关于集合划分中某些交叉数的极限分布

Positroids和非交叉分拆

Positroids and non-crossing partitions

我们研究了非交叉划分在正拟阵（Postnikov引入的一类拟阵）研究中所发挥的作用。我们证明了每一个正拟阵都可以通过在基集上选择一个不相交的划分，然后自由地将一个连通正拟阵的结构放置在该划分的每个块上来唯一地构造。这个结构结果产生了几个关于正粒子的组合事实。我们证明了正拟多面体的面偏序集嵌入在加权非交叉划分的偏序集中。我们列举了连接的正粒子，并显示它们是如何自然产生的自由概率。最后，我们证明了[n]上正拟阵连通的概率渐近等于1/e^2。

关于避免3-交叉的划分

On partitions avoiding 3-crossings

如果存在$i\_1<i\_2<j\_1<j\_2$，使得$i\_1$和$j\_1$在同一块中，$i\_2$和$j\_2$在同一块中，但$i\_1$和$i\_2$不在同一块中，则$[n]$上的分区具有交叉。最近，Chen等人通过对任何整数$k$引入$k$ -交叉来完善这个经典概念。在这个新术语中，经典杂交是2-杂交。避免2-交叉的$[n]$的划分数是众所周知的$n$第卡塔兰数$C\_n={{2n}\choose n}/(n+1)$。这就产生了对$k$计数的问题--$k\ge 3$的非交叉分区。证明了3-非交叉分拆序列是P-递归的，即满足多项式系数的线性递归关系。我们明确地给出这样的递归。然而，我们猜想，$k$ -非交叉分区是不是P-递归的，$k\ge 4$。

The Rank Enumeration of Certain Parabolic Non-Crossing Partitions

We consider $m$-divisible non-crossing partitions of $\{1,2,\ldots,mn\}$ with the property that for some $t\leq n$ no block contains more than one of the first $t$ integers. We give a closed formula for the number of multi-chains of such non-crossing partitions with prescribed number of blocks. Building on this result, we compute Chapoton's $M$-triangle in this setting and conjecture a combinatorial interpretation for the $H$-triangle. This conjecture is proved for $m=1$.

某些非交叉分拆与序列之间的双射

A bijection between certain non-crossing partitions and sequences

我们提出了一个双射之间的非交叉分区的集合$[2n+1]$到$n+1$块，使没有块包含两个连续的整数，和序列$\{s_{i}\}_{1}^{n}$的集合，使$1 \leq s_{i} \leq i$，如果$s_{i}=j$，那么$s_{i-r} \leq j-r$为$1 \leq r \leq j-1$。

经典类型的集合划分中的交叉和嵌套

Crossings and nestings in set partitions of classical types

在这篇文章中，我们研究了保留开闭子的经典类型的集合划分的各种类上的双射。一方面，我们提出双射交换交叉和嵌套。对于类型B和C，他们推广了Kasraoui和Zeng对类型A的构造，而对于类型D，我们只能构造非交叉和非嵌套集合划分之间的双射。另一方面，我们将一个双射推广到B型和C型，它将最大交叉的基数与最大嵌套的基数互换，如Chen，Deng，Du，Stanley和Yan对A型给出的那样。使用这种双射的一个变体，我们还解决了Soll和Welker关于广义B型三角剖分和对称扇的戴克路径的猜想。

集合划分中两条边的交叉与嵌套

Crossings and Nestings of Two Edges in Set Partitions

令$π$和$λ$是具有相同块数目的两个集合分区。假设$π$是$[n]$的一个分区。对于任何整数$l, m \geq 0$，令$\mathcal{T}(π, l)$为$[n+l]$的分区的集合，其对最后的$n$元素的限制与$π$同构，并且令$\mathcal{T}(π, l, m)$为$\mathcal{T}(π,l)$的子集，其由恰好具有$m$块的那些分区组成。类似地定义$\mathcal{T}(λ, l)$和$\mathcal{T}(λ, l,m)$。我们证明，如果统计$cr$（$ne$），交叉（嵌套）的两个边缘的数量，在$l =0, 1$的集合$\mathcal{T}(π, l)$和$\mathcal{T}(λ, l)$上重合，那么它在$\mathcal{T}(π, l,m)$和$\mathcal{T}(λ, l,m)$上重合所有$l, m \geq 0$。这些结果扩展了Klazar关于匹配的交叉点和嵌套的分布所得到的结果。

