We reexamine a recent analysis in which, using the volume of the associated quantum steering ellipsoid (QES) as a measure, we sought to estimate the probability that a two-qubit state is separable. In the estimation process, we, in effect, sought to attach to states random with respect to Hilbert-Schmidt (HS) measure, the corresponding QES volumes. However, a study of the relations between HS and Bures ensembles and their well-supported separability probabilities of $\frac{8}{33}$ and $\frac{25}{341}$, respectively, now lead us to explore as a possible alternative measure, the QES volume divid…
2021-01-19 math-ph math.MP quant-ph
Separability for mixed states with operator Schmidt rank two
算符施密特秩（Schmidt rank）是将状态表示为基本张量因子之和所需的最小项数。在这里，我们提供了一个新的证明的事实，任何二分的混合状态与运营商施密特秩2是可分的，并可以写为两个半正定矩阵每网站的总和。我们的证明使用的结果从理论的自由光谱体和运营商系统，并说明了使用之间的连接分解的量子态和分解的非负矩阵。在多分情形下，我们证明了键维为2的任何厄米矩阵乘积密度算子（MPDO）是可分的，并且可以表示为每个格点至多4个半正定矩阵之和。这意味着这些态只能包含经典相关，而且是非常少的。相反，键维3的MPDO可以包含无限数量的经典相关性。
2019-11-11 math-ph math.MP quant-ph
Generalized Two-Qubit Whole and Half Hilbert-Schmidt Separability Probabilities
令人信服的证据--尽管还没有正式的证明--已经被引证，一个通用的（标准的）两量子比特态（$ρ$）是可分离/解纠缠的概率是$\frac{8}{33}$（arXiv：1301.6617，arXiv：1109.2560，arXiv：0704.3723）。在相关的分析框架中进行，使用进一步的行列式$4F3$-超几何矩公式（附录A），我们得到，{\it via}密度近似程序，当行列式不等式$|ρ^{PT}|>|ρ|$（其中$PT$表示部分转置）满足时，该概率的一半（$\frac{4}{33}$）出现，而另一半，当$|ρ|>|ρ^{PT}|$满足时。这些概率是相对于$4 \times 4$密度矩阵的15维凸集上的平坦希尔伯特-施密特测度而取的。我们发现完全平行的平分/均分的结果，以及先前举出的，两个"re [al]位"和两个"quater [nionic]位"的$\frac{29}{64}$和$\frac{26}{323}$，分别可分性概率。新的行列式$4F3$-超几何矩公式，然后，调整（附录B和C）的最小简并状态（$|ρ|=0$）的边界情况下，其一致性表明-也使用密度近似-与Szarek，Bengtsson和{} yczkowski定理（arXiv：quant-ph/0509008）。这个定理指出，一般最小简并两量子比特态的希尔伯特-施密特可分性概率（同样）是相应一般非简并态的一半。
2015-01-12 math-ph math.MP math.PR
Entanglement and separability of qubits systems related to measurement processes, Hilbert-Schmidt(HS)decompositions and general Bell states
利用Hilbert-Schmidt（HS）分解方法对n量子比特系统的可分性和纠缠进行了量化，其中将密度矩阵分解为表示单量子比特、双量子比特和更大量子比特测量的各种项.本文的方法比以前的方法更一般，因为它可以用于大的n-量子比特系统的纠缠的量化.我们通过分析三个量子比特的GHZ态和三个量子比特的一般Bell态来说明这种方法的使用.量子关联是通过测量这些系统的所有量子比特来获得的，而对系统的一部分的测量只能给出经典关联。这些系统的纠缠的量化是通过使用HS分解。
2016-02-22 quant-ph
Master Lovas-Andai and Equivalent Formulas Verifying the $\frac{8}{33}$ Two-Qubit Hilbert-Schmidt Separability Probability and Companion Rational-Valued Conjectures
我们首先研究了两种形式的希尔伯特-施密特两重位和两量子位“可分性函数”之间的关系-最近由Lovas和Andai提出的（J. Phys. A 50 [2017] 295303），以及Slater提出的（J. Phys. A 40 [2007] 14279）。在Lovas-Andai框架中，自变量$\varepsilon \in [0,1]$是由$4 \times 4$密度矩阵$D$的两个$2 \times 2$对角块（$D_1, D_2$）形成的$2 \times 2$矩阵$V=D_2^{1/2} D_1^{-1/2}$的奇异值的比率$σ(V)$。在Slater设置中，自变量$μ$是对角线入口比$\sqrt{\frac{ρ_{11} ρ_{44}}{ρ_{22} ρ_{33}}}$ -当$D_1$和$D_2$本身都是对角线时，$μ=\varepsilon$或$μ=\frac{1}{\varepsilon}$具有中心重要性。Lovas和Andai建立了他们的两重比特“可分离性函数”$\tildeχ_1 (\varepsilon )$（$\approx \varepsilon$），得到了先前证明的$\frac{29}{64}$的希尔伯特-施密特可分离性概率。我们能够，在斯莱特框架（使用圆柱代数分解[CAD]，以执行积极的约束），重现这一结果。此外，我们新发现了它的两个量子比特（产生$\f…
2017-11-02 math-ph math.MP math.PR
Dyson Indices and Hilbert-Schmidt Separability Functions and Probabilities
数值和理论结果的汇合使我们推测，复杂和实两量子比特态的15维和9维凸集（由4 × 4密度矩阵rho表示）的希尔伯特-施密特可分离性概率分别为8/33和8/17。我们的推理的核心是两个ansatze的修改，最近先进的（quant-ph/0609006），涉及不完整的β函数B_{nu}（a，b），其中nu=（rho_{11} rho_{44}）/（rho_{22} rho_{33}）。现在，我们将可分性函数S_{real}（nu）设置为B_{nu}（nu，1/2}，2）=（2/3）（3-nu）sqrt{nu}。然后，在复杂的情况下--与我们发现的模式一致，表现出随机矩阵理论的戴森指数（1，2，4）--我们将S_{complex}（nu）推广到S_{real} ^{2}（nu）。我们还研究了真实的和复杂的量子位-量子数的情况。现在，有两个布鲁尔比率变量，nu_{1} =（rho_{11} rho_{55}）（rho_{22} rho_{44}），nu_{2} =（rho_{22} rho_{66}）（rho_{33} rho_{55}），但它们似乎明显地合并成乘积，eta = nu_1 nu_2 = rho_{11} ρ_{66}}{ρ_{33} ρ_{44}}，因此实和复可分性函数本质上又是单变量的。
2007-10-11 quant-ph
An improved exact upper bound of 22/35 on the Hilbert-Schmidt separability probability of real two-qubit systems
