Discrete frames on finite dimensional quaternion Hilbert spaces
M. Khokulan, K. Thirulogasanthar, S. Srisatkunarajah
有限维四元数希尔伯特空间上的框架的介绍性理论证明沿着他们的复杂的对应线。
An introductory theory of frames on finite dimensional quaternion Hilbert spaces is demonstrated along the lines of their complex counterpart.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
General construction of Reproducing Kernels on a quaternionic Hilbert space
给出了右四元数Hilbert空间上再生核和再生核Hilbert空间的一般理论。研究了正算子值测度与一类广义四元数相干态的关系。在右四元数Hilbert空间中证明了一个与正算子值测度相关的Naimark型扩张定理。作为说明性的例子，实，复和四元数再生核和再生核希尔伯特空间产生的Hermite和Laguerre多项式。特别地，在Laguerre情形下，给出了相应的四元数Hilbert空间上的Naimark型扩张定理。
Coherent states on quaternion Slices and a measurable field of Hilbert spaces
在四元数切片上的Hilbert空间上，利用相干态得到了一组再生核Hilbert空间。证明了这样得到的集合构成Hilbert空间的一个可测域，并且对于整个四元数上的一个更大的Hilbert空间，它们的直接积分又表现为一个再生核Hilbert空间.四元数切片上的Hilbert空间被确定为一组不可约酉群表示的表示空间，并且它们的直接积分被证明是整个四元数体上的Hilbert空间的可约表示。
The Quaternionic Affine Group and Related Continuous Wavelet Transforms on Complex and Quaternionic Hilbert Spaces
类比于实仿射群和复仿射群的酉不可约表示用于定义一维和二维连续小波变换，本文研究了四元数仿射群，并构造了它的酉不可约表示。这些表示都是在复希尔伯特空间和四元数希尔伯特空间上构造的。在实数和复数的情况下，四元数群的表示也是平方可积的。利用这些表示，我们在复希尔伯特空间和四元数希尔伯特空间上构造了四元数小波和连续小波变换。
S-spectrum and Associated Continuous Frames on Quaternionic Hilbert Spaces
根据构造右四元数Hilbert空间上秩$n$连续框架的需要，研究了右四元数算子的S-谱.使用S-谱，对于复希尔伯特空间的情况，沿着{ \em Ann.Phys.}的参数的路线，{ \bf 222}（1993），1-37.，给出了右四元数Hilbert空间上的各种秩$n$连续框架及其等价性.
Canonical, squeezed and fermionic coherent states in a right quaternionic Hilbert space with a left multiplication on it
利用定义在右四元数希尔伯特空间上的左乘法，我们将证明各种相干态，如正则相干态，纯压缩态，费米子相干态，都可以定义在右四元数希尔伯特空间上，并具有所有期望的性质。此外，我们还将证明压缩态可以定义在同一希尔伯特空间上，但四元数的非交换性阻止我们得到所需的结果。
Weyl and Browder S-spectrums in a right quaternionic Hilbert space
本文首先研究了右四元数Hilbert空间中有界右四元数线性算子的Weyl算子和Weyl S-谱。特别地，我们给出了S-谱的Weyl算子的一个特征。在同一空间中，我们还研究了Browder算子，并引入了Browder S-谱。
Discretization of quaternionic continuous wavelet transforms
介绍了由复值平方可积函数的Hilbert空间的基和框架分别构造四元数值平方可积函数的Hilbert空间的基和框架的方案。利用$SIM(2)$群的二维连续小波变换的离散化技巧，将四元数小波群的四元数连续小波变换离散化，得到了复值平方可积函数Hilbert空间的四元数连续小波变换的离散框架.