双Cohen-Macaulay偏序集的偏序纤维定理及其在非交叉分拆和内射词中的应用

A poset fiber theorem for doubly Cohen-Macaulay posets and its applications to non-crossing partitions and injective words

本文研究了A型和B型非交叉分拆格及内射词偏序集的拓扑性质。具体地说，它表明，删除后的底部和顶部元素（如果存在），这些偏序集是双Cohen-Macaulay。这加强了众所周知的事实，这些偏序集是科恩-麦考利。我们的结果依赖于一个新的偏序集纤维定理，这是一个有用的工具，证明双（同伦）科恩-麦考莱的偏序集。也包括内射词复合物的应用。

正拟线的秩函数与非交叉分拆

The rank function of a positroid and non-crossing partitions

正拟阵是可实现拟阵的一个特例，它起源于Postnikov对格拉斯曼的完全非负部分的研究。波斯特尼科夫证明了正粒子与某些有趣的组合对象（如格拉斯曼项链和装饰排列）是双射的。正拟线的基可以直接用格拉斯曼项链和装饰置换来描述。在本文中，我们证明了在一个正拟线的任意集合的秩可以直接计算从相关的装饰置换使用非交叉分区。

广义结合面体的h-向量与非交叉剖分

h-vectors of generalized associahedra and non-crossing partitions

本文给出了一个无格证明，证明了S所关联的簇复形$Δ(Φ)$的$h$-向量的元素是S. Fomin和A. Zelevinsky对有限根系$Φ$，按秩对相应类型的非交叉分区的格$\nc$的元素进行计数。提供了对$Δ(Φ)$阳性部分的$h$-载体的类似解释。证明利用外观复杂的$Δ(Φ)$的上下文中的晶格$\nc$，在最近的工作中的两个作者，以及明确的外壳$Δ(Φ)$。

B型集划分中块偶个数的极限分布

The Limiting Distribution of the Number of Block Pairs in Type B Set Partitions

Harper的一个经典结果是：集合$\{1, 2,..., n\}$的分块个数的极限分布是正态的。本文利用鞍点方法证明了$B_n$型集合划分中块对数极限分布的正态性。此外，我们还得到了无零块的$B_n$ -划分中块对数的极限分布也是正态的。

自由随机变量的非交叉连接分拆与乘法

Non-crossing linked partitions and multiplication of free random variables

材料给出了一个新的组合证明的乘法性质的S-变换。特别是，它的逆的系数的几个属性连接到非交叉链接分区和平面树。

Enumeration of non-crossing partitions according to subwords with repeated letters

An avoidance pattern where the letters within an occurrence of which are required to be adjacent is referred to as a subword. In this paper, we enumerate members of the set NC_n of non-crossing partitions of length n according to the number of occurrences of several infinite families of subword patterns each containing repeated letters. As a consequence of our results, we obtain explicit generating function formulas counting the members of NC_n for n >= 0 according to all subword patterns of length three containing a repeated letter. Further, simple expressions are deduced for the total number…

简单生成的非交叉分区

Simply generated non-crossing partitions

我们介绍和研究模型的简单生成的非交叉分区，这是，粗略地说，随机选择的权重序列。这个框架包括了对块大小有约束的均匀非交叉分区的特殊情况。我们的主要工具是一个双射之间的非交叉分区和平面树，它映射到简单生成的树，使块的大小$k$是对应的顶点出度$k$这样简单生成的非交叉分区。这使我们能够获得极限定理的块结构的简单生成的非交叉分区。我们将所得结果应用于自由概率，给出了一个关于实直线上紧支概率测度的最大支集与其自由累积量的简单公式。

随机平面剖分迹的极限分布

The Limiting Distribution of the Trace of a Random Plane Partition

本文研究了正整数n的一个平面分拆的迹（对角线部分之和）的渐近性态，假定这个分拆是从所有这样的分拆的集合中随机均匀选取的.