我们试图通过对相关的4 x 4密度矩阵的部分转置（PT）进行著名的Peres-Horodecki测试，推导出一个通用（九维）实双量子比特系统是可分离的概率--用希尔伯特-施密特（欧几里得或平坦）度量表示。但是，测试的全面实施-要求PT的行列式是非负的可分性保持-似乎是，至少目前，计算上难以解决。因此，我们之前已经实现了-使用对角入口参数化可分性函数（DESF）的辅助概念-PT的六个2 x 2主子式的非负性的较弱隐含测试。这就得到了可分性概率的精确上限：1024/（135 Pi^2）= 0.76854。在这里，我们通过要求PT的四个3 x 3主子式是非负的来扩展这条工作线，从而使我们得到22/35 = 0.628571的改进/降低的上界。另一方面，数值模拟（而不是精确的符号计算）表明，真实的概率肯定小于1/2。我们的综合分析使我们提出了真实DESF的一种可能形式，得到的可分性概率为29/64 = 0.453125，而迄今为止建立的最佳精确下限为（6928-2205 Pi）/2^（9/2）= 0.0348338。
2009-09-25 quant-ph
Hilbert-Schmidt Separability Probabilities and Noninformativity of Priors
Horodecki家族采用Jaynes最大熵原理，拟合Bell-CHSH观测值（B）的平均值（b_{1}）。Rajagopal通过引入可观测量的色散（σ_{1}^2）对该模型进行了扩展，Canosa和Rossignoli通过推广可观测量（B_α）对该模型进行了扩展。我们进一步扩展了Horodecki单参数模型，得到了一个三参数（b_{1}，σ_{1}^2，α）双量子比特模型，并在其中发现了一个非常有趣/复杂的希尔伯特-施密特（HS）可分性概率连续统（- \infty < α< \infty），其中黄金分割率是其特征.我们的模型可以与Abe和Rajagopal的三参数（b_{q}，σ_{q}^2，q）模型进行对比，后者使用q（Tsallis）参数而不是$α$，并且具有简单的q不变HS可分性概率1/2。我们的结果出现在一项研究中，最初专注于将两能级量子系统上的某些信息度量嵌入q框架。我们发现的证据表明，Srednicki的最近表示的偏见的标准noninformative先验产生的先验排名完全一致的信息理论测试的克拉克，以前适用于量子系统的斯莱特。
2005-07-20 quant-ph
Numerical and Exact Analyses of Bures and Hilbert-Schmidt Separability and PPT-Probabilities
我们采用准随机方法，最近开发的马丁罗伯茨，估计可分性概率，相对于Bures（最小单调/统计可分性）措施，通用的两个量子比特和两个rebit状态。这个过程基于黄金分割率的广义性质，在几乎170亿次迭代（以500万次的间隔记录）的过程中，产生了两个量子比特的估计，重复地接近$\frac{25}{341} =\frac{5^2}{11 \cdot 31} \approx 0.073313783$的小数点后9位。然而，尽管使用了超过230亿次迭代，我们目前还没有发现Bures两比特可分性概率的估计值为0.15709623的确切值（合理或其他）。Bures qubit-qutrit情况-Khvedelidze和Rogojin给出的估计值为0.0014-也进行了分析。$\frac{1}{715}=\frac{1}{5 \cdot 11 \cdot 13} \approx 0.00139860$的值与估计值0.00139884拟合良好。有趣的值（$\frac{16}{12375} =\frac{4^2}{3^2 \cdot 5^3 \cdot 11}$和$\frac{625}{109531136}=\frac{5^4}{2^{12} \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 17}$）是为希尔伯特-施密特（HS）和布里斯量子比特-量子位（$2 \times 4$）正部分转置（PPT）概…
2019-07-31 math-ph math.MP math.PR
Employing the volume of quantum steering ellipsoids (QSEs) as a measure on the fifteen-dimensional convex set of two-qubit states, we estimate the ratio of the integral of the measure over the separable states to its integral over all (separable and entangled) states to be 0.0288. This can be contrasted with the considerably larger separability ratios (probabilities) of $\frac{8}{33} = \frac{2^3}{3 \cdot 11} \approx 0.242424$ and $\frac{25}{341}=\frac{5^2}{11 \cdot 31} \approx 0.0733138$ that various forms of evidence point to with the use of the prominent Hilbert-Schmidt and Bures measures, r…
2020-12-16 math-ph math.MG math.MP
Separability and entanglement of n-qubits and a qubit with a qudit using Hilbert-Schmidt decompositions
Hilbert-Schmidt（HS）分解用于分析n量子位系统以及具有量子位的量子位系统。负的本征值，通过部分转置（PT）加局部酉变换（PTU）从整个系统的一个量子比特获得，用于指示不可分离性。给出了n量子比特和量子比特-量子比特系统完全可分性的一个充分判据。我们使用奇异值分解（SVD）来改进完全可分性准则。分析了一个量子比特系统和一个量子比特系统以及n个量子比特系统的纠缠和可分性的一般性质，重点是最大无序子系统（MDS）（即，密度矩阵ρ（MDS），对于该矩阵，在任何子系统上的追踪给出单位密度矩阵）。rho（MDS）不可分的一个充分条件是：对于一个量子比特和一个量子比特，rho（MDS）的本征值大于1/d，对于n个量子比特系统，rho（MDS）的本征值大于1/2^（n-1）。PTU变换对于奇数n不改变n量子比特MDS密度矩阵的特征值。因此，Peres-Horodecki准则没有给出任何关于这些密度矩阵的纠缠的信息，但是这个准则对于指示偶数n的不可分离性是有用的。利用所提出的方法分析了GHZ态、Braid纠缠态和W态与白噪声混合后纠缠和可分性的变化。分析了由概率为p（i）的8个GHZ密度矩阵混合而成的GHZ-对角密度矩阵的纠缠和可分性随这些概率的变化。在某些情况下，我们证明了Peres-Horodecki准则是充分和必要的。
2016-06-28 quant-ph
Advances in delimiting the Hilbert-Schmidt separability probability of real two-qubit systems
我们试图通过对相关的4 x 4密度矩阵的部分转置（PT）进行著名的Peres-Horodecki测试，推导出一个通用（九维）实双量子比特系统是可分离的概率--用希尔伯特-施密特（欧几里得或平坦）度量表示。但是，测试的全面实施-要求PT的行列式是非负的可分性保持-似乎是，至少目前，计算上难以解决。因此，我们之前已经实现了-使用对角入口参数化可分性函数（DESF）的辅助概念-PT的六个2 x 2主子式的非负性的较弱隐含测试。这就得到了可分性概率的精确上限1024/{135 pi^2} =0.76854$。在这里，我们拼凑（反射对称）的结果，通过要求PT的四个3 × 3主子式中的每一个都是非负的，得到了22/35 = 0.628571的改进/降低的上限。然后，我们得出结论，可以通过类似地拼凑（反射对称）结果来发现1129/2100 = 0.537619的进一步改进的上限，这些结果是强制四个3 × 3主子式的某些对同时非负的。在推导我们改进的上界时，我们反复依赖于对出现的立方体的某些积分的使用。最后，我们应用一个独立的假设，一对DESF的接近再现我们的数值估计的真实可分性函数。
2010-01-28 quant-ph
On the relation between Schmidt coefficients and entanglement