Squeezed states in the quaternionic setting
利用定义在右四元数希尔伯特空间上的左乘法，我们将证明纯压缩态可以定义在右四元数希尔伯特空间上，具有所有期望的性质。此外，我们还将证明压缩态可以定义在同一希尔伯特空间上，但四元数的非交换性阻止我们得到所需的结果。然而，我们将表明，如果一旦考虑四元数切片的方法，那么所需的性质可以得到四元数压缩态。
Regular subspaces of a quaternionic Hilbert space from quaternionic Hermite polynomials and associated coherent states
我们通过类比两族复埃尔米特多项式来定义四元数埃尔米特多项式。在复情形下，这些多项式构成了周围四元数$L^2$ -空间中的正交向量族。使用这些多项式，我们然后定义这些$L^2$ -空间，相关的再生核和随之而来的四元数相干态的正则和反正则子空间。
Perturbation of Continuous Frames on Quaternionic Hilbert Spaces
本文利用复Hilbert空间中离散标架扰动理论，研究了秩$n$连续标架、秩$n$连续Bessel族和秩$n$连续Riesz族在非交换情形下，即在右四元数希尔伯特空间中的扰动.
Frame Multipliers for discrete frames on Quaternionic Hilbert Spaces
本文利用复形理论，研究了非交换条件下，即左四元数希尔伯特空间中的离散控制框架、离散加权框架和框架乘子.特别地，我们证明了受控框架在一定条件下等价于普通框架。我们还研究了同一希尔伯特空间中框架乘子与加权框架之间的关系。
Quaternionic quantum mechanics in real Hilbert space
在实Hilbert空间中给出了四元数量子力学（$\mathbb{H}$ QM）的一种表述.利用物理意义上的标量积，我们证明了谱定理，并得到了一个新的四元数傅里叶级数。在对这种形式中的幺正算符作了简要的讨论之后，我们得出结论，这种量子理论确实是自洽的，并且可以成为寻找新物理的一个有价值的工具。
Quantum Error Correction in Quaternionic Hilbert Spaces
本文通过将量子力学扩展到四元数Hilbert空间，定义了四元数Pauli算子与量子门，构建了包含15个校验子测量的四元数五量子比特码，在高噪声环境中实现了约0.015的逻辑错误阈值，提升了容错性能。
Pseudo $S$-spectra of special operators in quaternionic Hilbert spaces
对于右四元数Hilbert空间$\mathcal{H}$和$\varepsilon >0$上的有界四元数算子$T$，定义$T$的伪$S$ -谱为\begin{align*} Λ_{\varepsilon}^{S}(T) := σ_S (T) \bigcup \left \{ q \in \mathbb{H}\setminus σ_S(T):\; \|Δ_{q}(T)^{-1}\| \geq \frac{1}{\varepsilon} \right\}, \end{align*}，其中$\mathbb{H}$表示四元数的除环，$σ_S(T)$是$T$和$Δ_q(T)= T^2-2 \text{Re}(q)T+|q|^2I$的$S$ -谱.这是复希尔伯特空间理论中伪谱的自然推广。本文研究了上三角矩阵、自伴算子、正规算子和正交投影等一类特殊算子的伪$S$ -谱的性质，并给出了它们的伪$S$ -谱的具体计算方法.特别地，通过应用$S$ -泛函微积分，证明了四元数算子是由实数$r$诱导的左乘算子当且仅当对于每个$\varepsilon>0$，该算子的伪$S$ -谱是复平面中以$r$为中心的半径为$\sqrt{\varepsilon}$的闭圆盘的圆化.此外，我们提出了一个$G_1$条件的四元数运营商，并证明了一些结果在此设置。
Quaternionic Quantum q-Oscillator and Unbounded Subnormal Operators
本研究确定四元数希尔伯特空间上的无界次正规算子类对应四元数量子谐振q-振子的解，并借助无界次正规算子的模型理论，探讨了该算子、q-振子与四元数量子经济学的关联。
The correct formulation of Gleason's theorem in quaternionic Hilbert spaces