从代数和几何角度看非交叉分区的结构性质

Structural properties of non-crossing partitions from algebraic and geometric perspectives

本文从代数和几何两个方面研究了有限Coxeter群的非交叉分拆的结构性质。一方面，不相交的划分是格，另一方面，我们可以通过考虑它们的序复形将它们看作单纯复形。我们以各种方式利用这些不同的解释及其相互作用。非交叉分拆的序复形具有丰富的几何结构，本文对此进行了研究。特别是，我们解释为球形建筑物的子复合体。从代数的角度，研究了非交叉剖分的自同构和反自同构以及它们与构造自同构的关系。我们还计算了$B$型和$D$型的非交叉划分的自同构群，条件是$n \neq 4$对$D$型。为此，我们引入了一个新的图形表示类型$D$。在类型$A$中，我们更详细地研究了非交叉划分的序复形的结构性质。特别是，我们研究了腔室距离和凸包在非交叉分区复杂和周围的球形建筑物的相互作用。这些问题与Brady和McCammond的曲率猜想有关。

匹配和分割的交叉和嵌套

Crossings and Nestings of Matchings and Partitions

我们目前的结果枚举的交叉和嵌套的匹配和集分区。利用划分间的双射和摇摆表，证明了在最小块元和最大块元的集合固定的情况下，划分的交叉数和嵌套数具有对称的联合分布.因此，交叉数和嵌套数在$[n]$的所有分区上以及在$[2n]$上的所有匹配上对称分布。作为推论，$k$ -非交叉划分的数目等于$k$ -非嵌套划分的数目。配对也是如此。给出了无$k$ -交叉（或无$k$ -嵌套）匹配枚举的一个应用.

非交叉剖分统计量的极限定理

Limit theorems for statistics of non-crossing partitions

研究了大非交叉分拆的几个统计量的分布。首先，我们证明了高斯极限定理的块的数量给定的固定大小。与通常的集合分区的性质相反，我们表明，不同大小的块的数量是负相关的，即使是大分区。此外，我们表明，在一个给定的大的非交叉分区的块的大小分布根据几何分布，而不是泊松，在通常的情况下集分区。接下来，我们表明，最大的块的大小集中在$\log_2 n$，并经过适当的重新缩放，它可以描述的双指数分布。最后，我们表明，一个大的非交叉分区的宽度收敛到θ分布中出现的布朗游览理论。

Generating functions用于纯交叉分区

Generating functions for purely crossing partitions

对于{1，.，n}是根据贝尔数的生成函数找到的。进一步得到了一类随机范德蒙矩阵渐近矩母函数的结果。

B型和D型环形非交叉分拆的偏序集

Posets of annular non-crossing partitions of types B and D

研究了B型环形非交叉置换集$\sncb (p,q)$，并引入了相应的B型环形非交叉分拆集$\ncb (p,q)$，其中$p$和$q$是两个正整数.证明了$\sncb (p,q)$和$\ncb (p,q)$之间的自然双射是偏序集同构，其中$\sncb (p,q)$上的偏序是由超八面体群$B_{p+q}$导出的，而$\ncb (p,q)$上的偏序是由逆加细导出的.在$q=1$的情况下，我们证明了$\ncb (p,1)$是关于逆加细序的格。我们指出，一个类似的发展可以在D型中进行，其中人们得到$\sncd (p,q)$和$\ncd (p,q)$之间的规范同构。对于$q=1$，偏序集$\ncd (p,1)$与Athanasiadis和Reiner在2004年的一篇论文中构造的偏序集“$NC^{(D)} (p+1)$”重合，并且根据该论文的结果是一个格。

正$m$-可分非交叉划分及其Kreweras映射

Positive $m$-divisible non-crossing partitions and their Kreweras maps

该研究针对正$m$-可分非交叉划分及其正Kreweras映射，在经典型中给出组合实现与伪旋转解释、完成相关枚举，在一般型中构建适配例外型的组合模型，最终建立若干循环筛选现象。

