Vinogradov's three primes theorem with primes having given primitive roots
本文的第一个目的是说明如何Hooley的著名的方法，导致他的条件证明的阿廷猜想的原根可以与Hardy-Littlewood循环方法相结合。我们通过研究奇数表示为三个素数之和的数量来做到这一点，所有这些素数都有规定的原根。第二个目的是分析奇异级数。特别是，使用结果Lenstra，Stevenweigh和Moree，我们提供了一个部分因式分解作为欧拉产品，并证明这并不延伸到一个完整的因式分解。
2018-04-02 math.NT
Primitive root biases for prime pairs I: existence and non-totality of biases
研究了素数对$p,p+k$的模$p$和模$p+k$的原根个数之间的差异.假设Bateman-Horn猜想，我们证明了这种对存在强符号偏差。更重要的是，我们证明了一个小的正比例的素数对$p,p+k$，占主导地位的不等式是颠倒的。
2017-08-14 math.NT
On the density of primes in arithmetic progression having a prescribed primitive root
设a，f，g为整数，a与f互质.在广义黎曼假设下，从Hooley和Lenstra的工作可以得出，素数p的集合使得p=a（mod f）且g是原根mod p，具有自然密度。在本文中，我们明确地评估这个密度，并给出这个结果的一些应用。
1999-12-07 math.NT
The Least Prime Primitive Root and the Shifted Sieve
我们推导出，对于所有的素数模p，除了那些在一个非常薄集，上界的最小素原根（mod p）的数量级的一个恒定的权力log p。改进以前的结果，其中的上界是log p的指数趋于无穷大的p，在于使用的线性筛（一个特定的版本称为移位筛），而不是Brun的筛。同样的方法使我们能够重新推导出一个条件的结果Shoup的最小素原根（mod p）的所有素数模p，假设广义黎曼假设。我们还将这两个结果推广到复合模q，其中的一个原根的模拟是一个元素的最大乘法阶（mod q）。
1998-07-20 math.NT
Lehmer numbers and primitive roots modulo a prime
一个Lehmer数模一个素数$p$是一个整数$a$，其中$1 \leq a \leq p-1$的逆$\bar{a}$在同一范围内具有相反的奇偶性。Wang和Wang已经讨论了也是原根的Lehmer数，试图计算$1$可以表示为两个也是Lehmer数的原根之和的方式的数量（S. Golomb）。本文给出了模$p$的Lehmer原根个数的一个显式估计，并证明了对所有素数$p \neq 2,3,7$，Lehmer原根存在.我们还明确了已知的Lehmer数模$p$的个数的表达式，并改进了Golomb-Lehmer原根问题解的个数的Wang-Wang估计.
2017-12-11 math.NT
Primitive root bias for twin primes
数值证据表明，只有约$2\%$对$p,p+2$孪生素数，$p+2$有更多的原根比$p$。如果发生这种情况，我们就说$p$是例外的（只有两个例外对与$5 \leq p \leq 10{,}000$）。在Bateman-Horn猜想的假设下，证明了孪生素数对的至少$0.47\%$是例外的，至少$65.13\%$不是例外的.我们还推测了特殊孪生素数比例的精确公式。
2017-07-26 math.NT
Primitive weird numbers having more than three distinct prime factors
本文利用本原奇异数的因子分解研究了本原奇异数的一些结构性质。给出了正整数是奇整数的充分条件。给出了两种生成具有给定数量的不同素因子的奇异数的算法。这些算法产生的原始怪异数的形式$mp_1\dots p_k$为一个合适的亏正整数$m$和素数$p_1,\dots,p_k$和推广最近开发的技术，用于生成原始怪异数的形式$2^np_1p_2$。同样的技术也可以用来搜索奇怪的数字，这些数字的存在仍然是一个悬而未决的问题。
2018-03-01 math.NT
On primes in arithmetic progression having a prescribed primitive root. II
设a和f是互素的正整数。设g为整数。在广义黎曼假设（GRH）下，H. W. Lenstra证明了素数p的集合使得p=a（mod f）且g是模p的原根，有自然密度.在这篇笔记中，这个密度是明确评估与欧拉产品的结果。
2007-07-20 math.NT
Bounded gaps between prime polynomials with a given primitive root