从基本命题的正交模格理论的观点来看，量子理论可以在实的、复的或四元数的希尔伯特空间中表述，如Solér定理所建立的。所述格最终与R、C或四元数代数H上的可分希尔伯特空间上的所有正交投影格重合。量子态是$σ$ -非布尔格上的加性概率测度。格里森定理证明，如果希尔伯特空间是可分的，维数>2，并且希尔伯特空间是实数或复数，则状态与标准密度矩阵（自伴，正，单位迹，迹类算子）是一对一的。Varadarajan在1968年将这个结果推广到四元数希尔伯特空间。不幸的是，即使证明的困难部分是正确的，这个扩展的公式在数学上是不正确的。这是由于四元数希尔伯特空间中迹的概念的一些特殊性，例如，基依赖性，使得四元数希尔伯特空间中的迹类算子理论不同于实和复希尔伯特空间中的标准理论。一个小问题也影响了Varadarajan对实希尔伯特空间公式的陈述。本文主要致力于把Gleason-Varadarajan定理推广到对三类Hilbert空间都有效的技术上正确的形式。在发展了（一般不可分的）四元数希尔伯特空间中的迹类算子的一般数学技术之后，我们证明了只有迹的{ \em实部}进入量子理论的形式主义（也处理无界的可观测量和对称性），并且它可以安全地用于制定和证明格里森定理的一个共同陈述。
Continuous slice functional calculus in quaternionic Hilbert spaces
本文的目的是从正规算子的球面谱的概念出发，在四元数希尔伯特空间中定义一个连续的谓词演算。正如球面谱的性质所表明的，在这种情况下要考虑的连续函数类是切片四元数函数。片函数是片正则函数概念的推广，片正则函数包含单侧系数为四元数的幂级数，可以看作是对单复变数的全纯函数的四元数的有效推广。切片函数的概念允许引入适当的类的真正的，复杂的和四元数的$C^*$ -代数和定义，对每个这些$C^*$ -代数，一个谓词演算四元数正规算子。特别地，我们建立了几个版本的谱映射定理。一些结果也证明了无界算子。然而，所提到的连续函数演算仅针对有界正规算子定义。我们的工作的物理意义的一些意见。
Quantum theory in quaternionic Hilbert space: How Poincaré symmetry reduces the theory to the standard complex one
我们将群表示论和冯诺依曼代数的一些结果推广到四元数希尔伯特空间的情形，证明了双交换子定理（其四元数证明需要不同的过程），并将一个关于不可约冯诺依曼代数分类的结果推广到四元数情形。其次，我们考虑了基本相对论性系统在Wigner的观点中定义为四元数Hilbert空间中Poincaré群的局部忠实不可约强连续酉表示。我们证明了，如果平方质量算子是非负的，系统承认一个自然的，庞加莱不变量和唯一的符号，复杂的结构与系统的观测量交换，导致在复希尔伯特空间中的物理等价的重构。从四元数公式推导出，所有的自伴算子都是可观测的，诺特定理成立，复合系统可以用张量积给出。在第三部分中，我们使用了一个物理上更精确的相对论基本系统的概念：不可约性只考虑可观测量的代数，对称性是基本命题的限制格的自同构，我们采用了一个连续性的概念，把状态看作是基本命题上的概率测度。我们证明，再次存在一个独特的（签署）庞加莱不变的复杂结构，使理论复杂。相对论性基本系统在复希尔伯特空间中自然地和更好地描述，即使从实希尔伯特空间或四元数希尔伯特空间公式开始，这种复杂的描述是唯一固定的物理。
Division Algebras and Quantum Theory
量子理论可以用希尔伯特空间在三个结合赋范除代数中的任何一个上进行表述：实数、复数和四元数。事实上，这三个选择在许多公理化方法中自然出现。然而，实数或四元数量子理论存在内部问题。在这里，我们认为，这些问题可以得到解决，如果我们把真正的，复杂的和四元数的量子理论作为一个统一的结构的一部分。戴森称这种结构为“三重方式”。在研究复希尔伯特空间上群的不可约酉表示时，可能最容易看到它。这些表示有三种：那些不同构于自己的对偶的（真正的“复杂”表示），那些由于对称双线性对而成为自对偶的表示。（它们是“实”的，因为它们是实希尔伯特空间上表示的复化），以及那些由于反对称双线性对而自对偶的。（它们是“四元数”，因为它们是四元数希尔伯特空间上的表示的基础复表示）。这种三重分类揭示了时间反演对称性的物理学，它已经在粒子物理学中发挥了重要作用。更一般地说，实、复和四元数三种类型的希尔伯特空间中的任何一种都可以被看作是其他类型的希尔伯特空间，具有额外的结构。
Spectral properties of compact normal quaternionic operators
研究了四元数Hilbert空间中紧正规算子的一般特征，特别是谱特征，得到了一些结果，推广了复希尔伯特空间中紧正规算子的一些已知性质.更精确地说，它被证明，这样的运营商的范数总是符合的最大值的绝对值的特征值（利用球特征值的概念）。讨论了一般紧正规算子$T$的谱分解的结构，并证明了紧正规算子的一个谱特征定理.
