On polynomials associated to Voronoi diagrams of point sets and crossing numbers
本文为一般位置点集定义了 Voronoi、圆和 E≤k 三个多项式，用其表达直线交叉数，并证明 Voronoi 多项式根在单位圆上当且仅当点集凸，且给出根的位置界。
2024-09-18 cs.CG cs.DM math.CO
Total coloring of pseudo-outerplanar graphs
一个图是伪外平面的，如果它的每个块在平面中都有嵌入，使得顶点位于一个固定的圆上，而边位于这个圆的圆盘内，并且它们中的每一个至多彼此相交。本文完全证明了伪外平面图的全染色猜想。特别地，证明了每一个最大度为$Δ\geq 5$的伪外平面图的色数为$Δ+1$ .
2011-08-25 cs.DM math.CO
Rectilinear crossing number of the double circular complete bipartite graph
本文研究完全二部图在双同心圆布局下的直线交叉数，提出交叉数计算的组合公式，证明相关命题，并通过几何优化求解最优半径比及交叉数变化的渐近界限。
2023-10-24 math.CO math.OC
Small 4-regular planar graphs that are not circle representable
一个4-正则可平面图$G$被称为是圆可表示的，如果存在一个画在平面上的圆的集合，使得接触点和交叉点对应于$G$的顶点，并且这些点之间的圆弧对应于$G$的边。Lovász（1970）证明了每个4-正则可平面图都有一个圈表示，但Bekos和Raftopoulou（2015）给出了一个无穷族的反例。基于一个12阶的多重图反例，我们将单图中已知的最小反例的阶数从822降到68。
2019-08-13 math.CO
On disjoint crossing families in geometric graphs
几何图是在平面上绘制的图，其顶点由点和边表示为直线段。一个几何图包含一个（k，l）-交叉族，如果存在一对边子集E_1，E_2，使得|E_1| = k，|E_2| = 1，E_1中的边是两两交叉的，E_2中的边是两两交叉的，且E_1中的每条边与E_2中的每条边不相交.我们猜想，对任意固定的k，l，每个n-顶点几何图不含（k，l）-交叉族，至多有c_{k,l} n条边，其中c_{k,l}是只依赖于k和l的常数.本文通过证明几何图F的极值函数与F的两个完全不相交副本的极值函数之间的关系的一个更一般的结果，证明了每个不含（k，k）-交叉族的n-顶点几何图至多有c_kn \log n条边，其中c_k是只依赖于k的常数.我们还解决了不含（2，1）-交叉族的几何图的猜想。作为一个直接应用，这意味着对于任何3个顶点的圆图F，每个不包含其交图是F的匹配的n-顶点几何图至多有O（n）条边。
2011-03-25 cs.DM math.CO
Annular Non-Crossing Matchings
众所周知，$n$半圆在半平面中与x轴上的端点的不同非交叉匹配的数目等于$n^{th}$ Catalan数$C_n$。本文将线性不相交匹配的概念以及Goldbach和Tijdeman的圆形不相交匹配推广到嵌入在环形内的$n$线段的不相交匹配。我们证明了$\vert Ann(n,m) \vert$与$n$外部端点和$m$内部端点的匹配数对应于一个全新的，单参数推广的加泰罗尼亚数与$C_n = \vert Ann(1,m) \vert$。我们还开发了特定类别的环形非交叉匹配和其他组合对象，如二进制组合项链和可平面图之间的双射。最后，我们利用Burnside引理得到了所有$n,m \geq 0$的$\vert Ann(n,m) \vert$的显式表达式.
2015-08-07 math.CO
The maximum number of digons formed by pairwise crossing pseudocircles
本研究将Grünbaum关于两两相交伪圆排列中二角形最大数量为2n−2的猜想，从柱面排列、几何圆情形推广至任意简单两两相交伪圆排列，给出了该猜想的完整证明，解决了悬置五十余年的公开问题。
2024-12-13 cs.CG math.CO
Positive $m$-divisible non-crossing partitions and their Kreweras maps
该研究针对正$m$-可分非交叉划分及其正Kreweras映射，在经典型中给出组合实现与伪旋转解释、完成相关枚举，在一般型中构建适配例外型的组合模型，最终建立若干循环筛选现象。
2025-06-17 math.CO math.RT
Edge covering pseudo-outerplanar graphs with forests
一个图称为伪外平面图，如果每个块在平面上有一个嵌入，使得顶点位于一个固定的圆上，而边位于这个圆的圆盘内，并且它们中的每一个至多彼此相交。本文证明了伪外平面图的边可分解为一个线性森林和一个外平面图，或一个星形森林和一个外平面图，或两个森林和一个匹配，或$\max\{Δ(G),4\}$匹配，或$\max\{\lceilΔ(G)/2\rceil,3\}$线性森林.这些结果推广了关于外平面图和$K_{2,3}$ -minor-free图的一些结果，因为伪外平面图类比$K_{2,3}$ -minor-free图类大.
