Numerical and Exact Analyses of Bures and Hilbert-Schmidt Separability and PPT-Probabilities
我们采用准随机方法，最近开发的马丁罗伯茨，估计可分性概率，相对于Bures（最小单调/统计可分性）措施，通用的两个量子比特和两个rebit状态。这个过程基于黄金分割率的广义性质，在几乎170亿次迭代（以500万次的间隔记录）的过程中，产生了两个量子比特的估计，重复地接近$\frac{25}{341} =\frac{5^2}{11 \cdot 31} \approx 0.073313783$的小数点后9位。然而，尽管使用了超过230亿次迭代，我们目前还没有发现Bures两比特可分性概率的估计值为0.15709623的确切值（合理或其他）。Bures qubit-qutrit情况-Khvedelidze和Rogojin给出的估计值为0.0014-也进行了分析。$\frac{1}{715}=\frac{1}{5 \cdot 11 \cdot 13} \approx 0.00139860$的值与估计值0.00139884拟合良好。有趣的值（$\frac{16}{12375} =\frac{4^2}{3^2 \cdot 5^3 \cdot 11}$和$\frac{625}{109531136}=\frac{5^4}{2^{12} \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 17}$）是为希尔伯特-施密特（HS）和布里斯量子比特-量子位（$2 \times 4$）正部分转置（PPT）概…
2019-07-31 math-ph math.MP math.PR
Invariance of separability probability over reduced states in 4x4 bipartite systems
该研究针对4x4双量子系统的可分概率问题，利用Peres-Horodecki判据证明了rebit-rebit态可分概率为29/64，验证了Milz和Strunz关于可分概率仅依赖Bloch半径且恒定的猜想，还给出了不同测度下的积分公式。
2017-01-04 math-ph math.MP quant-ph
Toward Exact 2 x 2 Hilbert-Schmidt Determinantal Probability Distributions via Mellin Transforms and Other Approaches
我们试图构造2 × 2量子系统的精确的单变量概率分布，以产生（平衡的）单变量Hilbert-Schmidt行列式矩<（|rho|| ρ ^{PT}|）^n>，由Slater和Dunkl获得（J. Phys. A，45，095305 [2012]）。首先，我们尽可能地遵循Penson和Zyczkowski在Fuss-Catalan和Raney分布研究中基于梅林变换的方法（Phys. Rev. E，83，061118 [2011]）。此外，我们近似了y-截距（可分性/纠缠边界）--在|ρ ^{PT}|=0--基于（平衡）矩的相关概率分布，以及先前报告的不平衡行列式矩<|ρ ^{PT}|^n>，作为类戴森指数参数alpha = 1/2（rebits），1（qubits），.的七十二个值的函数，2（四位），. 35.
2012-11-12 math-ph math.MP math.PR
Density Matrix Diagonal-Block Lovas-Andai-type singular-value ratios for qubit-qudit separability/PPT probability analyses
在2017年Lovas和Andai的分析中，正式建立了由$\frac{29}{64}$的Slater为两个rebit密度矩阵的9维凸集所证明的希尔伯特-施密特可分性概率，其中一个重要变量是$D_2^{\frac{1}{2}} D_1^{-\frac{1}{2}}$的两个奇异值（$σ_1 \geq σ_2 \geq 0$）之比（$\varepsilon =\frac{σ_2}{σ_1}$）。其中，$D_1$和$D_2$是$4 \times 4$二重位密度矩阵$ρ$的对角$2 \times 2$块。在Lovas-Andai“可分性函数”（$\tildeχ_d(\varepsilon)$）框架内工作，Slater能够验证$\frac{8}{33}$和$\frac{26}{323}$的希尔伯特-施密特可分性概率的进一步结构，用于15维和26维两量子比特和两四分之一比特密度矩阵的凸集。在这里，我们研究了$V=D_2^{\frac{1}{2}} D_1^{-\frac{1}{2}}$的三个奇异值比的行为，其中$D_1$和$D_2$是关于希尔伯特-施密特测度随机生成的$6 \times 6$ rebit-retrit和qubit-qutrit密度矩阵的$3 \times 3$对角块。此外，我们开始采用$8 \times 8$密度矩阵的并行研究。这种分析的动机是这些奇异值在适当地扩展$\tilde…