我们考虑了由Hilbert-Schmidt标积诱导的二分密度算符的Schmidt分解，研究了Schmidt系数与纠缠的关系。首先，我们定义了二分态的Schmidt等价类。每个类由所有的密度算子（在一个给定的二分希尔伯特空间）共享相同的施密特系数集。接下来，我们回顾施密特系数所发挥的作用，相对于被称为“重新排列”或“可计算的交叉规范”标准的可分性标准，特别是，我们强调的事实是，这个标准只依赖于施密特等价类的状态。然后，相关性-关于纠缠的表征-的“对称多项式”中的施密特系数和一个新的家庭的可分性标准，推广的重新排列标准进行了讨论。提出了各种有趣的开放问题。
2008-12-22 quant-ph
Quasirandom estimations of two-qubit operator-monotone-based separability probabilities
利用欧拉角参数化方法，我们对15维两量子比特态凸集上关于10个测度的可分性概率进行了一对准随机估计。这些措施包括（非单调）希尔伯特-施密特之一，加上其他九个基于运营商单调函数。我们的结果是支持以前的断言，希尔伯特-施密特和Bures（最小单调）可分性概率分别是$\frac{8}{33} \approx 0.242424$和$\frac{25}{341} \approx 0.0733138$，以及暗示的维格纳Yanase对应物是$\frac{1}{20}$。然而，一个结果似乎不一致（太小）与我们的早期索赔，与运营商单调（几何平均）功能$\sqrt{x}$的可分性概率是$1-\frac{256}{27 π^2} \approx 0.0393251$。但对这种差异的一个表面上的解释是，基于$\sqrt{x}$的测量的状态体积是无限的。因此，早期猜想的有效性-以及另一个，$\frac{1}{9} \left(593-60 π^2\right) \approx 0.0915262$，我们现在介绍-不能通过所采用的数值方法进行检查，至少可能不是没有一些极端值的截断程序。
2020-03-22 math-ph math.MP quant-ph
An important variable in the 2017 analysis of Lovas and Andai, formally establishing the Hilbert-Schmidt separability probability conjectured by Slater of $\frac{29}{64}$ for the 9-dimensional convex set of two-rebit density matrices, was the ratio ($\varepsilon =\frac{σ_2}{σ_1}$) of the two singular values ($σ_1 \geq σ_2 \geq 0$) of $D_2^{\frac{1}{2}} D_1^{-\frac{1}{2}}$. There, $D_1$ and $D_2$ were the diagonal $2 \times 2$ blocks of a $4 \times 4$ two-rebit density matrix $ρ$. Working within the Lovas-Andai "separability function" ($\tildeχ_d(\varepsilon)$) framework, Slater was able to ver…
2021-06-30 math-ph math.MP math.OA
Moment-Based Evidence for Simple Rational-Valued Hilbert-Schmidt Generic 2 x 2 Separability Probabilities
利用Hilbert-Schmidt测度，我们显式地计算和分析了一些行列式乘积（二元）矩|rho| ^k| ρ ^{PT}|^n，k，n= 0，1，2，3，.，PT表示部分转置，对于通用（9维）两量子比特（alpha = 1/2）和通用（15维）两量子比特（alpha=1）密度矩阵ρ。然后，Dunkl将结果合并到一个通式中（附录D 6），用k，n和alpha参数化，其中alpha=2，假定对应于一般的（27维）四元数系统。保持戴森指数样参数α固定，诱导的单变量矩（|rho|| ρ ^{PT}|）^n和|ρ ^{PT}|^n被输入到Provost的基于勒让德多项式（最小二乘）的概率分布重构算法（Mathematica J.，9，727（2005）），产生α特异性可分性概率估计。由于随着输入矩的数量增加，基于|rho|的估计|ρ ^{PT}|大幅下降，而那些雇用|ρ ^{PT}|随着最大值的增加（并且收敛得更快），上估计值和下估计值之间的差距缩小，产生越来越清晰的边界。值得注意的是，对于α = 2，使用2，325个矩，发现分离概率下限为0.999999987，为26/323 = 0.0804954;对于α =1，基于2，415个矩，结果下限为0.999997066倍，为8/33 = 0.242424，一个（更简单的）分数值，以前已经被证明（J. Phys. A，40，14279（2007…
2012-02-21 math-ph math.MP math.PR
Weak Schmidt decomposition and generalized Bell basis related to Hadamard matrices
我们研究了量子纠缠理论中的一些量的数学结构和关系，如可分性、弱Schmidt分解、Hadamard矩阵等。利用弱Schmidt分解，给出了一种识别Schmidt关联态的可操作方法。我们证明了一个混合态是施密特相关的当且仅当它的谱分解由一组纯本征态组成，这些本征态可以在弱施密特分解中同时对角化，即允许复值对角项。对于这样的状态，可分性被降低到由与本征态相关联的对角项组成的向量的正交性条件，这令人惊讶地与所谓的复Hadamard矩阵有关。利用Hadamard矩阵，我们给出了一类广义极大纠缠Bell基.
2014-02-25 quant-ph
Separability of 3-qubits density matrices, related to l(1) and l(2)norms and to unfolding of tensors into matrices
本文利用Hilbert-Schmidt分解处理具有最大无序子系统的三比特态，通过展开方法将张量转化为矩阵，并对矩阵进行奇异值分解，使Hilbert-Schmidt参数从27个减少到9个，在这些参数的绝对值之和不大于1的条件下，我们得出结论，密度矩阵是完全可分的。在另一种方法中，我们将27个希尔伯特-施密特参数分成9个三元组，对于每个三元组，我们计算3个希尔伯特-施密特参数的Frobenius范数。如果9个范数之和不大于1，则我们得出密度矩阵是完全可分的。利用一个量子比特的密度矩阵与另外两个量子比特的Bell纠缠态相乘，得到了极大无序密度矩阵可双分的条件.如果这些不同三元组的9个Frobenius范数之和不大于1，则我们得出密度矩阵是双可分的。分析了三量子比特最大无序子系统密度矩阵与高阶奇异值分解（HOSVD）方法之间的关系，指出该方法可以改进完全可分性的充分条件.对于包含与单位矩阵相乘的三个量子比特态，我们找到了一种简单的方法来减少Hilbert Schmidt参数绝对值的绝对值之和，并在特殊情况下得到了它们完全可分性的更好条件。
2017-12-20 quant-ph
Octonionic two-qubit separability probability conjectures
我们进一步研究了广义双量子比特希尔伯特-施密特可分性概率的一个公式，该公式最近已由Lovas和Andai（https：//arxiv.org/pdf/1610.01410.pdf）证明了其实（双比特）断言值（$\frac{29}{64}$），并且在数值上也得到了非常有力的支持，用于其复数（$\frac{8}{33}$）和四元数（$\frac{26}{323}$）对应物。现在，我们试图测试$\frac{44482}{4091349} \approx 0.0108722$的假定八元数值。我们对某些数值计算感到有些鼓舞，它表明这个（51维）猜想的实例可以通过将Forrester（https：//arxiv.org/pdf/1610.08081.pdf）引入的某个决定幂参数$a$设置为0（或可能接近0）来实现。Hilbert-Schmidt测度是随机诱导测度的情形$k=0$，对于$k=1$，对应的八元数可分性概率猜想是$\frac{7612846}{293213345} \approx 0.0259635$，而对于$k=2$，对应的八元数可分性概率猜想是$\frac{4893392}{95041567} \approx 0.0514869, \ldots$ .探讨了参数$a$和$k$之间的关系。