阿廷的一个著名猜想指出，存在无穷多个素数，其中一个固定整数$g$是原根，只要$g \neq -1$和$g$不是完全平方。由于胡利的工作，我们知道这个猜想是正确的，条件是广义黎曼假设的真理。结合胡利的分析和梅纳德-陶用来证明素数之间存在有界间隙的技术，波拉克证明了（以GRH为条件）具有指定原根的素数之间存在有界间隙。在本文中，我们提供了一个无条件的证明类似的波拉克的工作，在函数域的情况下;即，给定一个一元多项式$g(t)$，它不是任何素数$v$除以$q-1$的$v$次幂，在$\mathbb{F}_q[t]$中的一元不可约多项式$P(t)$之间存在有界间隙，其中$g(t)$是其原根（也就是说，$g(t)$生成以$P(t)$为模的单元组）。特别是，我们得到有界的原始多项式之间的差距，相应的选择$g(t) = t$。
2015-04-15 math.NT
Irregular primes with respect to Genocchi numbers and Artin's primitive root conjecture
在本文中，我们介绍和研究的一个变种Kummer的概念（IR）的正则性的素数，我们称之为G-不规则。它基于Genocchi数$G_n$，而不是Bernoulli数$B_n.$我们说，一个奇素数$p$是G-不规则的，如果它至少能整除一个整数$G_2,G_4,\ldots, G_{p-3}$，否则是G-正则的。我们表明，在库默尔的情况下，G-不规则性是有关的整除一些类数。进一步，我们得到了G-非正则素数分布的一些结果。特别是，我们表明，每个原始剩余类包含无穷多个G-非正则素数和建立非平凡的下界，他们的数量到一个给定的界限$x$作为$x$趋于无穷大。作为一个副产品，我们得到了一些关于具有指定的近原根的等差数列中素数分布的结果。
2019-05-07 math.NT
Bounded gaps between primes with a given primitive root
修复一个不是完全平方的整数$g \neq -1$。在1927年，阿廷证明有无穷多个素数$g$是一个原根。40年后，胡利证明了阿廷猜想来自广义黎曼假设（GRH）。我们注入胡利的分析梅纳德-陶工作有界素数之间的差距。这将导致以下GRH条件结果：固定一个整数$m \geq 2$。如果$q_1 < q_2 < q_3 < \dots$是以$g$为原根的素数序列，则为$\liminf_{n\to\infty} (q_{n+(m-1)}-q_n) \leq C_m$，其中$C_m$是依赖于$m$但不依赖于$g$的有限常数。我们还证明了这个结果中的素数$q_n, q_{n+1}, \dots, q_{n+m-1}$可以看作是连续的。
2014-05-05 math.NT
The sum of the reciprocals of the prime divisors of an odd perfect or odd primitive non-deficient number
本文在奇完全数及更弱的奇本原非亏数假设下，证明了素因子倒数之和 T(n) 与乘积 H(n) 关于最小素因子的新上界。
2025-02-08 math.NT
Primes with small primitive roots
该研究构造了由p-1素因子简单函数定义的明确素数集S，证明S中素数的最小原根不超过p的1/4-δ(p)次方，且S中不超过x的素数个数渐近于素数计数函数π(x)。
2024-10-06 math.NT
Primitive prime divisors and the $n$-th cyclotomic polynomial
本原素除子在群论和数论中起着重要的作用。研究了一个数论量$Φ^*_n(q)$，它与分圆多项式$Φ_n(x)$和$q^n-1$的本原素除子密切相关.我们给出了$Φ^*_n(q)$的新定义，并证明了它与Hering给出的定义是等价的.给定正常数$c$和$k$，我们给出了一个确定所有$(n,q)$与$Φ^*_n(q)\le cn^k$对的算法.这个算法是用来推广（和纠正）的结果，这是有用的分类某些家庭的有限线性群的子群。
2016-10-09 math.NT
Primitive Indexes, Zsigmondy Numbers, and Primoverization
我们定义一个整数在序列中的本原下标为以该整数为本原除数的项的下标。对于序列$k^u+h^u$和序列$k^u-h^u$，给出了一个求任意合数的本原指数的公式，给出了它的素因子的本原指数.我们展示了这个公式如何减少到一个公式有关的乘法阶的$k$模$N$，它的素因子。然后，我们介绍了直接后果的公式：某些序列产生相同的原始指数的数字具有相同的独特的素数因子，一个扩展的提升指数引理$v_2(k^n+h^n)$，一个简单的公式，以找到任何Zsigmondy数，一个说明一定类的伪素数标题overpseudoprime，并证明，如瓦格斯塔夫数是overpseudoprime或素数。
2018-10-25 math.NT
Remarks on the distribution of the primitive roots of a prime
设$\mathbb{F}_p$是大小为$p$的有限域，其中$p$是奇素数.令$f(x)\in\mathbb{F}_p[x]$是正次数$k$的多项式，对于所有$d\mid p-1$，该多项式不是$\mathbb{F}_p[x]$中的$d$次幂。此外，我们还要求$f(x)$和$x$互质。本文的主要目的是给出$(ξ,ξ^αf(ξ))$对的个数的估计，使得$ξ$和$ξ^αf(ξ)$都是$p$的原根，其中$α$是给定的整数.这回答了韩和张的一个问题。