2021-06-30 math-ph math.MP math.OA
A Hypergeometric Formula Yielding Hilbert-Schmidt Generic 2 x 2 Generalized Separability Probabilities
我们显著推进了在“简单实值希尔伯特-施密特一般2 x 2分离概率的基于矩的证据”（J. Phys. A，45，095305 [2012]）中发起的研究计划。这里得到一个函数P（alpha），它包含一个由六个超几何函数组成的函数族，所有函数的自变量都是27/64 =（3/4）^3。它再现了一个序列，α = 1/2，1，3/2，2，...，32$，六十四个希尔伯特-施密特通用的2 × 2广义可分性概率，先进的系统的高精度概率分布重建计算的基础上，采用部分转置的4 × 4密度矩阵的7,501行列式矩。对于一般（9维）两量子比特系统，P（1/2）= 29/64，（15维）两量子比特，P（1）= 8/33，以及（27维）两四元（二进制）比特系统，P（2）= 26/323。应用Mathematica命令FindSequenceFunction生成函数P（alpha），仅使用32个整数或半整数概率，但成功预测了未使用的32个。
2012-07-27 math-ph math.MP math.PR
A Concise Formula for Generalized Two-Qubit Hilbert-Schmidt Separability Probabilities
我们报告了在"简单实值希尔伯特-施密特一般2 x 2分离概率的基于矩的证据"（J. Phys. A，45，095305 [2012]）中发起的研究计划的主要进展。提出了一个高度简洁的可分性概率函数P（alpha），对于一般的（9维）2比特系统，P（1/2）= 29/64，（15维）2比特系统，P（1）= 8/33，（27维）2比特系统，P（2）= 26/323.这种特殊形式的P（alpha）是由侯庆虎及其同事通过将蔡尔伯格算法（"创造性伸缩"）应用于一个完全等价但复杂得多的表达式而得到的，该表达式包含6个7F6超几何函数（所有函数的自变量都是27/64 =（3/4）^[3]）。这种超几何形式本身是通过系统的、高精度的概率分布重建计算获得的。这些方法使用了7,501个部分转置的4 × 4密度矩阵的行列式矩，参数为alpha = 1/2，1，3/2，.，32.从这些计算中，可以看出精确的有理值可分性概率。32个有理数值的（积分/半积分）序列作为Mathematica FindSequenceFunction命令的输入，从该命令中出现了最初获得的P（alpha）的超几何形式。
2013-10-10 math-ph math.MP quant-ph
Generalized Two-Qubit Whole and Half Hilbert-Schmidt Separability Probabilities
令人信服的证据--尽管还没有正式的证明--已经被引证，一个通用的（标准的）两量子比特态（$ρ$）是可分离/解纠缠的概率是$\frac{8}{33}$（arXiv：1301.6617，arXiv：1109.2560，arXiv：0704.3723）。在相关的分析框架中进行，使用进一步的行列式$4F3$-超几何矩公式（附录A），我们得到，{\it via}密度近似程序，当行列式不等式$|ρ^{PT}|>|ρ|$（其中$PT$表示部分转置）满足时，该概率的一半（$\frac{4}{33}$）出现，而另一半，当$|ρ|>|ρ^{PT}|$满足时。这些概率是相对于$4 \times 4$密度矩阵的15维凸集上的平坦希尔伯特-施密特测度而取的。我们发现完全平行的平分/均分的结果，以及先前举出的，两个"re [al]位"和两个"quater [nionic]位"的$\frac{29}{64}$和$\frac{26}{323}$，分别可分性概率。新的行列式$4F3$-超几何矩公式，然后，调整（附录B和C）的最小简并状态（$|ρ|=0$）的边界情况下，其一致性表明-也使用密度近似-与Szarek，Bengtsson和{} yczkowski定理（arXiv：quant-ph/0509008）。这个定理指出，一般最小简并两量子比特态的希尔伯特-施密特可分性概率（同样）是相应一般非简并态的一半。