弧色置换的交叉与嵌套

Crossings and Nestings for Arc-Coloured Permutations

许多交叉和嵌套统计量的等分布存在于几个组合对象中，如匹配，集合划分，排列和嵌入标记图。对合切换嵌套和交叉数集分区给出的Krattenthaler，也由陈，邓，杜，斯坦利，严，并为置换给出的伯里尔，米什纳，和邮政涉及通过tableau一样的对象。最近，陈和郭匹配，和Marberg集分区扩展的结果，彩色弧注释图。证明了对称联合分布对弧色排列仍然成立。正如在马伯格最近的工作，但通过不同的解释，我们还得出结论，普通的生成函数的所有$j$ -noncrossing，$k$ -nonnesting，$r$ -colored排列根据大小$n$是有理函数。我们使用的解释，自动生成这些合理的一系列非交叉和非嵌套的有色集分区和排列。

非交叉划分的一个分类

A categorification of non-crossing partitions

我们提出了一个分类的非交叉分区给出的结晶Coxeter群。这涉及到一类某些双线性格，这基本上是由一个对称的广义嘉当矩阵连同一个特定的选择Coxeter元素。例子来自遗传阿廷代数的Grothendieck群。

与特殊类型的复杂反射群相关的广义非交叉分区的循环筛选-细节

Cyclic sieving for generalised non-crossing partitions associated to complex reflection groups of exceptional type - the details

我们证明，广义非交叉分区以及生成的复杂的反射群的例外类型服从两个不同的循环筛分现象，如阿姆斯特朗，分别由贝西斯和赖纳。这份手稿伴随着论文“Cyclic sieving for generalised non-crossing partitions associated to complex reflection groups of exceptional type”[arXiv：1001.0028]，它提供了计算细节。

组合穿墙与Mullineux对合

Combinatorial Wall-Crossing and the Mullineux Involution

本文定义了划分上的组合跨壁变换和广义列正则化，并证明了这两种变换的某种组合对单行划分$(n)$具有相同的效果.作为推论，我们明确地描述了在这个过程中出现的分区的连续性。我们还证明了单行分区是唯一的分区，保持定期在任何步骤的跨壁变换。

非交叉分划格同调的几何构造基

Geometrically Constructed Bases for Homology of Non-Crossing Partition Lattices

对于任意有限的实反射群$W$，我们构造了相应的非交叉分划格的同调的几何基。我们与此相关的基础上的同源性相应的交叉格介绍Björner和瓦克斯在\cite{BW}使用一般建设的一个通用仿射超平面的中央超平面安排所定义的$W$。

关于不相交分划格中的极大链

On maximal chains in the non-crossing partition lattice

引入并研究了不相交分划格极大链集上的弱序。一个$0$ -Hecke代数作用是用来计算这些链上的图的半径，其中两个链是相邻的，如果他们在恰好一个元素不同。

独立穿越诱导森林的平面图的公平划分

Equitable partition of plane graphs with independent crossings into induced forests

平面图中交叉点的簇是其两条交叉边的四个端点的集合。如果两个交叉点的簇不相交，则它们是独立的。本文证明了对于任何$m\geq 8$，每个具有独立交叉的平面图都有一个公平的$m$诱导森林划分。此外，如果我们另外假设所考虑的图的围长至少为4、5、6和26，则我们将$m$的这个下界8分别减小到6、5、4和3。

受限Dyck路径、多联骨牌与非交叉划分之间的一些联系

Some Connections Between Restricted Dyck Paths, Polyominoes, and Non-Crossing Partitions

本文定义了受限d-Dyck路径，揭示了其与[n]的非交叉划分及多联骨牌子族之间的联系，并提供了生成函数来计算这些组合对象的特征。

Noncommutative crossing partitions

We define and study noncommutative crossing partitions which are a generalization of non-crossing partitions. By introducing a new cover relation on binary trees, we show that the partially ordered set of noncommutative crossing partitions is a graded lattice. This new lattice contains the Kreweras lattice, the lattice of non-crossing partitions, as a sublattice. We calculate the Möbius function, the number of maximal chains and the number of $k$-chains in this new lattice by constructing an explicit $EL$-labeling on the lattice. By use of the $EL$-labeling, we recover the classical results on…

例外型复反射群广义非交叉划分的循环筛选

Cyclic sieving for generalised non-crossing partitions associated to complex reflection groups of exceptional type

我们提出了证明的循环筛分的广义非交叉分区相关的良好生成的复杂的反射群由于阿姆斯特朗，分别贝西斯和雷纳，为26个特殊的良好生成的复杂的反射群。计算细节在手稿“与特殊类型的复杂反射群相关的广义非交叉分区的循环筛选-细节”[arXiv：1001.0030]中提供。