2016-12-09 math-ph math.MP math.PR
Bloch Radii Repulsion in Separable Two-Qubit Systems
Milz和Strunz最近报道了大量的证据，进一步支持了先前在两量子比特系统（$ρ$）中假设的具有Hilbert-Schmidt测度的$\frac{8}{33}$的可分性概率.此外，他们还发现，沿着代表两个单量子比特子系统之一的布洛赫球的半径（$r$），这个值似乎是恒定的（但在纯态的轨迹$r=1$处跳到1）。此外，他们还观察到（个人通信）这种可分性概率$r$ -不变性，当更广泛地使用随机诱导测度（$K=3,4,5,\ldots$）时，其中$K=4$对应于（对称）希尔伯特-施密特情况。这里的发现之一是，即使在将可分性概率分成由行列式不等式$|ρ^{PT}| >|ρ|$和由$|ρ| > |ρ^{PT}| >0$产生的部分（其中指示了部分转置）之后，这种不变性仍保持不变。本文还研究了具有Hilbert-Schmidt测度的九维一般二比特态，得到了类似的$r$ -不变性结论.相比之下，基于Bures（最小单调）的两量子比特可分性概率用$r$测量{ \it减小}。此外，我们还研究了{ \it both}单量子比特子系统的Bloch球半径（$r_A, r_B$）的联合（二元）函数的可分性概率的形式。在这里，我们的几个分析{ \it all}中出现了可分离双量子比特系统的布洛赫半径{ \it排斥}的一种形式。当两个半径的长度更接近时，可分离性概率趋于更小。在附录A中，我们报告了一些同伴的分析结果…
2016-01-19 math-ph math.MP math.PR
Qubit-Qutrit Separability-Probability Ratios
克服我们最近的计算密集型（准蒙特卡罗）工作的情况下，N=4（quant-ph/0308037），我们承担了N=6的高数值精度计算任务，Sommers和Zyczkowski的公式（quant-ph/0304041）的（N^2-1）维体积和（N^2-2）维超面积，（可分和不可分）N x N密度矩阵，基于Bures（最小单调）度量-以及（非单调）希尔伯特-施密特度量的类似公式（quant-ph/0302197）。使用相同的70亿个分布良好（“低差异”）的样本点，我们基于五个额外的（单调）感兴趣的度量（包括Kubo-Mori和Wigner-Yanase）来估计未知体积和超面积。此外，我们估计所有这七个体积和七个超面积（未知）的数量时，限制可分离的密度矩阵。可分离体积（超区域）与可分离体积加不可分离体积（超区域）的比值产生一般秩六（秩五）密度矩阵的可分离概率的估计。基于35维体积获得的（秩6）可分性概率似乎是--独立于所采用的度量（7个诱导Haar度量中的每一个）--是基于34维超面积的（秩5）可分性概率的两倍。接受这样的关系，我们适合确切的公式估计的Bures和希尔伯特-施密特可分离的体积和超面积。(An秩6的希尔伯特-施密特可分性概率与秩4的希尔伯特-施密特可分性概率之比的额外估计-- 33.9982 --也非常明显地接近于积分。对于N=4的希尔伯特-施密特度规，加倍关系似乎也成立，但其…
2005-05-17 quant-ph
We implement a procedure-based on the Wishart-Laguerre distribution-recently outlined by {Ż}yczkowski and Khvedelidze, Rogojin and Abgaryan, for the generation of random (complex or real) $N \times N$ density matrices of rank $k \leq N$ with respect to Hilbert-Schmidt (HS) measure. In the complex case, one commences with a Ginibre matrix $A$ of dimensions $k \times k+ 2 (N-k)$, while for a real scenario, one employs a Ginibre matrix $B$ of dimensions $k \times k+1+ 2 (N-k)$. Then, the $k \times k$ product $A A^{\dagger}$ or $B B^T$ is diagonalized-padded with zeros to size $N \times N$-and rot…
2021-04-22 math-ph math.MG math.MP
Qubit-Qudit Separability/PPT-Probability Analyses and Lovas-Andai Formula Extensions to Induced Measures
我们首先寻找量子比特-qutrit和rebit-retrit对应物，以用于$\frac{8}{33} = \frac{2^3}{3 \cdot 11} \approx 0.242424$的（15维凸集）两个量子比特和$\frac{29}{64} =\frac{29}{2^6} \approx 0.453125$的（9维）两个rebit的希尔伯特-施密特可分性概率。部分基于大量的数值计算，我们提出了$\frac{27}{1000} = (\frac{3}{10})^3 =\frac{3^3}{2^3 \cdot 5^3} = 0.027$的qubit-qutrit值和$\frac{860}{6561} =\frac{2^2 \cdot 5 \cdot 43}{3^8} \approx 0.131078$的rebit-retrit值的可能性。这四个值的$2 \times m$系统（$m=2,3$）建议某些分子/分母序列涉及的权力$m$，我们进一步调查$m>3$。此外，我们发现，两个rebit，rebit-retit和两个retit $X$状态的希尔伯特-施密特可分性/PPT概率都等于$\frac{16}{3 π^2} \approx 0.54038$，以及更一般地，基于诱导测量的概率在这三组$X$状态之间是相等的。然后，我们将Lovas和Andai引入的广义双量子比特框架从Hilber…
2018-04-24 math-ph math.MP math.PR
Extensions of Generalized Two-Qubit Separability Probability Analyses to Higher Dimensions, Additional Measures and New Methodologies
我们首先寻求rebit-retrit对应的（正式证明由Lovas和Andai）两rebit希尔伯特-施密特分离概率的$\frac{29}{64} =\frac{29}{2^6} \approx 0.453125$和qubit-qutrit模拟的（强支持）值的$\frac{8}{33} = \frac{2^3}{3 \cdot 11} \approx 0.242424$。我们提出了$\frac{860}{6561} =\frac{2^2 \cdot 5 \cdot 43}{3^8} \approx 0.131078$的rebit-retrit值和$\frac{27}{1000} = (\frac{3}{10})^3 =\frac{3^3}{2^3 \cdot 5^3} = 0.027$的qubit-qutrit值的可能性。这四个值的$2 \times m$系统（$m=2,3$）建议某些分子/分母序列涉及的权力$m$，我们进一步调查$m>3$。此外，我们发现，两个rebit，rebit-retit和两个retit $X$状态的希尔伯特-施密特可分性/PPT概率都等于$\frac{16}{3 π^2} \approx 0.54038$，以及更一般地，基于诱导测量的概率在这三个集合中是相等的。然后，我们将Lovas-Andai公式推广到诱导测度。例如，双量子位函数（$k=0$）是$\til…
2018-09-24 math-ph math.MP math.PR
Hilbert-Schmidt Geometry of n-Level Jakobczyk-Siennicki Two-Dimensional Quantum Systems