2015-01-12 math-ph math.MP math.PR
A Balanced $_{10}F_{9}$ Hypergeometric Hybrid Hilbert-Schmidt/Bures Two-Qubit Function and Related Constructions
我们试图开发一个Bures（最小单调性/统计可扩展性）度量为基础的公式系列的概率分布的矩的行列式$|ρ|$和$|ρ^{PT}|$的$4 \times 4$密度矩阵，$ρ$，广义（rebit，quater[nionic]bit，\ldots）两个量子比特系统，类似于一系列，已获得的希尔伯特施密特（HS）度量。特别是，我们希望-使用矩反演程序-能够密切测试先前开发的猜想（J. Geom. Phys.，53，74 [2005]），在（标准的，十五维凸集的）两个量子比特状态上的Bures可分性概率是$\frac{1680 \left(\sqrt{2}-1\right)}{π^8} \approx 0.0733389$ -而在HS背景下，沿着所指示的分析线，已经举出了强有力的证据，该值的对应物是$\frac{8}{33}$（J. Phys. A}，45，095305 [2012]）。工作在“效用函数”的框架内的Dunkl在后者的研究中，我们得到了一个有趣的$_{10}F_{9}$平衡超几何函数的基础上“杂交”已知的Bures和HS条款。这个练习似乎提供了Bures两量子比特可分性概率的上限为0.0798218。我们还研究了尚未解决的HS量子位-量子数的情况。Mathematica计算表明，如果在HS量子比特-四元组或Bures两量子比特的情况下遵循与已经为广义双量子比特HS矩建立的相同形式的…
2014-03-07 math-ph math.MP quant-ph
Separability Probability Formulas and Their Proofs for Generalized Two-Qubit X-Matrices Endowed with Hilbert-Schmidt and Induced Measures
双量子位X矩阵最近受到了相当大的关注，因为它们比任意性质的双量子位密度矩阵更容易进行分析研究。在这里，我们最大限度地利用这种相对容易的分析，正式推导出一个详尽的收集有关的结果赋予希尔伯特-施密特广义双量子位X-矩阵的可分性概率，更广泛地说，诱导措施。此外，获得的分析结果表现出有趣的相似之处，相应的早期（但相比之下，尚未完全严格）的结果一般2量子比特状态-推导的基础上的行列式矩公式。几何解释可以给出任意正值的随机矩阵戴森指数一样的参数$α$。
2015-01-13 math-ph math.MP quant-ph
Octonionic two-qubit separability probability conjectures
我们进一步研究了广义双量子比特希尔伯特-施密特可分性概率的一个公式，该公式最近已由Lovas和Andai（https：//arxiv.org/pdf/1610.01410.pdf）证明了其实（双比特）断言值（$\frac{29}{64}$），并且在数值上也得到了非常有力的支持，用于其复数（$\frac{8}{33}$）和四元数（$\frac{26}{323}$）对应物。现在，我们试图测试$\frac{44482}{4091349} \approx 0.0108722$的假定八元数值。我们对某些数值计算感到有些鼓舞，它表明这个（51维）猜想的实例可以通过将Forrester（https：//arxiv.org/pdf/1610.08081.pdf）引入的某个决定幂参数$a$设置为0（或可能接近0）来实现。Hilbert-Schmidt测度是随机诱导测度的情形$k=0$，对于$k=1$，对应的八元数可分性概率猜想是$\frac{7612846}{293213345} \approx 0.0259635$，而对于$k=2$，对应的八元数可分性概率猜想是$\frac{4893392}{95041567} \approx 0.0514869, \ldots$ .探讨了参数$a$和$k$之间的关系。
2016-12-09 math-ph math.MP math.PR
Master Lovas-Andai and Equivalent Formulas Verifying the $\frac{8}{33}$ Two-Qubit Hilbert-Schmidt Separability Probability and Companion Rational-Valued Conjectures
