结果，并对诱导模块施加限制。我们还定义了广义Imaginary Wakimoto模，它为广义Imaginary韦尔马模提供了一个明确的实现.
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Gelfand-Tsetlin重数的界与韦尔马模的tableaux实现
Bounds of Gelfand-Tsetlin multiplicities and tableaux realizations of Verma modules
引入了简单Gelfand-Tsetlin $\mathfrak{gl}_n$ -模的本质支撑的概念，作为理解这类模的特征公式的一个重要工具.该支持检测具有最大可能Gelfand-Tsetlin多重性的模块中的权重。利用组合工具，我们描述了基本支持的简单socles的通用tableaux模块。证明了每个单Verma模都是泛tableaux模的基柱，从而得到了所有单韦尔马模的本质支撑的刻画.作为结果，我们证明了关于Gelfand-Tsetlin重数的上界的尖锐性的强Futorny-Ovsienko猜想.此外，我们给出了单奇异韦尔马模$M(-ρ)$的支撑和本质支撑的一个非常明确的描述
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关于共形不变系统的广义韦尔马模之间的同态
On the homomorphisms between the generalized Verma modules arising from conformally invariant systems
Barchini、Kable和Zierau证明了微分算子的共形不变系统在某些广义韦尔马模之间产生显式同态。本文确定了拟Heisenberg型极大抛物子代数的一阶和二阶微分算子系统的同态是否是标准的。
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标准Whittaker模与韦尔马模之间的反变对
Contravariant pairings between standard Whittaker modules and Verma modules
我们对复半单李代数上的标准Whittaker模和韦尔马模之间的反变对进行了分类.这些逆变配对在将范畴$\mathcal{O}$的几个经典技术扩展到Miličić-Soergel范畴$\mathcal{N}$中是有用的。引入了一类推广了对偶韦尔马模的上标准模，并利用逆变对刻画了从标准模到上标准模的典范映射.我们证明了余标准模具有唯一的不可约子模，并且与相应的标准Whittaker模具有相同的合成因子.我们表明，余标准模块给出了一个代数表征的整体瓣的余标准扭曲的Harish-Chandra层的相关标志品种，这是使用完整的对偶$\mathcal{D}$ -模块定义。我们证明了在这些共标准模下，范畴$\mathcal{N}$的块具有最高权范畴的结构，并建立了$\mathcal{N}$的BGG互易定理.
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临界水平上的限制韦尔马模
On the restricted Verma modules at the critical level
本文研究了仿射Kac-Moody代数的限制韦尔马模在临界水平上的Jordan-H“older重数.费金-弗伦克尔猜想给出了一个关于这些多重性的公式，其中包含了周期性的卡日丹-卢斯蒂格多项式。我们证明了这一猜想的所有子属块和反主导简单subconjuncients的情况下。
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约化虚Verma模范畴
The Category of reduced imaginary Verma modules
本文研究任意仿射李代数在自然Borel子代数和零中心荷条件下的范畴O类似物，证明其半单性并以约化虚Verma模为单对象，推广了仿射sl(2)的已有结果。
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抛物诱导$G_1T$ -韦尔马模的Loewy级数
Loewy series of parabolically induced $G_1T$-Verma modules
假设Lusztig猜想的不可约字符的约代数群的正特征$p$，这是现在的一个定理，大$p$，我们表明，模块的Frobenius核诱导的简单模块的$p$ -正规最高权的抛物子群是刚性的，并确定其Loewy系列。
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Jacobi代数上的可约韦尔马模
On Reducible Verma Modules over Jacobi Algebra
本文从研究Jacobi代数的可约表示出发，最终目的是构造相对于r.t. t不变的微分算子。Jacobi代数本文给出了Jacobi代数上韦尔马模的低层奇异向量的例子。根据我们的方法，这些将产生不变的微分算子。
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两个Verma模张量积的分支问题及其在微分对称破缺算子中的应用
Branching problem of tensoring two Verma modules and its application to differential symmetry breaking operators
本文研究半单李代数中两个Verma模张量积的分支问题，为Kobayashi-Pevzner发现的sl2情形重数一失效参数提供新刻画，并描述不可分解分量及同构条件。
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E（5，10）的退化韦尔马模的分类
Classification of degenerate Verma modules for E(5,10)
给定一个具有子代数$\frak g_{\geq 0}$和有限维不可约$\frak g_{\geq 0}$ -模$F$的李超代数$\frak g$，导出的$\frak g$ -模$M(F)=U({\frak g}) \otimes_{U(\frak g_{\geq 0})} F $称为有限韦尔马模.本文对具有最小余维子代数$\frak g_{\geq 0}$的最大例外线性紧李超代数${\frak g}=E(5,10)$上的非不可约有限韦尔马模进行了分类.这通过对模块$M(F)$中的所有奇异向量进行分类来完成。除了已知的1、2、3、4、5阶奇异向量外，我们还发现了两个新的7、11阶奇异向量。我们证明了次数为1，4，7和11的有限韦尔马模的相应态射可以排列成无限个双边无限复形，这可以看作是$E(5,10)$的“例外”de Rham复形.