Jakobczyk和Siennicki研究了一组（广义）布洛赫向量的二维截面，对应于双量子比特系统的n × n密度矩阵（即n = 4的情况）。他们基本上发现了五种不同类型的（非平凡的）可分性机制。我们计算的Euclidean/Hilbert-Schmidt（HS）可分性概率分配给这些制度，并进行平行的二维截面分析的高级别的情况下n= 6，8，9和10。利用新引入的Mathematica 5.1版本的隐式定义区域积分功能-也在我们的n=4三参数熵最大化研究quant-ph/0507203中卓有成效地使用-我们获得了各种各样的精确HS概率。对于n>6，概率是具有部分正转置（PPT）的概率。对于n=6的情况，我们还获得了双可分性概率;在n= 8，9的情况下，双PPT概率;对于n=8，三PPT概率。到目前为止，最常见的n>4的概率是π/4 = 0.785398。我们还进行了一些相关的分析，有关（一维）边界（外部和内部）的可分性和PPT域，并尝试（有限的成功）一些精确的计算有关的9维（实）和15维（复杂）凸集的两个量子位密度矩阵-HS-可分性概率已被证明，但尚未验证。
2005-12-20 quant-ph
Two-Qubit Separabilities as Piecewise Continuous Functions of Maximal Concurrence. II--The Relevance of Dyson Indices
我们对第一部分（arXiv：0806.3294）中的某个附加说明做了重要的修改，大意是，尽管两量子位对角项参数化可分性函数已经被证明（arXiv：0704.3723）清楚地符合随机矩阵理论的“戴森指数”（beta = 1 [实数]，2 [复数]，4 [四元数]）所规定的模式，但这似乎不是特征值参数化可分性函数（ESF）的情况。但是，在对第一部分中所报道的大量数值分析进行进一步研究之后，我们发现了相当令人信服的证据，即对于ESF，至少对于谱轨道上的最大共点C的上半范围1/2 <= C <= 1，Dyson指数模式也是成立的。具体地说，在这个上半范围内，很明显，实二量子比特ESF与（2-2 C）^（3/2）成正比，而它的复对应物--符合戴森指数模式--与实ESF的平方成正比，即（2-2 C）^（3）。先前记录的分段连续（“半线性”）行为的下半范围仍然出现，但是，缺乏任何特定的戴森指数相关的解释。
2008-10-22 quant-ph
Using the Hilbert-Schmidt (HS) decomposition we suggest new possible choices of Bell operators and entanglement witnesses (EW ) for n (>2) qubits systems for (full/bi) separability. The latter give upper bounds for (full/bi) separability. Also using the HS decomposition, we find explicitly (full/bi) separable forms for some qubits states which give lower bounds for (full/bi) separability. When the lower bounds and upper bounds coincide it means that the EW is optimal. In the case of full separability, the positive transpose method can sometimes give optimal results. As concrete examples, we gi…
2022-03-08 quant-ph
A Balanced $_{10}F_{9}$ Hypergeometric Hybrid Hilbert-Schmidt/Bures Two-Qubit Function and Related Constructions
我们试图开发一个Bures（最小单调性/统计可扩展性）度量为基础的公式系列的概率分布的矩的行列式$|ρ|$和$|ρ^{PT}|$的$4 \times 4$密度矩阵，$ρ$，广义（rebit，quater[nionic]bit，\ldots）两个量子比特系统，类似于一系列，已获得的希尔伯特施密特（HS）度量。特别是，我们希望-使用矩反演程序-能够密切测试先前开发的猜想（J. Geom. Phys.，53，74 [2005]），在（标准的，十五维凸集的）两个量子比特状态上的Bures可分性概率是$\frac{1680 \left(\sqrt{2}-1\right)}{π^8} \approx 0.0733389$ -而在HS背景下，沿着所指示的分析线，已经举出了强有力的证据，该值的对应物是$\frac{8}{33}$（J. Phys. A}，45，095305 [2012]）。工作在“效用函数”的框架内的Dunkl在后者的研究中，我们得到了一个有趣的$_{10}F_{9}$平衡超几何函数的基础上“杂交”已知的Bures和HS条款。这个练习似乎提供了Bures两量子比特可分性概率的上限为0.0798218。我们还研究了尚未解决的HS量子位-量子数的情况。Mathematica计算表明，如果在HS量子比特-四元组或Bures两量子比特的情况下遵循与已经为广义双量子比特HS矩建立的相同形式的…
2014-03-07 math-ph math.MP quant-ph
On the generation of random ensembles of qubits and qutrits Computing separability probabilities for fixed rank states
针对有限维复合量子系统概率特性的计算，讨论了随机混合态的产生问题。特别地，我们考虑量子比特和量子数对的随机Hilbert-Schmidt和Bures系综的生成，并计算相应的概率，以找到一个可分离的状态之间的固定秩的状态。
2017-08-25 quant-ph
Two-Qubit Separability Probabilities as Joint Functions of the Bloch Radii of the Qubit Subsystems
我们检测到一种特定的模式的行为的可分性概率$p(r_A,r_B)$为两个量子比特系统赋予希尔伯特施密特，更一般地说，随机诱导措施，其中$r_A$和$r_B$是布洛赫半径（$0 \leq r_A,r_B \leq 1$）的量子比特约化状态（$A,B$）。我们观察到一个相对排斥的半径效应，即$p(r_A,r_A) < p(r_A,1-r_A)$，除了相当窄的“交叉”的时间间隔$[\tilde{r}_A,\frac{1}{2}]$。在我们研究的七种具体情况中，首先是“玩具”七维$X$ -态模型，然后是通过在$4 \times K$ -维中追踪纯态获得的十五维两量子比特态，对于$K=3, 4, 5$，$K=4$对应于希尔伯特-施密特（平坦/欧几里德）测度。我们还研究了真正的（两个rebit）$K=4$，$X$ -状态$K=5$，和Bures（最小单调）-没有非平凡的交叉行为观察-实例。在两个$X$状态的情况下，我们得到的分析结果，$K=3, 4$，我们提出的公式，以及适合我们的数值结果，并为其他情况下，目前依赖于大型数值分析。随着$K$的增加，发现的可分性概率交叉区域在长度上扩展（较低的$\tilde{r}_A$）。本报告继续我们的努力（arXiv：1506.08739），将Milz和Strunz（J. Phys. A：48 [2015] 035306）的近期工作从单变量（$r_A$）框架…
2016-10-17 math-ph math.MP quant-ph
Toward Exact 2 x 2 Hilbert-Schmidt Determinantal Probability Distributions via Mellin Transforms and Other Approaches
我们试图构造2 × 2量子系统的精确的单变量概率分布，以产生（平衡的）单变量Hilbert-Schmidt行列式矩<（|rho|| ρ ^{PT}|）^n>，由Slater和Dunkl获得（J. Phys. A，45，095305 [2012]）。首先，我们尽可能地遵循Penson和Zyczkowski在Fuss-Catalan和Raney分布研究中基于梅林变换的方法（Phys. Rev. E，83，061118 [2011]）。此外，我们近似了y-截距（可分性/纠缠边界）--在|ρ ^{PT}|=0--基于（平衡）矩的相关概率分布，以及先前报告的不平衡行列式矩<|ρ ^{PT}|^n>，作为类戴森指数参数alpha = 1/2（rebits），1（qubits），.的七十二个值的函数，2（四位），. 35.