我们首先研究了两种形式的希尔伯特-施密特两重位和两量子位“可分性函数”之间的关系-最近由Lovas和Andai提出的（J. Phys. A 50 [2017] 295303），以及Slater提出的（J. Phys. A 40 [2007] 14279）。在Lovas-Andai框架中，自变量$\varepsilon \in [0,1]$是由$4 \times 4$密度矩阵$D$的两个$2 \times 2$对角块（$D_1, D_2$）形成的$2 \times 2$矩阵$V=D_2^{1/2} D_1^{-1/2}$的奇异值的比率$σ(V)$。在Slater设置中，自变量$μ$是对角线入口比$\sqrt{\frac{ρ_{11} ρ_{44}}{ρ_{22} ρ_{33}}}$ -当$D_1$和$D_2$本身都是对角线时，$μ=\varepsilon$或$μ=\frac{1}{\varepsilon}$具有中心重要性。Lovas和Andai建立了他们的两重比特“可分离性函数”$\tildeχ_1 (\varepsilon )$（$\approx \varepsilon$），得到了先前证明的$\frac{29}{64}$的希尔伯特-施密特可分离性概率。我们能够，在斯莱特框架（使用圆柱代数分解[CAD]，以执行积极的约束），重现这一结果。此外，我们新发现了它的两个量子比特（产生$\f…
2017-11-02 math-ph math.MP math.PR
Moment-Based Evidence for Simple Rational-Valued Hilbert-Schmidt Generic 2 x 2 Separability Probabilities
利用Hilbert-Schmidt测度，我们显式地计算和分析了一些行列式乘积（二元）矩|rho| ^k| ρ ^{PT}|^n，k，n= 0，1，2，3，.，PT表示部分转置，对于通用（9维）两量子比特（alpha = 1/2）和通用（15维）两量子比特（alpha=1）密度矩阵ρ。然后，Dunkl将结果合并到一个通式中（附录D 6），用k，n和alpha参数化，其中alpha=2，假定对应于一般的（27维）四元数系统。保持戴森指数样参数α固定，诱导的单变量矩（|rho|| ρ ^{PT}|）^n和|ρ ^{PT}|^n被输入到Provost的基于勒让德多项式（最小二乘）的概率分布重构算法（Mathematica J.，9，727（2005）），产生α特异性可分性概率估计。由于随着输入矩的数量增加，基于|rho|的估计|ρ ^{PT}|大幅下降，而那些雇用|ρ ^{PT}|随着最大值的增加（并且收敛得更快），上估计值和下估计值之间的差距缩小，产生越来越清晰的边界。值得注意的是，对于α = 2，使用2，325个矩，发现分离概率下限为0.999999987，为26/323 = 0.0804954;对于α =1，基于2，415个矩，结果下限为0.999997066倍，为8/33 = 0.242424，一个（更简单的）分数值，以前已经被证明（J. Phys. A，40，14279（2007…
2012-02-21 math-ph math.MP math.PR
Low-rank geometry of two-qubit gates
LAAS-CNRS, Université de Toulouse（图卢兹大学 LAAS-CNRS）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）
本文基于两量子比特门的行列式几何，结合Weyl室表示与算子Schmidt理论，将门合成视为距离问题，量化非局域复杂性，并展示iSWAP门是接近局部操作的最完美纠缠门。
2026-04-16 quant-ph
Formulas for Rational-Valued Separability Probabilities of Random Induced Generalized Two-Qubit States
以前，一个包含$5F4$超几何函数的公式，用于$4 \times 4$密度矩阵的希尔伯特-施密特平均行列式矩$\left\langle \left\vert ρ^{PT}\right\vert ^{n}\left\vert ρ\right\vert ^{k}\right\rangle /\left\langle \left\vert ρ\right\vert ^{k}\right\rangle$（$ρ$）及其部分转置（$ρ^{PT}|$），并与$k=0$一起应用于广义两量子比特分离概率问题。此外，我们在这里注意到，该公式可以被看作是对“混合量子态空间中的诱导测量”的平均。相关的诱导测量可分性概率（$k =1, 2,\ldots$）被发现--{ \it via}一个高精度密度近似过程--在两重比特（$α= \frac{1}{2}$）、（标准）两量子比特（$α= 1$）和两四重比特（$α=2$）的情况下假设有趣的、相对简单的有理值。我们推导出相当简单的同伴（rebit，qubit，quaterbit，\ldots）公式，成功地再现了合理的值为{ \it一般} $k$。据观察，这些配方具有某些共同特征，可能允许它们被纳入单个主配方中。