曲面上非交叉剖分的渐近Enumeration

Asymptotic Enumeration of Non-crossing Partitions on Surfaces

我们将圆盘上的非交叉分割的概念推广到一般的有边界曲面上。为此，我们考虑一个表面$Σ$和引入的数量$C_Σ(n)$的非交叉分区的一组$n$点的边界上的$Σ$。我们的证明使用双射技术所产生的地图计数，联合的符号方法和奇异性分析的生成函数。我们的结果的一个结果是，$C_Σ(n)$的指数增长性与$n$ -th Catalan数的指数增长相同，即，当我们从$Σ$是圆盘的情况转移到具有边界的一般曲面时，

非交叉分区

Non-crossing partitions

非交叉分区在组合数学中已经有相当长的一段时间了。最近，它们在从自由概率到辫群的分类空间的各种其他背景下浮出水面（有时是出乎意料的）。此外，类似的非交叉分划格已被引入。在这里，经典的非交叉划分与类型为$\mathsf{A}_n$的Coxeter和Artin群相关联，这解释了与对称群和辫群的紧密联系。我们将概述这些事态发展。

划分交叉超图

Partition-crossing hypergraphs

对于有限集合$X$，如果$H$与$\min (|H|,k)$划分类相交，则我们称集合$H\subseteq X$穿过$X$的划分${\cal P}=(X_1,\dots,X_k)$。如果是$|H|\geq k$，这意味着$H$满足所有类$X_i$，而对于$|H|\leq k$，交叉集$H$的元素属于相互不同的类。一个集合系统${\cal H}$与${\cal P}$相交，如果这样的话，一些$H\in {\cal H}$也会相交。$r$元素子集的最小数目，使得$n$元素集$X$的每个$k$分区被它们中的至少一个穿过，用$f(n,k,r)$表示.确定$k=r$的这些最小值的问题由几位作者提出并研究，首先由Sterboul在1973年[Proc. Colloq. Math. Soc. J. Bolyai，第10卷，Keszthely 1973，North-Holland/American Elsevier，1975，第10页]。1387- 1404]。本文作者确定了每个固定$k$的$f(n,k,k)$的渐近紧估计为$n\to \infty$ [Graphs Combin.，25（2009），807- 816]。在这里，我们考虑更一般的问题，两个参数$k$和$r$，并建立下限和上限为$f(n,k,r)$。对于各种组合的三个值$n,k,r$，我们得到渐近紧估计，并指出密切联系的功能$f(n,…

广义非交叉划分与建筑物

Generalized non-crossing Partitions and Buildings

对于任何有限Coxeter群$W$的秩$n$，我们表明，顺序复杂的晶格的非交叉分区$\mathrm{NC}(W)$嵌入作为一个连接室子复杂到一个球形建筑的类型$A_{n-1}$。我们使用这个给一个新的证明的事实，即非交叉分划格类型$A_n$是超可解的所有$n$和显示，在情况$B_n$，这是唯一的情况下，如果$n<4$。我们还得到了所有类型的Hurwitz图$H(W)$的半径的一个下界，并重新证明了在$A_n$型中半径是${n \choose 2}$ .

Set partitions, fermions, and skein relations

Let $Θ_n = (θ_1, \dots, θ_n)$ and $Ξ_n = (ξ_1, \dots, ξ_n)$ be two lists of $n$ variables and consider the diagonal action of $\mathfrak{S}_n$ on the exterior algebra $\wedge \{ Θ_n, Ξ_n \}$ generated by these variables. Jongwon Kim and the second author defined and studied the fermionic diagonal coinvariant ring $FDR_n$ obtained from $\wedge \{ Θ_n, Ξ_n \}$ by modding out by the $\mathfrak{S}_n$-invariants with vanishing constant term. On the other hand, the second author described an action of $\mathfrak{S}_n$ on the vector space with basis given by noncrossing set partitions of $\{1,\dots,n…