2012-11-12 math-ph math.MP math.PR
Characterizing Operations Preserving Separability Measures via Linear Preserver Problems
我们使用经典的结果，从理论的线性转换问题的运营商发送的施密特秩不大于k的纯态集本身的特点，扩展已知的结果，运营商发送可分离的纯态可分离的纯态。我们还提供了一个新的证明类似的声明中的多方设置。我们使用这些结果来开发一个经典的结果，保持秩-1运营商的地图的结构，然后描述最近在量子信息理论研究的规范的两个家庭的等距的二分版本。我们特别看到，对于k至少为2的施密特秩k的状态诱导的算子范数仅在局部酉、交换算子和转置映射下不变。然而，在k = 1的情况下，有一个额外的等距：部分转置映射。
2011-05-31 quant-ph
A device for feasible fidelity, purity, Hilbert-Schmidt distance and entanglement witness measurements
提出了一种通用的测量装置模型，该装置能够直接测量两个一般不相关混合态的保真度、重叠度、纯度和Hilbert-Schmidt距离等常用量子态特性。此外，对于两个关联的混合态，测量实现了Werner可分性判据的纠缠见证。为了确定这些可观测量，只需要估计一个参数-干扰的可见性。讨论了在腔QED、囚禁离子和电磁感应透明实验中的实现。
2001-08-27 quant-ph
Bures and Hilbert-Schmidt 2 x 2 Determinantal Moments
我们试图深入了解一般（9维）两个rebit和（15维）两个量子比特系统（ρ）的行列式矩的性质。这样的信息，因为它已被证明是在希尔伯特-施密特对应-应该是有用的，采用概率分布重建（逆）程序，在获得改进的，甚至可能是精确的Bures 2 × 2分离概率等系统。我们首先采用的（正则化）策略是绘制Bures矩的数值生成（Ginibre系综）估计与相应的（显然）确切已知的Hilbert-Schmidt矩的比率（J. Phys. A，45，095305 [2012]）。然后，通过符号和数值计算相结合，我们获得了强有力的证据，某些Bures时刻的确切值（和基本模式）。特别是，一阶矩（平均）|ρ ^{PT}|（此处|ρ ^{PT}|在[-1/16，1/256]中），对于两量子比特系统，PT表示部分转置，值得注意的是，-1/256。对于双重比特系统的类似值是-2663/（2^（13）x 3 x 5 x 7），大约为-0.00309594。而在希尔伯特-施密特情况下，一个重要的函数是3 n次多项式的比率，它似乎是5 n次多项式的比率在Bures情况下。
2012-10-04 math-ph math.MP quant-ph
Strong and weak separability conditions for two-qubits density matrices
利用Hilbert Schmidt分解和Peres Horodecki准则，导出了两个量子比特混合态的显式可分密度矩阵.强可分的两量子比特混合态是由两个含有纯态的密度矩阵的乘积定义的，而弱可分的两量子比特混合态是由两个含有非纯态的密度矩阵的乘积定义的.我们得到了两量子比特密度矩阵可分的充要条件，并证明了在此条件下两量子比特密度矩阵是强可分的。
2015-09-30 cs.CC quant-ph
Invariance of separability probability over reduced states in 4x4 bipartite systems
该研究针对4x4双量子系统的可分概率问题，利用Peres-Horodecki判据证明了rebit-rebit态可分概率为29/64，验证了Milz和Strunz关于可分概率仅依赖Bloch半径且恒定的猜想，还给出了不同测度下的积分公式。
2017-01-04 math-ph math.MP quant-ph
One application of Duistermaat-Heckman measure in quantum information theory
School of Science, Hangzhou Dianzi University（杭州电子科技大学理学院）
本文通过杜伊斯特马-海克曼测度推导了两量子比特状态下分离概率为8/33的理论结果，结合辛几何与表示论的方法，提供了透明的推导路径。
2026-03-12 math-ph math.MP math.SG
Biseparability of 3-qubits density matrices using Hilbert-Schmidt decompositions: Sufficient conditions and explicit expressions
利用Hilbert-Schmidt（HS）分解和Frobenius范数分析了3-qubit系统的双可分性，重点研究了具有最大无序子系统（MDS）的密度矩阵和混合白噪声的W态. MDS密度矩阵的可分形式是通过使用2量子比特子系统的Bell态乘以第三量子比特的密度矩阵来获得的，其中包括相关的HS参数。利用我们的方法给出了W态与白噪声混合的充分条件和明确的双可分性。它们与以前的工作中给出的显式完全可分性的充分条件进行比较。
2016-10-25 quant-ph
Schmidt decomposition of mixed-pure states for (d,infinity ) systems and some applications
摘要本文给出了描述有限维系统与无限维系统相互作用的纯态的有限Schmidt分解的一个简单推导。特别是，在这样的系统中的最大纠缠纯态的特点。引入了混合纯态的概念，给出了混合纯态的可分性和纠缠性的判别准则，并在纯态空间上适当地采用了LOCC等价和LOCC半序的概念。特别地，一个Nielsen定理被推广到了纯（d，无穷）态的情形.在原子物理学的背景下，自旋轨道纠缠的概念正在从数学的角度进行讨论。关键词：量子纠缠，施密特分解，混合纯态，LOCC半序，自旋轨道纠缠
2018-03-26 quant-ph
Formulas for Rational-Valued Separability Probabilities of Random Induced Generalized Two-Qubit States
以前，一个包含$5F4$超几何函数的公式，用于$4 \times 4$密度矩阵的希尔伯特-施密特平均行列式矩$\left\langle \left\vert ρ^{PT}\right\vert ^{n}\left\vert ρ\right\vert ^{k}\right\rangle /\left\langle \left\vert ρ\right\vert ^{k}\right\rangle$（$ρ$）及其部分转置（$ρ^{PT}|$），并与$k=0$一起应用于广义两量子比特分离概率问题。此外，我们在这里注意到，该公式可以被看作是对“混合量子态空间中的诱导测量”的平均。相关的诱导测量可分性概率（$k =1, 2,\ldots$）被发现--{ \it via}一个高精度密度近似过程--在两重比特（$α= \frac{1}{2}$）、（标准）两量子比特（$α= 1$）和两四重比特（$α=2$）的情况下假设有趣的、相对简单的有理值。我们推导出相当简单的同伴（rebit，qubit，quaterbit，\ldots）公式，成功地再现了合理的值为{ \it一般} $k$。据观察，这些配方具有某些共同特征，可能允许它们被纳入单个主配方中。
2015-05-13 math-ph math.MP math.PR
Geometrical aspects of entanglement
我们研究纠缠的几何方面，与希尔伯特-施密特范数定义的度量上的密度矩阵。我们首先集中在两个两级系统的最简单的情况下，并表明，一个“相对论”的制定导致一个完整的分析问题的可分性。我们的方法是基于施密特分解的密度矩阵的复合系统和非酉变换的标准形式。密度矩阵的正性对于该方法的工作是至关重要的。类似的方法在更高的维度上也有一定的作用，但功能不太强大。我们进一步提出了一种数值方法来检验可分性，并通过两个三能级系统的复合系统中束缚纠缠的数值研究来说明这种方法。
2006-05-08 quant-ph
A Hamiltonian-Level Certificate for Network-Free Distributed Quantum Simulation:Exact Tensor-Separability Criterion and Approximate Residual Bounds