2015-05-13 math-ph math.MP math.PR
Two-Qubit Rational-Valued Entanglement-Boundary Probability Densities and a Fisher Information Equality Conjecture
我们考虑一对广义双量子位决定性Hilbert-Schmidt概率分布的单参数（alpha）族，p_{alpha}（|ρ ^{PT}|）和q_{alpha}（|rho|），其中rho是4 x 4密度矩阵，rho^{PT}是其部分转置，其中|ρ ^{PT}| \in [-1/16，1/256]和|rho| \in [0，1/256]。类戴森指数（随机矩阵）参数α对于9维通用双量子比特系统为1/2，对于15维通用双量子比特系统为1，…数值（矩为基础的概率分布重建）分析表明，推测费舍尔信息-α的措施-是相同的两个不同的家庭。进一步，我们研究了在可分性-纠缠边界处的概率密度p_{alpha}（0）的值，有力地表明p_2（0）=7425/34和p_3（0）= 7696/69。尽管有这样一个性质的广泛结果，我们还没有成功地--与相应的有理值可分性概率（arXiv.org：1301.6617）相比--生成一个基本的、解释性的（“简明的”）p_α（0）公式，即使两组有理值结果的相应的分解子是密切相关的，具有几乎相同的（小的）素因子。一阶导数p_{alpha} ^β '}（0）对于α = 1/2和1为正，但对于α> 1为负。
2013-05-01 math-ph math.MP quant-ph
Symmetric Halves of the 8/33-Probability that the Joint State of Two Quantum Bits is Disentangled
令人信服的证据--尽管还没有正式的证明--已经被引证，一个通用的两量子比特态（$ρ$）是可分离的概率是$\frac{8}{33}$（arXiv：1301.6617，arXiv：1109.2560，arXiv：0704.3723）。在相关的分析框架下，利用C. Dunkl（附录），我们得出的结论是，当行列式不等式$|ρ^{PT}|>|ρ|$，其中$PT$表示部分转置，得到满足，而另一半，当$|ρ|>|ρ^{PT}|$。这些概率是相对于$4 \times 4$密度矩阵的15维凸集上的平坦希尔伯特-施密特测度而取的。我们发现完全平行的平分/均分的结果，以及先前举出的，两个“re[al]位”和两个“quater[nionic]位“的$\frac{29}{64}$和$\frac{26}{323}$，分别可分性概率。所报告的计算结果有力地支持了先前获得的结果-包括产生这些结果的“简明公式”-其中最明显的是所指出的$\frac{29}{64}, \frac{8}{33}$和$\frac{26}{323}$概率。
2014-03-07 math-ph math.MP math.PR
Two-Qubit Separability Probabilities: A Concise Formula
对于Zyczkowski、Horodecki、Sanpera和Lewenstein（Phys. Rev. A，58，883 [1998]）提出的关于“可分态的体积”的基本量子信息论问题，我们给出了一个简明的答案--在2 × 2系统的情况下。我们通过将Mathematica命令FindSequenceFunction应用于一系列简化的希尔伯特-施密特通用2 x 2（有理数值）可分性概率p（a），a = 1，2，.，32，其中a = 1索引标准双量子比特系统，以及a = 2，双四分之一（负离子）比特系统。p（a）的这32个输入值--以及半整数a = 1/2（双比特）系统的32个伴随非输入值，63/2，是在高精度概率分布重构计算的基础上提出的，采用了部分转置的4 × 4密度矩阵的7,501个行列式矩。通过应用该命令给出的函数P（a）完全再现这两个32长度的序列，并且如果半整数序列是输入的序列，则获得等价的结果。P（a）的冗长表达式（包含六个超几何函数），然后，令人印象深刻的压缩（由Qing-Hu Hou和同事），使用Zeilberger算法。对于一般的（9维）两量子比特系统，P（1/2）= 29/64，（15维）两量子比特系统，P（1）= 8/33，（27维）两四比特系统，P（2）= 26/323，而对于一般的经典（3维）系统，P（0）=1。
2012-09-07 math-ph math.MP math.PR