Pairs of Subspaces, Split Quaternions and the Modular Operator
本文在放宽子空间一般位置假设的条件下重新研究实 Hilbert 空间子空间对，详细阐明两个实投影算子构造复 Hilbert 空间并应用模算子理论的过程，突出分裂四元数群中心扩张的作用，并给出维数不等的非一般位置例子。
Spinors in $\mathbb{K}$-Hilbert Spaces
在Clifford代数的除环框架下，考虑$\mathbb{K}$空间的一种结构，其中$\mathbb{K}\simeq\mathbb{R}$是实数域，$\mathbb{K}\simeq\mathbb{C}$是复数域，$\mathbb{K}\simeq\mathbb{H}$是四元数代数. $\mathbb{K}$ -Hilbert空间由Gelfand-Naimark-Segal构造生成，而生成$C^\ast$ -代数由能量算子$H$和附在$H$上的群$SU(2,2)$的生成元组成.对应于四元数代数张量积的$\mathbb{K}$ -Hilbert空间的循环向量定义了算子代数的纯可分态。根据除环$\mathbb{K}$，算子代数的所有状态被分为三类：1）带电状态与$\mathbb{K}\simeq\mathbb{C}$ ; 2）中性状态与$\mathbb{K}\simeq\mathbb{H}$ ; 3）真正的中性状态与$\mathbb{K}\simeq\mathbb{R}$。对于纯可分离的状态，定义的费米子和玻色子的能量谱的状态，融合，加倍（复杂化）和湮灭操作的确定。
Two-Qubit Hilbert-Schmidt Separability Functions and Probabilities for Full-Dimensional Even-Dyson-Index Scenarios
我们扩展了我们最近的两项研究（Phys. Rev. A，75，032326 [2007]和arXiv：0704.3723）的发现和分析，首先，获得基于（欧几里得，平坦）希尔伯特-施密特（HS）度量的27维四元数双量子比特系统凸集的可分性函数的数值估计。估计的函数似乎与我们以前制定的戴森指数非常一致（β = 1，2，4）的解析式，规定了四元数（β =4）可分性函数应该与两量子比特复（β =2）系统的15维凸集的可分性函数的平方精确成比例，以及两量子比特实（β =1）系统的9维凸集的可分性函数的四次幂。特别地，我们得出S_{quat}（mu）=（6/71）^2（（3-mu^2）mu）^4 =（S_{complex}（mu））^2。这里，μ =（rho_{11} rho_{44} /（rho_{22} rho_{33}）^（1/2），其中ρ是4 × 4双量子位密度矩阵。因此，我们可以补充（和加强）我们之前的断言，即双量子比特复合态的HS可分性概率是8/33= 0.242424，通过声称其四元数对应物是72442944/936239725 = 0.0773765。我们还评论和分析了奇数β =1和3的情况。
Spinor fields without Lorentz frames in curved spacetime using complexified quaternions
利用复化四元数，给出了一种不需要洛伦兹标架，因而也不需要维因的形式，用于处理弯曲时空中的张量场和旋量场。一个局域U（1）规范对称性，据推测，可能与电磁学有关，自然出现。
Multi Matrix Vector Coherent States
在Hilbert空间中，以矩阵的倍数为矢量，导出了一类矢量相干态，这里的Hilbert空间是几个其它Hilbert空间的张量积。作为例子，给出了四元数和八元数的矢量相干态。由此产生的广义振子代数进行了简要讨论。进一步，用同样的方法得到了张量哈密顿系统的矢量相干态。作为特殊情况，得到了张量Jaynes-Cummings型哈密顿量和Jaynes-Cummings模型的两能级双模推广的相干态。