College of Mathematics, Taiyuan University of Technology（太原理工大学数学学院）；Pawsey Supercomputing Research Centre（Pawsey超级计算研究中心）；School of Physics, Mathematics and Computing, The University of Western Australia（西澳大学物理、数学与计算学院）
针对分布式量子模拟，提出哈密顿量级证书，通过跨模块残差判据评估精确可分离性，并给出近似误差界，支持多达20量子比特的块因子化模拟。
2026-10-06 cs.DC quant-ph
Moments of the Hilbert-Schmidt probability distributions over determinants of real two-qubit density matrices and of their partial transposes
两量子比特（4 × 4）密度矩阵的部分转置的行列式的非负性是其可分性的充分必要条件。当行列式被限制在区间[0，1/256]时，部分转置的行列式可以在[-1/16，1/256]的范围内变化，负值对应于纠缠态。我们在这里报告的确切值的概率分布的部分转置在这个区间上的前九个时刻，相对于希尔伯特-施密特（度量体积元素）的九维凸集上的实双量子位密度矩阵的措施。有理函数C_{2 j}（m），产生的系数的2 j次幂的偶数多项式发生在中间步骤，在我们的推导的m阶矩，出现。这些函数在连续半整数的有限级数（m=-3/2，-1/2，.，（2 j-1）/2），和某些（平凡）根在有限系列的连续自然数（m=0，1，.）。另外，C_{2 j}（m）的（非平凡）优势根接近相同的半整数值（m =（2 j-1）/2，（2 j-3）/2，.），随着j的增加。发现的前两个矩（均值和方差）-当用于单侧切比雪夫不等式时-给出了实双量子比特密度矩阵的可分性概率的上限30397/34749 = 0.874759。我们能够报告的希尔伯特-施密特概率分布的密度矩阵行列式在[0，1/256]的m阶矩的一般公式，在实，复和四元双量子比特的情况下。
2010-03-19 quant-ph
Convex rigid cover method in studies of quantum pure-states of many continuous variables
本文证明了N（N $\geqslant 3)$）个连续变量的每个纯态$Ψ^{(N)}$对应于连续维Hilbert-Schmidt空间中的一对凸刚性覆盖（CRC）结构.其次，我们严格定义了部分可分性和普通可分性的概念，并讨论了如何用CRC来描述各种可分性。本文讨论了$Ψ^{(N)}$的分类问题，并对作用于$Ψ^{(N)}$的局部幺正操作给出了运动学解释。第三，我们讨论了类的不变量，并给出了一个可能的物理解释。
2005-02-21 quant-ph
Invariance of Bipartite Separability and PPT-Probabilities over Casimir Invariants of Reduced States
Milz和Strunz（{ \it J. Phys. A}：{ \bf{48} } [2015] 035306）最近研究了相对于希尔伯特-施密特（欧几里得/平坦）测度随机生成的两量子比特和量子比特-qutrit状态是可分离的概率。他们的结论是，在这两种情况下，可分性概率（在双量子比特的情况下显然正好是$\frac{8}{33}$）在单量子比特子系统的布洛赫半径（$r$）上保持{ \it常数}，在纯态边界（$r=1$）跳到1。在这里，首先，我们提出的证据表明，在qubit-qutrit的情况下，可分性概率均匀分布，以及，在{ \it广义}布洛赫半径（$R$）的qutrit子系统。虽然量子比特（标准）布洛赫矢量位于三维空间中，但量子比特广义布洛赫矢量存在于八维空间中。半径变量$r$和$R$本身是这些（“相干性”）向量的长度/范数（是{ \it二次} Casimir不变量的平方根）。此外，我们发现，不仅是qubit-qutrit可分性概率不变的qutrit子系统的二次Casimir不变量，但显然也超过{ \it立方}-类似的情况下，更一般地，与随机诱导措施的使用。我们还研究了两个quutrit（$3 \times 3$）和量子位-{ \it qudit}（$2 \times 4$）系统-与看似类似的{ \it positive-partial-transpose}-概率不变性保持在Alt…
2016-05-16 math-ph math.MP math.PR
Separability and entanglement of two qubits density matrices using Lorentz transformations
一般双量子比特密度矩阵的显式可分性与洛伦兹变换有关。我们使用密度矩阵的Hilbert-Schmidt（HS）分解的四维形式R（u，v= 0，1，2，3）。对于洛伦兹变换对角化R（u，v= 0，1，2，3）（成s（0），s（1），s（2），s（3））的一般情况，我们给出了R参数与s参数之间的关系。特别地，我们考虑两种情况：a）在HS分解中具有一对线性项的两个量子比特密度矩阵。b）具有两个或三个对称线性项对的两个量子比特密度矩阵。部分理论结果通过数值计算得到了验证。分析了四种非通用情况（可简化为情况a），非通用性质与物理上不可达的洛伦兹速度β =1显式相关
2017-07-12 quant-ph
Two-Qubit Separabilities as Piecewise Continuous Functions of Maximal Concurrence
一般的实（b=1）和复（b=2）两量子比特态本质上分别是9维和15维的。它们相对于希尔伯特-施密特和布雷斯度量所占据的空间的总体积可以作为Zyczkowski和Sommers公式的特殊情况获得。我们声称，如果人们可以确定某些度量无关的三维“特征值参数化可分性函数”（EPSF），那么这些公式可以很容易地修改，以产生希尔伯特-施密特和布雷斯体积只占用可分离的两个量子比特状态（因此相关的可分性概率）。类似的早期分析的“对角入口参数化可分性函数”的动机，我们进一步探讨的可能性，这种3维EPSF可能，反过来，可表示为一些特殊的相关变量的单变量函数-我们假设是最大的并发（0 < C <1）的频谱轨道。大量的数值结果，我们得到了相当密切的支持这一假设。实数和复数估计的EPSF在C=1/2处都表现出明显的幅度跳跃，大约为50%，以及一些额外的匹配不连续性。
2008-10-09 quant-ph
Joint Hilbert-Schmidt Determinantal Moments of Product Form for the Two-Rebit and Two-Qubit and Higher-Dimensional Quantum Systems
本文给出了行列式乘积（det{rho}）^k（det{rho^PT}）^K（k=0，1，2，.，N; K = 0，1，2，3，4）的两重比特和（K = 0，1）两量子比特密度矩阵ρ上的Hilbert-Schmidt（HS）概率分布.这里PT表示量子信息论重要性的部分转置运算。每个公式是（det{rho}）^k的矩的表达式的乘积，k= 0，1，2，.，N--从Cappellini、Sommers和Zyczkowski（Phys.Rev.A74，062322（1996））的工作中已知--和调整因子。该因子是一个双真有理函数，其分子和子都是k中的3个K次多项式。我们推断出在两个rebit和两个qubit的情况下，对于任意K，分子遵循的结构，以及在两个rebit的情况下，分子的k的六个前导阶系数。我们也开始了一个类似的调查通用rebit-retrit和qubit-qutrit系统。这项研究的动机，部分，通过使用计算的时刻，以及重建相关的HS概率（我们目前的图）在两个决定因素的目标，并确定-至少高精度-相关的（可分性）概率的“哲学，实践和物理”的兴趣（det{rho^PT}）>0。
2011-05-24 math-ph math.MP quant-ph
The RCCN criterion of separability for states in infinite-dimensional quantum systems