2016-03-08 math.NT
The Least Square-free Primitive Root Modulo a Prime
$ $本文的目的是降低无平方原根模素数的上界。令$g^{\Box}(p)$是模$p$的最小无平方原根。我们证明了以下两个定理。定理0.1. $$g^{\Box}(p) < p^{0.88}\quad\text{for all primes }p.$$定理0.2. $$g^{\Box}(p) < p^{0.63093}\quad\text{for all primes } p < 2.5\times10^{15} \text{ and }p > 9.63\times10^{65}.$$定理0.1显示了最佳已知界的改进，而定理0.2显示了我们可以证明哪些素数的理论下界。在第1章的一些介绍性信息之后，我们将在第2章开始证明上述定理。我们将在§2.1中引入素数的原根的指示函数，并结合§1.2.1、§1.2.3和§1.2.4中的结果，概述证明上述形式的一般定理的第一步。接下来的两个证明阶段将在第3章中概述。这两个阶段需要引入主筛。在§3.2中定义筛子之前，我们将介绍$e-$自由整数，它在定义筛子中起着重要作用。在§3.2中，我们将得到不需要计算的结果，包括定理0.2。然后在§3.3中引入一个算法，这是证明的最后阶段。在这里，我们将完成定理0.1的证明。
2017-01-21 math.NT
Primitive root bias for twin primes II: Schinzel-type theorems for totient quotients and the sum-of-divisors function
加西亚、卡霍罗和卢卡证明了贝特曼-霍恩猜想对于大多数孪生素数对$p,p+2$都意味着$ϕ(p-1) \geq ϕ(p+1)$，而反向不等式对于一小部分孪生素数也成立。也就是说，$p$往往比$p+2$有更多的原根。本文证明了Dickson猜想（比Bateman-Horn猜想弱得多）蕴含着当$p,p+2$在孪生素数上的值域为正实数时，同元$\frac{ϕ(p+1)}{ϕ(p-1)}$是稠密的.我们还建立了几个Schinzel型定理，其中一些是无条件的，关于$\frac{ϕ(p+1)}{ϕ(p)}$和$\frac{σ(p+1)}{σ(p)}$的行为，其中$σ$表示因子和函数。
2019-08-28 math.NT
Bounded gaps between primes with a given primitive root, II
令$m$为自然数，令$\mathcal{Q}$为至少包含$\exp(C m)$素数的集合。我们发现，可以找到无限多个字符串的$m$连续素数，其中每个有一些$q\in\mathcal{Q}$作为一个原根，所有位于一个区间的长度$O_{\mathcal{Q}}(\exp(C'm))$。这是古普塔和拉姆·默蒂定理的一个有界间隙变体。我们还证明了一个结果的椭圆模拟阿廷猜想。设$E/\mathbb{Q}$是一条椭圆曲线，它有一个无理$2$ -扭点.假设GRH。则对于每个$m$，有无穷多个$m$连续素数$p$的字符串，其中$E(\mathbb{F}_p)$是循环的，所有字符串都位于长度为$O_E(\exp(C'' m))$的区间内。如果$E$具有CM，则可以移除GRH假设。这里$C$、$C'$和$C''$是绝对常数。
2014-07-27 math.NT
Least primitive root and simultaneous power-non residues
设$p$为素数，$g(p)$为最小原根模$p$ .我们证明了，对于任何$ε>0$和$p$足够大的界\begin{align} g(p)\ll p^{\frac{1}{4\sqrt{e}}+ε} \nonumber \end{align}持有大多数素数$p$，使$p-1$没有小素因子，但$2$。我们也给出了例外集的明确描述。
2018-01-20 math.NT
ABC implies primitive prime divisors in arithmetic dynamic
设K是数域，f（x）在K（x）中是d> 1次的有理函数，z在K中是一个游荡点，使得f^n（z）对所有n > 0非零.证明了如果abc猜想对K成立，则对除n以外的所有正整数n，存在K的素数p，使得p|对于所有正整数m < n，f^n（z）和p不整除f^m（z）。对于特征为0的函数域，当f不是等平凡的时，我们无条件地证明了同样的结果。
2012-08-14 math.NT
Primes Generated by Recurrence Sequences
考虑由二次多项式定义的整数序列的项的本原因子。除了一些小的反例，当一个项有一个本原因子时，这个本原因子是唯一的。看起来有一个原始因子的项数有一个自然密度。我们讨论了两个启发式的参数，建议该密度的值，一个使用最近的进展多项式同余的根的分布。
2006-03-02 math.NT
Primitive abundant and weird numbers with many prime factors