具有两个小划分类的图的三部圆交叉数

The tripartite-circle crossing number of graphs with two small partition classes

本文研究三部图在三部圆绘制下的交叉数问题，并给出了当两个划分类大小不超过2时完全三部图 $K_{a,b,n}$ 的三部圆交叉数精确值。

交叉与嵌套的双射

A Bijection for Crossings and Nestings

对于一个子类的匹配，集分区，和排列，我们描述了一个直接双射只涉及弧注释图，不仅互换最大嵌套和交叉数，但也交叉和嵌套数的所有改进。此外，我们表明，双射不能适用于一个类似的类的彩色弧注释图。

非交叉链接划分、NC（n）上的偏序<<和S-变换

Non-crossing linked partitions, the partial order << on NC(n), and the S-transform

本文建立了自由概率中两个最近的组合发展之间的联系：Dykema在2007年引入的用于研究S-变换的非交叉链接划分，以及Belinschi和Nica在2008年引入的用于研究自由概率和布尔概率之间关系的偏序<< on NC（n）。更确切地说，在NCL（n）（{1，.，n}）和集合{（p，q）|NC（n）中的p，q，p<<q}。作为这种双射的结果，人们得到了Dykema公式的另一种描述，该公式表示非交换随机变量a的矩，表示为倒数S变换1/S_a的系数。此外，由于<<的布尔特征，该公式可以简化为类似于无c概率的矩累积量公式的形式。

增强、经典和2-距离k-非交叉分区的简单双射

A simple bijection for enhanced, classical, and 2-distant k-noncrossing partitions

本文提出一个简单的扩展映射，证明了增强、经典和2-距离k-非交叉分区的数量通过二项式变换依次关联，解决了Zhicong Lin的猜想并推广了早期归约恒等式。

单调有序非交叉划分上的统计量

Statistics on monotonically ordered non-crossing partitions

本文研究单调有序非交叉划分上的组合统计量，发现期望与方差呈对数增长，并利用树结构简化论证，应用于单调概率的累积量计算。

A型和B型非交叉和非嵌套划分之间的一个双射

A bijection between noncrossing and nonnesting partitions of types A and B

$Ψ$类型的非交叉划分的总数在$Ψ=A_{n-1}$时是$n$第卡塔兰数$\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$，在$Ψ=B_n$时是二项式$\binom{2n}{n}$，并且这些数字与非嵌套划分的相应数量一致。对于类型A，有几个双射证明这个等式，是直观的映射，局部转换每个交叉到嵌套其中之一。在本文中，我们提出了一个双射之间的nonnesting和noncrossing分区的类型A和B，推广了类型A的双射，局部转换每个交叉嵌套。

精化越壁、自由费米子与晶体熔化

Refined Wall-Crossing, Free Fermions and Crystal Melting

本文利用M-理论模型，对无紧四圈的复曲面Calabi-Yau三重态的OSV公式进行了精细化的推导，得到了联系精细拓扑弦配分函数和精细BPS态配分函数的OSV公式的精细化的结果.进一步，我们给出了如何利用二维自由费米子中的顶点算符来重新生成$\mathbb{C}^3$情形下的精化BPS态配分函数以及解析锥和$\mathcal{O}(-2)\oplus\mathcal{O}\rightarrow \mathbb{P}^1$情形下精化BPS态配分函数的穿壁公式.

Limiting crossing numbers for geodesic drawings on the sphere

We introduce a model for random geodesic drawings of the complete bipartite graph $K_{n,n}$ on the unit sphere $\mathbb{S}^2$ in $\mathbb{R}^3$, where we select the vertices in each bipartite class of $K_{n,n}$ with respect to two non-degenerate probability measures on $\mathbb{S}^2$. It has been proved recently that many such measures give drawings whose crossing number approximates the Zarankiewicz number (the conjectured crossing number of $K_{n,n}$). In this paper we consider the intersection graphs associated with such random drawings. We prove that for any probability measures, the resul…

通过非交叉划分研究广义Dyck路径上的Fuss–Catalan代数

Fuss--Catalan algebras on generalized Dyck paths via non-crossing partitions

本研究通过非交叉划分研究广义Dyck路径上的Fuss–Catalan代数，建立了相关双射与代数表示的相容性，引入带边界的推广形式，并在r=2时得到反射方程的新解。