2011-10-19 cs.DM math.CO
Edge-spectral supersaturation for tripartite color-critical graphs
Chuzhou University（滁州学院）；East China University of Science and Technology（华东理工大学）；Nanjing University of Science and Technology（南京理工大学）
该研究针对色数为3的两类染色临界图，证明超过紧谱Turán阈值会迫使出现最优多项式数量的对应图副本，扩展了边谱存在性定理至三色过饱和结果。
2026-08-12 math.CO
A lower bound on the average genus of a 2-bridge knot
Dunfield等人使用随机网格图的实验数据表明，结的亏格相对于交叉数线性增长。利用Koseleff和Pecker提出的Chebyshev结的台球桌图和作者与Krishnan以及Even-Zohar和Krishnan通过这些图提出的2-桥结的随机模型，我们引入了一个进一步截断的模型，该模型包含给定交叉数的所有2-桥结，几乎都计数两次。我们提出了一个方便的方法来计算在这个模型中的塞弗特圈，并使用此计算一个下界的平均塞弗特亏格的2桥结的一个给定的交叉数。
2021-08-01 math.CO math.GT
On flips in planar matchings
本文研究了平面上非交叉完美匹配翻转图的结构。具体来说，考虑在单位圆上等距放置的一组$2n$点上的所有非交叉直线完美匹配。对这种匹配的翻转操作将跨越空四边形的两条匹配边替换为四边形的另外两条边，并且如果四边形包含单位圆的中心，则翻转被称为居中。图$\mathcal{G}_n$以这些匹配作为顶点，并且在翻转中不同的任何两个匹配之间有一条边，并且已知它具有许多有趣的性质。本文主要研究了$\mathcal{G}_n$的生成子图$\mathcal{H}_n$，它是通过取中心翻转对应的所有边，忽略非中心翻转对应的边而得到的.我们发现，图$\mathcal{H}_n$是连接的奇数$n$，但有指数许多小连通组件，甚至$n$，我们的特点和计数通过加泰罗尼亚和广义Narayana数。对于奇数$n$，我们还证明了$\mathcal{H}_n$的直径在$n$中是线性的。进一步，我们确定了所有$n$的$\mathcal{H}_n$的最小度和最大度，并对相应的顶点进行了刻画和计数.我们的结果暗示了在$\mathcal{G}_n$中某些彩虹环的不存在，并且解决了Felsner、Kleist、Mütze和Sering在最近的一篇论文中提出的几个悬而未决的问题和解释。
2020-10-09 cs.CG cs.DM math.CO
Limiting crossing numbers for geodesic drawings on the sphere
我们介绍了一个模型的随机测地线图纸上的完全二部图$K_{n,n}$的单位球$\mathbb{S}^2$在$\mathbb{R}^3$，其中我们选择的顶点在每个二部类的$K_{n,n}$关于两个非退化的概率测度$\mathbb{S}^2$。最近已经证明，许多这样的措施给出的图，其交叉数接近Zarankiewicz数（$K_{n,n}$的交叉数）。在本文中，我们考虑与这种随机图纸的交叉图。我们证明了，对于任何概率测度，所得到的随机交图在图极限意义下形成收敛图序列。极限图子的边密度与这两个测度无关，只要它们是对足对称的。然而，它表明，三角形密度表现不同。我们研究了一个特定的随机模型，爆炸的对极图纸$D$的$K_{4,4}$，并表明，三角形密度在相应的交叉graphon依赖于包含在$D$的边缘的大圆之间的角度，可以达到任何值的间隔$\bigl(\frac{83}{12288}, \frac{128}{12288}\bigr)$。
2020-08-24 cs.CG math.CO
Chord Diagrams and Gauss Codes for Graphs
圆上的弦图及其交图（也称为圆图）已经得到了深入的研究，并且在纽结和纽结不变量等的研究中有许多应用。然而，更一般的图上的弦图还没有被研究过，并且在空间图的研究中具有潜在的同等价值。我们将定义可平面图及其交图的平面嵌入的弦图，并证明一些基本结果。然后，作为一个应用，我们将介绍高斯代码的浸入图在平面上，并给出算法，以确定是否一个特定的交叉序列是可实现的高斯代码的浸入图。
2006-02-28 math.CO math.GT
Arrangements of Pseudocircles: On Circularizability