我们给出了一个算法来枚举所有的原始丰富数（简称PAN）与一个固定的$Ω$（素因子的数量与他们的重数计数），并显式地找到所有的PAN到$Ω=6$，计数所有的PAN和无平方PAN到$Ω=7$和计数所有的奇PAN和奇无平方PAN到$Ω=8$。我们发现原始奇怪的号码（简称PWNs）多达16个素因子，改善以前的结果[Amato-Hasler-Melfi-Parton]其中PWNs多达6个素因子已经给出。我们发现的最大的PWN有14712位数：据我们所知，这是现有的最大的例子，前一个是5328位长[Melfi]。我们发现了数百个PWN，其中恰好有一个平方奇素因子：据我们所知，以前只知道五个。我们发现所有的PWNs至少有一个奇素因子的重数大于1和$Ω= 7$，并证明没有与$Ω< 7$。关于PWNs与立方（或更高）奇素数因子，我们证明，有没有与$Ω\le 7$，我们没有发现任何较大的$Ω$。最后，我们发现了几个PWNs的2平方奇素因子，和一个3平方奇素因子。这是第一个这样的例子。
2018-02-27 math.NT
The Sums of the $k-$powers of the Euler set and their connection with Artin's conjecture for primitive roots
研究了小于并与$n$（欧拉集）互素的$ϕ(n)$整数$α_1<α_2<\cdots<α_{ϕ(n)}$的$k-$次幂和$S(k,\,n)$，并证明了一个新的计算公式$S(3,\,n)$ .如果$n$等于一个素数$p$，我们证明了一个定理，表明$S(3,\,p)$与原根的Artin代数常数以及与其它涉及素数的函数的联系.
2018-02-26 math.NT
Primitive prime divisors in zero orbits of polynomials
令$(b_n) = (b_1, b_2, ...)$为整数序列。项$b_k$的本原素因子是除$b_k$但不除序列的任何先前项的素数。多项式$f(z)$的零轨道是整数序列$(c_n)$，其中第$n$项是$f$在0处的第$n$项。我们考虑多项式零轨道的本原素除子。本文证明了：对于整数$c$和$d$，其中$d > 1$和$c \neq \pm 1$，当0有无穷轨道时，$f(z) = z^d + c$的零轨道中的每个素数都包含一个本原素数.如果是$c = \pm 1$，则第一个素数之后的每个素数都包含一个本原素数。
2011-06-02 math.DS math.NT
The trace of 2-primitive elements of finite fields (amended version)
设$q$是素数幂，$n, r$是整数，使得$r\mid q^n-1$ .乘法阶$(q^n-1)/r$的$\mathbb{F}_{q^n}$的元素称为\emph{$r$-primitive}。对任意奇素数幂$q$，证明了当$n\geq 3$为$\mathbb{F}_{q^n}$时，存在一个$2$ -本原元，其迹为任意给定的$\mathbb{F}_q$迹。此外，我们明确地描述了这些元素的轨迹可能具有的值时，$n=2$。这个修正版本的一个特点是减少了对素数度$n$的讨论。
2021-01-19 math.NT
Sárközy's theorem for shifted primes with restricted digits
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
该研究针对带受限数位的移位素数，通过构造关联指数和的局部逼近函数证明其具有van der Corput性质，进而得出正上Banach密度的自然数集A中存在满足a₁+p-1=a₂的相关元素及素数p的结论。
2026-08-07 math.NT
Primes in arithmetic progressions and nonprimitive roots
设$p$为素数。如果一个整数$g$在$(\mathbb Z/p\mathbb Z)^*,$中生成一个下标为$t$的子群，那么我们说$g$是一个$t$ -模$p$的近原根。我们指出了一个简单的结果，每个原剩余类包含一个正的自然密度子集的素数$p$没有$g$作为一个$t$ -近原根，并证明了一个更困难的变种。
2019-05-02 math.NT
The modified prime sieve for primitive elements in finite fields
本文针对有限域子集内本原元的存在性问题，提出仅依赖特征和估计的改进素数筛法判别准则，通过解决避开仿射超平面的相关问题验证了其实用性，相较已有研究实现显著改进。
2025-07-29 math.NT
On some symmetries of the base $ n $ expansion of $ 1/m $ : Comments on Artin's Primitive root conjecture
假设$ m,n\geq 2 $是互质整数。我们证明了某些新的对称性的基础$ n $表示的$ 1/m $，特别是由$ n $内$ (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times $产生的子群的特征。作为应用，我们给出了素数$ p $使得非平方数$ n $是模$ p $的原根的一个充分条件.