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（诱导）胞腔模的范畴化与广义韦尔马模的粗糙结构
Categorification of (induced) cell modules and the rough structure of generalized Verma modules
本文给出了有限外尔群的Hecke代数的（右）胞腔模和诱导胞腔模的等价刻画.在类型$A$，我们表明，这些同构只依赖于细胞模块的同构类，而不是细胞本身。我们的主要应用是$A$型约化李代数上抛物诱导模的重数公式，最终确定了广义韦尔马模的粗糙结构.在此过程中，我们给出了几个分类结果，并在许多情况下给出了\cite{Jo}对Kostant问题的肯定回答。我们还给出了非范畴化、预范畴化和范畴化的一般框架。
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$G_2$代数上可约韦尔马模的多重分类
Multiplet Classification of Reducible Verma Modules over the $G_2$ Algebra
本文以非紧代数$G_{2(2)}$为例，继续系统地构造不变微分算子的工作，它是$G_2$的分裂实形式.给出了可约韦尔马模$G_2$的分类.我们也给出了这些模块之间的奇异向量，从而为$G_{2(2)}$上的不变微分算子的构造奠定了基础。
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奇异最高权的$G_1T$ -韦尔马模的Loewy结构
Loewy structure of $G_1T$-Verma modules of singular highest weights
设$G$是正特征代数闭域上的约化代数群，$G_1$是$G$的Frobenius核，$T$是$G$的极大环面.我们证明了具有奇异最高权的$G_1T$ -韦尔马模都是刚性的，确定了它们的Loewy长度，并用周期Kazhdan-Lusztig $Q$ -多项式描述了它们的Loewy结构.我们假设该领域的特点是足够大的，特别是，Lusztig的猜想为不可约$G_1T$字符举行。
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微分算子系与广义韦尔马模
Systems of Differential Operators and Generalized Verma Modules
在本文中，我们关闭的情况下，在我们的早期工作中留下的研究共形不变系统的二阶微分算子退化主列。更确切地说，对于这些情形，我们找到了微分算子系统的特殊值，并确定了来自共形不变系统的广义韦尔马模之间同态的标准性.
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关于与二步幂零抛物子代数相关的标量广义Verma模的可约性
On the reducibility of scalar generalized Verma modules associated to two-step nilpotent parabolic subalgebras
本文利用Gelfand-Kirillov维数研究非极大型二步幂零抛物子代数对应的标量广义Verma模可约性，限定三类李代数，并将可约点表示在二维复平面中。
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有理Cherednik代数的Baby韦尔马模
Baby Verma modules for rational Cherednik algebras
辛反射代数出现在许多不同的数学学科中：可积系统，李理论，表示论，微分算子，辛几何。本文引入参数t=0的复反射群的辛反射代数（即所谓的参数t=0的有理Cherednik代数）的婴儿韦尔马模，并给出它们的基本性质.通过与正特征约化李代数的表示论类比，我们相信这些模对于理解参数t=0的有理切雷德尼克代数的表示论和相关几何是基础性的.作为一个例子，我们利用婴儿韦尔马模回答了Etingof和Ginzburg提出的几个问题，并给出了Finkelberg和Ginzburg的一个定理的初等证明.
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抛物 Verma 模张量积的唯一分解
Unique Factorization For Tensor Products of Parabolic Verma Modules
本文针对可对称化 Kac-Moody Lie 代数，证明了抛物 Verma 模张量积及其特征标乘积在特定 Cartan 子代数限制下的唯一分解性质。
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Verma 模的第一扩张群与 $R$-多项式
First extension groups of Verma modules and $R$-polynomials
针对 Gabber-Joseph 猜想被 Booe 证伪的问题，本文研究 Verma 模第一扩张群维数与 Kazhdan-Lusztig 的 $R$-多项式系数之间的偏差程度。
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抛物Verma模与不变微分算子
Parabolic Verma Modules and Invariant Differential Operators
本文继续了非紧半单李群不变微分算子的系统分类和构造的工作。这一次，我们把重点放在一个主要的积木上，即韦尔马模和相应的抛物子代数。特别地，我们开始研究实半单李代数的抛物子代数和它们的复化之间的关系。给出了两种情形：四维Minkowski时空的共形代数和经典实半单李代数的极小抛物。
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有理Cherednik代数的韦尔马模的自同态
Endomorphisms of Verma modules for rational Cherednik algebras
研究了有理Cherednik代数在t=0时的韦尔马模的自同态代数.它表明，在许多情况下，这些自同态代数的中心的有理Cherednik代数的继承人。几何上，他们定义广义Calogero-Moser空间的拉格朗日子变量。在引言中，我们激励我们的结果，通过描述他们的背景下，推导出的拉格朗日交点。
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$\mathbb{Z}$ -分次模李超代数上广义约化韦尔马模的若干性质
Some properties of generalized reduced Verma modules over $\mathbb{Z}$-graded modular Lie superalgebras
本文主要研究$\mathbb{Z}$ -分次模李超代数上的广义约化韦尔马模.得到了广义既约韦尔马模和余诱导模的一些性质.此外，还研究了广义约化韦尔马模上的不变形式.特别地，我们证明了Cartan型$\mathbb{Z}$ -分次模李超代数的广义既约韦尔马模同构于模的混合积.