Two-Qubit Separability Probabilities as Joint Functions of the Bloch Radii of the Qubit Subsystems
我们检测到一种特定的模式的行为的可分性概率$p(r_A,r_B)$为两个量子比特系统赋予希尔伯特施密特，更一般地说，随机诱导措施，其中$r_A$和$r_B$是布洛赫半径（$0 \leq r_A,r_B \leq 1$）的量子比特约化状态（$A,B$）。我们观察到一个相对排斥的半径效应，即$p(r_A,r_A) < p(r_A,1-r_A)$，除了相当窄的“交叉”的时间间隔$[\tilde{r}_A,\frac{1}{2}]$。在我们研究的七种具体情况中，首先是“玩具”七维$X$ -态模型，然后是通过在$4 \times K$ -维中追踪纯态获得的十五维两量子比特态，对于$K=3, 4, 5$，$K=4$对应于希尔伯特-施密特（平坦/欧几里德）测度。我们还研究了真正的（两个rebit）$K=4$，$X$ -状态$K=5$，和Bures（最小单调）-没有非平凡的交叉行为观察-实例。在两个$X$状态的情况下，我们得到的分析结果，$K=3, 4$，我们提出的公式，以及适合我们的数值结果，并为其他情况下，目前依赖于大型数值分析。随着$K$的增加，发现的可分性概率交叉区域在长度上扩展（较低的$\tilde{r}_A$）。本报告继续我们的努力（arXiv：1506.08739），将Milz和Strunz（J. Phys. A：48 [2015] 035306）的近期工作从单变量（$r_A$）框架…
2016-10-17 math-ph math.MP quant-ph
Quantum entanglement and geometry of determinantal varieties
量子纠缠在爱因斯坦、波多尔斯基和罗森的著名论文中首次被认为是量子力学的一个特征[18]。近年来人们认识到，量子纠缠是量子计算、量子通信和量子密码学的重要组成部分（[16]，[17]，[6]）。本文引入了二分或多分量子系统中混合态的代数集作为它们在局域幺正变换下的不变量，代数集是复射影空间或复射影空间的乘积中的行列式簇。这些不变量自然产生于用可分离的纯态测量混合态的物理考虑。这样，这些代数集合的代数几何和复微分几何就成为理解量子对合的有力工具。我们的构造在量子信息理论中的下列重要问题中有应用：1）可分性判据，证明了如果混合态是可分的，则代数集必须是线性子空间的和：2）Schmidt数的下界，即一般的低秩二分混合态在多个自由度上纠缠; 3）Hamilton算子的模拟，证明了同秩半正Hamilton算子的模拟蕴涵了相应代数集的投射同构;（4）束缚排列的构建，利用我们提出的新的可分性判据，系统地构造了在部分转置下不变的纠缠混合态的例子（即PPT束缚纠缠）。另一方面，从这一观点出发，构造和研究了许多纠缠混合态的例子，这些纠缠混合态在其相关的行列式簇中具有丰富的代数几何结构。
2003-10-17 cs.IT math.AG math.IT
Bloch Radii Repulsion in Separable Two-Qubit Systems
Milz和Strunz最近报道了大量的证据，进一步支持了先前在两量子比特系统（$ρ$）中假设的具有Hilbert-Schmidt测度的$\frac{8}{33}$的可分性概率.此外，他们还发现，沿着代表两个单量子比特子系统之一的布洛赫球的半径（$r$），这个值似乎是恒定的（但在纯态的轨迹$r=1$处跳到1）。此外，他们还观察到（个人通信）这种可分性概率$r$ -不变性，当更广泛地使用随机诱导测度（$K=3,4,5,\ldots$）时，其中$K=4$对应于（对称）希尔伯特-施密特情况。这里的发现之一是，即使在将可分性概率分成由行列式不等式$|ρ^{PT}| >|ρ|$和由$|ρ| > |ρ^{PT}| >0$产生的部分（其中指示了部分转置）之后，这种不变性仍保持不变。本文还研究了具有Hilbert-Schmidt测度的九维一般二比特态，得到了类似的$r$ -不变性结论.相比之下，基于Bures（最小单调）的两量子比特可分性概率用$r$测量{ \it减小}。此外，我们还研究了{ \it both}单量子比特子系统的Bloch球半径（$r_A, r_B$）的联合（二元）函数的可分性概率的形式。在这里，我们的几个分析{ \it all}中出现了可分离双量子比特系统的布洛赫半径{ \it排斥}的一种形式。当两个半径的长度更接近时，可分离性概率趋于更小。在附录A中，我们报告了一些同伴的分析结果…
2016-01-19 math-ph math.MP math.PR