本文建立了无限维二体量子系统中态可分离性的重排判据和RCCN判据。设$H_A$和$H_B$是具有$\dim H_A\otimes H_B=+\infty$的复Hilbert空间.令$ρ$是$H_A\otimes H_B$上的状态，并且$\{δ_k\}$是作为希尔伯特空间${\mathcal C}_2(H_A)\otimes{\mathcal C}_2(H_B)$中的向量的$ρ$的施密特系数。我们介绍了重新排列操作$ρ^R$和$ρ$的可计算交叉范数$\|ρ\|_{\rm CCN}$，并表明，如果$ρ$是可分的，那么$\|ρ^{R}\|_{\rm Tr}=\|ρ\|_{\rm CCN}=\sum\limits_kδ_k\leq1.$特别是，如果$ρ$是一个纯态，那么$ρ$是可分的当且仅当$\|ρ^{R}\|_{\rm Tr}=\|ρ\|_{\rm CCN}=\sum\limits_kδ_k=1$。
2010-09-01 math.OA quant-ph
Eigenvalues, Separability and Absolute Separability of Two-Qubit States
最近，在确定两量子比特和量子比特-四元数（实数、复数和四元数）系统的希尔伯特-施密特（HS）可分性概率方面取得了实质性进展。一个重要的理论概念是分离函数。看来，如果人们可以类似地获得由所讨论的密度矩阵的特征值参数化的可分性函数-而不是最初使用的对角项-可以在基于广泛的、有趣的一类单调度量（Bures，是其最突出的[最小]成员）获得可分性概率方面取得相当的进展。虽然大规模的数值估计，这样的特征值参数化的功能已经进行，它似乎也希望研究它们在低维的专门方案中，他们可以准确地获得。在这方面，我们采用了S. Cacciatori（在附录中报告）--以Tilma，Byrd和Sudarshan的SU（4）-密度矩阵参数化的方式。因此，我们能够找到简单的精确可分性（类反正弦）功能的两个真正的两个量子比特（rebit）系统，都有三个自由本征值和一个自由欧拉角。我们还采用了重要的Verstraete-Audenaert-de Moor约束，以获得精确的HS概率，一个通用的两个量子比特的状态是绝对可分离的（即，不能纠缠的幺正变换）。在这方面，我们充分利用三角恒等式涉及四面体二面角arccos（1/3）。
2010-06-11 quant-ph
Two-Qubit Separability Probabilities and Beta Functions
由于Zyczkowski和Sommers最近的重要工作（quant-ph/0302197和quant-ph/0304041），可以得到复和实n x n密度矩阵的（n ^2 -1）维和（n（n-1）/2-1）维体积的精确公式（都是希尔伯特-施密特和布雷斯度量）。然而，没有类似的公式可用于各种可分离子集的体积（因此，概率）。我们试图在n=4的最简单可能情况下（即两量子比特系统）澄清Hilbert-Schmidt度量的这种情况。利用Bloore（J. Phys. A 9，2059 [1976]）的密度矩阵（rho）参数化，我们能够将每个实体积和复体积问题简化为一维积分的计算，单个相关变量是对角项的一定比率，nu =（rho_{11} rho_{44}）/{ rho_{22} rho_{33}）$。在每种情况下，相关的被积函数是已知的（nu=1附近的高振荡）雅可比和某个未知的单变量函数，我们的广泛的数值（准蒙特卡罗）计算表明，（不完全）beta函数B_{nu}（a，b），在实数情况下a=1/2，b=sqrt{3}，在复数情况下a=2 sqrt{6}/5，b =3/sqrt{2}。假设这些特定的不完全β函数的完全适用性，我们进行可分离体积计算。
2006-12-18 quant-ph
Two-Qubit Separability Probabilities: A Concise Formula
对于Zyczkowski、Horodecki、Sanpera和Lewenstein（Phys. Rev. A，58，883 [1998]）提出的关于“可分态的体积”的基本量子信息论问题，我们给出了一个简明的答案--在2 × 2系统的情况下。我们通过将Mathematica命令FindSequenceFunction应用于一系列简化的希尔伯特-施密特通用2 x 2（有理数值）可分性概率p（a），a = 1，2，.，32，其中a = 1索引标准双量子比特系统，以及a = 2，双四分之一（负离子）比特系统。p（a）的这32个输入值--以及半整数a = 1/2（双比特）系统的32个伴随非输入值，63/2，是在高精度概率分布重构计算的基础上提出的，采用了部分转置的4 × 4密度矩阵的7,501个行列式矩。通过应用该命令给出的函数P（a）完全再现这两个32长度的序列，并且如果半整数序列是输入的序列，则获得等价的结果。P（a）的冗长表达式（包含六个超几何函数），然后，令人印象深刻的压缩（由Qing-Hu Hou和同事），使用Zeilberger算法。对于一般的（9维）两量子比特系统，P（1/2）= 29/64，（15维）两量子比特系统，P（1）= 8/33，（27维）两四比特系统，P（2）= 26/323，而对于一般的经典（3维）系统，P（0）=1。
2012-09-07 math-ph math.MP math.PR
Hypergeometric/Difference-Equation-Based Separability Probability Formulas and Their Asymptotics for Generalized Two-Qubit States Endowed with Random Induced Measure
我们找到了等价的基于超几何和差分方程的公式，$Q(k,α)= G_1^k(α) G_2^k(α)$，用于$k = -1, 0, 1,\ldots,9$，用于赋予随机诱导测度的广义双量子比特态的总可分性概率的（有理数值）部分，其中行列式不等式$|ρ^{PT}| >|ρ|$成立。这里$ρ$表示$4 \times 4$密度矩阵和$ρ^{PT}$，它的部分转置，而$α$是一个戴森指数样参数，$α= 1$用于标准（15维）凸集的两个量子比特状态。嵌入这些密度矩阵的空间的维数是$4 \times (4 +k)$。对于$k=0$的对称情况，我们得到了先前报道的希尔伯特-施密特公式，其中（两个re [al]比特的情况）$Q(0,\frac{1}{2}) = \frac{29}{128}$，（标准两个qubit的情况）$Q(0,1)=\frac{4}{33}$，和（两个quater [nionic]比特的情况）$Q(0,2)= \frac{13}{323}$。因子$G_2^k(α)$可以写为加权超几何函数$_{p}F_{p-1}$、$p \geq 7$的和，所有这些函数都具有自变量$\frac{27}{64} =(\frac{3}{4})^3$。我们发现这些功能的上，下参数集的公式，然后，等价地表示$G_2^k(α)$的一阶差分方程。因子$G_1^k(α)$等于$(\frac{27}{64})^{α…
2015-04-17 math-ph math.MP math.PR
Formulas for Generalized Two-Qubit Separability Probabilities
首先，我们找到$k = -1, 0, 1,...,9$的某些公式$Q(k,α)= G_1^k(α) G_2^k(α)$。这些结果产生了具有随机诱导测度的广义（实、复、四元数、\ldots）双量子比特态的总可分性概率$P(k,α)$的一部分，行列式不等式$|ρ^{PT}| >|ρ|$对此成立。这里$ρ$表示$4 \times 4$密度矩阵，通过在$4 \times (4 +k)$维中追踪纯态而获得，并且$ρ^{PT}$表示其部分转置。此外，$α$是具有$α= 1$的戴森指数样参数，用于（复杂）两量子比特状态的标准（15维）凸集。对于$k=0$，我们得到了以前报道的Hilbert-Schmidt公式，（实数情况）$Q(0,\frac{1}{2}) = \frac{29}{128}$，（标准复数情况）$Q(0,1)=\frac{4}{33}$，和（四元数情况）$Q(0,2)= \frac{13}{323}$ -这三个简单地等于$ P(0,α)/2$。因子$G_2^k(α)$是多项式加权广义超几何函数$_{p}F_{p-1}$、$p \geq 7$的和，所有函数都具有自变量$z=\frac{27}{64} =(\frac{3}{4})^3$。我们发现数论为基础的公式上（$u_{ik}$）和下（$b_{ik}$）这些功能的参数集，然后，等价地表示$G_2^k(α)$的一阶差分方程。Zeilb…
2017-08-10 math-ph math.MP math.PR