2021-07-26 math.NT
A Variant of the Truncated Perron's Formula and Primitive Roots
我们证明了在广义黎曼假设下，对于每个$δ>0$，只要$Q$不大于$x^{\frac{2}{3}-ε}$，几乎每个$δ>0$在$[Q,2Q]$中都有期望的在区间$[x,x+x^{\frac{1}2+δ}]$中的素原根.我们通过一个变种的经典截断Perron的公式的部分和的系数的狄利克雷级数。
2017-03-01 math.NT
Mean Values of Certain Multiplicative Functions and Artin's Conjecture on Primitive Roots
讨论了如何利用Delange定理，通过某些乘性函数及其狄利克雷级数的均值，研究分圆量的渐近性.我们展示了如何这可能提供一个新的方法阿廷猜想的原根。我们专注于是否一个固定的素数有一定的顺序模无穷多个其他素数。我们也给出了一个这样的狄利克雷级数的平均值的估计。
2014-11-20 math.NT
On Ramanujan Primes for Hecke-Maass Cusp Forms
本文研究了两个或三个不同原始海格尔-马克斯自拍形式同时满足拉马努金猜想的最小素数上界，以及至少一个形式满足猜想的素数自然密度下界。
2026-05-10 math.NT
Cyclotomic Swan subgroups and primitive roots
设$K_{m}=\Bbb{Q}(ζ_{m})$，其中$ζ_{m}$是本原$m$的单位根.令$p>2$是素数，令$C_{p}$表示阶为$p.$的群$K_{m}$的代数整数环是$\Cal{O}_{m}=\Bbb{Z}[ζ_{m}].$令$Λ_{m,p}$表示代数$K_{m}[C_{p}].$中的阶$\Cal{O}_{m}[C_{p}]$考虑核群$D(Λ_{m,p})$和Swan子群$T(Λ_{m,p}).$如果$(p,m)=1$这两个子群的类群重合。限制到当有一个有理素数$p$在$\Cal{O}_{m}$中是素数时，需要$m=4$或$q^{n}$，其中$q>2$是素数。对于每一个这样的$m$，$3 \leq m \leq 100,$，我们给这样一个素数，并表明，人们可以计算$T(Λ_{m,p})$作为一个有限域的单位群的商。当$h_{mp}^{+}=1$时，我们给出了$|T(Λ_{m,p})|$的精确值，对于其他情况，我们提供了一个上限。我们探讨这些结果的伽罗瓦模理论的影响。
2002-11-13 math.NT
Four consecutive primitive elements in a finite field
对奇素数幂$q$，证明了当$q> 2401$为素数幂时，有限域$\mathbb{F}_{q}$中总有四个连续的本原元.