$k$ -非交叉剖分上的组合双射

A combinatorial bijection on $k$-noncrossing partitions

对于任意整数$k\geq2$，我们组合地证明了下面的欧拉（二项式）变换恒等式$$ \NC_{n+1}^{(k)}(t)=t\sum_{i=0}^n{n\choose i}\NW_{i}^{(k)}(t), $$，其中$\NC_{m}^{(k)}(t)$（分别为~ $\NW_{m}^{(k)}(t)$）是$\{1,\ldots,m\}$的没有$k$交叉的分区的权重之和$t^\text{number of blocks}$（分别为增强的$k$ -交叉口）。特殊的$k=2$和$t=1$情形，断言Motzkin数的欧拉变换是Catalan数，由Donaghey在1977年发现。$k=3$和$t=1$的结果，在最近的一项研究中自然产生的模式避免上升序列和反转序列，只是证明了分析。

随机集划分中某些Z参数的平均值

Average values of some Z-parameters in a random set partition

我们找到了集合划分上几个统计量平均值的精确和渐进公式：Carlitz的$q$ -Stirling分布、集合划分的线性和圆形表示中的交叉数、重叠和拥抱的数量以及2-模式出现的次数。

有限Coxeter群的分解数与广义非交叉划分

Decomposition numbers for finite Coxeter groups and generalised non-crossing partitions

给定有限不可约Coxeter群$W$、正整数$d$和类型$T_1,T_2,...,T_d$（在有限Coxeter群的分类的意义上），我们计算$W$的Coxeter元素$c$的分解数$c=\si_1\si_2 cdots\si_d$，使得$\si_i$是$W$中$T_i$类型的子群中的Coxeter元素，$i=1,2,...,d$，并且使得在$T_i$的秩的和$i=1,2,...,d$等于$W$的秩的意义上，因子分解是“最小的”。对于例外类型，这些分解数已由第一作者计算。$A_n$类型的分解数已经由Goulden和Jackson计算过了，尽管使用的语言有些不同。本文说明如何从Bóna，Bousquet，Labelle和Leroux关于地图计数的结果中提取$B_n$型分解数.本文给出了$D_n$型分解数的新公式。这些结果然后被用来确定，对于一个固定的正整数$l$和固定的整数$r_1\le r_2\le ...\le r_l$，在阿姆斯特朗的广义非交叉分区偏序集中的多链$π_1\le π_2\le ...\le π_l$的数量，其中的偏序集秩的$π_i$等于$r_i$，和其中的“块结构”的$π_1$是规定的。我们证明，这一结果意味着所有已知的枚举结果的普通和广义的非交叉分区通过适当的总结。令人惊讶的是，即使对于Kreweras的原始非交叉分区，多链枚举的这个结果也是新的。此外，该结果允许…

比赛和集合划分的主要索引

A major index for matchings and set partitions

我们在$[n]=\{1,2,..., n\}$的划分上引入了一个统计量$\pmaj$，并证明了它与$[n]$的划分上的2-交叉数是等分布的.推广了经典的关于排列统计量反转数和主指数等分布的结果。

Convex caterpillars are Schur-Positive

A remarkable result of Stanley shows that the set of maximal chains in the non-crossing partition lattice of type $A$ is Schur-positive, where descents are defined by a distinguished edge labeling. A bijection between these chains and labeled trees was presented by Goulden and Yong. Using Adin-Roichman's variant of Björner's $EL$-labeling, we show that the subset of maximal chains in the non-crossing partition lattice of type $A$, whose underlying tree is a convex caterpillar, is Schur-positive.

泊松化随机匹配的最大交叉极限分布与嵌套

Limiting distribution of maximal crossing and nesting of Poissonized random matchings

Chen等人[Trans.Amer.Math.Soc.359（2007）1555-1575]引入了完全匹配的$r$ -交叉和$r$ -嵌套的概念，并证明了对称性。我们考虑随机匹配的大尺寸和研究他们的最大交叉和最大嵌套。已知它们中的每一个的边缘分布收敛于GOE Tracy-Widom分布。我们表明，最大交叉和最大嵌套成为独立的渐近，我们评估的联合分布的泊松随机匹配明确的第一个修正项。这导致了协方差的渐近评估。此外，我们计算的分布函数中的两个对象的显式第二个校正项：（a）的泊松随机置换的最长增加子序列的长度和（b）的最大交叉，因此也是最大嵌套，泊松随机匹配。