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广义韦尔马模的分支问题及其对$(so(7),Lie G_2)$的应用
The branching problem for generalized Verma modules, with application to the pair $(so(7),Lie G_2)$, extended version with tables
讨论了广义韦尔马模$M_λ(\mathfrak g, \mathfrak p)$应用于约化李代数偶$\bar{\mathfrak g}\hookrightarrow \mathfrak g$的分支问题.该分析基于投影特征公式来量化分支，并基于$U(\bar{\mathfrak g})$中心的作用来显式构造实现部分分支的奇异向量。证明了$\mathrm{Lie}G_2\hookrightarrow{so(7)}$对与$i(\mathrm {Lie} G_2)$抛物子代数和一大类诱导表示的强相容和弱相容的结果.
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与 Verma 模的张量积及对抛物子代数的限制
Tensor Products with Verma Module and Restriction to Parabolic Subalgebra
本文利用张量恒等式，基于模对抛物子代数的限制分解，研究了广义Verma模与范畴O^p中模的张量积分解。证明了该限制存在本质上唯一的不可分解分解，并识别出有限维商与倾斜子模两类直和项，最后给出了sl_2和sl_3中相关模的完整Borel分解及显式计算。
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微分方程与韦尔马模中的奇异向量
Differential equations and singular vectors in Verma modules
Xu引入了一个偏微分方程组来研究$\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$上最高权$λ$的韦尔马模中的奇异向量.他证明了这个系统在截断幂级数空间中的解空间是由$\{σ(1)\ |\ σ\in S_n\}$张成的。对每一个正根$α$给出了解$s_α(1)$的显式表达式，并直接证明了$s_α(1)$是多项式当且仅当$\langleλ+ρ,α\rangle$是非负整数.由此，我们可以恢复由Malikov等人给出的奇异向量的公式。
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$\mathfrak{osp}(3|2m)$的广义韦尔马模和Character公式
Generalized Verma Modules and Character Formulae for $\mathfrak{osp}(3|2m)$
利用广义韦尔马模的特征标，得到了李超代数$\mathfrak{osp}(3|2m)$的任意有限维不可约模的特征标公式.
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$\mathcal{O}^\mathfrak{p}$中单模Dirac上同调的几何和代数参数化及其应用
Geometric and algebraic parameterizations for Dirac cohomology of simple modules in $\mathcal{O}^\mathfrak{p}$ and their applications
在本文中，我们证明了在$\mathcal{O}^\mathfrak{p}$中的一个简单的最高权模$L(λ)$的狄拉克上同调$H_{D}(L(λ))$可以由一组特定的权参数化：作用在$λ+ρ$上的Weyl群$W$的轨道的子集$\mathcal{W}_I(λ)$。作为应用，我们证明了$\mathcal{O}^\mathfrak{p}$中的任何单模都由其Dirac上同调决定同构.当$λ$是正则的时，我们描述了$H_D(L(λ))$的四种参数化。其中两个参数化是几何方面的一个偏序对偶的Cartan子代数和一个推广的强链接，分别。利用这些几何参数化，我们分别得到了关于Verma模的合成因子的重数和Verma模之间的嵌入的代数参数化.作为应用，对于具有正则无穷小特征的Verma模，我们得到了Verma-BGG定理的一个推广。我们还研究了Kostant模的Dirac上同调。利用Dirac上同调给出了Verma模的简单性准则的一个新的证明，并描述了具有正则无穷小特征的抛物Verma模的一个新的简单性准则。
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李超代数抛物韦尔马模的行列式公式
Determinant Formula for Parabolic Verma Modules of Lie Superalgebras
本文证明了第二作者以前提出的李超代数的抛物韦尔马模的一个行列式公式。我们的行列式公式推广了Jantzen关于（非超）李代数的抛物型韦尔马模和Kac关于（非抛物型）李超代数的韦尔马模的结果.所得公式可望在高维超对称共形域论的研究中有多种应用。我们还讨论了韦尔马模的不可约准则。
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$B_2$型Baby韦尔马模中的极大本原元
Maximaland Primitive Elements in Baby Verma Modules for Type $B_2$
本文的目的是寻找$B_2$型量子群的婴儿韦尔马模的极大元和本原元.从而确定了婴儿韦尔马模的合成因子。类似的方法可以用来寻找类型$B_2$的Weyl模的极大元和本原元。
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仿射Laumon空间与$U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$的反梯度对偶Verma模
Affine Laumon space and contragredient dual Verma module of $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$
本文研究量子群在仿射Laumon空间等变K-理论上的作用，证明其与反梯度对偶Verma模等同，改进了前人结果，证明采用稳定包络变体。
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