2021-09-23 math.NT
Computation of the least primitive root
本文计算了所有素数 $p\le 10^{16}$ 的模 $p$ 和模 $p^2$ 的最小原根，并基于计算结果证明了三个定理，特别是对所有 $p>3$ 证明 $g(p)<p^{5/8}$，对所有 $p$ 证明 $h(p)<p^{2/3}$。
2023-07-24 math.NT
Finite sets containing near-primitive roots
修复$a \in \mathbb{Z}$、$a\notin \{0,\pm 1\}$。一个简单的论证表明，对于每个$ε> 0$和几乎所有（渐近100%）素数$p$，$a$模$p$的乘法阶数超过$p^{\frac12-ε}$。用任何更大的常数代替$\frac12$来证明同样的结果是一个悬而未决的问题。我们证明了如果$a,b$是乘法独立的，那么对于几乎所有的素数$p$，$a,b,ab, a^2b, ab^2$之一的阶超过$p^{\frac{1}{2}+\frac{1}{30}}$。同样的方法允许产生，为每个$ε> 0$，明确的有限集$\mathcal{A}$的性质，几乎所有的素数$p$，一些元素的$\mathcal{A}$有秩序超过$p^{1-ε}$。类似的结果适用于模一般整数$n$而不是素数$p$的订单。
2020-06-26 math.NT
A note on primitive $1-$normal elements over finite fields
设$q$是素数$p$的素数幂，$n$是正整数，$\mathbb F_{q^n}$是含有$q^n$元素的有限域.有限域上的$k-$正规元由Huczynska等人（2013）引入并表征。在$n$不能被$p$整除的条件下，得到了$q>2$的$\mathbb F_{q^n}$在$\mathbb F_q$上的本原$1-$正规元的存在性结果.本文将他们的结果推广到排除的情形$q=2$。
2017-01-19 math.NT
Quadratic residues that are not primitive roots
我们证明了任何满足$ϕ(p-1)\leq (p-1)/4$的素数$p$都包含两个连续的模$p$的二次非剩余，这两个非剩余都不是模$p$的原根.
2017-10-13 math.NT
The Density of Tuples Restricted by Relatively r-Prime Conditions
为了考虑不一定要求戴德金整环中所有元素的j元组都是相对r素的j向相对r素性条件，我们定义了关于固定j一致超图H的j向相对r素性的概念.这使我们不仅对代数整数环，而且对环F_q[x]的自然密度的几个结果提供了进一步的推广。
2021-07-05 math.NT
Primes and polynomials with restricted digits
设$q$是一个足够大的整数，并且$a_0\in\{0,\dots,q-1\}$。我们证明了有无穷多个素数在它们的基$q$展开式中没有数字$a_0$。对于多项式的值（满足必要的局部条件）以及如果排除多个数字，则得到类似的结果。我们的证明是基于Hardy-Littlewood圆方法和傅里叶分析的集合没有数字等于$a_0$在基$q$。
2015-10-26 math.NT
Primes with restricted digits
令$a_0\in\{0,\dots,9\}$。我们证明了有无穷多个素数在它们的十进制展开式中没有数字$a_0$。证明是一个应用程序的哈迪-利特尔伍德圆方法的一个二元问题，并依赖于获得适当的“I型”和“II型”的算术信息用于哈曼筛控制的小弧。这是通过将指示素数的傅里叶变换何时大的丢番图条件与指示具有受限数字的数的傅里叶变换何时大的数字条件解相关而获得的。这些估计依赖于结合的数的几何，大筛和矩估计通过比较与马尔可夫过程。
2019-10-28 math.NT
The least prime with a given primitive root and a variant of the larger sieve
Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）；Department of Mathematics, Indian Institute of Technology Palakkad（印度理工学院帕拉卡德分校数学系）
本文在广义黎曼猜想下，将给定原根的最小素数上界改进为对数三次方量级，并证明大筛法新变体，优于现有结果。
2026-10-07 math.NT
The Erdos conjecture for primitive sets
如果没有成员整除另一个成员，则大于1的整数的子集是$primitive$。Erdos在1935年证明了$1/(a\log a)$对于运行在一个本原集合$A$上的$a$的和对于$A$的所有选择是泛有界的。在1988年，他问，如果这个普遍的约束是达到了一套素数。在本文中，我们在几个方面取得了一些进展，并显示了连接到某些素数“种族”，如种族之间的$π(x)$和李$(x)$。
2018-06-30 math.NT
On additive and multiplicative decompositions of sets of integers with restricted prime factors, I. (Smooth numbers.)