同时核划分及其极限分布的方差和高阶矩的显式表示

Explicit Expressions for the Variance and Higher Moments of the Size of a Simultaneous Core Partition and its Limiting Distribution

Jaclyn Anderson证明了如果s和t是互素正整数，那么正好有（s+t-1）！/（s！t！）[001 pdf 1st-31 files]分割，其钩长集合与集合{s，t}不相交。德鲁·阿姆斯特朗（Drew Armstrong）证明了（保罗·约翰逊，以及稍后的维克多·王（Victor Wang）证明了）平均大小的一个美丽的表达式，即（s-1）（t-1）（s+t+1）/24。在本文中，我们远远超出了平均值，并陈述了方差的绝对某些表达式（但“官方”仍然是绝对的）（特别是显示它相当大，并且没有“关于平均值的浓度”），以及第三到第六时刻。对于（s，s+1）-核心分区的特殊情况，我们一直到第9时刻。我们提出了两个挑战，并将很高兴地捐赠100美元，以纪念OEIS基金会的第一个证明者，关于“软”和“全球”，但严格的，我们的经验方法的理由，并证明了一个有趣的猜想有关的限制分布。这个版本报告（感谢Marko Thiel和Nathan Williams）上面提到的第二个挑战已经由Paul Johnson完成（但不是两页）。向OEIS捐款。第一个挑战仍然是开放的。

随机杨氏图中随机选取胞元钩长的极限分布

The limiting distribution of the hook length of a randomly chosen cell in a random Young diagram

令$p(n)$是正整数$n$的所有整数分区的数目，并且令$λ$是从所有这样的$p(n)$分区中随机均匀地选择的分区。已知每个分区$λ$具有唯一的图形表示，其由称为Young图的平面中的$n$非重叠单元组成。作为我们的采样实验的第二步，我们从分区$λ$的Young图的所有$n$单元中均匀随机地选择单元$c$。对于大$n$，我们研究了随机粒子$λ$的胞元$c$的钩长$Z_n=Z_n(λ,c)$的渐近行为.这个两步抽样程序提出了一个乘积概率测度，它将概率$1/np(n)$分配给每对$(λ,c)$。相对于这个概率测度，我们表明，随机变量$πZ_n/\sqrt{6n}$收敛弱，$n\to\infty$，一个随机变量的概率密度函数等于$6y/π^2 (e^y-1)$，如果$0<y<\infty$，和零其他地方。

与分划相关的多项式：它们的渐近性和零点

Polynomials associated with Partitions: Polynomials associated with Partitions: Their Asymptotics and Zeros

令$p_n$为整数$n$的分区数。对于计算其部分、秩或曲柄的每个分区统计，存在整数多项式的自然族。我们研究了它们的渐近性和它们的零点作为集合和密度的极限行为。

$M$-类型$E_7$和$E_8$的广义非交叉划分的三角形

The $M$-triangle of generalised non-crossing partitions for the types $E_7$ and $E_8$

排序局部有限偏序集$P$的$M$ -三角形是生成函数$\sum_{u,w\in P} ^{}μ(u,w) x^{\rk u}y^{\rk w}$，其中$μ(.,.)$是$P$的莫比乌斯函数。本文计算了$E_7$和$E_8$型根系的$m$ -可除非交叉划分的Armstrong偏序集的$M$ -三角形。对于除$D_n$之外的其他类型，这已经在早期的论文“广义簇复合物的$F$ -三角形”中完成。“总之，这几乎解决了阿姆斯特朗的$F=M$猜想，该猜想预测了$m$ -可分分区偏序集的$M$ -三角形与Fomin和Reading的广义簇复合体的$F$ -三角形（某种精确的面数）之间令人惊讶的关系，这是$D_n$类型中唯一剩下的差距。此外，我们证明了一个互惠的结果，这个$M$ -三角形，再次与类型$D_n$可能的例外。我们的研究结果是基于计算的某些分解数的反射群类型$E_7$和$E_8$，实际上进行更精细的信息比$M$ -三角形。其他特殊反射群的分解数在前面的论文中已经计算过了。给出了$A_n$型分解数的一个简化公式.