Quaternions and Biquaternions: Algebra, Geometry and Physical Theories
综述了四元数的代数、几何和微分性质及其应用的现代研究。讨论了Q-单位的传统表述和“张量”表述及其可能的表示，确定了保持Q-乘法规则形式不变的Q-单位变换群。提供了一系列的数学和物理应用，其中包括使用Q-三元组作为一个可移动的框架，分析Q-空间家庭，Q-制定的牛顿力学在任意旋转框架，和实现的Q-相对论模型，包括所有的影响，狭义相对论和承认的运动学的非惯性运动的描述。一个“四元数巧合”的列表，揭示了一些物理理论和Q数数学的基本关系之间令人惊讶的互连。
Quaternions in Hamiltonian dynamics of a rigid body -- Part I
本文证明了四元数变量的Poisson括号可以直接由正则辛几何赋予的$SE(3)$（或$SO(3)$）余切丛上的正则Poisson括号得到。本文中的四元数参数就是$T^*SE(3)$上的刚体正则哈密顿力学中的动力学变量。所得结果是基于四元数表示为$SO(3)$群的旋转矩阵元的显函数。研究了所得到的Poisson结构与$T^*S^3$上的正则Poisson结构和辛结构之间的关系。为了导出四元数变量的哈密顿动力学运动方程，提出了用混合参考系来描述，其中平移自由度在惯性参考系中描述，转动自由度在体参考系中描述。结果表明，具有较一般形式的哈密顿量的系统的运动方程可以用四元数的代数运算来表示。
Ortho-normal quaternion frames, Lagrangian evolution equations and the three-dimensional Euler equations
在汉密尔顿发明四元数150多年后，四元数现在广泛用于航空航天和计算机动画行业，以跟踪经历三轴旋转的移动物体的路径。它在这里示出，他们提供了一种自然的方式选择一个适当的正交正常的框架-指定的四元数框架-为一个粒子在拉格朗日流，并获得其动力学方程。如何将这些想法可以应用到三维欧拉流体方程，然后考虑。这项工作有关系的问题是否欧拉方程开发一个奇点在有限的时间。本文回顾了有关这一问题的一些文献，包括Beale-Kato-Majda定理以及Constantin、February man和Majda以及Deng、Hou和Yu关于涡度方向的相关工作。然后，它示出了如何四元数制定提供了进一步的方向的涡度结果使用的Hessian的压力。
The gradient of potential vorticity, quaternions and an orthonormal frame for fluid particles
位涡梯度是一个重要的量，因为位涡（表示为$q$）倾向于在海洋和大气中局部积累。作者最近的分析表明，三维不可压缩旋转欧拉方程的矢量$\bdB = \bnabla q\times \bnablaθ$与磁流体力学（MHD）中的涡量$\bom$和磁场$\bB$都是按照相同的拉伸方程发展的。因此，$\bdB$矢量的作用类似于欧拉方程中的涡量$\bom$和MHD中的$\bB$场。例如，它允许各种类比，如拉伸动力学，螺旋度，超螺旋度和交叉螺旋度。此外，使用四元数分析，$\bdB$ -向量的动力学自然允许构造附着到流体粒子的正交标架;这被指定为四元数标架。当PV梯度$\bnabla q$较大时，该框架的排列动力学与粒子在穿过流区域时所经历的三轴旋转特别相关。
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