本文第三作者在[10]中给出了“光滑”（或“脆弱”）数列的加法可分解性的两个证明。Elsholtz和Harper [4]证明了（通过使用筛法）第二个（要求较低的）猜想。本文的目标是通过使用不同的方法（基于$S$ -单位方程理论）在三个方向上扩展和锐化他们的结果。
2020-06-27 math.NT
An Elliptic Curve Analogue of Pillai's Lower Bound on Primitive Roots
设$E/\mathbb{Q}$为椭圆曲线。对于一个具有良好约简的素数$p$，令$r(E,p)$是给出群$E(\mathbb{F}_p)$中最大阶点的$x$ -坐标的最小非负整数.在广义黎曼猜想的假设下，我们无条件地证明了对于无穷多个$p$，有$r(E,p)> 0.72\log\log p$，以及有$r(E,p) > 0.36 \log p$.这可以被看作是一个素数的最小原根的经典下界的椭圆曲线类似物。
2021-06-17 math.NT
Counting primes with a given primitive root, uniformly
本文在广义 Riemann 假设下，建立了 Artin-Hooley 渐近公式的一致版本，证明了对所有非平方数 $g\ne-1$，以 $g$ 为原根的最小素数 $p_g$ 满足一致上界 $O(\log^{19}(2|g|))$，并探讨了其平均值及近似原根的类似问题。
2025-09-14 math.NT
Square-full primitive roots
利用特征和估计给出了模素数的最小二乘满原根的一个界。具体地说，我们证明了有一个平方满原根模$p$小于$p^{2/3 + 3/(4 \sqrt{e})+ ε}$，我们给出了一些条件界。
2017-03-15 math.NT
Note on Artin's Conjecture on Primitive Roots
E. Artin证明了任何非完全平方的整数$a >1$对于无穷多个素数$p.$都是模$p$的原根。令$f_a(p)$为非平方整数$a$模素数$p.$ M的乘法阶。R. Murty和S. Srinivasan [10]证明，如果$\sum_{p<x} \frac 1 {f_a(p)}= O(x^{1/4})$，则Artin猜想对$a.$成立。我们将Murty-Srinivasan条件与$\mathbb Q(e^{2πi/p})$中对应于子群$<a> \subseteq \mathbb F*_p.$的子域的分圆周期之和联系起来
2021-05-28 math.NT
Primitive roots in quadratic fields
考虑实二次域中单位元的Artin原根猜想的一个类似结果.给定这样一个非平凡单位，对于一个在域中惰性的有理素数p，该单位模p的极大序模是p+1。阿丁猜想的一个扩展是，有无穷多个这样的惰性素数，对于这些素数，这个阶是最大的。这是已知目前只有在广义黎曼假设。无条件地，我们证明了在满足某种简单限制的不同实二次域中，对任意7个单位的选择，至少有一个单位满足上述的Artin猜想.
2003-10-14 math.NT
On additive and multiplicative decompositions of sets of integers with restricted prime factors, II. (Smooth numbers and generalizations.)
本文的第一部分研究了$y$ -smooth数的集合$\F_y$的加法可分解性和移位集合$\g_y=\F_y+\{1\}$的乘法可分解性。在本文中，重点是“大”功能$y$的情况下，我们继续研究这些问题。此外，我们还研究了任意$k$的$k$ -项和集的m-可分解性问题。
2020-11-25 math.NT
Some experiments with integral Apollonian circle packings
有界Apollonian圆填充（ACP）是通过在四个相互相切的圆的三角形间隙中重复内接圆来构造的，其中一个圆与其他三个圆内切。如果原始的四个圆具有整数曲率，则包装中的所有圆也将具有整数曲率。在\cite{ll}中，Sarnak证明了在一个本原积分ACP中有无穷多个原曲率圆和无穷多对原曲率相切圆。在本文中，我们给出了一个启发式的数值数据支持的数量的圆的素数曲率小于$x$，和"接吻素数"，或{\it对}的数量的素数曲率小于$x$的圆的原始积分ACP。我们还提供了实验证据，对一个本地到全球的原则，在一个原始的积分ACP的曲率。
2010-01-11 math.NT
Primitive root producing quadratics
D.H.莱默发现了一个二次多项式，使326是一个原根的第一个206素数表示这个多项式。证明了这与类数一问题和素生成二次型有关。描述了一种算法，以同样的精神找到更令人印象深刻的例子。Y.加洛用它来建立目前的记录，其中206被31082取代。
2004-06-07 math.NT
Sur une généralisation de la conjecture d'Artin parmi les presque-premiers
本文在广义黎曼猜想下证明：对于非 $-1$ 且非平方的整数 $a$，使 $a$ 为广义原根的 $\ell$-几乎素数集合具有渐近密度，推广了 Artin 猜想。
2024-02-23 math.NT