Eigenvalues, Separability and Absolute Separability of Two-Qubit States
最近，在确定两量子比特和量子比特-四元数（实数、复数和四元数）系统的希尔伯特-施密特（HS）可分性概率方面取得了实质性进展。一个重要的理论概念是分离函数。看来，如果人们可以类似地获得由所讨论的密度矩阵的特征值参数化的可分性函数-而不是最初使用的对角项-可以在基于广泛的、有趣的一类单调度量（Bures，是其最突出的[最小]成员）获得可分性概率方面取得相当的进展。虽然大规模的数值估计，这样的特征值参数化的功能已经进行，它似乎也希望研究它们在低维的专门方案中，他们可以准确地获得。在这方面，我们采用了S. Cacciatori（在附录中报告）--以Tilma，Byrd和Sudarshan的SU（4）-密度矩阵参数化的方式。因此，我们能够找到简单的精确可分性（类反正弦）功能的两个真正的两个量子比特（rebit）系统，都有三个自由本征值和一个自由欧拉角。我们还采用了重要的Verstraete-Audenaert-de Moor约束，以获得精确的HS概率，一个通用的两个量子比特的状态是绝对可分离的（即，不能纠缠的幺正变换）。在这方面，我们充分利用三角恒等式涉及四面体二面角arccos（1/3）。
2010-06-11 quant-ph
Hypergeometric/Difference-Equation-Based Separability Probability Formulas and Their Asymptotics for Generalized Two-Qubit States Endowed with Random Induced Measure
我们找到了等价的基于超几何和差分方程的公式，$Q(k,α)= G_1^k(α) G_2^k(α)$，用于$k = -1, 0, 1,\ldots,9$，用于赋予随机诱导测度的广义双量子比特态的总可分性概率的（有理数值）部分，其中行列式不等式$|ρ^{PT}| >|ρ|$成立。这里$ρ$表示$4 \times 4$密度矩阵和$ρ^{PT}$，它的部分转置，而$α$是一个戴森指数样参数，$α= 1$用于标准（15维）凸集的两个量子比特状态。嵌入这些密度矩阵的空间的维数是$4 \times (4 +k)$。对于$k=0$的对称情况，我们得到了先前报道的希尔伯特-施密特公式，其中（两个re [al]比特的情况）$Q(0,\frac{1}{2}) = \frac{29}{128}$，（标准两个qubit的情况）$Q(0,1)=\frac{4}{33}$，和（两个quater [nionic]比特的情况）$Q(0,2)= \frac{13}{323}$。因子$G_2^k(α)$可以写为加权超几何函数$_{p}F_{p-1}$、$p \geq 7$的和，所有这些函数都具有自变量$\frac{27}{64} =(\frac{3}{4})^3$。我们发现这些功能的上，下参数集的公式，然后，等价地表示$G_2^k(α)$的一阶差分方程。因子$G_1^k(α)$等于$(\frac{27}{64})^{α…
2015-04-17 math-ph math.MP math.PR
Formulas for Generalized Two-Qubit Separability Probabilities
首先，我们找到$k = -1, 0, 1,...,9$的某些公式$Q(k,α)= G_1^k(α) G_2^k(α)$。这些结果产生了具有随机诱导测度的广义（实、复、四元数、\ldots）双量子比特态的总可分性概率$P(k,α)$的一部分，行列式不等式$|ρ^{PT}| >|ρ|$对此成立。这里$ρ$表示$4 \times 4$密度矩阵，通过在$4 \times (4 +k)$维中追踪纯态而获得，并且$ρ^{PT}$表示其部分转置。此外，$α$是具有$α= 1$的戴森指数样参数，用于（复杂）两量子比特状态的标准（15维）凸集。对于$k=0$，我们得到了以前报道的Hilbert-Schmidt公式，（实数情况）$Q(0,\frac{1}{2}) = \frac{29}{128}$，（标准复数情况）$Q(0,1)=\frac{4}{33}$，和（四元数情况）$Q(0,2)= \frac{13}{323}$ -这三个简单地等于$ P(0,α)/2$。因子$G_2^k(α)$是多项式加权广义超几何函数$_{p}F_{p-1}$、$p \geq 7$的和，所有函数都具有自变量$z=\frac{27}{64} =(\frac{3}{4})^3$。我们发现数论为基础的公式上（$u_{ik}$）和下（$b_{ik}$）这些功能的参数集，然后，等价地表示$G_2^k(α)$的一阶差分方程。Zeilb…
2017-08-10 math-ph math.MP math.PR