伪圆的排列是球面上或平面上的简单闭合曲线的集合，使得任何两条曲线不相交或恰好相交于两个交点。如果每对伪圆相交两次，我们称这种排列相交。一个排列是可循环的，如果存在一个组合等价的圆排列。在本文中，我们提出的结果，第一次彻底研究的可循环性。我们证明了5个伪圆（其中一个是已知的）的非圆化安排正好有4个。在一组2131 digon自由交叉安排的6个伪圆，我们确定了三个不可圆化的例子。我们还表明noncircularizability的8个额外的安排6 pseudocircles有一组对称的大小至少为4。我们大多数的非循环证明依赖于像米克尔的关联定理。在其他情况下，我们通过考虑连续变形来反驳循环化，其中假设的圆表示的圆以受控的方式增长或收缩。声称我们拥有所有具有给定性质的不可循环排列是基于一个程序，该程序生成了一定大小的所有排列。给定完整的排列列表，我们使用几何学来找到圆的表示。对化学分析失败的例子进行了手工检查。
2020-01-16 cs.CG math.CO
Extending drawings of complete graphs into arrangements of pseudocircles
受几何学在证明$K_n$的“伪线性”图的Harary-Hill猜想中的成功应用的启发，我们引入了图的“伪球面”图。图$G$的球面图是单位球面$\mathbb{S}^2$中的图，其中$G$的顶点表示为点-在大圆上没有三个-并且$G$的边是连接顶点对的$\mathbb{S}^2$中最短的弧。这样的绘图有三个性质：（1）每条边$e$都包含在一条简单的闭合曲线$γ_e$中，使得$γ_e$中仅有的顶点是$e$的端点;（2）如果$e\ne f$，则$γ_e\capγ_f$恰好有两个交叉点;（3）如果$e\ne f$，则$e$与$γ_f$相交至多一次，或者在$e$的交叉点或者在$e$的端点。我们使用性质（1）-（3）来定义$G$的伪球面图。我们的主要结果是，对于完全图，性质（1）-（3）等价于相同的三个性质，只是把（2）中的“恰好两个交叉点”替换为“至多两个交叉点”。证明需要一个结果的几何横向理论安排的pseudocircles。这是证明使用的令人惊讶的结果，没有特殊的弧（连贯的螺旋）在安排简单的封闭曲线的特点，任何两个曲线的安排有最多两个交叉点的事实。我们的研究提供了必要的想法，展示了一个图纸的$K_{10}$，没有扩展到一个安排的pseudocircles和图纸的$K_9$，并扩展到一个安排的pseudocircles，但没有这样的扩展有所有对pseudocircles交叉两次。
2021-04-19 cs.CG math.CO
Counting Morse functions on the 2-sphere
本文的动机是工作的阿诺德，他解释了如何计数“蛇”，即莫尔斯职能的实轴规定的行为在无穷大。这直接导致了圆上优秀Morse函数的计数，其中根据Thom的术语，优秀意味着没有两个临界点位于同一水平集上。我们解释了如何计算2-球面上优秀Morse函数的等价类。我们考虑两个等价关系。几何关系（两个函数是等价的，如果一个函数可以通过球面的保向同态和实轴的保向同态的合成从另一个函数得到）和同调关系（两个函数是等价的，如果子水平集的贝蒂数在穿过临界值时经历相似的变化）。
2006-01-09 math.CO math.GT
Geodesics in a Graph of Perfect Matchings
设$\mathscr{P}_{m}$是完全图$K_{2m}$中完美匹配集上的图，其中如果两个完美匹配的对称差是一个长度为4的圈，则两个完美匹配由一条边连接。本文研究了$\mathscr{P}_{m}$中的测地线。$\mathscr{P}_{m}$的直径以及每个顶点的偏心率显示为$m-1$。给出了两个证明，证明了任意两对极间的测地线个数为$m^{m-2}$。第一个是通过递归公式的直接证明，第二个是通过减少到对称群$S_m$中给定$m$ -圈的最小分解的数目。文中还给出了$\mathscr{P}_{m}$中任意两个匹配之间的测地线数目的显式公式。设$\mathscr{M}_m$是圆上具有与$\mathscr{P}_m$中相同邻接条件的$2m$标记点的非交叉完美匹配集合上的图。$\mathscr{M}_m$是$\mathscr{P}_m$的一个诱导子图，证明了$\mathscr{M}_m$恰好有一对极之间具有最大测地线数（$m^{m-2}$）.
2020-06-27 math.CO
Treewidth of Outer $k$-Planar Graphs
本文研究了外 k-平面图和外 min-k-平面图的树宽，提出了改进的上界和下界，并优化了与树宽相关的分离数上界。
2025-11-26 cs.DM math.CO
A Two-Graph Refinement of Paulsen's Lollipop Bounds
本文通过引入两个图（无K4的图D和无K5的图E）的加权问题，改进了Paulsen关于n个棒棒糖划分平面区域数的上界，并填补了n≤17及n=19的间隙。
2026-06-04 math.CO math.MG
Tight bounds for intersection-reverse sequences, edge-ordered graphs and applications
本文改进Marcus-Tardos定理至最优界O(n^{3/2})，解决拓扑图、伪圆切割及边有序Turán数等开放问题，并否证关于边有序森林极值数的猜想。
2024-11-11 math.CO
